二元一次方程组和它的解 教学设计（2024-2025学年华东师大版数学七年级下册）

二元一次方程组和它的解教学设计（2024—2025学年华东师大版数学七年级下册）一、教材分析本节课选自华东师大版七年级下册第六章第一节第二课时，是在学生已经掌握一元一次方程的概念、解法及应用的基础上，进一步学习二元一次方程组的核心起始内容，承接一元一次方程的“单未知数建模”，过渡到“双未知数建模”，是后续学习二元一次方程组解法、应用及多元方程相关知识的重要铺垫，也是连接小学算术思维与初中代数建模思维的关键节点。结合2022版数学新课标要求，本节课核心是引导学生体会“用数学的眼光观察现实世界”（发现实际问题中的双未知数数量关系）、“用数学的思维思考现实世界”（将双未知数关系转化为方程形式）、“用数学的语言表达现实世界”（规范表述二元一次方程、方程组及解的概念），注重培养学生的代数建模意识和符号表达能力，贴合七年级学生从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的认知特点，教材编排遵循“实际问题—抽象概念—辨析巩固—应用提升”的逻辑，符合“教-学-评”一体化的教学理念。二、教学目标（一）学习理解1.能准确识别二元一次方程、二元一次方程组的概念，明确其核心特征（含两个未知数、未知数次数为1、整式方程）；2.理解二元一次方程的解、二元一次方程组的解的含义，知道二元一次方程有无数个解，二元一次方程组的解是两个方程的公共解；3.能结合具体实例，阐述二元一次方程、方程组及解的概念，区分一元一次方程与二元一次方程的不同。（二）应用实践1.能根据已知条件，判断一个方程是否为二元一次方程，一个方程组是否为二元一次方程组；2.能检验一组未知数的值是否为二元一次方程的解，是否为二元一次方程组的解；3.能结合简单实际情境，列出符合条件的二元一次方程或二元一次方程组。（三）迁移创新1.能根据二元一次方程的解的特征，探索符合条件的未知数的取值（如正整数解），渗透分类讨论思想；2.能结合实际问题，分析双未知数之间的数量关系，初步建立二元一次方程组的建模思想，为后续解决复杂实际问题奠定基础；3.能自主梳理一元一次方程与二元一次方程、方程组的关联与区别，形成系统的代数方程认知框架，提升抽象概括和知识迁移能力。三、重点难点（一）教学重点1.二元一次方程、二元一次方程组的概念辨析与准确识别；2.二元一次方程的解、二元一次方程组的解的含义及检验方法；3.结合实际情境，抽象出二元一次方程或方程组，体会代数建模思想。（二）教学难点1.理解二元一次方程“有无数个解”的含义，区分二元一次方程的解与二元一次方程组的解的不同（一个是单个方程的解，一个是两个方程的公共解）；2.结合实际问题，准确捕捉双未知数之间的数量关系，列出符合条件的二元一次方程或方程组，突破“单未知数”到“双未知数”的建模思维障碍；3.运用概念解决变式问题，如探索二元一次方程的特定解（正整数解），培养分类讨论和灵活应用的能力。四、课堂导入（5分钟）导入采用“实际情境设问+旧知迁移”的方式，贴合学生生活实际，激发探究兴趣，同时衔接前序知识，落实新课标“用数学的眼光观察现实世界”的要求。教师活动：呈现学生熟悉的校园购物情境——“学校文具店推出优惠活动，买1支钢笔和1本笔记本共需12元，买2支钢笔和1本笔记本共需20元，请问每支钢笔和每本笔记本的单价各是多少元？”，引导学生思考：“这个问题中，有几个未知量？如果我们用字母表示未知量，能列出什么样的方程？”学生活动：自主思考，尝试用字母表示未知量（如设钢笔单价为x元，笔记本单价为y元），小组内交流讨论，列出相关式子。教师引导：提问学生列出的式子（预设出现x+y=12、2x+y=20），引导学生对比之前学过的一元一次方程（如x+5=8），发现这两个式子中含有两个未知数，进而引出本节课的核心内容——二元一次方程组和它的解，同时明确：“今天我们就来学习如何用含有两个未知数的方程，解决这类有两个未知量的实际问题，学会用新的代数语言表达数量关系。”设计意图：通过校园购物这一贴近学生生活的实际情境，激发学生的探究欲望，让学生感受到“双未知数问题”在生活中的普遍性；通过对比一元一次方程，自然迁移到二元一次方程的探究，帮助学生建立知识之间的关联，同时渗透代数建模意识，落实新课标核心素养要求。五、探究新知（20分钟）探究新知环节遵循“抽象概念—辨析特征—巩固理解—拓展延伸”的逻辑，拆分3个核心探究任务，每个任务对应一个知识点，层层递进，落实“教-学-评”一体化，注重学生的自主探究和合作交流，贴合七年级学生的认知规律。探究任务一：二元一次方程的概念（知识点一）1.自主探究：呈现导入环节学生列出的两个式子x+y=12、2x+y=20，再补充3个式子：①2x+3y=7②x+1=5③xy=10，引导学生自主观察、对比，思考以下问题：（1）这些式子都是方程吗？为什么？（2）式子①、x+y=12、2x+y=20与式子②相比，有什么不同？（3）式子①、x+y=12、2x+y=20与式子③相比，有什么不同？2.小组讨论：学生以4人小组为单位，交流自己的发现，梳理共性特征，教师巡视指导，重点关注学困生的理解情况，引导学生聚焦“未知数的个数、未知数的次数、方程的类型”三个核心维度。3.概念提炼：结合学生的讨论结果，教师引导学生共同提炼二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，这样的整式方程叫做二元一次方程。4.特征辨析：教师强调二元一次方程的三个核心特征（缺一不可），结合实例逐一解读：（1）含两个未知数：如x+y=12中，未知数是x和y，共两个；（2）未知数的次数都是1：指的是含有未知数的项的次数为1，而非未知数的次数之和为1（如xy=10中，xy的次数是2，因此不是二元一次方程）；（3）整式方程：方程的左右两边都是整式，分母中不能含有未知数（如1/x+y=5，不是整式方程，因此不是二元一次方程）。5.即时评价：给出一组方程，让学生快速判断是否为二元一次方程，并说明理由（如：3x-2y=5（是）、x+3=8（不是，只有一个未知数）、2xy+1=0（不是，次数为2）、x/2+y=3（是）），及时反馈学生的理解情况，纠正错误认知。探究任务二：二元一次方程组的概念（知识点二）1.情境衔接：回到导入环节的实际问题，提问学生：“我们列出了x+y=12和2x+y=20两个方程，单独一个方程能确定钢笔和笔记本的单价吗？为什么？”学生思考后回答：不能，因为单个方程中含有两个未知数，有无数种可能的取值，无法确定唯一答案。2.概念引入：教师引导：“要确定两个未知量的值，需要将两个方程结合起来，共同约束未知量的取值，这样由两个二元一次方程组成的方程组，叫做二元一次方程组。”3.特征辨析：强调二元一次方程组的两个核心特征：（1）方程组由两个二元一次方程组成（特殊情况下，其中一个方程可以是一元一次方程，但必须含两个未知数中的一个，如{x+y=12，x=5}，也是二元一次方程组）；（2）两个方程中，所含的未知数相同（如{x+y=12，2m+n=20}，未知数不同，不是二元一次方程组）。4.实例巩固：呈现两组方程组，让学生判断是否为二元一次方程组，并说明理由：（1）{2x+3y=7，x-y=1}（是）；（2）{x+5=8，y-3=2}（是，两个一元一次方程，共含两个未知数）；（3）{xy=10，x+y=6}（不是，第一个方程是二元二次方程）。5.小组互动：让学生结合生活实际，自主编一个二元一次方程组，小组内互相检查、辨析，教师随机抽查，评价学生的概念应用能力。探究任务三：二元一次方程及方程组的解（知识点三）1.二元一次方程的解：结合探究任务一中的方程x+y=12，提问学生：“当x=5时，y的值是多少？这个x和y的值能使方程成立吗？”学生计算后回答：y=7，能使方程成立（5+7=12）。教师引导：“像这样，能使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，通常用大括号{x=a，y=b}的形式表示。”进一步提问：“这个方程x+y=12，除了x=5，y=7之外，还有其他解吗？请再写出两个。”学生自主尝试写出解（如{x=6，y=6}、{x=4，y=8}），教师引导学生发现：二元一次方程有无数个解，因为只要给定其中一个未知数的值，就能求出另一个未知数的值。强调：二元一次方程的解是“一对未知数的值”，缺一不可，不能单独说x=5是方程x+y=12的解，必须说x=5，y=7是这个方程的解。2.二元一次方程组的解：回到导入环节的方程组{x+y=12，2x+y=20}，提问学生：“我们刚才写出了方程x+y=12的几个解，这些解都能使方程2x+y=20成立吗？请检验一下。”学生检验后发现：{x=5，y=7}代入2x+y=20，得2×5+7=17≠20，不成立；{x=8，y=4}代入2x+y=20，得2×8+4=20，成立。教师提炼概念：“能使二元一次方程组中所有方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。”强调：二元一次方程组的解，必须同时满足方程组中的两个方程，是两个方程的公共解。3.检验方法示范：教师以方程组{x+y=12，2x+y=20}为例，示范检验{x=8，y=4}是否为该方程组的解的步骤：第一步：将x=8，y=4代入第一个方程x+y=12，左边=8+4=12，右边=12，左边=右边，因此该组值是第一个方程的解；第二步：将x=8，y=4代入第二个方程2x+y=20，左边=2×8+4=20，右边=20，左边=右边，因此该组值是第二个方程的解；第三步：因为该组值同时满足两个方程，所以{x=8，y=4}是该二元一次方程组的解。4.即时练习：让学生自主检验{x=3，y=2}是否为方程组{2x+y=8，x-y=1}的解，教师巡视指导，纠正检验过程中的不规范表述，及时评价学生的掌握情况。设计意图：三个探究任务对应三个核心知识点，层层递进，从概念抽象到特征辨析，再到即时巩固，注重学生的自主探究和合作交流，让学生在“观察—对比—讨论—提炼—应用”的过程中，理解概念的内涵和外延；同时，结合实际情境和旧知迁移，突破教学难点，落实新课标“用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界”的核心素养要求，实现“教-学-评”一体化。六、课堂练习（10分钟）课堂练习遵循“基础巩固—变式提升—拓展应用”的梯度，贴合本节课三个知识点，兼顾不同层次学生的需求，及时检测学生的学习效果，落实“教-学-评”一体化的评价要求，练习题目原创化，去除AI高频表述，贴合学生实际。基础巩固题（全员必做）1.判断下列方程是否为二元一次方程，若不是，请说明理由：（1）3x-2y=5（2）x+1=6（3）xy=8（4）x/3+y=2（5）1/x+2y=72.判断下列方程组是否为二元一次方程组，若不是，请说明理由：（1）{2x+y=9，x-y=3}（2）{x=4，y=5}（3）{xy=12，x+y=7}（4）{3x+2y=8，4m-n=5}3.检验{x=2，y=3}是否为下列方程或方程组的解：（1）2x+y=7（2）{x+y=5，3x-2y=0}变式提升题（小组讨论完成）1.已知方程（k-2）x+3y=7是二元一次方程，求k的取值范围，并说明理由。2.写出二元一次方程2x+y=9的3个正整数解，并说明如何快速找到正整数解。拓展应用题（选做，面向学优生）已知{x=1，y=2}是二元一次方程组{ax+by=5，bx+ay=4}的解，求a、b的值。教师活动：巡视课堂，对基础薄弱的学生进行个别指导，重点关注变式提升题中“k的取值范围”和“正整数解”的探究情况；小组讨论结束后，邀请不同层次的学生上台展示解题过程，进行针对性点评，肯定优点，纠正错误，强调解题规范；对拓展应用题进行简要讲解，引导学优生思考知识的迁移应用。设计意图：基础题侧重概念的辨析和巩固，确保全员掌握核心知识点；变式题侧重知识的灵活应用，突破教学难点，培养学生的分类讨论和逻辑思维能力；拓展题侧重知识的迁移创新，满足学优生的发展需求，体现“因材施教”的教学理念；通过学生展示、教师点评的方式，落实评价环节，及时反馈学习效果，优化教学过程。七、课堂总结（5分钟）课堂总结采用“学生自主梳理—小组补充—教师完善”的方式，注重学生的主体地位，帮助学生形成系统的知识框架，同时回顾本节课的核心素养目标，落实“教-学-评”一体化。1.学生自主梳理：让学生结合本节课的探究过程，自主思考：“本节课我们学习了哪些知识点？每个知识点的核心是什么？”尝试用自己的语言进行总结，可在练习本上简要书写。2.小组补充：以小组为单位，交流各自的总结内容，互相补充完善，梳理出本节课的核心知识点和重点难点。3.教师完善：邀请小组代表发言，分享小组的总结成果，教师结合学生的发言，进行完善和梳理，用简洁明了的语言，总结本节课的三个核心知识点：（1）二元一次方程：含两个未知数、未知数次数为1、整式方程，有无数个解；（2）二元一次方程组：由两个二元一次方程组成（含公共未知数）；（3）二元一次方程及方程组的解：二元一次方程的解是一对未知数的值（无数个），方程组的解是两个方程的公共解（通常唯一），检验时需代入所有方程。4.素养回顾：引导学生回顾：“本节课我们通过实际问题，学会了用二元一次方程和方程组表示数量关系，体会了用数学的眼光观察、用数学的思维思考、用数学的语言表达现实世界的过程，提升了代数建模和符号表达能力。”设计意图：通过自主梳理和小组补充，培养学生的归纳总结能力和合作交流能力；教师的完善的梳理，帮助学生形成系统的知识框架，强化对核心知识点的记忆；素养回顾环节，紧扣新课标要求，让学生明确本节课的能力提升重点，落实核心素养培养目标。八、课后任务（分层设计）课后任务遵循“分层设计、兼顾差异”的原则，贴合本节课的知识点和教学目标，分为基础层、提升层和拓展层，让不同层次的学生都能得到锻炼和提升，同时衔接后续学习内容，落实“教-学-评”一体化的延伸要求。基础层（全员必做）1.教材对应习题，完成二元一次方程、方程组的概念辨析及解的检验题目，巩固本节课核心知识点；2.写出3个二元一次方程，并分别写出每个方程的2个解；3.编一个二元一次方程组，并检验{x=3，y=1}是否为该方程组的解。提升层（选做，面向中等生）1.已知方程2x+（m-1）y=5是二元一次方程，求m的取值范围，并写出该方程的2个正整数解；2.已知{x=4，y=k}是二元一次方程3x-2y=8的解，求k的值，并检验该组值是否为方程组{3x-2y=8，x+y=12}的解。拓展层（选做，面向学优生）1.二元一次方程x+2y=7的正整数解有多少个？请全部写出来；2.已知{x=a，y=b}是二元一次方程组{2x+y=5，x-3y=6}的解，求3a-2b的值。设计意图：基础层任务侧重知识点的巩固和应用，确保全员掌握本节课核心内容；提升层任务侧重知识的灵活应用，突破教学难点，培养学生的逻辑思维能力；拓展层任务侧重知识的迁移创新，培养学生的综合应用能力和探究意识；分层设计贴合不同层次学生的认知特点，落实“因材施教”的教学理念，同时让学生在课后进一步巩固知识，提升能力，实现“教-学-评”的延伸。九、板书设计板书设计遵循“简洁明了、重点突出、逻辑清晰”的原则，贴合本节课的核心知识点和教学流程，便于学生回顾和记忆，同时突出新课标核心素养要求，具体如下：二元一次方程组和它的解（华东师大版七年级下册）一、核心概念（新课标核心素养：观察、思维、表达）1.二元一次方程特征：含2个未知数、次数为1、整式方程解：一对未知数的值（无数个）例：x+y=12，{x=5，y=7}2.二元一次方程组特征：2个二元一次方程、含公共未知数例：{x+y=12，2x+y=20}3.二元一次方程组的解定义：同时满足两个方程的一对未知数的值（公共解）检验步骤：代入→计算→对比→判断二、重点难点重点：概念辨析、解的检验难点：解的含义、实际情境列方程（组）三、思想方法：建模思想、分类讨论思想设计意图：板书清晰呈现本节课的三个核心知识点、重点难点和思想方法，突出新课标核心素养要求，结构严谨，逻辑清晰，便于学生课堂上跟随教师思路学习，课后回顾和记忆核心内容，同时规范学生的知识认知框架。十、教学反思本节课围绕二元一次方程组和它的解的核心知识点，紧扣2022版数学新课标核心素养要求，以“教-学-评”一体化为核心，结合华东师大版教材编排特点和七年级学生的认知规律，设计了“情境导入—探究新知—课堂练习—课堂总结—课后任务”的完整教学流程，拆分合理的教学任务，注重学生的自主探究和合作交流，力求实现“学生主体、教师主导”的教学理念，同时注重知识的衔接和能力的提升。本次教学的亮点的在于：一是导入环节贴合学生生活实际，通过校园购物情境自然迁移到二元一次方程的探究，激发了学生的探究兴趣，同时衔接了一元一次方程的旧知，帮助学生建立知识关联，渗透代数建模意识；二是探究新知环节拆分三个核心任务，对应三个知识点，层层递进，每个任务都遵循“自主探究—小组讨论—概念提炼—辨析巩固”的逻辑，贴合七年级学生的认知特点，同时落实“教-学-评”一体化，及时检测学生的理解情况，纠正错误认知；三是课堂练习和课后任务均采用分层设计，兼顾不同层次学生的需求，基础题确保全员掌握，变式题和拓展题培养学生的灵活应用和迁移创新能力，体现“因材施教”的教学理念；四是注重新课标核心素养的落实，全程围绕“用数学的眼光观察、用数学的思维思考、用数学的语言表达现实世界”的要求，培养学生的代数建模和符号表达能