2026年高二数学寒假自学课（苏教版）第04讲 两个基本计数原理（8大题型）（原卷版）

第04讲两个基本计数原理

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型·强知识：核心题型举一反三精准练

第二步：记

串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1：分类计数原理

1、分类加法计数原理：

完成一件事，有类办法．在第类办法中有种不同方法，在第类办法中有种不同的方法，

n1m12m2

在第类办法中有种不同方法，那么完成这件事共有种不同的方法．

nmnNm1m2mn

2、加法原理的特点是：

完成一件事有若干不同方法，这些方法可以分成n类；

①用每一类中的每一种方法都可以完成这件事；

②把每一类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数．

③知识点诠释：

使用分类加法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对这件事确定一个标准进行分类，第二步

是确定各类的方法数，第三步是取和．

知识点2：分步计数原理

1、分步乘法计数原理

“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，就是说完成这件事的任何一种方法，都要分成n个步骤，要完

成这件事必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算完成．

2、乘法原理的特点：

完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可；

①完成每一步有若干种方法；

②把每一步的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．

③

知识点诠释：

使用分步乘法计数原理计算完成某件事的方法数，第一步是对完成这件事进行分步，第二步是确定各

步的方法数，第三步是求积．

知识点3：分类计数原理和分步计数原理的区别

1、分类计数原理和分步计数原理的区别：

两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关．

完成一件事的方法种数若需“分类”思考，则这n类办法是相互独立的，且无论哪一类办法中的哪一种方

法都能单独完成这件事，则用加法原理；

若完成某件事需分n个步骤，这n个步骤相互依存，具有连续性，当且仅当这n个步骤依次都完成后，

这件事才算完成，则完成这件事的方法的种数需用乘法原理计算．

2、利用两个基本原理解决具体问题时的思考程序：

（1）首先明确要完成的事件是什么，条件有哪些？

（2）然后考虑如何完成？主要有三种类型

分类或分步．

①先分类，再在每一类里再分步．

②先分步，再在每一步里再分类，等等．

③（3）最后考虑每一类或每一步的不同方法数是多少？

题型一：分类加法计数原理

【例1】（2025·四川自贡·一模）如图，某设备内部从a到b的电路包含三个元件A，B，C，现该设备从

a到b的电路工作不正常（断路），那么该设备三个元件A，B，C的工作状态（通路/断路）共有n种不同情

况，则n为（）

A．4B．5C．6D．7

【变式1-1】（2025·高二·安徽安庆·月考）如图所示，在A，B间有四个焊接点1，2，3，4，若某焊接

点脱落，则此处断路，则焊接点脱落导致电路不通的情况的种数为（）

A．11B．13C．15D．17

【变式1-2】（2025·高二·江西赣州·月考）我们称各个数位上的数字之和为6的三位数为“lucky”数，例

如105和213，则所有的“lucky”数有（）

A．48个B．30个C．21个D．18个

【变式1-3】（2025·高二·黑龙江齐齐哈尔·期中）某影城有一些电影新上映，其中有3部科幻片､2部文

艺片､3部喜剧片，小华从中任选1部电影观看，则不同的选法种数有（）

A．18B．9C．8D．7

题型二：分步乘法计数原理

【例2】（2025·高三·江苏南京·开学考试）书架上有6本不同的书，再往书架放另外3本不同的书，要

求不改变原来书架上6本书的左右顺序，则不同的放法有（）种.

A．504B．84C．1008D．168

【变式2-1】甲、乙、丙、丁四人各写一张贺卡，先将贺卡集中起来，然后每人从中拿一张别人写的贺卡，

则不同的分配方式有（）种.

A．9B．12C．18D．24

【变式2-2】将3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子内至多放1个小球，共有（）种放法，

A．36B．60C．64D．81

【变式2-3】已知图中每个开关都有闭合与不闭合2种可能，因此5个开关共有25种可能情况，在这25种可

能情况中，电路（从甲到乙）接通的情况有（）.

A．30种B．24种C．16种D．10种

题型三：两个原理的综合应用

【例3】（2025·高二·广东江门·月考）集合A2,3,B1,2,4，从A,B中各任意取一个数，构成一个

两位数，则所有样本点的个数为（）

A．12B．11C．8D．6

【变式3-1】若从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取三个不同的数字，则取出的这三个数字之

和能被3整除的种数为（）

A．28B．29C．30D．32

【变式3-2】设集合I1,2,3,4,5，选择集合I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的

数，则不同的选择方法共有（）.

A．50种B．49种C．48种D．47种

【变式3-3】（2025·高二·广东清远·期末）如图，要让电路从A处到B处只有一条支路接通，则不同的

路径有（）

A．5种B．6种C．7种D．9种

题型四：组数问题

【例4】（2025·高二·辽宁·月考）比2000小且没有重复数字的四位偶数有个．（用数字表示）

【变式4-1】用数字0，1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字且至多有一位数字是偶数的四位个数，

那么这样的四位数一共有个.

【变式4-2】（2025·高三·四川成都·月考）重新排列数字1,2,3,4,5,6,7,8，使得偶数在偶数的位置上，但

都不在原来的位置上，奇数在奇数位置上，但除其中一个奇数在原本位置上以外，其余3个奇数都不在原

来的位置上，则有种不同的排法.

【变式4-3】（2025·高二·上海·期中）将各位数字之和为6的三位数叫“幸运数”，比如123，402，则所

有“幸运数”的个数为．

题型五：占位模型中标准的选择

【例5】8名学生争夺4项冠军，获得冠军的可能情况有（）种．

4844

A．8B．4C．A8D．C8

【变式5-1】（2025·高二·新疆·期末）现有2名同学去听同时进行的3场音乐会，每名同学只能去听其

中的1场，则不同的安排方法共有（）

A．6种B．4种C．9种D．8种

【变式5-2】（2025·高二·广东汕尾·期末）某班级的3名学生计划前往田墘红楼、红宫红场、金厢银滩、

激石溪纪念园四个景点游玩，每位学生只能选择一个景点（景点人数不限），则这3名学生的旅游安排方式

共有（）．

A．6种B．24种C．64种D．81种

【变式5-3】（2025·高二·吉林长春·月考）有一个信号装置，从左到右依次有4个信号显示窗，每个显

示窗可亮红灯、绿灯或不亮灯，则该装置所能发出的不同信号种数为（）

A．12B．64C．81D．256

题型六：涂色问题

【例6】（2025·高二·江苏南京·期中）用n种不同的颜色为下面的广告牌图则，要求在①②③④这四个

区域中相邻的区域（有公共边界）涂不同的颜色，若涂色共有840种不同的方法，则n的值为（）

A．5B．6C．7D．8

【变式6-1】（2025·高二·安徽池州·期中）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作

注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相

邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（）

A．120B．26

C．340D．420

【变式6-2】（2025·高二·江苏连云港·月考）如图所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每

个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有（）种．

A．480B．600C．360D．750

【变式6-3】（2025·高二·吉林长春·月考）如图，用四种不同的颜色对图中5个区域涂色（四．种．颜．色．全．

部．使．用．），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有（）

A．72种B．96种C．150种D．168种

题型七：种植问题

【例7】（2025·高二·四川达州·月考）某社区广场有一个如图所示的花坛，花坛有1,2,3,4四个区域，现

有5种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能种植同一种花卉，中间圆圈区域不种植花卉，则该花坛的

花卉种植方案共有（）

A．210种B．420种C．180种D．260种

【变式7-1】某农学院计划从10种不同的水稻品种和7种不同的小麦品种中，选5种品种种植在如图所示

五块实验田中，要求仅选两种小麦品种且需种植在相邻两块实验田中，其他三块实验田选种水稻品种，则

不同种法有（）

12345

A．30240种B．60480种C．120960D．241920种

【变式7-2】（2025·高二·黑龙江大庆·期中）春节期间，某地政府在该地的一个广场布置了一个如图所

示的圆形花坛，花坛分为5个区域．中心区域为雕塑，四周种植花卉.现有4种不同的花卉可供选择，要求相

邻区域不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（）

A．84种B．72种C．64种D．56种

【变式7-3】（2025·高二·山东济南·期中）某公园设计了如图所示的观赏花坛，现有郁金香、玛格丽特、

小月季、小杜鹃四种不同的花可供采购，要求相邻区域种不同种类的花，则不同的种植方案个数为（）

A．24B．36C．48D．96

题型八：列举法

【例8】（2025·高二·江西南昌·月考）我们称各个数位上的数字之和为6的三位数为“吉祥数”，例如105

和123，则所有的“吉祥数”共有（）

A．21个B．20个C．19个D．18个

【变式8-1】已知正整数a,b,c,d,e,f满足：adbecf10且abcdef，则有序数组(a,b,c,d,e,f)的

组数为（）

A．16B．20C．25D．36

【变式8-2】（2025·辽宁鞍山·一模）小李同学想用一支铅笔从如下的直三棱柱的顶点C1出发沿三棱柱的

棱逐步完成“一笔画”，即每一步均沿着某一条棱从一个端点到达另一个端点，紧接着从上一步的终点出发随

机选择下一条棱再次画出，进而达到该棱的另一端点．按此规律一直进行，其中每经过一条棱称为一次移

动，并随机选择选择某个顶点处停止，得到一条“一笔画”路径．比如，“一笔画”路径：C1B1A1AA1．若

经过4次移动后，到达点A1的条件下，两次经过点B1的概率为（）

3153

A．B．C．D．

1121310

【变式8-3】（2025·高二·四川遂宁·期中）程大位（1533-1606）是明代珠算发明家，徽州人.他所编撰的

《直指算法统宗》是最早记载珠算开平方、开立方方法的古算书之一，它完成了计算由筹算向珠算的转变，

使算盘成为主要的计算工具.算盘其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”.现有一种算盘（如图1）共三

档，自右向左分别表示个位、十位和百位，档中横以梁，梁上一珠，下拨一珠记作数字5：梁下五珠，上拨

一珠记作数字1.例如：图2中算盘表示整数506.如果拨动图1中算盘的3枚算珠，则可以表示不同的三位

整数中能被3整除的个数为（）

A．5B．7C．15D．26

1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）用四种颜色给下图的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区

域不同色，共有多少种不同的涂法（）

A．72B．96C．120D．144

2．（24-25高二下·海南海口·期末）如图，现要用4种不同的颜色对海口市的4个区地图进行着色，要求有

公共边的2个区不能用同一种颜色，则不同的着色方法的种数为（）

A．24B．48C．72D．120

3．（24-25高二下·浙江舟山·期末）甲、乙、丙、丁、戊五位同学课间玩“击鼓传花”游戏.第1次由甲传给乙、

丙、丁、戊四人中的任意一人，第2次由持花者传给另外四人中的任意一人，往后依此类推，经过4次传

花，花仍回到甲手中，则传法总数为（）

A．36B．48C．52D．64

4．（24-25高二下·四川内江·月考）某学校准备派遣5名教师同时到三个不同的学校进行支教活动.要求每个

学校至少派遣1名教师，若教师甲乙去往不同的学校，则不同的派遣方案有（）种.

A．36B．72C．114D．162

5．（24-25高二下·陕西咸阳·月考）合阳中学是陕西省第一所县立中学，始建于1916年，明年是我校建校

110周年，则满足建校n周年的正整数n能整除对应年份的n的个数为（）

A．6B．8C．12D．前三个选项都不对

6．（多选题）（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列说法正确的是（）

A．用0,1,2,3,4,5这6个数字，可以排成1080个可重复数字的四位数

B．用0,1,2,3,4,5这6个数字，可以排成300个无重复数字的四位数

C．用0,1,2,3,4,5这6个数字，可以排成144个无重复数字的四位奇数

D．用0,1,2,3,4,5这6个数字，可以排成144个无重复数字的四位偶数

7．（多选题）（24-25高二下·新疆喀什·期末）下列说法正确的是（）

A．分步乘法计数原理是指完成其中一步就完成了整件事情

B．从书架上任取数学书、语文书各1本，求共有多少种取法的问题是分步计数问题

C．求从甲地经丙地到乙地共有多少条路线的问题是分类计数问题

D．分类加法计数原理可用来求解完成一件事有若干类方法这类问题

8．（多选题）（24-25高二下·江苏连云港·期末）用0，1，2，3，4，5，6这7个数字，可以组成（）

A．180个无重复数字的三位数B．75个无重复数字且为奇数的三位数

C．30个无重复数字且能被25整除的四位数D．480个无重复数字且比1300大的四位数

9．（多选题）（24-25高二下·湖北武汉·月考）从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数组成一个三位数，

则在所组成的数中（）

A．偶数有60个B．比300大的奇数有48个

C．个位和百位数字之和为7的数有24个D．能被3整除的数有32个

10．（2025高三·全国·专题练习）如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1，

2，3，…，8.现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，

对称的两个区域（如区域1与区域5）所涂颜色相同.若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方

案有种．

11．（2025高三·全国·专题练习）将27，37，47，48，55，71，75这7个数排成一列，使任意连续4个数的

和为3的倍数，则这样的排列有种．

12．（2025高二·全国·专题练习）设集合I1,2,3,4,5，选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数

大于A中最大的数，则有种选择.

13．（24-25高二下·广东揭阳·期末）如图，从1开始出发，一次移动是指从某一格开始只能移动到邻近的一

格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，