2026届天津市蓟州区高三上学期11月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1天津市蓟州区2026届高三上学期11月期中数学试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合是小于8的正整数，则中元素个数为（）A.0 B.4 C.5 D.7【答案】B【解析】因为集合是小于8的正整数，且，所以，可得中元素的个数为4.故选：B.2.“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵，∴应是充分不必要条件，故选：A．3.已知平面向量，若与共线，则实数的值为（）A.9 B.4 C.－4 D.－9【答案】C【解析】由题可知，，解得.实数的值为.故选：C.4.已知函数的部分图象如下，则的解析式可能为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由图知为奇函数，对C，，定义域为，关于原点对称，且，则此时它为偶函数，与题图不符合，故排除C；对D，，定义域为，关于原点对称，且，则此时它为偶函数，与题图不符合，故排除D；由图知，而对A解析式，代入知，矛盾，故A错误.对B，，定义域为，关于原点对称，，则其为奇函数，则只需研究其时的单调性，当时，，因为在上单调递增，且恒成立，则在上单调递减，当时，，因为在上单调递增，且恒成立，则在上单调递减，结合其为奇函数和其在上函数图象的连续性知：在上单调递减，在上单调递减，在上单调递减，与题目所给图象符合，则B正确.故选：B.5.不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】将不等式移项可得：，通分后得：，整理得：，即.该不等式等价于，解得：.故选：A.6.已知等差数列的前项和为.若，则（）A.－12 B.－13 C. D.【答案】C【解析】设该等差数列的公差为，则由题意得，解得，则.故选：C.7.在中，，则（）A. B. C. D.或【答案】D【解析】在中，由正弦定理，得.因为，所以，或.当时，，所以；当时，，所以.故选：D.方法二：由余弦定理，得，化简得.所以，或.当时，，，符合题意；当时，，所以，，符合题意.故选：D.8.函数的零点所在区间是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由复合函数的单调性可得在上单调递增，又，，所以，由零点存在定理可得函数的零点位于内.故选：C.9.已知函数．若恒成立，且在区间内至少存在两个零点，则的最小值为（）A.9 B.8 C.7 D.6【答案】B【解析】因为，设函数的最小正周期为，由可得，所以，解得；当时，，因为在区间内至少存在两个零点，所以，即；所以当时取最小值，综上，的最小值为.故选：B.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.10.化简_________．【答案】5【解析】.故答案为：5.11.若，则_________．【答案】【解析】由可得，所以.故答案为：.12.已知幂函数的图象经过点，则实数_________．【答案】1【解析】根据题意可知，所以，解得.故答案为：1.13.已知函数.若，且，则的取值范围是___________．【答案】【解析】如图，由，知，且，得，即，得，所以，当且仅当即时等号成立.所以的取值范围为.故答案为：.14.在中，已知，且，则__________；若在线段上存在动点，使得，则的最小值为_________．【答案】①.2②.【解析】在中，，则，而，于是，，即，由，得，因此；由，得，又点在线段上，则，而，因此，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故答案为：2；.15.已知，函数则__________；若存在实数，使得方程恰有三个不同的实数解，则的取值范围为_________．【答案】①.0②.【解析】因为，所以.方程恰有三个不同的实数解，即函数的图象与有三个不同的交点.因为，且当时，，所以在上单调递增，且；所以当时，函数的图象与最多有一个交点.所以要想函数的图象与有三个不同的交点，须使当时，函数的图象与恰有两个交点.令，所以.当，即时，；当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，即最大值.函数的简图如下：所以.所以的取值范围为.故答案为：0；.三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.在中，角所对的边分别为，已知向量，，且．（1）求角：（2）若．（i）求的值；（ii）求的值．解：（1）已知，且．可得，由正弦定理，得，显然，得，由，故；（2）（i）由（1）知，且，由余弦定理，则得，即．解得（舍去）；（ii）由正弦定理，且，得，由，得为锐角，故，故，且；故．17.已知函数.（1）求曲线在点处的切线斜率；（2）当时，求证：．（1）解：由，可得，所以切线斜率为．（2）证明：令，则，当时，所以在上单调递减，当时，所以在上单调递增，所以当时，有最小值为，所以当时，，即当时，．18.已知是等差数列，是公比大于0的等比数列，且，．（1）求和的通项公式：（2）求数列的前项和：（3）设数列满足其中，求的前项和．解：（1）是等差数列，是各项都为正数的等比数列，设公差为，公比为，由．可得：，解得：或（负值舍去）则，；（2）记数列的前项和为，则，，两式相减可得，化为；（3），则数列的前项和．19.在数列中，，且数列满足．（1）证明：是等差数列，并求的通项公式；（2）证明：中的任意三项均不能构成等比数列；（3）求．（1）证明：数列中，，且，则，又，所以是首项为1，公差为的等差数列，故（2）证明：设数列中的任意三项为，，则．假设成等比数列，则，,可得，得，所以，与矛盾．所以中的任意三项均不能构成等比数列．（3）解：因为，所以．20.已知函数．（1）求的单调区间；（2）若有两个正零点，且．（i）求的取值范围；（ii）求证：．（1）解：函数的定义域为，求导得，当时，，所以函数在上单调递增；．当时，令，解得，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增．综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增．（2）（i）解：由题意知方程有两个不同的正实根，由（1）知，且，所以，解得．（ii）证明：由（1）得，所以，两边同时取自然对数，得，两式相减得，即，要证，只需证明，令，只需证明构造函数，求导得，所以函数在上单调递增，于是，所以不等式（*）成立，于是原不等式成立．天津市蓟州区2026届高三上学期11月期中数学试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合是小于8的正整数，则中元素个数为（）A.0 B.4 C.5 D.7【答案】B【解析】因为集合是小于8的正整数，且，所以，可得中元素的个数为4.故选：B.2.“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵，∴应是充分不必要条件，故选：A．3.已知平面向量，若与共线，则实数的值为（）A.9 B.4 C.－4 D.－9【答案】C【解析】由题可知，，解得.实数的值为.故选：C.4.已知函数的部分图象如下，则的解析式可能为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由图知为奇函数，对C，，定义域为，关于原点对称，且，则此时它为偶函数，与题图不符合，故排除C；对D，，定义域为，关于原点对称，且，则此时它为偶函数，与题图不符合，故排除D；由图知，而对A解析式，代入知，矛盾，故A错误.对B，，定义域为，关于原点对称，，则其为奇函数，则只需研究其时的单调性，当时，，因为在上单调递增，且恒成立，则在上单调递减，当时，，因为在上单调递增，且恒成立，则在上单调递减，结合其为奇函数和其在上函数图象的连续性知：在上单调递减，在上单调递减，在上单调递减，与题目所给图象符合，则B正确.故选：B.5.不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】将不等式移项可得：，通分后得：，整理得：，即.该不等式等价于，解得：.故选：A.6.已知等差数列的前项和为.若，则（）A.－12 B.－13 C. D.【答案】C【解析】设该等差数列的公差为，则由题意得，解得，则.故选：C.7.在中，，则（）A. B. C. D.或【答案】D【解析】在中，由正弦定理，得.因为，所以，或.当时，，所以；当时，，所以.故选：D.方法二：由余弦定理，得，化简得.所以，或.当时，，，符合题意；当时，，所以，，符合题意.故选：D.8.函数的零点所在区间是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由复合函数的单调性可得在上单调递增，又，，所以，由零点存在定理可得函数的零点位于内.故选：C.9.已知函数．若恒成立，且在区间内至少存在两个零点，则的最小值为（）A.9 B.8 C.7 D.6【答案】B【解析】因为，设函数的最小正周期为，由可得，所以，解得；当时，，因为在区间内至少存在两个零点，所以，即；所以当时取最小值，综上，的最小值为.故选：B.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.10.化简_________．【答案】5【解析】.故答案为：5.11.若，则_________．【答案】【解析】由可得，所以.故答案为：.12.已知幂函数的图象经过点，则实数_________．【答案】1【解析】根据题意可知，所以，解得.故答案为：1.13.已知函数.若，且，则的取值范围是___________．【答案】【解析】如图，由，知，且，得，即，得，所以，当且仅当即时等号成立.所以的取值范围为.故答案为：.14.在中，已知，且，则__________；若在线段上存在动点，使得，则的最小值为_________．【答案】①.2②.【解析】在中，，则，而，于是，，即，由，得，因此；由，得，又点在线段上，则，而，因此，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.故答案为：2；.15.已知，函数则__________；若存在实数，使得方程恰有三个不同的实数解，则的取值范围为_________．【答案】①.0②.【解析】因为，所以.方程恰有三个不同的实数解，即函数的图象与有三个不同的交点.因为，且当时，，所以在上单调递增，且；所以当时，函数的图象与最多有一个交点.所以要想函数的图象与有三个不同的交点，须使当时，函数的图象与恰有两个交点.令，所以.当，即时，；当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，即最大值.函数的简图如下：所以.所以的取值范围为.故答案为：0；.三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.在中，角所对的边分别为，已知向量，，且．（1）求角：（2）若．（i）求的值；（ii）求的值．解：（1）已知，且．可得，由正弦定理，得，显然，得，由，故；（2）（i）由（1）知，且，由余弦定理，则得，即．解得（舍去）；（ii）由正弦定理，且，得，由，得为锐角，故，故，且；故．17.已知函数.（1）求曲线在点处的切线斜率；（2）当时，求证：．（1）解：由，可得，所以切线斜率为．（2）证明：令，则，当时，所以在上单调递减，当时，所以在上单调递增，所以当时，有最小值为，所以当时，，即当时，．18.已知是等差数列，是公比大于0的等比数列，且，．（1）求和的通项公式：（2）求数列的前项和：（3）设数列满足其中，求的前项和．解：（1）是等差数列，是各项都为正数的等比数列，设公差为，公比为，由．可得：，解得：或（负值舍去）则，；（2）记数列的前项和为，则，，两式相减可得，化为；（3），则数列的前项和．19.在数列中，，且数列满足．（1）证明：是等差数列，并求的通项公式；（2）证明：中的任意三项均不能构成等比数列；（3）求．（1）证明：数列中，，且，则，又，所以是首项为1，公差为的等差数列，故（2）证明：设数列中的任意三项为，，则．假设成等比数列，则，,可得，得，所以，与矛盾．所以中的任意三项均不能构成等比数列．（3）解：因为，所以．20.已知函数．（1）求