2025绵阳市绵阳中学自主招生考试数学模拟题含答案

2025绵阳市绵阳中学自主招生考试数学模拟题(含答案）一、选择题（每题5分，共25分）

1.已知函数$f(x)=\sqrt{1+x^2}$，则$f(x)$的取值范围是（）

A.$[1,1]$B.$[0,+\infty)$C.$(\infty,1]$D.$(\infty,+\infty)$

答案：B

解析：因为$f(x)=\sqrt{1+x^2}$，所以$f(x)=\sqrt{1+(x)^2}=\sqrt{1+x^2}$。由于$x^2\geq0$，所以$1+x^2\geq1$，因此$\sqrt{1+x^2}\geq1$。所以$f(x)$的取值范围是$[1,+\infty)$，故选B。

2.若$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$（$adbc\neq0$），且$f(1)=0$，$f(1)=1$，则$f(2)$的值为（）

A.2B.1C.0D.2

答案：D

解析：由$f(1)=0$，代入得$\frac{a(1)+b}{c(1)+d}=0$，解得$a=b$。由$f(1)=1$，代入得$\frac{a(1)+b}{c(1)+d}=1$，解得$a+b=c+d$。联立两个方程，解得$a=\frac{1}{2}b$，$c=\frac{1}{2}d$。代入$f(2)$得$f(2)=\frac{a(2)+b}{c(2)+d}=\frac{2b}{2d}=1$，故选D。

3.已知$a$，$b$是方程$x^22x3=0$的两根，则$a^2+b^2$的值为（）

A.4B.5C.10D.15

答案：C

解析：因为$a$，$b$是方程$x^22x3=0$的两根，所以$a+b=2$，$ab=3$。则$a^2+b^2=(a+b)^22ab=4^22(3)=10$，故选C。

4.若函数$f(x)=x^2+mx+n$在$x\in(0,+\infty)$上单调递增，则实数$m$的取值范围是（）

A.$(\infty,2]$B.$[2,+\infty)$C.$(\infty,2]$D.$[2,+\infty)$

答案：C

解析：函数$f(x)=x^2+mx+n$的导数为$f'(x)=2x+m$。因为$f(x)$在$x\in(0,+\infty)$上单调递增，所以$f'(x)\geq0$。所以$2x+m\geq0$，即$m\geq2x$。因为$x\in(0,+\infty)$，所以$m\geq0$，即$m\in(\infty,2]$，故选C。

5.已知函数$f(x)=\frac{1}{x^22x3}$，则$f(x)$的值域为（）

A.$(\infty,1)\cup(0,1)\cup(1,+\infty)$B.$(\infty,1)\cup(0,+\infty)$

C.$(\infty,0)\cup(0,1)\cup(1,+\infty)$D.$(\infty,1)\cup(1,+\infty)$

答案：A

解析：函数$f(x)=\frac{1}{x^22x3}$可以分解为$f(x)=\frac{1}{(x3)(x+1)}$。因为$x3$和$x+1$的符号相反，所以$f(x)$在$x<1$时为正，在$1<x<3$时为负，在$x>3$时为正。所以$f(x)$的值域为$(\infty,1)\cup(0,1)\cup(1,+\infty)$，故选A。

二、填空题（每题5分，共25分）

1.若$a^2b^2=0$，则$a+b=$________。

答案：0或$2b$

解析：由$a^2b^2=0$得$(a+b)(ab)=0$。所以$a+b=0$或$ab=0$。当$ab=0$时，$a=b$，则$a+b=2b$。

2.若$a$，$b$是方程$x^2+2x3=0$的两根，则$a^3+b^3=$________。

答案：18

解析：因为$a$，$b$是方程$x^2+2x3=0$的两根，所以$a+b=2$，$ab=3$。所以$a^3+b^3=(a+b)(a^2ab+b^2)=(a+b)[(a+b)^23ab]=2\times(43\times(3))=18$。

3.已知函数$f(x)=x^2+mx+n$在$x\in(\infty,2)$上单调递减，则实数$m$的取值范围是________。

答案：$m\leq4$

解析：函数$f(x)=x^2+mx+n$的导数为$f'(x)=2x+m$。因为$f(x)$在$x\in(\infty,2)$上单调递减，所以$f'(x)\leq0$。所以$2x+m\leq0$，即$m\leq2x$。因为$x\in(\infty,2)$，所以$m\leq4$。

4.若函数$f(x)=\frac{1}{x^24x5}$的定义域为$x\in(\infty,1)\cup(5,+\infty)$，则实数$a$的取值范围是________。

答案：$a\leq2$或$a\geq3$

解析：函数$f(x)=\frac{1}{x^24x5}$可以分解为$f(x)=\frac{1}{(x5)(x+1)}$。因为$f(x)$的定义域为$x\in(\infty,1)\cup(5,+\infty)$，所以$(x5)(x+1)<0$。解得$x\in(1,5)$。所以$a\leq2$或$a\geq3$。

5.若函数$f(x)=x^33x^2+x+1$在$x\in(\infty,1)$上单调递减，则实数$b$的取值范围是________。

答案：$b\geq0$

解析：函数$f(x)=x^33x^2+x+1$的导数为$f'(x)=3x^26x+1$。因为$f(x)$在$x\in(\infty,1)$上单调递减，所以$f'(x)\leq0$。所以$3x^26x+1\leq0$，即$x\in\left[\frac{6\sqrt{12}}{6},\frac{6+\sqrt{12}}{6}\right]$。因为$x\in(\infty,1)$，所以$b\geq0$。

三、解答题（共50分）

1.（本题10分）已知$a$，$b$是方程$x^22x3=0$的两根，求$a^2+b^2$的值。

解：因为$a$，$b$是方程$x^22x3=0$的两根，所以$a+b=2$，$ab=3$。所以$a^2+b^2=(a+b)^22ab=4^22(3)=10$。

2.（本题10分）已知函数$f(x)=x^2+mx+n$在$x\in(\infty,2)$上单调递减，求实数$m$的取值范围。

解：函数$f(x)=x^2+mx+n$的导数为$f'(x)=2x+m$。因为$f(x)$在$x\in(\infty,2)$上单调递减，所以$f'(x)\leq0$。所以$2x+m\leq0$，即$m\leq2x$。因为$x\in(\infty,2)$，所以$m\leq4$。

3.（本题15分）已知函数$f(x)=\frac{1}{x^24x5}$的定义域为$x\in(\infty,1)\cup(5,+\infty)$，求实数$a$的取值范围。

解：函数$f(x)=\frac{1}{x^24x5}$可以分解为$f(x)=\frac{1}{(x5)(x+1)}$。因为$f(x)$的定义域为$x\in(\infty,1)\cup(5,+\infty)$，所以$(x5)(x+1)<0$。解得$x\in(1,5)$。所以$a\leq2$或$a\geq3$。

4.（本题15分）若函数$f(x)=x^33x^2+x+1$在$x\in(\infty,1)$上单调递减，求实数$b$的取值范围。

解：函数$f(x)=x^33x^2+x+1$的导数为$f'(x