统计学原理习题及答案

统计学原理习题及答案一、单项选择题（每题4分，共40分）1.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则P(A.λ  B.  C.λ  D.1−【答案】B【解析】泊松分布概率质量函数为P(X=k)2.若样本,…,独立同分布于N(A.  B./n  C.σ/  D.【答案】B【解析】由方差性质Var(3.在假设检验中，若显著性水平α增大，则A.第一类错误概率减小  B.第二类错误概率减小C.检验功效减小  D.临界值变大【答案】B【解析】α增大意味着拒绝域扩大，更容易拒绝原假设，从而第二类错误（取伪）概率β减小，功效1−4.设X~t(A.F(1,10)  B.【答案】A【解析】若X~t(5.对线性回归模型=++，若~NA.N(,C.t(n【答案】A【解析】经典线性回归理论给出~N(,6.设总体X的矩母函数为(tA.2  B.4  C.8  D.16【答案】B【解析】(t)=7.若随机变量X的密度函数为f(A.0  B.1  C.不存在  D.π【答案】C【解析】柯西分布期望积分dx8.在贝叶斯估计中，若先验分布为共轭先验，则后验分布与先验分布A.属于同一分布族  B.独立  C.正交  D.相关系数为0【答案】A【解析】共轭先验定义即后验与先验同族。9.设,…,为来自均匀分布U(A.X¯  B.max  C.min  D.【答案】B【解析】似然函数L(θ)10.若随机向量(X,Y)服从二维正态分布，则A.协方差为0  B.相关系数为0  C.联合密度可分离  D.边缘密度相同【答案】B【解析】二维正态中协方差为0等价于相关系数为0，等价于独立。二、填空题（每空5分，共30分）11.设X~Bin(n,【解析】二项分布矩母函数定义直接展开。12.若样本方差=(−X¯为总体方差的无偏估计，则E【解析】无偏性定义。13.设X~N(0,【解析】标准正态双侧95%分位。14.在线性回归中，决定系数的取值范围是[0,【解析】定义即SSReg/SST，介于0与1之间。15.若X~(k)，则其期望为【解析】卡方分布性质。16.设随机变量X的密度为f(x)=λ【解析】S(三、计算题（共50分）17.（12分）设,…,独立同分布于指数分布Exp((1)求λ的矩估计；(2)求λ的极大似然估计；(3)比较两者的均方误差（MSE）何者更小（给出理由即可）。【解答】(1)总体一阶矩EX=1=(2)似然函数L对数似然ℓ令导数为零：−∑=故两者数值相同。(3)由于二者相等，MSE相同。但注意是充分统计量∑的函数，由Rao-Blackwell定理，任何无偏估计的改进版都不会比它更差，因此具有最小方差无偏性（实际上此处有偏，但渐近有效）。18.（12分）设总体X的密度为f(1)求θ的极大似然估计θ^(2)求E((3)构造一个无偏估计。【解答】(1)似然L显然L(θ)随θθ(2)先求max的分布。对0≤P密度为(于是E有偏。(3)令θ~=max19.（13分）某工厂生产螺丝钉，历史标准差σ=1.2mm。现随机抽取n=(1)在显著性水平α=(2)求μ的95%置信区间；(3)若要求估计误差不超过0.3mm，求所需最小样本量（仍取α=【解答】(1)检验:μ=25检验统计量Z临界值±1.96，|Z|(2)置信区间x即[24.3296(3)误差E=n取整得n=20.（13分）考虑简单线性回归模型=已知n=10，∑=55，∑=75，(1)求最小二乘估计,；(2)求的无偏估计；(3)检验:=0对:≠(4)计算决定系数。【解答】(1)====(2)=SSRes=(3)标准误SEt统计量t双侧(8)=2.306，(4)=四、综合应用题（共30分）21.（15分）某电商平台想评估新版页面（B）是否比旧版（A）提升转化率。随机将1000名访客均分两组，A组500人中有75人下单，B组500人中有95人下单。(1)建立假设检验，判断B是否显著优于A（α=(2)求两组转化率差异的95%置信区间；(3)若希望以80%功效检测到真实差异5个百分点，计算所需样本量（取单侧α=【解答】记,为真实转化率。(1):≤，:样本比例=0.15，=0.19，合并比例Z统计量Z单侧临界值1.645，Z>1.645，拒绝(2)差异的95%置信区间（Wald法）−注意单侧检验后仍可报告双侧区间，包含0，与单侧结论不冲突，因单侧检验仅关注右侧。(3)功效样本量：取=0.15，=0.20，效应正态近似下单侧检验n其中p¯=(+)代入得n每组需约987人，总1974人。22.（15分）设随机变量X的密度为f(1)求θ的充分统计量；(2)求θ的极大似然估计θ^(3)计算Fisher信息量