2026届四川省资阳市高三上学期第一次诊断性考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省资阳市2026届高三上学期第一次诊断性考试数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为集合，，所以故选：C.2.复数（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，故选：D.3.已知命题，命题，则是成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】或，因为成立，但不成立，所以是成立的必要不充分条件.故选：B.4.已知等差数列的前项和为，若，，则（）A.48 B.63 C.80 D.96【答案】A【解析】设等差数列的公差为，，所以，解得，所以，由等差数列前项和公式得.故选：A.5.已知，，则（）A. B. C. D.7【答案】B【解析】由，，则，所以，则.故选：B.6.某果园中某品种水果的单果质量（单位：）服从正态分布，且，若从该果园中随机选取个该品种水果，则质量在的水果个数的期望为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，则，所以，从该果园中随机选取个该品种水果，设质量在的水果个数为，由题意可知，由二项分布的期望可得.故选：D.7.如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意，.故选：D.8.已知函数的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，则，化简得，即，换底后得到；令，则，化简得，即，换底后得到；令，则；化简得，即，换底后得到；分别画出它们的图象为：由图可以看出.故选：A.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.，9.某车间为了解加工的零件数x（单位：个）与加工时间y（单位：min）的关系，收集到5组观测数据（如下表所示）：零件数x/个1020304050加工时间y/min6774808693假设加工时间与加工的零件数满足的经验回归方程为，则（）A.B.当时，的预测值为102C.加工时间的5个观测数据的分位数为80D.当加工的零件数时，加工时间的残差为0.2【答案】AD【解析】由题意，，，因为经验回归直线必过点，即点，则，解得，即，故A正确；当时，，故B错误；将加工时间的5个观测数据从小到大排列为：，由于，则分位数为，故C错误；当时，，则残差为，故D正确.故选：AD.10.记的内角，，的对边分别为，，.若，，则（）A.的周长为6 B.，，成等差数列C.角的最大值为 D.面积的最大值为【答案】ABD【解析】对于B，因为，所以，则，，成等差数列，故B正确，对于A，因为，所以，可得的周长为6，故A正确，对于C，由余弦定理得，由基本不等式得，当且仅当时取等，可得，由余弦函数性质得在上单调递减，而，得到，即角的最大值为，故C错误，对于D，由三角形面积公式得，可得面积的最大值为，故D正确.故选：ABD.11.已知是函数的极小值点，则（）A.B.若，则C.若，则有3个相异的零点D.方程有3个不同的实数根【答案】ACD【解析】对于A，因为，所以，因为是函数的极小值点，所以，可得，解得，故A正确，对于B，因为，所以，则，即，由正弦函数性质得，由余弦函数性质得，由已知得，则，令，，令，，可得在上单调递减，在上单调递增，得到，故B错误，对于C，由已知得在上单调递减，在上单调递增，而，得到，，当时，，当时，，若讨论的零点个数，则讨论的解的个数，故讨论与的交点个数即可，如图，作出符合题意的图象，由图象可得，当时，与有3个相异的交点，即有3个相异的零点，故C正确，对于D，令，若求方程的实数根，则先求的解的个数，即求的解的个数，令，则求的零点个数，由已知得在上单调递减，在上单调递增，而，，，，可得，，由零点存在性定理得存在，作为的零点，则是的两个解，后续求解与即可，由已知得在上单调递减，在上单调递增，若，当时，，此时无解，排除，当时，，此时有一个解，当时，，此时有一个解，若，当时，，此时无解，排除，当时，，此时无解，当时，，此时有一个解，综上，方程有3个不同的实数根，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，，则__________.【答案】2【解析】因为，所以.故答案为：2.13.抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上得2分，反面向上得分.若连续抛掷2次，记所得总分为随机变量，则__________.【答案】【解析】根据题意，随机变量的可能取值为，对应的概率为：，，，所以，故答案为：.14.已知向量，，满足，，，向量与的夹角为，则的最小值是__________.【答案】1【解析】由题意，代入，得，则夹角为，如图所示在直角三角形中，，，令，则，即为向量与的夹角为，则点C在所对圆周角为的圆弧上，其圆心角为，如图所示，要使得最小，显然在下方的圆弧上，由于，则在上取，由于，由余弦定理可得，同理可求，所以点即为圆心，半径，则，此时共线且点C在之间，故的最小值是1.故答案为：1.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求的最小正周期；（2）当时，求函数的最小值，以及相应的集合.解：（1）由题意得，化简得，所以的最小正周期为.（2）由（1）可知取最小值时，即，解得，此时，.16.某工厂甲乙两条生产线生产了同一种产品，为了解产品质量与生产线的关系，现从这两条生产线所生产的产品中，随机抽取了500件进行检测，检测结果（“合格”或“优良”）如下表：生产线检测结果合计合格优良甲生产线20180200乙生产线60240300合计80420500（1）根据小概率值的独立性检验，能否推断产品检测结果与生产线有关联？（2）用样本估计总体，频率估计概率.现等可能地从这两条生产线中抽取一条生产线，然后从该生产线随机抽取1件产品.（i）求抽出的产品是优良品的概率；（ii）已知抽出的产品是优良品，求它是从甲生产线抽出的概率.附：；0.10.010.0012.7066.63510.828解：（1）提出零假设：产品检测结果与生产线没有关联，由，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即产品检测结果与生产线有关联，此推断犯错的概率不大于.（2）设事件“被选出的是甲生产线”，事件“取出的产品是优良品”，（ⅰ）依题意，，，由全概率公式得：.（ⅱ）取出的产品是优良品，则它是从甲生产线取出的概率为：．17.已知函数（其中）.（1）当变化时，曲线在点处的切线是否过定点？若是，求该定点的坐标；若不是，说明理由；（2）若在区间上单调递增，求的取值范围.解：（1）因为，.所以，，所以.所以函数在点处的切线方程为：即，过定点.所以当变化时，曲线在点处的切线过定点.（2）在区间上单调递增，则在上恒成立.所以，.设，，则，.由；由.所以函数在上单调递减，在上单调递增.所以.所以，即的取值范围为.18.已知数列的首项，且满足.（1）求证：是等比数列；（2）求数列的前项和；（3）令，数列的前项和为.求证：.（1）证明：由，则，又，所以数列是以4为首项4为公比的等比数列.（2）解：由（1）知，，则，所以.（3）证明：由，则，由于，则，所以.由，则，要证，即证，由，则，则，下面证明，当时，，即；假设，，时，，则时，.综上所述，，则，所以，则，当且仅当时取等，则，即.综上所述，.19.已知函数.（1）若有3个极值点，，，且，（i）求的取值范围；（ii）求证：；（2）若，，求的取值范围.（1）（i）解：当时，不符合题意，当时，，设，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减，极小值，极大值，且由指数函数与二次函数增长速度可得，当趋于时，趋于，当趋于时，趋于，作出图像：则要使有3个极值点，需使与有3个交点，则，即.设与的3个交点横坐标从小到大分别为，，，则由图像可得当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，则极大值点为，极小值点为符合题意，故的范围为.(ii)证明：由（i）,,且时，单调递增，则，由于，则，代入得，设，则，则，即，综上：.（2）解：设，则，设，则，设，则，设，则，由于时，，所以，则单调递增，当时，，则单调递增，则，则单调递增，则，则单调递增，则符合题意；当时，，则存在，使得时，，则在单调递减，则，则在单调递减，不符合题意；综上，.四川省资阳市2026届高三上学期第一次诊断性考试数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为集合，，所以故选：C.2.复数（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意得，故选：D.3.已知命题，命题，则是成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】或，因为成立，但不成立，所以是成立的必要不充分条件.故选：B.4.已知等差数列的前项和为，若，，则（）A.48 B.63 C.80 D.96【答案】A【解析】设等差数列的公差为，，所以，解得，所以，由等差数列前项和公式得.故选：A.5.已知，，则（）A. B. C. D.7【答案】B【解析】由，，则，所以，则.故选：B.6.某果园中某品种水果的单果质量（单位：）服从正态分布，且，若从该果园中随机选取个该品种水果，则质量在的水果个数的期望为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，则，所以，从该果园中随机选取个该品种水果，设质量在的水果个数为，由题意可知，由二项分布的期望可得.故选：D.7.如图，D是的边AC的中点，点E在BD上，且，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意，.故选：D.8.已知函数的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，则，化简得，即，换底后得到；令，则，化简得，即，换底后得到；令，则；化简得，即，换底后得到；分别画出它们的图象为：由图可以看出.故选：A.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.，9.某车间为了解加工的零件数x（单位：个）与加工时间y（单位：min）的关系，收集到5组观测数据（如下表所示）：零件数x/个1020304050加工时间y/min6774808693假设加工时间与加工的零件数满足的经验回归方程为，则（）A.B.当时，的预测值为102C.加工时间的5个观测数据的分位数为80D.当加工的零件数时，加工时间的残差为0.2【答案】AD【解析】由题意，，，因为经验回归直线必过点，即点，则，解得，即，故A正确；当时，，故B错误；将加工时间的5个观测数据从小到大排列为：，由于，则分位数为，故C错误；当时，，则残差为，故D正确.故选：AD.10.记的内角，，的对边分别为，，.若，，则（）A.的周长为6 B.，，成等差数列C.角的最大值为 D.面积的最大值为【答案】ABD【解析】对于B，因为，所以，则，，成等差数列，故B正确，对于A，因为，所以，可得的周长为6，故A正确，对于C，由余弦定理得，由基本不等式得，当且仅当时取等，可得，由余弦函数性质得在上单调递减，而，得到，即角的最大值为，故C错误，对于D，由三角形面积公式得，可得面积的最大值为，故D正确.故选：ABD.11.已知是函数的极小值点，则（）A.B.若，则C.若，则有3个相异的零点D.方程有3个不同的实数根【答案】ACD【解析】对于A，因为，所以，因为是函数的极小值点，所以，可得，解得，故A正确，对于B，因为，所以，则，即，由正弦函数性质得，由余弦函数性质得，由已知得，则，令，，令，，可得在上单调递减，在上单调递增，得到，故B错误，对于C，由已知得在上单调递减，在上单调递增，而，得到，，当时，，当时，，若讨论的零点个数，则讨论的解的个数，故讨论与的交点个数即可，如图，作出符合题意的图象，由图象可得，当时，与有3个相异的交点，即有3个相异的零点，故C正确，对于D，令，若求方程的实数根，则先求的解的个数，即求的解的个数，令，则求的零点个数，由已知得在上单调递减，在上单调递增，而，，，，可得，，由零点存在性定理得存在，作为的零点，则是的两个解，后续求解与即可，由已知得在上单调递减，在上单调递增，若，当时，，此时无解，排除，当时，，此时有一个解，当时，，此时有一个解，若，当时，，此时无解，排除，当时，，此时无解，当时，，此时有一个解，综上，方程有3个不同的实数根，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，，则__________.【答案】2【解析】因为，所以.故答案为：2.13.抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上得2分，反面向上得分.若连续抛掷2次，记所得总分为随机变量，则__________.【答案】【解析】根据题意，随机变量的可能取值为，对应的概率为：，，，所以，故答案为：.14.已知向量，，满足，，，向量与的夹角为，则的最小值是__________.【答案】1【解析】由题意，代入，得，则夹角为，如图所示在直角三角形中，，，令，则，即为向量与的夹角为，则点C在所对圆周角为的圆弧上，其圆心角为，如图所示，要使得最小，显然在下方的圆弧上，由于，则在上取，由于，由余弦定理可得，同理可求，所以点即为圆心，半径，则，此时共线且点C在之间，故的最小值是1.故答案为：1.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求的最小正周期；（2）当时，求函数的最小值，以及相应的集合.解：（1）由题意得，化简得，所以的最小正周期为.（2）由（1）可知取最小值时，即，解得，此时，.16.某工厂甲乙两条生产线生产了同一种产品，为了解产品质量与生产线的关系，现从这两条生产线所生产的产品中，随机抽取了500件进行检测，检测结果（“合格”或“优良”）如下表：生产线检测结果合计合格优良甲生产线20180200乙生产线60240300合计80420500（1）根据小概率值的独立性检验，能否推断产品检测结果与生产线有关联？（2）用样本估计总体，频率估计概率.现等可能地从这两条生产线中抽取一条生产线，然后从该生产线随机抽取1件产品.（i）求抽出的产品是优良品的概率；（ii）已知抽出的产品是优良品，求它是从甲生产线抽出的概率.附：；0.10.010.0012.7066.63510.828解：（1）提出零假设：产品检测结果与生产线没有关联，由，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即产品检测结果与生产线有关联，此推断犯错的概率不大于.（2）设事件“被选出的是甲生产线”，事件“取出的产品是优良品”，（ⅰ）依题意，，，由全概率公式得：.（ⅱ）取出的产品是优良品，则它是从甲生产线取出的概率为：．17.已知函数（其中）.（1）当变化时，曲线在点处的切线是否过定点？若是，求该定点的坐标；若不是，说明理由；（2）若在区间上单调递增，求的取值范围.解