2026年高考数学圆锥曲线与三角函数问题解题技巧冲刺卷真题

2026年高考数学圆锥曲线与三角函数问题解题技巧冲刺卷真题考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________单选题（总共10题，每题2分，总分20分）1.已知点P在椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上，其离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，若点P到左准线的距离为4，则椭圆的短轴长为（）A.2B.4C.2$\sqrt{3}$D.4$\sqrt{3}$2.抛物线$y^2=2px$的焦点到准线的距离为3，则其焦点坐标为（）A.(1,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)3.函数$f(x)=2\sin(x+\frac{\pi}{3})$的最小正周期为（）A.$\pi$B.$2\pi$C.$\frac{\pi}{2}$D.$4\pi$4.在$\triangleABC$中，若$\sinA:\sinB:\sinC=3:4:5$，则$\cosA$的值为（）A.$\frac{3}{5}$B.$\frac{4}{5}$C.$-\frac{3}{5}$D.$-\frac{4}{5}$5.已知直线$l:ax+by=1$与椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$相切，则$a^2+b^2$的值为（）A.13B.15C.10D.126.函数$f(x)=\cos^2(x+\frac{\pi}{6})-\sin^2(x+\frac{\pi}{6})$的图像关于y轴对称，则x的取值集合为（）A.$\{k\pi,k\in\mathbb{Z}\}$B.$\{k\pi+\frac{\pi}{6},k\in\mathbb{Z}\}$C.$\{k\pi-\frac{\pi}{6},k\in\mathbb{Z}\}$D.$\{2k\pi,k\in\mathbb{Z}\}$7.双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的离心率为2，其渐近线方程为（）A.$y=\pm\frac{b}{a}x$B.$y=\pm\frac{a}{b}x$C.$y=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}x$D.$y=\pm\sqrt{3}x$8.已知$\cos(\alpha+\beta)=\frac{1}{2}$，$\cos(\alpha-\beta)=\frac{3}{2}$，则$\tan\alpha\tan\beta$的值为（）A.2B.-2C.3D.-39.椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$的焦点到长轴上某点的距离为2，则该点的横坐标为（）A.2B.-2C.3D.-310.函数$f(x)=\sin(x+\frac{\pi}{4})\cos(x+\frac{\pi}{4})$的最大值为（）A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$C.1D.$\sqrt{2}$填空题（总共10题，每题2分，总分20分）11.椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$的焦点坐标为__________。12.抛物线$y^2=8x$的焦点到直线$x=-2$的距离为__________。13.函数$f(x)=3\cos(2x+\frac{\pi}{3})$的图像向右平移$\frac{\pi}{6}$后的解析式为__________。14.在$\triangleABC$中，若$\cosA=\frac{1}{2}$，$\cosB=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$\cosC$的值为__________。15.已知点P在椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$上，其离心率为$\frac{3}{5}$，则点P到右准线的距离为__________。16.双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$的焦点到渐近线的距离为__________。17.函数$f(x)=\sin(x-\frac{\pi}{6})\cos(x+\frac{\pi}{6})$的最小正周期为__________。18.已知$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，$\cos\beta=\frac{12}{13}$，且$\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})$，$\beta\in(0,\pi)$，则$\sin(\alpha+\beta)$的值为__________。19.椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的离心率为$\frac{1}{2}$，其短轴长为4，则长轴长为__________。20.函数$f(x)=\cos^2(x+\frac{\pi}{4})-\sin^2(x+\frac{\pi}{4})$的图像关于x轴对称，则x的取值集合为__________。判断题（总共10题，每题2分，总分20分）21.椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的离心率e满足$0<e<1$。22.抛物线$y^2=2px$的焦点坐标为$(\frac{p}{2},0)$。23.函数$f(x)=\sin(x+\frac{\pi}{2})$的最小正周期为$2\pi$。24.在$\triangleABC$中，若$\sinA:\sinB:\sinC=1:2:3$，则$\cosA=\frac{1}{2}$。25.双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$的离心率e满足$e>1$。26.函数$f(x)=\cos(2x+\pi)$的图像与函数$f(x)=\sin(2x)$的图像相同。27.椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$的焦点到长轴上某点的距离为2，则该点的纵坐标为0。28.函数$f(x)=\sin(x+\frac{\pi}{4})\cos(x+\frac{\pi}{4})$的最大值为$\frac{1}{2}$。29.双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$的焦点到渐近线的距离为4。30.函数$f(x)=\cos^2(x+\frac{\pi}{6})-\sin^2(x+\frac{\pi}{6})$的图像关于y轴对称。简答题（总共3题，每题4分，总分12分）31.已知点P在椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$上，其离心率为$\frac{5}{4}$，求点P到左准线的距离。32.函数$f(x)=2\sin(x+\frac{\pi}{3})\cos(x+\frac{\pi}{3})$的最小正周期为多少？并求其最大值。33.在$\triangleABC$中，若$\sinA:\sinB:\sinC=3:4:5$，求$\cosA+\cosB+\cosC$的值。应用题（总共2题，每题9分，总分18分）34.已知抛物线$y^2=2px$的焦点到直线$x+y-1=0$的距离为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，求抛物线的方程。35.在椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$上，求到直线$x-y+6=0$的距离最短的点的坐标。【不要加入标题，不要加入考试时间，不要加入总分数，试卷末尾附标准答案及解析】标准答案及解析单选题1.C解析：椭圆离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，准线距离$d=\frac{a^2}{c}=4$，解得$a=2\sqrt{3}$，短轴长$2b=2\sqrt{a^2-c^2}=4$。2.B解析：焦点到准线距离为$\frac{p}{2}=3$，则$p=6$，焦点坐标为$(3,0)$。3.A解析：周期$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{2}=\pi$。4.D解析：由正弦定理$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=k$，得$a=3k$，$b=4k$，$c=5k$，由余弦定理$\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=-\frac{4}{5}$。5.A解析：直线与椭圆相切，联立方程$\begin{cases}ax+by=1\\\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1\end{cases}$，判别式$\Delta=0$，得$a^2b^2=36-9a^2=4b^2$，解得$a^2+b^2=13$。6.D解析：$f(x)=\cos(2x+\frac{\pi}{3})$，图像关于y轴对称需$2x+\frac{\pi}{3}=k\pi$，解得$x=\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{6}$。7.C解析：离心率$e=\frac{c}{a}=2$，渐近线方程$y=\pm\frac{b}{a}x=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}x$。8.A解析：$\cos(\alpha+\beta)=\frac{1}{2}$，$\cos(\alpha-\beta)=\frac{3}{2}$，平方相加得$2+2\cos\alpha\cos\beta+2\sin\alpha\sin\beta=\frac{5}{2}$，化简得$\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\frac{1}{4}$，即$\cos(\alpha-\beta)=\frac{1}{4}$，解得$\tan\alpha\tan\beta=2$。9.A解析：焦点$(\pmc,0)$，$c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{25-16}=3$，设长轴上点$(x,0)$，$|x\pm3|=2$，解得$x=2$。10.C解析：$f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{2})=\cos(2x)$，最大值为1。填空题11.$(\pm\sqrt{7},0)$解析：$c=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$，焦点坐标为$(\pm\sqrt{7},0)$。12.1解析：焦点$(2,0)$，到直线$x=-2$的距离为$2-(-2)=4$。13.$3\cos(2x)$解析：平移后$f(x)=3\cos[2(x-\frac{\pi}{6})]=3\cos(2x)$。14.0解析：$\cosA=\frac{1}{2}$，$\cosB=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\cosC=-\cos(A+B)=-\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{2}=0$。15.4解析：$e=\frac{3}{5}$，准线距离$d=\frac{a^2}{c}=\frac{25}{3}=5$，点P到右准线距离为$5-4=1$。16.4解析：焦点$(\pm5,0)$，渐近线$y=\pm\frac{4}{3}x$，距离$d=\frac{5\cdot\frac{4}{3}}{\sqrt{1+(\frac{4}{3})^2}}=4$。17.$\pi$解析：$f(x)=\sin(x-\frac{\pi}{6})\cos(x+\frac{\pi}{6})=\frac{1}{2}(\sin(2x))$，周期$T=\pi$。18.$\frac{33}{65}$解析：$\cos\beta=\frac{12}{13}$，$\sin\beta=\frac{5}{13}$，$\sin(\alpha+\beta)=\frac{3}{5}\cdot\frac{12}{13}+\frac{4}{5}\cdot\frac{5}{13}=\frac{33}{65}$。19.8解析：$e=\frac{1}{2}$，$b=4$，$a=2b=8$。20.$\{k\pi+\frac{\pi}{4},k\in\mathbb{Z}\}$解析：$f(x)=\cos(2x+\frac{\pi}{2})=-\sin(2x)$，图像关于x轴对称需$2x=k\pi$，解得$x=\frac{k\pi}{2}$。判断题21.√解析：椭圆离心率$0<e<1$。22.×解析：焦点坐标为$(\frac{p}{2},0)$。23.√解析：周期$T=\frac{2\pi}{1}=2\pi$。24.×解析：由正弦定理$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=k$，得$a=3k$，$b=4k$，$c=5k$，由余弦定理$\cosA=\frac{4^2+5^2-9^2}{2\cdot4\cdot5}=-\frac{1}{2}$。25.√解析：双曲线离心率$e>1$。26.×解析：$f(x)=\cos(2x+\pi)=-\cos(2x)\neq\sin(2x)$。27.√解析：焦点$(\pm3,0)$，到长轴上点$(2,0)$的距离为$|2\pm3|=1$。28.√解析：$f(x)=\sin(2x)\cos(2x)=\frac{1}{2}\sin(4x)$，最大值为$\frac{1}{2}$。29.×解析：焦点$(\pm5,0)$，渐近线$y=\pm\frac{4}{3}x$，距离$d=\frac{5\cdot\frac{4}{3}}{\sqrt{1+(\frac{4}{3})^2}}=\frac{20}{5}=4$。30.√解析：$f(x)=\cos(2x+\frac{\pi}{3})$，图像关于y轴对称需$2x+\frac{\pi}{3}=k\pi$，解得$x=\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{6}$。简答题31.解：椭圆离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{5}{4}$，准线距离$d=\frac{a^2}{c}=\frac{16}{\frac{5}{4}}=\frac{64}{5}$，点P到左准线距离为$\frac{64}{5}-4=\frac{44}{5}$。32.解：$f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\cos(2x+\frac{\pi}{3})=\frac{1}{2}\sin(4x+\frac{2\pi}{3})$，周期$T=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$，最大值为$\frac{1}{2}$。33.解：由正弦定理$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=k$，得$a=3k$，$b=4k$，$c=5k$，由余弦定理$\cosA=\frac{4^2+5^2-9^2}{2\cdot4\cdot5}=-\frac{1}{2}$，$\cosB=\frac{3^2+5^2-4^2}{2\cdot3\cdot5}=\frac{11}{30}$，$\cosC=-\cos(A+B)=-\frac{1}{2}\cdot\frac{11}{30}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac