2026年高二数学寒假自学课（苏教版）第01讲 空间向量及其运算（11大题型）（解析版）

第01讲空间向量及其运算

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第一步：学

析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型·强知识：核心题型举一反三精准练

第二步：记

串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1：空间向量的有关概念

1、空间向量

（1）定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．

（2）长度或模：空间向量的大小．

（3）表示方法：

几何表示法：空间向量用有向线段表示；

①字母表示法：用字母a,b,c,表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：AB，其模记为|a|

或|A②B|．

知识点诠释：

（1）空间中点的一个平移就是一个向量；

（2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量

可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量．

2、几类常见的空间向量

名称方向模记法

零向量任意00

单位向量任意1

a的相反向量：a

相反向量相反相等

AB的相反向量：BA

相等向量相同相等ab

知识点2：空间向量的线性运算

（1）向量的加法、减法

加法

空间向量的运OBOAOCab

算减法CAOAOCab

交换律：abba

加法运算律

①结合律：(ab)ca(bc)

（2）空间向量的数乘运算②

定义：实数与空间向量a的乘积a仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．

①当0时，a与向量a方向相同；

当0时，a与向量a方向相反；

当0时，a0；a的长度是a的长度的倍．

运算律

②结合律：(a)(a)()a．

分配律：()aaa，(ab)ab．

知识点诠释：

（1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形

法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；

（2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则．

（3）空间向量加法的运算的小技巧：

首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，

即：

①A1A2A2A3A3A4An1AnA1An

因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；

首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，

即：；

②A1A2A2A3A3A4An1AnAnA10

知识点3：共线问题

共线向量

（1）定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平

行向量．

（2）方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．

规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a．

（3）共线向量定理：对于空间任意两个向量a，bb0，a//b的充要条件是存在实数使ab．

（4）如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定

义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得OPa．

知识点诠释：此定理可分解为以下两个命题：

（1）a//b（b0）存在唯一实数，使得ab；

（2）存在唯一实数，使得ab（b0），则a//b．

注意：b0不可丢掉，否则实数就不唯一．

（3）共线向量定理的用途：

判定两条直线平行；（进而证线面平行）

①证明三点共线．

②注意：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，

进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法．证明三点共线问题，通常不用图形，直接利

用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点．

知识点4：向量共面问题

共面向量

（1）定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．

（2）共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的

有序实数对(x,y)，使pxa＋yb．

（3）空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x,y)，使APxAByAC或对空间任

意一点O，有OPOAxAByAC．

（4）共面向量定理的用途：

证明四点共面

①线面平行（进而证面面平行）．

知②识点5：空间向量数量积的运算

空间向量的数量积

（1）定义：已知两个非零向量a，b，则abco〈sa,b〉叫做a，b的数量积，记作a·b．即

a·b＝abco〈sa,b〉．

规定：零向量与任何向量的数量积为0．

（2）常用结论（a，b为非零向量）

aba·b0．

2

①a·a＝aaco〈sa,a〉a．

②ab

cosa,b．

|a||b|

③

（3）数量积的运算律

数乘向量与数量积的结合律(a)b(ab)a(b)

交换律abba

分配律a(bc)abac

知识点诠释：

（1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两

个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．

（2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符

号由夹角的余弦值决定．

（3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要

将它们区别开来，不可混淆．

知识点6：夹角问题

1、定义：已知两个非零向量a、b，在空间任取一点D，作OAa，OBb，则AOB叫做向量a与

b的夹角，记作〈a,b〉，如下图．

根据空间两个向量数量积的定义：a·ba·b·co〈sa,b〉，

ab

那么空间两个向量a、b的夹角的余弦cosa,b．

|a||b|

知识点诠释：

（1）规定：0a,b

（2）特别地，如果a,b0，那么a与b同向；如果a,b，那么a与b反向；如果a,b90，

那么a与b垂直，记作ab．

2、利用空间向量求异面直线所成的角

异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量，计算两个方向向量的夹角得到．

在求异面直线所成的角时，应注意异面直线所成的角与向量夹角的区别：如果两向量夹角为锐角或直

角，则异面直线所成的角等于两向量的夹角；如果两向的夹角为钝角，则异面直线所成的角为两向量的夹

角的补角．

知识点7：空间向量的长度

1、定义：

22

在空间两个向量的数量积中，特别地a·aa·acos0a，所以向量a的模：|a|a

将其推广：

2222222

|ab∣(ab)a2abb；|abc|(abc)abc2ab2bc2ca．

2、利用向量求线段的长度．

将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题．一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，

22

然后利用aa来求解．

题型一：空间向量的概念

【例1】（25-26高二上·广东江门·月考）空间向量中，下列结论错误的是（）

A．ABBA0B．ABBCAC

C．单位向量的长度为1D．零向量的方向任意

【答案】A

【解析】A选项，ABBA0，向量和为零向量，A选项错误.

B选项，ABBCAC，B选项正确.

C选项，单位向量的长度为1，C选项正确.

D选项，零向量的方向任意，D选项正确.

故选：A

【变式1-1】（25-26高二上·贵州毕节·月考）下列说法错误的是（）

A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小

B．ab是向量ab的必要不充分条件

C．只有零向量的模等于0

D．共线的单位向量都相等

【答案】D

【解析】选项A：向量是兼具大小与方向的量，本身无法比较大小，仅模可以比较，此说法正确.

选项B：ab需满足模相等且方向相同，故ab是ab的必要不充分条件，此说法正确.

选项C：零向量的定义为模等于0的向量，不存在其他模为0的向量，此说法正确.

选项D：共线的单位向量方向可能相同或相反，方向相反时向量不相等，此说法错误.

故选：D.

【变式1-2】（25-26高二上·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（）

A．共线的单位向量都相等

B．不相等的两个空间向量的模必不相等

C．相反向量指方向相反的两个向量

D．任意两个空间向量一定共面

【答案】D

【解析】对于A，共线的单位向量方向可能相同也可能相反，即共线的单位向量可能是相等的向量也可能

是相反向量，故A不正确；

对于B，不相等的两个空间向量的模可能相等，比如相反向量，故B错误；

对于C，相反向量指方向相反，模相等的两个向量，故C错误；

对于D，任意两个空间向量一定共面，故D正确.

故选：D

【变式1-3】（25-26高二上·天津·月考）下列关于空间向量的命题中，正确的是（）

A．空间中所有的单位向量都相等B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量

C．若a,b满足|a||b|，且a,b同向，则abD．两个向量相等，则它们的起点与终点相同

【答案】B

【解析】对于A，向量是既有大小又有方向的量，所有单位向量的模相等，方向不一定相同，

所以空间中所有的单位向量不一定相等，所以A错误；

对于B，由相反向量的定义知，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，所以B正确；

对于C，由向量的定义知，向量不能比较大小，所以C错误；

对于D，根据相等向量的定义知，长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，但相等向量的起点和终点

不一定相同，所以D错误.

故选：B.

题型二：空间向量及其线性运算

【例2】（25-26高二上·贵州六盘水·月考）如图所示，在三棱锥ABCD中，点E是BC的中点，记

ABa,ACb,ADc．则DE（）

11

A．abc

22

11

B．abc

22

11

C．abc

22

11

D．abc

22

【答案】B

11

【解析】DEDBDCABADACAD

22

1111

ABACADabc.

2222

故选：B

【变式2-1】（25-26高二上·河南开封·月考）如图，在三棱锥OABC中，OAa，OBb，OCc，点M

2

在线段OA上，且OMOA，N为线段BC的中点，则MN等于（）

3

111211

A．abcB．abc

222322

121211

C．abcD．abc

232322

【答案】B

OBOC2OA211

【解析】MNONOMabc.

23322

故选：B

【变式2-2】（25-26高二上·河北·月考）如图，在正四面体ABCD中，AE3EB，G是△BCD的重心，则EG

（）

511111

A．ABACADB．ABACAD

1233444

111111

C．ABACADD．ABACAD

4331244

【答案】A

【解析】连接BG,延长交BD于M，

因为G是△BCD的重心，所以M是CD的中点，

1212111

EGEBBGABBMABBDBCABADABACAB

4343243

1112511

ABADACABABACAD.

43331233

故选：A

【变式2-3】（25-26高二上·河南周口·月考）已知四棱锥PABCD底面ABCD是平行四边形，且EC2PE，

若AB=a，ADb,APc，则BE（）

212313

A．abcB．abc

333444

313311

C．abcD．abc

424423

【答案】A

【解析】因为ABCD是平行四边形，且EC2PE，

222

则BEBCCEADCPbCAAPbAPABAD

333

2212

bcababc．显然A正确.

3333

故选：A．

题型三：共线向量（或平行向量）

【例3】（24-25高二上·河南许昌·月考）在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为AB，BB1的中点，则

下列向量中与向量EF平行的向量是（）

．．．．

AA1BBDC1CAC1DD1C

【答案】B

∥∥

【解析】由长方体ABCDA1B1C1D1，可得ADBCB1C1，ADBCB1C1，

∥

所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥DC1，同理可得A1BD1C，

又E，F分别为AB，BB1的中点，所以AB1EF，所以EF∥DC1，

所以向量平行于，

EFDC1

因为直线与直线相交，又∥，所以向量不平行于，，

A1BEFA1BD1CEFA1BD1C

又直线与相交，所以向量不平行于

AC1AB1EFAC1.

故选：B.

【变式3-1】下列条件中，能说明空间中不重合的三点A、B、C共线的是（）

A．ABBCACB．ABBCAC

C．|AB||BC|D．ABBC

【答案】D

【解析】对于空间中的任意向量，都有ABBCAC，说法A错误；

若ABBCAC，则ACBCAB，而ACCBAB，据此可知BCCB，即B,C两点重合，选项B错

误；

|AB||BC|，则线段AB的长度与线段BC的长度相等，不一定有A、B、C三点共线，选项C错误；

ABBC，则A、B、C三点共线，选项D正确；

故选：D.

【变式3-2】（25-26高二上·天津武清·月考）设向量e1，e2，e3不共面，已知ABe1e2e3，BCe1e2e3，

CD4e18e24e3，若A，C，D三点共线，则（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【解析】因为，，，

ABe1e2e3BCe1e2e3CD4e18e24e3

所以ACABBC2e11e22e3，

因为A,C,D三点共线，所以存在唯一的实数x使得ACxCD，

1

24xx

所以，解得2，

18x

3

所以3.

故选：C.

【变式3-3】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知非零向量a3m2n4p，bx1m8n2yp，且m、

n、p不共面，若a∥b，则xy（）

A．13B．5C．8D．13

【答案】B

【解析】因为a∥b，则存在R，使得ba，

即x1m8n2yp3m2n4p，

x13

则82，解得x13，y8，

2y4

所以xy5.

故选：B.

题型四：空间向量的夹角

【例4】（25-26高二上·北京·期中）三棱锥OABC中，OA，OB，OC两两垂直，OAOBOC.则OAOB

和CA的夹角为（）

A．30B．45C．60D．90°

【答案】C

【解析】设OAOBOC1，

2

OAOBCAOAOBOAOCOAOAOCOBOAOBOC1，

222

OAOBOAOBOAOB2OAOB2,

222

CAOAOCOAOCOAOC2OAOC2，

OAOBCA11

cosOAOB,CA,

OAOBCA222

所以OAOB和CA的夹角为60.

故选：C

【变式4-1】（24-25高二上·安徽芜湖·月考）已知空间向量a,b,c满足abc0，a2,b3,c4，则a

与b的夹角为（）

A．30°B．45°C．60°D．以上都不对

【答案】D

22

【解析】由题意abc，设a与b的夹角为，则abc，

2221

即ab2abcosc，解得cos.

4

故选：D

【变式4-2】（24-25高二上·北京·月考）如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三

条棱的长度都为1，且两两夹角为60，则BD1与AC夹角的余弦值为（）

3633

A．B．C．D．

3646

【答案】B

【解析】设向量，且，

ABa,ADb,AA1cabc1,a,ba,cb,c60

可得，

ACab,BD1bca

2221

则AC(ab)2ab2ab112113，所以AC3，

2

2222111

BD(bca)2bca2bc2ac2bc1112222，

1222

所以，

BD12

22

且，

ACBD1(ab)(bca)abacabbcab1

ACBD16

1

所以cosAC,BD1.

ACBD1326

故选：B.

【变式4-3】（24-25高二上·福建福州·期中）如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的

三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60，在下列结论中错误的是（）

A．AC1ABADAA1B．AC166

C．BDAA1D．向量B1C与AA1的夹角是60

【答案】D

【解析】对于A，在平行六面体中，根据向量加法的三角形法则，AC1ABBCCC1，

由于，，所以，选项正确

BCADCC1AA1AC1ABADAA1A.

对于B，已知以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60.

，则22

AC1ABADAA1|AC1|(ABADAA1)

222

|AB||AD||AA1|2ABAD2ABAA12ADAA1

626262266cos60266cos60266cos60

1

3363266216.所以|AC|66，选项B正确.

21

对于，，

CBDADABBDAA1(ADAB)AA1ADAA1ABAA1

66cos6066cos600，

因为，所以，选项正确

BDAA10BDAA1C.

对于D，B1CBCBB1ADAA1，设向量B1C与AA1的夹角为

2

B1CAA1(ADAA1)AA1ADAA1|AA1|

66cos6062183618，

22

|B1C||AD||AA1|2ADAA1

6262266cos603636366，

BCAA181

cos11

|B1C||AA1|662

所以120，选项D错误.

故选：D.

题型五：空间向量的数量积

【例5】（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，各棱长均为2，

π

AABBADAAD，则ACBA.

11311

【答案】0

π

【解析】设向量ABa,ADb,AAc，则abc2,a,ba,cb,c，

13

π

所以abacbc22cos2，

3

又由，，

AC1ABBCCC1abcBA1AA1ABca

22

所以22.

AC1BA1(abc)(ca)acabcabcac2222220

故答案为：0.

【变式5-1】（25-26高二上·安徽·期中）如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面是正方形，

，

A1ADA1AB60ABAA12，则A1DBD1．

【答案】2

，，

【解析】设ABaADbAA1c．

，，

A1ADA1AB60DAB90ABADAA12，

ab0，ac2，bc2

，

A1DADAA1bc，BD1ADAA1ABbca

A1DBD1bcbca

22

bbcbabccac4202422.

故答案为：2

【变式5-2】（25-26高二上·广东茂名·期中）已知P,M,N是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则PMPN

的最小值是

1

【答案】/0.5

2

【解析】法一：

根据正方体的性质，可不妨设P在下底面的棱上动点，又设MN中点为E，

22

则PMPNPEEMPEENPEEN

2

当P与MN中点E重合时，PE取到最小值0，

1

当M,N为底面对角线的顶点时，2取到最大值，

EN2

1

所以当P为底面中心，M,N为底面对角线的顶点时,PMPN取到最小值；

2

法二、如图建立空间直角坐标系，

设Px0,y0,z0，Mx1,y1,z1，Nx2,y2,z2，其中xi，yi，zii0,1,20,1.

则PMx1x0,y1y0,z1z0，PNx2x0,y2y0,z2z0.

则PMPNx1x0x2x0y1y0y2y0z1z0z2z0

222

x0x1x2x0x1x2y0y1y2y0y1y2z0z1z2z0z1z2

222

222xxyyzz

x1x2y1y2z1z2121212，

x0y0z0x1x2y1y2z1z2

222444

x1x2y1y2z1z2

当P、M、N在正方体同一面上时，则当x，y0，z时，PMPN取得最小值，

02202

222

xxyyzz

PMPNxx12yy12zz12

124124124

222

xxyyzz1222121

121212xxyyzzMN，

444412121242

1

即当MN为正方体一面的对角线，P为对角线中点时，PMPN取得最小值；

2

当P、M、N不在正方体同一面上时，由对称性，不妨设z00，z1，z2不同时为0，

222

2xxyyzz

此时z1z2121212

PMPNx1x2y1y2z1z2

2444

2222

x1x2y1y2x1x2y1y2

x1x2y1y2z1z2z1z2；

4444

22

x1x21y1y21

因为xi，yi，zii0,1,20,1，则0,,0,,zz0,1，

444412

22

x1x2y1y2111

所以PMPNz1z20，

44442

1

综上，PMPN的最小值是.

2

【变式5-3】（25-26高二上·河北沧州·月考）在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB2，D为A1B的中点，则

ACAD.

【答案】1

111

【解析】连接AB，由题意得D为AB的中点，故ADABABAA，

1121221

由正三棱柱性质得AA1AC，故AA1AC0，

11111

可得ACADABACAAACABACcosBAC221.

221222

故答案为：1.

题型六：空间向量的投影向量

【例6】（25-26高二上·广西来宾·期中）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O是A1D1的中点，ABBC2，

AA13，则向量A1C1在向量AO上的投影向量为（）

2111

A．AOB．AOC．AOD．AO

3324

【答案】C

【解析】如图，连接，取的中点，连接易得，

AC,COAOECE.A1C1AC

2

则所求的投影向量为AC在AO上的投影向量，易得AC222222，CO2231222，

11

则CEAO,AEAO，所以AC在AO上的投影向量为AO.

2112

故选：C.

【变式6-1】（25-26高二上·四川·月考）在正方体ABCDA1B1C1D1中，向量AB1在AC上的投影向量为（）

111

A．ACB．ACC．ACD．AC

234

【答案】B

【解析】因为在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB1B1CAC,

所以AB1C正三角形，过点B1作B1OAC，垂足为O.

11

则AOAC，所以向量AB在AC上的投影向量为AOAC.

212

故选：B

2π

【变式6-2】（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知|a|2，空间向量e为单位向量，a,e，则空间向量

3

a在向量e方向上的投影向量为（）

11

A．eB．eC．eD．e

22

【答案】B

2π

21cos

aea·ecosa,e

【解析】空间向量a在向量e方向上的投影向量为3，

2e2eee

ee1

故选：B.

【变式6-3】（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）如图，在四棱锥PABCD中，AD平面PCD,PDC120，

1

AB//DC,PDADABDC，若点M为棱PC上靠近点C的三等分点，则AM在AB上的投影向量为（）

2

4567

A．ABB．ABC．ABD．AB

3456

【答案】D

【解析】过点M,P分别作MH,PE垂直CD，垂足分别为H,E，

因为AD平面PCD，CD平面PCD，所以ADCD，

所以AM在DC上的投影向量为DH，又DC//AB，所以AM在AB上的投影向量为DH，

因为PDC120，所以PDE60，

a5a

设AB=a，则DE,DC2a，所以CE，

22

5a

又MH//PE，点M为棱PC上