湖北省圆创高中名校联盟2025届高三第三次联合测评数学（含答案）

湖北省高中名校联盟2025届高三第三次联合测评

数学

命题单位:湖北省武昌实验中学数学学科备课组审题单位:圆创教育教研中心恩施高中

本试卷共4页,19题。满分150分。考试用时120分钟。考试时间:2025年2月6日下午15:00—17:00

★祝考试顺利★

注意事项:

1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码贴在答题卡上的

指定位置。

2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、

草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题

卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要

求的.

1.若x=(3+i)(25i),则x=

A.125iB.1113iC.11+13iD.125i

2

2.已知集合A=U2o},B=(Zez2<<5},则(CRA)B=

A.(2,5)B.[2,5)C·3,4}D·2,3,4}

3.已知等差数列ta,}的前n项和为s,.若a45,as=9,则s为

A.88B.77C.66D.55

4.已知Cosu+2sina=m,2coscsina=n,则m2+n2的值为

A.3B·5C:5D

5.已知函数f(x)的导函数为f"(),且满足f(r)=2f,(")sinr.则f()的值为

33

1313

A.B.C.D

222'2

6.在测量降雨量的实践活动中,某小组利用现有仪器,将一个玻璃漏斗固定在一个较大的

锥形瓶上,漏斗的下端伸进锥形瓶内,下雨时将其置于室外收集雨水.如图所示,已知锥

形瓶的底部直径为100mm,瓶口直径为40mm,玻璃漏斗口直径为80mm,收集完毕

后测得水面距瓶底30mm,水面直径80mm,则平地降雨量大约为(注:平地降雨量等

于收集到的雨水体积与收集雨水的面积之比)

A.25.6mmB.28.1mm

C.35.6mmD.38.1mm

数学试卷第1页(共4页)

7.已知一个等比数列的前n项,前2n项,前3n项的和分别为s,,S2,s3,则下列等式中正确的是

B.S2

A.S,+s2s32ss3

C.(S,S2)S3nS22nD·S2+S22,=S,(S2nS3)

8.过抛物线C:y2=4上的一点P作切线l,设l与x轴相交于点M,F为C的焦点,直线PF交C于另

一点Q,则△PQM面积的最小值为

83163

A.B.4C.D.3

39

二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选

对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.

9.下列说法正确的有

A.若样本数据z1,uz2,,2025的平均数为a,则数据z,x2,"",2025,a的平均数为a

B.若随机变量X~N(2,o2),且P(X<a)=0.5,则a=2

8

C·若随机变量B··则E

若随机变量则

D.B(9.g·设738+19D3

10.已知点M为△ABC所在平面内一点,则

ABACABAC1

B.若+·BC且一·一=则△ABC为等边三角形

IABAClIABlIAC2

C.若MA·BC=0,MC·AB=0,则MB·AC=0

------

若AM-ZAB+AC·且+则△MBC的面积是面积的

D·3·ABC

w31

11已知函数f(1)Cos2+sinw(o>0),则

222

A·ftr)—sinl(ur+马)

B.f()在区间(0-s,上单调递增

C·若f(在区间(0,x)上恰有-个极值点则的取值范围是,4

33

5511

若f在区间·2内没有零点则的取值范围是U·

D···126l2

三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.

3

12.(2ry)5的展开式中y2的系数为·

3·设点F.·F2分别是双曲线C:2的左右焦点·过点F2的直线与双曲线C的左·右两支分

别交于A、B两点设△AF,rF2与BF,F2的内切圆半径分别为rr2则的值为·

r2

数学试卷第2页(共4页)

的方程f2,kf,,恰有两个不同的实数根·

则实数k的取值范围为·

四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,a=3,bC=2,D为BC边上的点.

()若A求角A的平分线AD的长;

3

(2)求BC边上中线AD长的最小值.

16.(15分)

如图,AC是CO的直径,PA垂直于所在的平面,B,D是圆周上不同于A,C的两点.

(1)求证:平面PAD上平面PCD;

5

t2)若PAAC2·AB-1直线CD与平面PBC所成的角的正弦值为,求AD.

5

P

D

AC

B

17.(15分)

已知函数f(r)—ln其中a>1.

a

(1)当a=2时,求曲线y=f(u)的对称中心;

(2)若函数g(1)=f(u1)+在区间(a,a2+a1)上单调递减,求实数a的取值范围.

数学试卷第3页(共4页)

18.(17分)

·左·右焦点分别为F3·,·F23·,·椭圆r

的上、下顶点分别记为A、D,右顶点为E.

(1)求T的方程;

(2)过上顶点A作直线l与ED的延长线交于P,与椭圆T交于B,点B关于轴的对称点为C.延长

CA交DE的延长线于T,过D作轴的平行线交AE的延长线于点Q,连接QP、QT.

(i)记直线QP与直线QT的斜率分别为k1,k2,求kk2的值;

(ii)证明:QTAP·

19.(17分)

记集合S,=ixIX=(u,2,"",zt,),ai0,1},i=1,2…,n},mn≥2,nEN".

对于ya.bES,0-·2··a,9.bb·

(1)Ya,bs3且b,记随机变量X=a·b,求P(x=0);

(2)若集合M三S,,对于Ya,bEM,且b,都有a·b=0,请写出一个集合M,使得集合M中的元

素个数最多,并说明理由;

(3)若集合T三s,,对于ya,bT,且b,都有a·b0,求证:集合T中至多有2个元素.

数学试卷第4页(共4页)

湖北省高中名校联盟2025届高三第三次联合测评

数学试卷参考答案与评分细则

题号1234567891011

答案CCBBADDCABBCDABD

1.【答案】C

【详解】z=(3+i)(2-5i)=6-15i+2i-5i2=11-13i,z-=11+13i.故选C

2.【答案】C

【详解】由x2-x-2≤0,可得-1≤x≤2,即A={x|-1≤x≤2},∁RA={x|x<-1或x>2}.

由B={x∈Z|-2<x<5}={-1,0,1,2,3,4},所以(∁RA)∩B={3,4}.故选C.

3.【答案】B

故选B.

4.【答案】B

【详解】cos2α+4sinαcosα+4sin2α=m2,sin2α-4sinαcosα+4cos2α=n2,两式相加得到m2+n2=1+

4=5.故选D.

5.【答案】A

【详解】f(x)=2xf'sinx,求导得到f'cosx.

令x即fcos整理得fcos故选A.

6.【答案】D

【详解】设收集到的雨水体积为V,收集雨水的面积为S,则V

(502+50×40+402)=61000πmm3,S=πr2=π×402=1600πmm2,故平地降雨量为

38.1mm.故选D.

7.【答案】D

【详解】前三个选项举反例,令n=1,等比数列为1,2,4.则Sn=1,S2n=3,S3n=7.

对于A,Sn+S2n=4,故A错误;

数学试卷参考答案与评分细则第1页(共8页)

2

对于B,S2n=9,SnS3n=7,故B错误;

对于C,(Sn+S2n)-S3n=-3,故C错误.

nnn2nn2n

对于D,因为S2n=Sn+qSn=Sn(1+q),S3n=Sn+qSn+qSn=Sn(1+q+q),

222n222nn22nnn

Sn+S2n=Sn[1+(1+q)]=Sn(q+2q+2)=Sn[(q+q+1)+(q+1)]=Sn(S3n+S2n),故D

正确.故选D.

8.【答案】C

【详解】设P,由抛物线的对称性,不妨设t>0,因为直线PM与抛物线相切,

故直线PM的方程为yt=2令y=0,得点M的坐标为

设直线PQ的方程为x=my+1,

x

联立y2-4-4=0,yPyQ=-4,

{得my所以有于是yQ

则S△PMFyP-yQ

令g则g'

当时,g'(t)<0,g(t)单调递减;当t时,g'(t)>0,g(t)单调递增,故g(t)≥

g,所以S△PQM的最小值为.故选C.

9.【答案】AB

【详解】对于A,样本数据x1,x2,…,x2025的平均数为a,数据x1,x2,…,x2025,a的平均数为

a,故A正确;

对于B,P(X<a)=0.5,则a=μ=2,故B正确;

对于C,因为,则E,故C错误;

对于D,因为η=3ξ+1,所以D=D故D错误.故选AB.

10.【答案】BCD

【详解】对于A,因为,故A错误;

数学试卷参考答案与评分细则第2页(共8页)

→→

→

对于B,因为(+)·BC=0,所以∠BAC的角平分线与BC垂直,所以AB=AC;又因为

·1·1·cosA,所以A,则△ABC为等边三角形,故B正确;

→→→→→→→→

对于C,因为MA·BC=0,MC·AB=0,则MA⊥BC,MC⊥AB,所以点M为△ABC的垂心,所以

→→→→

MB⊥AC,即MB·AC=0,故C正确;

→→→→→→→

对于D,因为AM=xAB+yAC,且x+y,所以3AM=3xAB+3yAC,3x+3y=1.设AN=

→→→→

3AM,由3AM=3xAB+3yAC,且3x+3y=1,得B,C,N三点共线,且MNAN,所以△MBC

的面积是△ABC面积的,故D正确.故选BCD.

11.【答案】ABD

【详解】对于A,f(x)=cos2+sinωx-+sinωx-sin(ωx+故A

正确;

对于B,x∈(0,则ωx+∈,⊆(0,故f(x)在(0,上单调递增,故B正确;

π

对于C,x∈(0,π),ωx+∈,ωπ+x)在(0,π)上恰有1个极值点,则<ωx+≤,解

得<ω≤,故C错误;

对于D,x∈(π,2π),ωx+∈(ωπ+,2πω+x)在(π,2π)内无零点,

(π

—kπ≤ωπ+,5

6k+

—16

则〈—即k-6≤ω≤2(k∈Z),

π

—2πω+≤(k+1)π,

(6

—(5

k+>0,

6

—

要使ω有解,则有〈:0,

—5解得k=或=1

k+

—16

—k,

(-6≤2

5511

所以0<ω≤或≤ω≤,即D正确.故选ABD.

12612

12.【答案】80

数学试卷参考答案与评分细则第3页(共8页)

2323232

【详解】因为C5·(2x)·(-y)=80xy,所以xy的系数为80.故填80.

13.【答案】3

【详解】设△AF1F2与△BF1F2的内切圆圆心分别为I1,I2,其

横坐标分别为x1,x2,其内切圆半径分别为r1,r2,过I1,I2向x

轴作垂线,垂足分别为M,N,连接I1F2.

在△AF1F2中,有AF2+F1F2-AF1=2MF2,

所以2a+2c=2(c-x1),解得x1=-a.同理可得x2=a.

因为I1,I2都在∠AF2F1的平分线上,所以I1,I2,F2三点共线,于是△I1MF2∽△I2NF2.

所以故填3.

14.【答案】k<-2或k=2

x

21,x0,

【详解】因为函数f(x)=可得函数图象如图.

{-x-2,x<0,

由于方程f2(x)-kf(x)+1=0有两个不同的实数根,令t=f(x),

2

设方程t-kt+1=0的两个实根分别为t1,t2,不妨设t1<t2.

①当Δ=k2-4=0时,k=2或k=-2.

经检验,当k=2时,t1=t2=1,满足题意;当k=-2时,t1=t2=-1,不符合题意,舍;

2

②当Δ=k-4>0时,k>2或k<-2,有t1+t2=k,t1t2=1,

当k>2时,有0<t1<1,t2>1,不符合题意,舍;

当k<-2时,有t1<0,t2<0,此时由图可知,函数f(x)恰有2个零点,符合题意.

综上,k<-2或k=2.

故填k<-2或k=2.

ππ

15.【详解】(1)因为A=,a=3,则由余弦定理得3=b2+c2-2bccos,

33

即3=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc.…………………(1分)

1

又因为b+c=2,所以bc=.……………………(2分)

3

1A1A1

所以S△ABC=S△ABD+S△ACD=b·AD·sin+c·AD·sin=bcsinA。…………(4分)

22222

13

×

ππ323

所以AD·(b+c)·sin=bcsin,即AD==,

6316

2×

2

数学试卷参考答案与评分细则第4页(共8页)

所以AD………………………(6分)

(2)因为D是BC的中点,所以……………(8分)

→→→→

平方相加可得AD2(2AB2+2AC2-BC2)…………………(10分)

(2b2+2c2-a2)(2(b+c)2-4bc-3)-bc≥-,………………(12分)

→

当且仅当b=c=1时取等号,所以AD长的最小值为iADi.……………(13分)

16.【详解】(1)证明:∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD.………(1分)

又AC是圆O的直径,故AD⊥CD.………………(2分)

又AD∩PA=A,∴CD⊥平面PAD.……………(3分)

又CD⊂平面PCD,∴平面PAD⊥平面PCD.…………………(4分)

(2)以B为原点,建立如图所示的空间坐标系.

有B(0,0,0),A(0,1,0),P(0,1,2),C(3,0,0).………………(5分)

→→→→

设D(m,n,0),则CD=(m-3,n,0),AD=(m,n-1,0),BP=(0,1,2),BC=(3,0,0).……(6分)

→→

又CD⊥AD,所以CD·AD=0,P·

故m(m-3)+n(n-1)=0(*)…………(7分)

设平面PBC的一个法向量为λ=(x,y,z),

D

—(λ·0y+20．,·

Y

有〈,即不妨取λ=(0,-2,1).……(8分)C

—A

(λ·0{3x

B

设直线CD与平面PBC所成角为θ,

(9)

有sinθ=cos所以分

2

于是有,化简得n2=3(m-3).………………(10分)

①若n=3m-3,代入(*)可得m(m-3)+(3m-3)(3m-4)=0,

化简得4mm+12=0,解得

数学试卷参考答案与评分细则第5页(共8页)

此时点D与点C重合,与题设矛盾,故舍去.……………………(12分)

②若n=3-3m,代入(*)可得m(m-3)+(3-3m)(2-3m)=0,

(

—3

m=,m=3,

—2或(舍)……(14分)

2

,

化简得2m-33m+3=0解得〈—{

3

—n=,n=0.

(2

综上所述,AD的长为1.…………(15分)

2x-11

),∪(2,),(1分)

17.【详解】(1)当a=2时,f(x)=lnx-2,f(x的定义域为(-∞2)+∞……………

5

其定义域关于x=对称,于是有

4

5

2-x-1

52x-1(2)2x-18-4x

f(x)+f-x=ln+ln=ln+ln=2ln2,………(4分)

(2)(x-2)(5)(x-2)(1-2x)

-x-2

(2)

5

所以曲线y=f(x)的对称中心为(,ln2).………(6分)

4

ax-11

(2)因为g(x)=ln+x,

x-a9

x-aa(x-)-(x-1)11a21

所以gI(x)=·+=+.………(8分)

ax-1-a9(ax-(x-a)9

(a-1(2ax-1-a2)

而g″(x)=>0(a>1),

x-)2(ax-1)2

所以gI(x)在(a,a2+a-1)上单调递增,………(10分)

依题意,有gI(x)≤0对任意x∈(a,a2+a-1)恒成立,所以gI(a2+a-1)≤0,

11

于是有-+≤0.…………………(12分)

a3+a2-a-19

因为a>1,所以a3+a2-a-10≤0,

所以(a-2)(a2+3a+5)≤0,所以1<a≤2.……………………(14分)

综上,实数a的取值范围为(1,2].………………(15分)

c3x2

18.【详解】(1)依题意,c=3,e==,可知a=2,b=1,故椭圆的方程为+y2=1.………(2分)

a24

(2)在△ADQ中,有OE∥DQ,所以OE是△ADQ的中位线,即E是AQ的中点.

数学试卷参考答案与评分细则第6页(共8页)

(i)因为D(0,-1),E(2,0),所以Q(4,-1),……

……………(3分)

……………(4)

直线DE的方程为yx-1.分:

设B(m,n),则C(m,-n),因为A(0,1),

1

所以直线AB的方程为y-1x,……(5分)

直线AC的方程为yx.………………(6分)

x,

联立解得xP(7分)

x,

联立解得xT……………………(8分)

于是有yPxPyTxT………(9分)

所以k1k

.……(11分)

-

2

又因为n=1,所以k1k…………………(12分)

(ⅱ)由(i)可知

xP+xT+4=2xE,………………(15分)

故E是PT的中点.

又因为E是AQ的中点,所以四边形APQT是平行四边形,故QT=APi.……………(17分)

19.【详解】(1)S3中一共有8个向量,向量(0,0,0)和剩下7个向量的数量积均为0,有7种情况;………

……………