91.解析几何中的非对称计算-2026高考数学一轮常考专题

.解析几何中的非对称结构与应用一．基本原理在一些定点、定值、定线问题中，还常出现需要证明类似为定值的情形，通过直线代换可得：，但此时式子并不能完全整理为韦达定理的形式，这种式子一般称为“非对称韦达定理”．或者在处理斜率比值的时候：还有诸如线段的比例关系会得到：或者的结构.（凌点数学）我们明明求了韦达定理却无法代入，这时我们就需要通过所求得的韦达定理找到和之间的关系，将其中一个替换，常用手段是把乘法的替换成加法．这样的非对称形式，即韦达定理无法直接代入，可以通过下面的方法解决：（1）利用关系式,将问题转化韦达定理求解.（2）韦达定理构造互化公式，先局部互化，然后可整理成对称型.具体办法之一为联立方程后得到韦达定理：代入之后进行代换消元解题.下面通过例题来分析二．典例分析例1.（2023年新高考2卷）已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．（1）求的方程；（2）记的左、右顶点分别为，，过点的直线与的左支交于两点，在第二象限，直线与交于点．证明:点在定直线上.解析：（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知，则由可得，，双曲线方程为.（2）（方法1）消留由（1）可得，设，显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，与联立可得，且，则，

直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得：，由可得，即，据此可得点在定直线上运动.（方法2）消留记过点的直线为.当与轴垂直时,易知点,.当直线与轴不垂直时,设点,,直线.将代人,得.依题意,得 设，即即①.直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得：即将①代入式得,即，据此可得点在定直线上运动.例2．已知点F为椭圆的右焦点，A，B分别为其左、右顶点，过F作直线l与椭圆交于M，N两点(不与A，B重合)，记直线AM与BN的斜率分别为证明为定值．解析：方法1.先联，消x得，易知△>0，则．，代入目标信息得，稍作整理，即可得，为定值，得证．若看不出两根之和与两根之积的关系怎么办呢？我们不妨用待定一下系数，设，∴，完毕，实质上，利用上述待定系数法我们可以进一步解决的情形.方法2.显然先考虑直线l斜率不存在时的情形，此时，，或，，对应为或，，此时均有，为定值．当直线l斜率存在时，不妨就正设直线，联立，消得易知△＞0，则设，即，解得，即则，得证．例2.（2018年重庆预赛）设椭圆的左、右顶点为,过右焦点作非水平直线与椭圆交于两点,记直线的斜率分别为,试证:为定值,并求此定值(用的函数表示).证明：设，代入椭圆方程得，设,则，.两式相除得,.由题意知,.从而..因为，所以.可以看到，椭圆中的蝴蝶构型在证明过程中会出现非对称韦达结构，所谓蝴蝶定理，指的是：分别为椭圆的左、右顶点，为轴上一定点，过直线交椭圆于两点，连接，那么.例4.已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同,椭圆的离心率为.（1）求椭圆方程;（2）若直线交椭圆于、两点,交轴于点.（i）求三角形面积的最大值(其中为坐标原点);（ii）若,求实数的取值范围.解析：（1）由，可得，故，设椭圆．又抛物线的焦点，即，∴椭圆．（2）（ⅰ）当且仅当，，时，等号成立，此时面积最大为．（ⅱ），，，，，又，．下面我们将会看到，在很多定直线问题中也会出现非对称韦达定理的结构.例5．已知椭圆的离心率为，点，分别为的上下顶点，点为的四等分点．（1）求椭圆的方程；（2）若过点的直线与交于异于，的，两点，且直线，交于点，证明：点在定直线上．解析：（1）由题意可知，，因，，且为的四等分点，所以，所以，又知，所以由，解得，，故椭圆的方程为．（2）由题意可知，直线的斜率存在，设直线方程为，，．由，得，所以，．所以．由（1）可知，，，所以，所以的方程为，同理可知的方程为，将两直线方程联立方程组可知，，故点在定直线上．三．习题演练1．已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6.（1）求点的轨迹的方程.（2）已知点，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，求证：当点变化时，点恒在一条定直线上.【详解】（1）因为为的重心，且边上的两条中线长度之和为6，所以,故由椭圆的定义可知的轨迹是以为焦点的椭圆（不包括长轴的端点），且，所以，所以的轨迹的方程为；（2）设直线的方程为：，，联立方程得：，则，所以，又直线的方程为：，又直线的方程为：，联立方程得：，把代入上式得：，所以当点运动时，点恒在定直线上.2．已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）若过定点的直线交椭圆于不同的两点､(点在点､之间)，且满足，求的取值范围.【详解】（1）由题意可知：，解得：椭圆的标准方程为：．（2）①当直线斜率不存在，方程为，则，.②当直线斜率存在时，设直线方程为，联立

得：.由得：.设，，则，，又，，，则，由于，所以，解得：,又，综上所述：的取值范围为.3.已知双曲线C:过点,且渐近线方程为.(1)求双曲线的方程;(2)如图,过点的直线1交双曲线C于点M、N.直线MA、NA分别交直线于点、,求的值.【详解】（1）∵双曲线C的渐近线方程为，则可设双曲线C的方程为，代入点，即，故双曲线C的方程为.（2）由双曲线C的方程为的方程可得，由题意