垂径定理及其推论课件-华东师大版数学九年级下册

2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课课件】第27章圆27.1.2.2垂径定理及其推论通过之前的学习我们知道了：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．O怎样证明圆是轴对称图形呢？27.1.2.2垂径定理及其推论

教学过程幻灯片1：情境激趣，提出问题（5分钟）生活情境：展示一张破损的圆形古钱币图片，提问：“考古学家发现一枚破损的圆形古币，只残留一部分圆弧，如何根据这部分残片确定古币的圆心和半径，从而复原古币？”旧知衔接：回顾上节课内容——圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴。今天我们将利用圆的对称性，探究一条特殊的直线（垂直于弦的直径）与弦及弧之间的关系，解决这类实际问题。设计意图：以考古复原古币的实际问题激发学生兴趣，通过圆的对称性铺垫，自然引出本节课探究的核心——垂直于弦的直径的性质。幻灯片2：动手实验，探究性质（10分钟）实验准备：每位同学准备一张圆形纸片（标注圆心O）、直尺、圆规、铅笔，完成以下操作：1.在⊙O中任意画一条弦AB，用圆规画出AB的中点M；2.过点M画直径CD，使CD⊥AB，垂足为M，标记CD与AB的交点M，以及CD与⊙O的交点C、D；3.将圆形纸片沿直径CD对折，观察弦AB被对折后的两部分是否重合，弧AC与弧BC、弧AD与弧BD是否重合。小组讨论：对折后你发现了哪些等量关系？垂直于弦的直径CD对弦AB和所对的弧分别产生了什么影响？实验结论：对折后弦AB的两部分完全重合，弧AC与弧BC、弧AD与弧BD也完全重合，说明CD平分AB，平分⌒AB和⌒ADB。幻灯片3：推理论证，得出定理（15分钟）定理推导：结合实验现象，用几何推理证明结论：已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。求证：AE＝BE，⌒AC＝⌒BC，⌒AD＝⌒BD。证明过程：1.连接OA、OB，∵OA＝OB（圆的半径相等），∴△OAB是等腰三角形；2.∵CD⊥AB，根据等腰三角形“三线合一”性质，AE＝BE；3.∵CD是直径，且CD⊥AB，将△OAB沿CD对折，点A与点B重合，故⌒AC与⌒BC重合，⌒AD与⌒BD重合；4.∴⌒AC＝⌒BC，⌒AD＝⌒BD。垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。定理解读：定理的条件包含两个核心要素——“直径”和“垂直于弦”，结论包含三个要素——“平分弦”“平分弦所对的优弧”“平分弦所对的劣弧”，可简化记忆为“知二推三”。符号表示：在⊙O中，若CD是直径，CD⊥AB于E，则AE＝BE，⌒AC＝⌒BC，⌒AD＝⌒BD。幻灯片4：探究推论，拓展延伸（15分钟）反向思考：若将垂径定理的条件和结论互换，比如“直径平分弦（不是直径）”，那么这条直径是否垂直于弦且平分弦所对的弧？推论推导：已知在⊙O中，CD是直径，AB是弦（非直径），CD平分AB于E，求证：CD⊥AB，⌒AC＝⌒BC，⌒AD＝⌒BD。（学生模仿定理证明过程，自主推导，教师引导）核心推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。易错强调：推论中“弦不是直径”是重要前提，若弦是直径，平分直径的直径不一定垂直于该弦（如两条互相平分的直径，夹角可任意）。推论拓展：师生共同梳理，得出其他等价表述：1.平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；2.弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。方法总结：垂径定理及其推论的本质是利用圆的对称性，核心是“圆心到弦的距离”“半径”“弦长的一半”构成直角三角形，为后续计算奠定基础。幻灯片5：典例解析，掌握应用（15分钟）例题1：如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。解题步骤：1.过O作OC⊥AB于C，连接OA，根据垂径定理，OC平分AB，故AC＝AB/2＝4cm；2.在Rt△OAC中，OC＝3cm（圆心到弦的距离），AC＝4cm，OA为半径r；3.由勾股定理得OA²＝AC²＋OC²→r²＝4²＋3²＝25→r＝5cm；4.答：⊙O的半径为5cm。例题2：解决开篇问题——如何根据圆形残片确定圆心和半径？解决方案：1.在残片的圆弧上任意取三点A、B、C；2.连接AB、BC，分别作AB、BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O；3.连接OA（或OB、OC），OA的长度即为圆的半径。方法提炼：涉及弦长、半径、圆心到弦的距离的计算，常通过“作垂线构直角三角形”，利用垂径定理和勾股定理求解，即“弦长一半²＋圆心距²＝半径²”。幻灯片6：变式练习，巩固提升（10分钟）基础练习：在⊙O中，直径CD＝10cm，弦AB⊥CD于E，若OE＝3cm，求弦AB的长。（答案：8cm）易错辨析：判断下列说法是否正确：1.垂直于弦的直线平分弦所对的弧；（错误，需“直线过圆心”）2.平分弦的直径垂直于弦；（错误，弦需“不是直径”）3.弦的垂直平分线必过圆心。（正确，符合推论）提升练习：在⊙O中，弦AB与CD相交于点E，若AE＝BE，且∠CEB＝90°，CD＝10cm，求圆心O到AB的距离。（提示：连接OA、OB，利用垂径定理，答案：5cm）幻灯片7：课堂总结，布置作业（5分钟）核心回顾：1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧（知二推三）；2.关键推论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦及弧；3.核心方法：作垂线构造直角三角形，用勾股定理计算弦长、半径等。作业布置：1.基础题：①教材习题，已知⊙O半径为5cm，弦AB＝6cm，求圆心O到AB的距离；②用直尺和圆规作一个圆，使它经过已知三点（非共线），并说明理由；2.提升题：在⊙O中，弦AB＝10cm，CD是直径，CD⊥AB于E，若DE＝2cm，求⊙O的半径；3.拓展题：收集生活中应用垂径定理的实例，如管道检修、隧道设计等，简要说明原理。新课探究在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB,垂足为点P,再将纸片沿着直径CD对折,你发现了什么？对折后,AP与BP、

与

分别重合，即它们都是相等的.如何来证明呢？APBDCO（A）求证：AP=BP,=,=.已知：AB是⊙O的一条弦,CD为直径,CD⊥AB.APBDCO证明连结CA、CB、OA、OB,则OA=OB,即△AOB是等腰三角形.∵CD⊥AB,∴AP=BP.又∵

CP=CP,∴Rt△APC≌Rt△BPC,∴AC=BC.∴

=

（在同一个圆中,如果弦相等,那么它们所对的弧相等）.由此易得

=

APBDCO

垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.由上面的证明可知，如果⊙O的直径CD垂直于弦AB,垂足为P,那么点A、B是关于CD所在直线的对称点，则AP=BP.把⊙O沿CD对折时，

与

重合，即

=

.APBDCO垂径定理的推论

平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧;平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.不是直径为什么强调这里的弦不是直径？NOABMCD一个圆的任意两条直径总是互相平分，但它们不一定互相垂直.因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立．垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形。adrAPBDOCba+b=r

在a，b，r，d中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个量．返回1.下列说法正确的是(

)A.垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧B.平分弦的直径垂直于弦C.垂直于直径的弦平分这条直径D.过弦(不是直径)的中点的直径平分弦所对的两条弧D返回2.如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D.若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为(

)A.5

B.4

C.3D.2B3.[2025咸阳模拟]如图，这是一扇拱形门的示意图，BC为门框底，∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝CD＝2m，门框顶部是一段圆心角为90°的圆弧，

【点拨】如图，连结AD，设圆弧的圆心是O，连结OE交AD于点H，连结OA，OD，则OE⊥AD，AH＝DH.易知AD＝2m，【答案】B返回4.AB，CD为⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，⊙O的直径为10，AB∥CD，则AB与CD之间的距离为__________.1或7【点拨】如图所示，连结OA，OC.过点O作直线EF⊥AB于E，交CD于F.∵AB∥CD，∴EF⊥CD.∵⊙O的直径为10，∴OA＝OC＝5.∵OE⊥AB，OF⊥CD，如图①，当AB和CD在圆心的同侧时，则EF＝OF－OE＝1；如图②，当AB和CD在圆心的两侧时，则EF＝OE＋OF＝7.综上，AB与CD之间的距离为1或7.返回5.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(20，0)，点B的坐标是(16，0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，则点C的坐标为________.(2，6)【点拨】

∵四边形OCDB是平行四边形，B(16，0)，∴CD∥OA，CD＝OB＝16.如图，过点C作CE⊥OA于点E.过点M作MF⊥CD于点F，返回6.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，BC边上的高AH＝3，点P是边BC上的动点，以CP为半径的⊙C与边AD交于点E，F(点E在点F的左侧).(1)当⊙C经过点A时，求CP的长；(2)连结AP，CE，当AP∥CE时，求⊙C的半径及弦EF的长.

(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.当AP∥CE时，四边形APCE是平行四边形