平面向量的数量积讲义-高三数学一轮复习

①消去律不成立。即：ab=ac£b=c.•)出=."2+乂乃

结论：★★★★

a=6

（1）两向量垂直：£=（x”yjE=（x”2）

ah=acoa•,-<?)=On，[y

al(b-c)ciA.b<=>ab=.丫仃2+尸1>2=0

②结合律不成立。（因“与＜：不一定共线）(2)求模：

若£=(.”)，则/-=(?=£.£=/+./,故£=Jx2+),2.

例I,求证：（1）（£+6丫=）+%方+方，（完全平方式）若Z=而一=(X2-X1,y2—J,则W卜Ml=7(-*2-^|)：+(>,2->,!)2

(3)求夹角：

(2)(a+5).(a-6)=J(平方差公式)

设心〃是非零向量，"=(*1，>|)石=(工2，>2)，。为夹角。

二、平面向量数量积的坐标表示、

COS0=A£.=_1七十吁2

1.数量积的坐标表示：WW-；1&2+

fl=（A,y）.^=（x,yj）,a'^为非零向量

112(4)求投影：

£在5方向上的投影为：/卜（《。=产卜1行=背

\'a=xj+yj,b=xj+y2j

..ab=（x,i+yj）（x2i+y2j）

6在“方向上的投影为：Wcos〃书僦喟

规律：求〃在/；方向上的投影不必求同，只需求w即可；求/；在“方向

卜的投影不必求忖.只需求忖即可.★★★

例.在“WC中，BC=5,AC=8.C=-,求BC'C/LA抽B孚CV65D军

3

题型一：单位向量有关问题(与一同向，与，;反向，与“共线，与

解析：工在坂方向上的投影为：问COS0=HMab_ab

。垂直)★★★丽用

例，已知占=(5.4),6=(3,2),则与国一36平行的单位向量为()._2x(-4)+3x713765

_8+7f=砺-F

/

XI75

A.c例。已知B|=6，M|=3,1/；=-12,则向量)在E方向上的投影为

/V5

XI

()

A.-48.4C.-2D.2

解析:2a-3b=(1,2),与海-36平行的单位向量为士专(1,2)。

解析：T

规律：★★

注意：与［同向的单位向量为:3=白，与1共线的单位向量为：3=±高。

高夹角为锐角u>〃>0ri2>工九(2>0,日因》不同向)

高夹角为钝角o£*<0血工-%(2>0,即J.b不反向)

题型二：平行与垂直向量。

★12.；殳向量q、%满足：同=2,同=1,e-e：的夹角是60.

例1,已知向量£=(1,1),5=(2/),若1+5与平行,则x=()

A-2BOClD2若漏+W与4+W的夹角为钝角，则.的范围是

例2,已知平面向量£=(1,-3)/=(4,-2),若£与/1々一行垂直，则a=

()

()A-lB1C-2D2A氏(-7,-孚)U(-年一)

题型三：数量积的运算：求模、求夹角、求向量的投影。C.|_7._蚂Z).(-co.-7)lJ(-1.-H»)

222—

例，已知向量£=(2,3)/=(-4,7),则£在B方向上的投影为()

X、y轴.建立直角坐标系.

题型四：求平面向量的数量积的三种方法

IA(0,0),fi(2.0),D(l,l)

求平面向量的数量积通常有三种方法：BA-AD=(-2,0)-(IJ)=-2,

方法一：（直接求）。当要求数量积的两向量的模长和夹角都已知

或易求时，可以直接求数量积。

例2。在MBC中，ZBAC=60*8=2,AC=1,E、F为边BC的三等

方法二：（基向量法）先表示，后计算。当要求数量积的两向量的

模长和夹角未知，而己知另外两向量的模长和夹角时，可以取已分点，则亚•市:=<）

知两向量为基向量，先把未知向量用已知向量表示出来，后计算。

5„5„1（）15

A-B-C—D—

3498

方法三：（坐标法）建立直角坐标系，用坐标运算。当已知图形有

两个互相垂直的边时，可先建立直角坐标系。分析：而，乔的模长和夹角都是未知的,

直接求.又不能建立直角坐标系.故只能“先表示，后计算二

例1.等腰直用三角形AABC中，D是斜边BC的中点，若AB=2,则

BAAD=｛）A.-2B.2C,3D.-3

解析：由即窗得：AB/AC=2xlxcos60=1

AE=^AB^AC,AF=yAB^AC

解：（方法一）直接求.

3333

BAAD=2x>/2cos—=-2

4:.AEAF={-AB+-4C)(-4fi+-AC)=-AB+-AHAC+-AC

3333999

8525

=—+—+--—

（方法二）设4瓦AC.为两个基向量。9993

规律：“先表示，后计算”的最终形式中，有三个量需要计算,

Ali\Ac\AUAC,故可先计算出八8ZC；

引伸：求无营与入户的夹角。的余弦值。

（方法三）以R为原点,以AB、AC所在直线为

D

PB=(i-1,-4),PC=(-1,t-4),因此而•后

麻卜t府+g可=A而弋屈.斯+浮I

=l-y-4r+l6=l7-(j+4r),因为，+4/22需二?=4.所以

声中

-----P-C-的最大值等于13,当下I=4八即，=!I时取等号.

I2

府卜=/启+源g河

2r

(oi)-C

5

1AEAF3577tzzi工

4x1

。。而前荷亘在F(70)

3x3

★★★★

规律：取两个基向量，先把所求向量用基向量表示出来，再进行

数量积的计算°即“先表示，后计算”，此即为“基向量出”。例4.如图,在同一个平面内，向坡加，on.8的模分别为1.1.72.04

3.已知福_L就J荏卜；.|公卜/

例.若P点是AABC所在平面内•与次的夹角为a,且tan«=7,OR与OC的夹角为45°.若

AB4前

点，且祈=则而反的最大值等于()

R+M

A.13B.15C.19D.21

【酢析】以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，MiJB(-.O).

t

CiO,/)，4P=(I,0)+4(0,1)=(1,4).即RI，4),所以

解（方法一）

,2一—一q__防+质ap：（o,闾=《高房”[孝书

0C=m2OA+n:OB+2mnOAOB

OCOA=mOA2+nOAOB（这是常用思路）7s/2

-7=m------n=0

.v502...〃?=3,〃=2ni+n=3.

OCOB=mOAOB+nOB

]>/2p:44

—^=m+——n=v2

IV502

例5.在AABC中，AB=®AC=瓜叱=与,若。为aABC的

A

外心且满足人O'=x人8+yAC,则6r+y=（）

A.1B.3C.5D.6

2

OC-OA-mOA+nOA-OB=75co$a=g・••o

OC-OB=mOAOB+nOB=--m+n=V2x-^=1。

例6.绐定四个长度为1的平面向量，它们的火用为B二£。如图所示，点CC

523

在以0为圆心的瓠AB上运动，若OC=xO&+y丽：x,yG/?,求x+y

的最大直。

C

解：（方法一）OC2=.r2OA2+y+2xy

•.•M•丽=cos与=-g,|OA|=|OB'|=|OC|^

,OC2=X2OA2+y2OB'+2xyOAOB=A2+J2-.ry=1

2

+y）=3ry+1<I.'.A+y<,2

C（。询，A（看看）一卜坐考2

C

即x+y的最大值为2.因A、B、D三点共线，则2（x+y）=1=>.v+>,=—

A

（方法二）建立如图所示的坐标系。

易知，当与弦AB平行的直线与网瓠AB相切时，印。Q_LA4时，丸值

C在恻皿AB：/+），2=1上运动最小,即x+），的值最大，此时，OO=；,/l=g,x+），的最大值为2。

设u(cose.sine).ew,规律总结：建系是一般方法，方法三用的是三点共线的推论。