2026届北京市海淀区高三上学期期中练习数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1北京市海淀区2026届高三上学期期中练习数学试题一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以阴影部分表示的集合为，故选：A.2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（）A. B. C. D.4【答案】D【解析】由题意得，则.故选：D.3.已知向量，在正方形网格上的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】A【解析】建立平面直角坐标系可得，，，所以，所以.故选：A.4.设，且，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于A：，则，则，故A错误；对于B：，所以，B错误：对于C：因为，所以，所以，C错误；对于D，由题知，又因为，则，即，故D正确，故选：D.5.函数（）A.有最大值，也有最小值 B.没有最大值，有最小值C.有最大值，没有最小值 D.没有最大值，也没有最小值【答案】B【解析】因为函数，设，当函数单调递减，当函数单调递增，所以当时，函数取最小值，函数无最大值.故选：B.6.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（）A.是偶函数 B.C.是奇函数 D.【答案】B【解析】函数的图象向左平移个单位长度，得到函数，则是奇函数，A选项错误.，B选项正确.为偶函数，C选项错误.，D选项错误.故选：B.7.函数的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，定义域为，关于原点对称，当时，则，且，显然图中没有符合的，当时，，其既不恒等于，也不恒等于，则其不具有奇偶性，即为非奇非偶函数，故AB错误；当时，取的情况，此时，则，则CD图象不适合，则只考虑的情况，当时，取的情况，此时均在上单调递减，则在上单调递减，故D错误，从极限角度考虑则当，且时，此时，则，故D错误.故选：C.8.已知角，是象限角，则“存在，使得”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因角，是象限角，且，正切函数的最小正周期为，且为奇函数.所以，即.所以充分性成立.反过来，当，即，根据正切函数的性质可得，存在，使得，即.所以必要性成立.所以“存在，使得”是“”的充要条件.故选：C.9.我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求面积的方法，他把这种方法称为“三斜求积术”．如果把这种方法写成公式，就是，其中，，是三角形的三边，S是三角形的面积．若，则（）A.当时， B.当时，C.当时， D.当时，【答案】B【解析】当时，，再由，且.所以,当且仅当，即或时等号成立，所以时，，故A错误，C错误；当时，，再由，且.所以，当且仅当时，即等号成立，故B正确，D错误.故选：B.10.已知数列满足，，为的前项和，则下列结论错误的是（）A.存在，使得成立B.存在，使得且对任意成立C.对任意，存在，使得成立D.对任意奇数，存在和，使得成立【答案】D【解析】由题设是首项为1，公比为2的等比数列，则，且，对于A：若，，，此时，对；对于B：存在数列，使得对任意，都有且成立，此条件等价于且对任意成立，构造数列，该数列满足，，此时，，满足条件，故B正确；对于C：当时，成立；当时，通过选择前项符号为正且第项符号为负，则，故C正确；对于D：当时，，当时，（其中）.由于，令括号内为，因为为奇数，后续项为偶数，所以必为奇数，则为一个2倍的奇数，即该数能被2整除但不能被4整除.所以，其形式为型奇数，因此，（）不可能等于型的奇数，例如，又，故不存在使得，所以D错误.故选：D.二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．11.函数的定义域是______________．【答案】【解析】由题意得，解得.故答案为：.12.已知等差数列中，，且，则的公差____________．【答案】2【解析】设等差数列的公差为，则，解得.故答案为：2.13.若向量，，则__________；__________．【答案】①.；②..【解析】因，，所以.又，，所以，且，所以.故答案为；.14.设函数若存在点在函数的图象上，则的一个取值为____________，的最小值为____________．【答案】①.②.【解析】当时，将点代入，得到，解得，则的一个取值为，当时，满足，则，由题意得此方程在上有解，得到，解得，则的最小值为.故答案为：1；0.15.某社区内有一扇形草坪如图，扇形的半径为60米，．甲从圆心出发，沿以每秒1米的速度向慢走，同时乙从出发，沿以每秒米的速度向慢跑．若经过秒，甲和乙所在位置分别为和，记的长度为米．给出下列四个结论：①当时，；②函数在区间上单调递增；③方程在区间上恰有一个根；④若函数在处取得最小值，则．其中所有正确结论的序号是______________．【答案】①②④【解析】由题意得，.在中，，根据余弦定理，可得.结论①：当时，，故，即，所以①正确；结论②：设，则.当时，，故，而，，故，即在上单调递增，所以在上也单调递增，所以②正确；结论③：若，则，化简可得.设，则.当时，，故，故，故在单调递增，且，所以在上无零点，即方程在区间上无根，所以③错误；结论④：因为，其中，设，，则，当，故，故，故当时，当，故，故，故，故当时，故在上单调递增，而，，故存在，使得，且当时，，当时，，故在取最小值，即在取最小值，其中，故④正确.故答案为：①②④.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）若，且是函数的一个零点，直线是曲线的一条对称轴，求的值．解：（1）因为，所以，令，则，所以函数的单调递增区间为；（2）因为是函数的一个零点，所以令，而，则，可得，解得，因为直线是曲线的一条对称轴，所以，解得，因为，所以令，得到，故.17.已知数列的前项和为，且．（1）求的值；（2）求的通项公式；（3）若的各项都为正数，记，求．解：（1）对于，令，可得，解得或.（2）当时，，此时，则，当时，则，可得，得到，即，则，化简得，可得是以为首项，为公比的等比数列，故.（3）因为的各项都为正数，所以，则.18.已知函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得唯一确定，求：（1）曲线在点处的切线方程；（2）函数的单调区间．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．解：（1）选择条件①，可得，此时无法使得唯一确定，故排除，选择条件②，可得，解得，选择条件③，因为，所以，可得，解得，故选择条件②或条件③可使得唯一确定，且在两种情况下一致，故，，定义域为，而，，则切线方程为.（2）由已知得，，令，，令，，则在上单调递减，在上单调递增，综上，单调递增区间为，单调递减区间为.19.某城市公园计划将园内三角形区域（如图）．建造为多功能区，其中米，米，．（1）求的长度；（2）公园拟在边上设置休息点与，不重合．，同时将，，修建为三种不同功能的AI智慧步道，其每米造价分别为0.1万元，0.2万元，0.3万元．记，三段AI智慧步道的造价总和记为（单位：万元）．①将表示为的函数；②若不超过48万元，求的最大值．只需写出结论．解：（1）在三角形中，由余弦定理，代入，得到，解得．（2）①，则因为，所以，在三角形中，由正弦定理，所以，，又，所以，其中．②若，即，即，即因为，因此只需，化简得，则，当，则，则，解得，再考虑到，其中，，故的最大值为．20.已知函数有两个极值点.记.（1）若点在直线上，求的值；（2）若函数的图象上存在点，使得是以为顶点的等腰三角形，求的取值范围．解：（1），得，令，即，∵函数有两个极值点∴方程有两个不等的实根，则，∴解方程得．因为点在直线上，所以，即，解得．（2）由（1）可知，其中，则，，所以，，设，因为是以为顶点的等腰三角形，所以，则，展开并化简可得：.即所求问题转化为：当时，有实数解，求的范围.令，，令，所以，其中，当时，，单调递增，当时，，单调递减，因此，当时，有极大值，也是最大值，且，当时，，，，，当时，，，，，要使有实数解，则，因为，所以，解得.因此，的取值范围是．21.给定正整数，已知是一个行列的数表，其中．若数表同时满足如下三个性质，则称数表具有性质：①对任意，有；②对任意，且，有；③对任意，有．（1）判断数表是否具有性质，并说明理由；（2）若数表具有性质，求的最小值；（3）若数表具有性质，记，求的最大值（表示集合中最大的数，表示集合中的元素个数）．解：（1）数表不具有性质，因为取，则有，不满足条件③．（2）由①②知数表中的元素总和为．设，又由③，有，解得．又当时，可构造数表具有性质，所以的最小值为5．（3）当时，由（2）知，所以的最大值为．当时，因为，所以．若，则，矛盾．所以．所以．当时，若，则，此时，矛盾．所以．又可构造数表具有性质，且，所以的最大值为7．当时，，则当时，所有数和为，若时，，则所有数之和，矛盾舍去，所以，此时，若，则，所以当时，最大值为，综上所述，最大值为.北京市海淀区2026届高三上学期期中练习数学试题一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以阴影部分表示的集合为，故选：A.2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（）A. B. C. D.4【答案】D【解析】由题意得，则.故选：D.3.已知向量，在正方形网格上的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】A【解析】建立平面直角坐标系可得，，，所以，所以.故选：A.4.设，且，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于A：，则，则，故A错误；对于B：，所以，B错误：对于C：因为，所以，所以，C错误；对于D，由题知，又因为，则，即，故D正确，故选：D.5.函数（）A.有最大值，也有最小值 B.没有最大值，有最小值C.有最大值，没有最小值 D.没有最大值，也没有最小值【答案】B【解析】因为函数，设，当函数单调递减，当函数单调递增，所以当时，函数取最小值，函数无最大值.故选：B.6.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（）A.是偶函数 B.C.是奇函数 D.【答案】B【解析】函数的图象向左平移个单位长度，得到函数，则是奇函数，A选项错误.，B选项正确.为偶函数，C选项错误.，D选项错误.故选：B.7.函数的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，定义域为，关于原点对称，当时，则，且，显然图中没有符合的，当时，，其既不恒等于，也不恒等于，则其不具有奇偶性，即为非奇非偶函数，故AB错误；当时，取的情况，此时，则，则CD图象不适合，则只考虑的情况，当时，取的情况，此时均在上单调递减，则在上单调递减，故D错误，从极限角度考虑则当，且时，此时，则，故D错误.故选：C.8.已知角，是象限角，则“存在，使得”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因角，是象限角，且，正切函数的最小正周期为，且为奇函数.所以，即.所以充分性成立.反过来，当，即，根据正切函数的性质可得，存在，使得，即.所以必要性成立.所以“存在，使得”是“”的充要条件.故选：C.9.我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求面积的方法，他把这种方法称为“三斜求积术”．如果把这种方法写成公式，就是，其中，，是三角形的三边，S是三角形的面积．若，则（）A.当时， B.当时，C.当时， D.当时，【答案】B【解析】当时，，再由，且.所以,当且仅当，即或时等号成立，所以时，，故A错误，C错误；当时，，再由，且.所以，当且仅当时，即等号成立，故B正确，D错误.故选：B.10.已知数列满足，，为的前项和，则下列结论错误的是（）A.存在，使得成立B.存在，使得且对任意成立C.对任意，存在，使得成立D.对任意奇数，存在和，使得成立【答案】D【解析】由题设是首项为1，公比为2的等比数列，则，且，对于A：若，，，此时，对；对于B：存在数列，使得对任意，都有且成立，此条件等价于且对任意成立，构造数列，该数列满足，，此时，，满足条件，故B正确；对于C：当时，成立；当时，通过选择前项符号为正且第项符号为负，则，故C正确；对于D：当时，，当时，（其中）.由于，令括号内为，因为为奇数，后续项为偶数，所以必为奇数，则为一个2倍的奇数，即该数能被2整除但不能被4整除.所以，其形式为型奇数，因此，（）不可能等于型的奇数，例如，又，故不存在使得，所以D错误.故选：D.二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．11.函数的定义域是______________．【答案】【解析】由题意得，解得.故答案为：.12.已知等差数列中，，且，则的公差____________．【答案】2【解析】设等差数列的公差为，则，解得.故答案为：2.13.若向量，，则__________；__________．【答案】①.；②..【解析】因，，所以.又，，所以，且，所以.故答案为；.14.设函数若存在点在函数的图象上，则的一个取值为____________，的最小值为____________．【答案】①.②.【解析】当时，将点代入，得到，解得，则的一个取值为，当时，满足，则，由题意得此方程在上有解，得到，解得，则的最小值为.故答案为：1；0.15.某社区内有一扇形草坪如图，扇形的半径为60米，．甲从圆心出发，沿以每秒1米的速度向慢走，同时乙从出发，沿以每秒米的速度向慢跑．若经过秒，甲和乙所在位置分别为和，记的长度为米．给出下列四个结论：①当时，；②函数在区间上单调递增；③方程在区间上恰有一个根；④若函数在处取得最小值，则．其中所有正确结论的序号是______________．【答案】①②④【解析】由题意得，.在中，，根据余弦定理，可得.结论①：当时，，故，即，所以①正确；结论②：设，则.当时，，故，而，，故，即在上单调递增，所以在上也单调递增，所以②正确；结论③：若，则，化简可得.设，则.当时，，故，故，故在单调递增，且，所以在上无零点，即方程在区间上无根，所以③错误；结论④：因为，其中，设，，则，当，故，故，故当时，当，故，故，故，故当时，故在上单调递增，而，，故存在，使得，且当时，，当时，，故在取最小值，即在取最小值，其中，故④正确.故答案为：①②④.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）若，且是函数的一个零点，直线是曲线的一条对称轴，求的值．解：（1）因为，所以，令，则，所以函数的单调递增区间为；（2）因为是函数的一个零点，所以令，而，则，可得，解得，因为直线是曲线的一条对称轴，所以，解得，因为，所以令，得到，故.17.已知数列的前项和为，且．（1）求的值；（2）求的通项公式；（3）若的各项都为正数，记，求．解：（1）对于，令，可得，解得或.（2）当时，，此时，则，当时，则，可得，得到，即，则，化简得，可得是以为首项，为公比的等比数列，故.（3）因为的各项都为正数，所以，则.18.已知函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得唯一确定，求：（1）曲线在点处的切线方程；（2）函数的单调区间．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．解：（1）选择条件①，可得，此时无法使得唯一确定，故排除，选择条件②，可得，解得，选择条件③，因为，所以，可得，解得，故选择条件②或条件③可使得唯一确定，且在两种情况下一致，故，，定义域为，而，，则切线方程为.（2）由已知得，，令，，令，，则在上单调递减，在上单调递增，综上，单调递增区间为，单调递减区间为.19.某城市公园计划将园内三角形区域（如图）．建造为多功能区，其中米，米，．（1）求的长度；（2）公园拟在边上设置休息点与，不重合．，同时将，，修建为三种不同功能的AI智慧步道，其每米造价分别为0.1万元，0.2万元，0.3万元．记，三段AI智慧步道的造价总和记为（单位：万元）．①将表示为的函数；②若