2025年中考数学真题分类汇编27：锐角三角函数（10大考点62题）（教师版）

专题27锐角三角函数（10大考点，精选62题）考点概览考点1特殊角的三角函数考点2正弦的有关计算考点3余弦、正切的有关计算考点4锐角三角函数与几何性质计算考点5锐角三角函数与解三角形考点6三角函数与圆的计算与证明考点7锐角三角函数的应用：俯角、仰角问题考点8锐角三角函数的应用：方向角问题考点9锐角三角函数的应用：坡度、坡角问题考点10锐角三角函数综合问题考点1特殊角的三角函数1．（2025·天津·中考真题）tan45°-2cosA．0 B．1 C．1-22 D【答案】A【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，代入各特殊角的三角函数值后按运算顺序计算，即可求解．【详解】解：tan故选：A．2．（2025·广东·中考真题）计算20-2【答案】0【分析】本题考查了特殊角的三角函数值以及零指数幂，熟练记忆特殊角的三角函数值是解题的关键．分别计算零指数幂以及代入特殊角的三角函数值计算即可．【详解】解：2=1-2×=1-1=0，故答案为：0．3．（2025·北京·中考真题）计算：-3【答案】4+3【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．分别计算绝对值，化简二次根式，计算负整数指数幂，代入特殊角的三角函数值并进行乘法计算，再进行加减计算即可．【详解】解：-=3+3=4+334．（2025·青海·中考真题）计算：12【答案】3【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，零指数幂，二次根式的运算等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键．分别化简二次根式，计算零指数幂，绝对值，代入特殊角的三角函数值并相乘，最后再进行加减计算．【详解】解：12=2=335．（2025·四川南充·中考真题）计算：π-【答案】1【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用二次根式性质，零指数幂，负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值法计算即可求出值．【详解】解：原式=1+2=1+2=1．6．（2025·云南·中考真题）计算：π-【答案】8【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，涉及负整数和零指数幂，二次根式的乘法运算等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键．分别计算零指数幂、负整数指数幂，二次根式的乘法，计算绝对值，特殊角的三角函数值，再进行加减计算即可．【详解】解：π=1-3+6+5-2×=1-3+6+5-1=8．7．（2025·江苏扬州·中考真题）计算：(1)12-(2)aa【答案】(1)3(2)2【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．（1）先化简二次根式、计算含特殊角的三角函数值的混合运算和零指数幂，再计算二次根式的混合运算即可得；（2）先计算单项式乘以多项式、同底数幂的除法，再计算整式的加减法即可得．【详解】（1）解：原式=2=2=3（2）解：原式==2a8．（2025·山东东营·中考真题）（1）计算：2sin（2）先化简，再求值：a2-6a+9【答案】（1）3（2）a-3【分析】（1）先把特殊角的三角函数值代入，并计算零指数幂和负整数指数幂，进行开方运算，再算加减即可；（2）先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数a的值，再代入数据计算即可．【详解】解：（1）原式===3（2）a====a∵a是使不等式a∴a≤3且∴a=1，2，又∵a-2≠0∴a≠2，3，∴a当a=1时，原式=【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，分式化简求值，分式有意义的条件，解不等式，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．考点2正弦的有关计算9．（2025·云南·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．若AB=13,A．15 B．112 C．113【答案】D【分析】本题考查锐角三角函数的定义，掌握正弦等于锐角的对边与斜边的比值是解题的关键．直接由正弦的定义即可求解．【详解】解：∵∠C=90°，∴在Rt△ABC中，故选：D．10．（2025·广西·中考真题）在Rt△ABC中，∠C=90°，A．710 B．37 C．310【答案】B【分析】本题考查锐角三角函数的定义．根据锐角三角函数定义直接进行解答，即可．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∴sinB故选：B11．（2025·广东深圳·中考真题）如图为人行天桥的示意图，若高BC长为10米，斜道AC长为30米，则sinA的值为（

A．223 B．3 C．24【答案】D【分析】本题考查了正弦，理解正弦的定义是解题关键．根据正弦的定义求解即可．【详解】解：∵BC长为10米，斜道AC长为30米，∴根据题意得：sinA故选：D考点3余弦、正切的有关计算12．（2025·山东东营·中考真题）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积=12（弦×矢＋矢2），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则cos∠【答案】45/【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角函数的定义等知识点．如图，作OH⊥AB交AB于H，交圆弧于C，利用垂径定理和勾股定理构建方程组求出OA，【详解】解：如图，作OH⊥AB交AB于H，交圆弧于由题意：AB=设OA=x，由∴OH=∵OH⊥AB，∴AH=在Rt△由勾股定理得AH∴42解得x=5∴OA=5，∴cos∠故答案为：4513．（2025·广东·中考真题）如图，在矩形ABCD中，E，F是BC边上的三等分点，连接DE，AF相交于点G，连接CG．若AB=8，BC=12，则tan∠A．1010 B．13 C．310【答案】B【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的正切值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据矩形的性质，证明△AGD∽△FGE，得到EGED=14，然后过点G作GH【详解】解：∵矩形ABCD，E，F是BC边上的三等分点，AB=8，BC∴AD=BC=12，CD=BC=8，∴△AGD∴EGDG∴EGED过点G作GH⊥BC，则∴△GHE∴EHEC∴EH=14∴CH=∴tan∠故选：B．14．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，∠MON=60°，以O为圆心，2为半径画弧，分别交OM，ON于A，B两点，再分别以A，B为圆心，6为半径画弧，两弧在∠MON内部相交于点【答案】5【分析】本题考查了求角的正切值、等边三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角的正切的定义是解题关键．连接AB，交OC于点D，先得出OC垂直平分AB，再证出△AOB是等边三角形，则可得BD=1，然后利用勾股定理可得【详解】解：如图，连接AB，交OC于点D，由题意得：OA=OB=2∴OC垂直平分AB，∴OC⊥∵∠MON∴△AOB∴AB=∴BD=1∴CD=∴在Rt△BCD中，故答案为：5515．（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数y=4x的图象上，点B在反比例函数y=-2x的图象上，连接OA【答案】22/【分析】本题主要考查了求角的正切值，相似三角形的性质与判定，反比例函数比例系数的几何意义，过点A作AC⊥y轴于C，过点B作BD⊥y轴，可证明△DBO∽△COA【详解】解：如图所示，过点A作AC⊥y轴于C，过点B作∴∠BDO∵AO⊥∴∠DOB∴∠DBO∴△DBO∴S△∵点A在反比例函数y=4x的图象上，点B∴S△∴12∴OBOA∴tan∠故答案为：2216．（2025·江苏扬州·中考真题）如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度BM=7cm．将此正方体放在坡角为α的斜坡上，此时水面MN恰好与点A齐平，其主视图如图2所示，则tan【答案】4【分析】本题考查了求角的正切值、一元一次方程的几何应用、主视图、平行线的性质等知识，熟练掌握正切的定义是解题关键．延长AN，交直线BC于点E，设DN=xcm，则CN=CD【详解】解：如图，延长AN，交直线BC于点E，由题意得：AD=设DN=xcm∵密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为α的斜坡上，容器里水的体积不变；且放在坡角为α的斜坡上时，水的体积等于长为9cm、宽为9cm、高为9-xcm的长方体的体积与长为9cm、宽为9cm、高为∴9×99-解得x=4即DN=4∵AN∥∴∠AEF∵AD∥∴∠DAN∴tanα故答案为：4917．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO平移，得到△EFG，点E,F在坐标轴上．若∠AA．11,-4 B．10,-3 C．12,-3 D．9,-4【答案】B【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，坐标与图形变换—平移，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，是解题的关键．过点A作AH⊥y轴，作BK⊥AH交HA的延长线于点K，证明△AHO∽△BKA，得到AHBK=OHAK【详解】解：过点A作AH⊥y轴，作BK⊥AH交HA∴∠BAK∴△AHO∴AHBK∵∠A∴OH=3,∴4BK∴BK=8,∵平移，∴OF=∴E6,0∴将点A先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点E，∴将点O0,0先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点G∴G10,-3故选B．考点4三角函数与几何性质计算18．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，AD平分∠CAB，BE⊥A．23 B．733 C．52【答案】A【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，解直角三角形，设BC=x，根据含30度的直角三角形的性质，得到AB=2x,AC=3x，根据角平分线的性质，结合同高三角形的面积比等于底边比，得到CDBD=【详解】解：∵∠ACB=90°，∴AB=2设BC=x，则：∵AD平分∠CAB，∠∴点D到AC,AB的距离相等均为CD的长，∴S△∴CDBD∴CD=∴AD=∵BE⊥AD，∴sin∠∴CDAD=BE∴BE=∴ADBE故选：A．19．（2025·湖北·中考真题）如图，折叠正方形ABCD的一边BC，使点C落在BD上的点F处，折痕BE交AC于点G．若DE=22，则CG的长是（A．2 B．2 C．2+1 D．【答案】B【分析】如图，过G作GH⊥BC于H，由对折可得：BC=BF，CE=EF，∠BFE=∠BCE=90°=∠DFE，∠FBE=∠CBE，证明∠DEF=∠【详解】解：如图，过G作GH⊥BC于∵正方形ABCD，∴BC=CD=AB=AD，∠BCD=∠ADC由对折可得：BC=BF，CE=EF，∴∠DEF=∠FDE∴DF=∴CD=∴AC=∴OB=∵∠FBE=∠CBE，GH∴OG=∵BG=∴Rt△∴BH=∴CH=同理可得：CH=∴CG=故选：B.【点睛】本题考查的是正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键.20．（2025·四川南充·中考真题）如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，若正六边形的边长为2，那么矩形的面积是（

）A．12 B．83 C．16 D．【答案】B【分析】本题主要考查了矩形和正六边形的性质，解直角三角形．根据矩形和正六边形的性质可得∠ACB=60°，然后解直角三角形可得AB,【详解】解：如图，∵是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，且正六边形的边长为2，∴∠BCD=120°,∠A∴∠ACB∴AB=BC×同理BF=∴AF=2∴矩形的面积是AE×故选：B．21．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=5，过点A作直线l∥BC，点E是直线l上一动点，连结EC，过点E作

A．5 B．4 C．25 D．【答案】B【分析】在点A的右侧取一点G，使得AG=12AC=2，连结CG，GF，过点F作FH⊥l于点H，先根据相似三角形的判定与性质，推得∠HGF都是定值，点F在射线GF上运动，从而得到当【详解】解：如图1，在点A的右侧取一点G，使得AG=12AC=2，连结CG，GF，过点F∵直线l∥BC，∴∠CAG∵EF⊥CE∴tan∴EF∵∠CEF∴△CEF∴CFCG=∴CFCE=∴△GCF∴∠CGF∴∠ACG+∠AGC∴∠HGF∵tan∴∠ACG和∠∴点F在射线GF上运动，∴当BF⊥GF时，BF最短（如图延长HF，CB相交于点N，∵∠ACB∴四边形ACNH是矩形，∴HN=AC∵BF⊥GF∴BF∴∠FBN∵AH∴∠CGA∴∠FBN∵∠FNB∴△FNB∴FN∵AG∴FN设BN=x，则FN=2∴FH∴AH∴GH∵tan∴AG∴2解得x=1∴BN=1，FN=2，FH∴GF=F∵△GCF∴GF∴2解得AE=4∴当BF最短时，则AE的长度为4．故选：B．

【点睛】本题考查了几何最值问题，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，探究线段BF最短时的几何图形是解题的关键．22．（2025·四川泸州·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE上的点，且DF=DC，则AF的长为（A．2109 B．2105 C．【答案】B【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，解直角三角形，三线合一，解题的关键在于熟练掌握相关知识．过点D作DG⊥CE于G，过点F作FH⊥AB于H，由正方形的性质得到AB=BC=CD=2，∠BCD=∠B=90°；由线段中点的定义得到AE=BE=12AB=1，由勾股定理求出CE=5，解直角三角形可得【详解】解：如图所示，过点D作DG⊥CE于G，过点F作FH⊥∵四边形ABCD是边长为2的正方形，∴AB=∵E为AB的中点，∴AE=在Rt△EBC中，由勾股定理得∴cos∠∵∠BEC∴∠GCD∴cos∠在Rt△CDG中，∵DF=DC，∴CF=2∴EF=在Rt△EFH中，FH=∴AH=在Rt△AFH中，由勾股定理得故选：B．23．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，交BD于点F，BE=CE．若AB【答案】4【分析】根据菱形的性质，得BC=AB，又结合AE⊥BC，BE=CE，得出△ABC是等边三角形，就可以得知△【详解】解：连接AC，CF，∵AE⊥BC，BE∴AE垂直平分BC∴AB∵菱形ABCD，∴BC∴△ABC∴∠ABC∴∠BAE∵BE∴AE=3∴AF故答案为：4．【点睛】本题考查了菱形的性质、垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质以及解直角三角形，熟练掌握这些性质定理是关键．24．（2025·贵州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E，F，M分别在AB，DC，AD边上，BE=2CF,FM分别交对角线BD、线段DE于点G，H，且H是DE的中点．若CF=2,∠【答案】2【分析】如图，连接AC，交BD于N，过H作HQ⊥BD于Q，求解BE=4，证明HN是△BDE的中位线，可得HN∥BE，HN=12BE=2，HQ=【详解】解：如图，连接AC，交BD于N，过H作HQ⊥BD于∵BE=2CF，∴BE=4∵矩形ABCD，∴AN=CN=∴∠ABD=∠BAC∵H是DE的中点，∴HN是△BDE∴HN∥BE，∴∠ABD∴HQ=∵HN∥AB，∴HN∥∵HN=∴四边形HFCN是平行四边形，∴∠NCF=∠NHG=30°，而∴∠HGQ∴∠GHQ∴cos∠∴HG=1÷故答案为：2【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的性质，三角形的中位线的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键.25．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA，OB，若AB=OA【答案】6【分析】本题考查了解直角三角形，由题意得△AOB是等边三角形；得出∠OAC=60°【详解】解：∵AB=OA，∴AB=∴△AOB∴∠OAC∵AC=3∴OA=故答案为：6．26．（2025·黑龙江绥化·中考真题）在边长为7的等边三角形ABC中，点D在AB上，BD=2．点M是直线BC上的一个动点，连接MD，以MD为边在MD的左侧作等边三角形MND，连接BN，当△BND为直角三角形时，则CM的长是【答案】6或8或9【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．过点D作DE∥BC交BC于点E【详解】解：过点D作DE∥BC交BC于点①当∠DBN=90°时，如图（∵△BAC,△DMN∴∠ABC=∠DEB=∠MDN∴BD∠NBE=∠∴∠EDN∴△DEN∴∠DEN=∠DBM∴∠BEN∴∠BNE∴NE=12∴MC=②当∠BDN=90°时，如图（同理可得△DEN≌△DBM∴∠NED=∠MBD∴BM=∴CM=③当∠BND=90°时，如图（同理可证△DBN≌△DEM∴∠∴ME=∴CM=④当∠BDN=90°时，如图（同理可证△DBN∴∠MDE=∠NDB∴ME=∴CM=综上所述，CM的长是6或8或9．故答案为：6或8或9．27．（2025·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，过原点O的直线与反比例函数y=3x的图象交于A，B两点，分别以点A，点B为圆心，画半径为1的⊙A和⊙B．当⊙A，⊙B分别与x轴相切时，切点分别为点C和点D，连接AC【答案】π3/【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点的问题，考查了切线的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，扇形的面积，解题的关键是求得∠OAC=60°，根据题意得到AC=BD=1，则A点的纵坐标为1【详解】解：当⊙A，⊙B分别与x轴相切时，切点分别为点C和点∴AC⊥x轴，∵半径为1，∴AC=∴A点的纵坐标为1，把y=1代入y=3∴A3∴OC=3，∴tan∠∴∠OAC∴第一象限中阴影的面积S1同理，第三象限中阴影的面积S2∴S阴影故答案为：π328．（2025·陕西·中考真题）如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=8，∠B=60°．动点M，N分别在边AB，AD上，且AM=AN，以MN为边作等边△MNP，使点P【答案】5【分析】如图，在▱ABCD中，得出∠BAD=120°，根据△MNP是等边三角形，得出MP=NP=MN,∠MPN=60°，连接AP，证明△AMP≌△ANP，得出∠1=∠2=60°,∠3=∠4=30°，则∠AMP=90°，作∠BAD的平分线交BC于点E，证明△ABE是等边三角形，得出AB=AE=BE，根据∠BAE=∠1，得出直线AP和直线AE重合，确定点【详解】解：如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=8则∠BAD∵△MNP∴MP=连接AP，∵AM=∴△AMP∴∠1=∠2=60°,∠3=∠4=30°，∴∠AMP作∠BAD的平分线交BC于点E∵∠B∴△ABE∵∠BAE∴直线AP和直线AE重合，即点P在AE上运动，∵△MNP的面积=则MP最大时，△MNP根据题意可得当点P与点E重合时，MP最大，即△MNP此时，如图，则BM=∴AN=∴DN=8-3=5故答案为：5．【点睛】该题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，解直角三角形等知识点，确定点P的轨迹是解题的关键．29．（2025·四川成都·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，AD=3，CD=2，∠CBD=45°，则tan∠ACB的值为；点E在BC【答案】42173【分析】作AH⊥BC,DG⊥BC,DF⊥AH，垂足分别为H,G,F，易得四边形DFHG为矩形，得到DG=FH,DF=HG，证明△BDG为等腰直角三角形，得到BG=DG【详解】解：作AH⊥BC,DG⊥∴DG=FH,∵∠DBC∴△BDG∴BG=∵AB=∴BH=CH，∵DF∥∴△ADF∴DFCH∴设DF=3x，CH=5x，则：∴DG=∴BD=8∴在Rt△CGD中，tan∠∴x=∴BD=82x∵∠CED=∠ABD，∠∴∠CDE又∵∠E∴△DEC∴DEBE∴DE=834∴834解得：CE=0（舍去）或CE故答案为：4，217【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识点，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形和相似三角形，是解题的关键．30．（2025·重庆·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，连接AC．以AC为边作菱形ACDE，CD交⊙O于点F，AB⊥CD，垂足为G．连接AD，交⊙O于点H，连接EH．若AG=12，GF=5，则【答案】313413【分析】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、菱形的性质、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线、运用解直角三角形解决问题成为解题的关键．由垂径定理以及勾股定理可得CG=GF=5，即CF=2CG=10、AC=13，由菱形的性质可得CD=AC=13，进而得到GD=8、DF=3、AD=413；如图：连接BC,BH，由圆周角定理可得∠ACB=90°、∠AHB【详解】解：∵AB⊥CD，AG=12∴CG=GF=5∴AC=∵菱形ACDE，∴CD=∴GD=CD-∴AD如图：连接BC,BH∵AB是⊙O∴∠ACB=90°∴cos∠CAB=解得：AB=cos∠DAB=解得：AH=∵菱形ACDE，∴CD∥∴∠DAE如图：过H作HM⊥AE于∴sin∠∴MHAH∴MH13∴MH=394∴ME=∴AM=∴HM垂直平分AE，∴EH=故答案为：3；13431．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=43，点E是BC边上的动点，将△ABE沿直线AE翻折得到△APE，过点P作PF⊥AD，垂足为F，点Q是线段AP上一点，且AQ=12PF【答案】4【分析】分点P在矩形内部和点P在矩形外部，两种情况进行讨论求解，当点P在矩形内部时，作HQ⊥AP，交AB于点H，证明△AQH∽△PFA，进而得到AH=12AP=2，进而得到点Q在以AH为直径的圆上运动，得到当点E从点B开始运动直至点P落在AD上时，点Q的运动轨迹为半圆AH，当点P在矩形外部时，同法可得，点Q在以AK为直径的圆上，得到当点【详解】解：∵矩形ABCD，∴∠BAD∵翻折，∴AP=当点P在矩形内部时，作HQ⊥AP，交AB于点H，则：∴∠AHQ∵PF⊥∴∠PFA∴△AQH∴AHAP∵AQ=∴AHAP∴AH=∴点Q在以AH为直径的圆上运动，∴当点E从点B开始运动直至点P落在AD上时，点Q的运动轨迹为半圆AH，∴点Q的运动路径长为：12当点P在矩形ABCD的外部时，作KQ⊥AP，交AB的延长线于点K同法可得：△AKQ∽△PAF∴∠AKQ=∠PAF，点Q在以AK为直径的⊙当点E运动到点C时，如图：∵AB=4,BC=4∴tan∠∴∠BAC∴∠CAD∵折叠，∴∠PAC∴∠PAF∴∠AKQ∴∠AOQ∴点Q的运动轨迹为圆心角为60°的AQ，路径长为60π∴点Q的运动路径总长为：π+故答案为：4【点睛】本题考查矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，求弧长，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，确定点Q的运动轨迹，是解题的关键．32．（2025·河南·中考真题）定义：有两个内角的差为90°的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P为边BC上一点，若△APC为“反直角三角形【答案】254或【分析】题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，相似三角形的判定和性质等知识，理解“反直角三角形”的定义，利用分类讨论的思想解决问题是关键．分情况讨论：①当∠APC-∠C=90°时，过点A作AD⊥BC于点D，由等腰三角形的性质得到BD=CD=4，证明△ADB∽△PAB，得到ABBP=BDAB，即可求出BP的长；②当∠APC-∠CAP=90°时，过点P作PM⊥BC交AC于点M，由等角对等边得到AM=PM，再证明△CMP∽△CAD【详解】解：∵AB∴∠B∵∠APC∴∠APC∴∠APC若△APC为“反直角三角形”①当∠APC-∠C=90°时，过点A作∵AB=AC=5∴BD∴AD∵∠B∴∠APC∵∠B=∠B∴△ADB∴AB∴5∴BP②当∠APC-∠CAP=90°时，过点P作PM⊥∴∠APC-∠∴∠CAP∴AM∵PM⊥BC∴PM∴△CMP∴CP设CP=x，则∴x∴PM=3∴AC∴x∴BP③当∠CAP∵sin∠C=AD∴∠C∴∠BAC若∠CAP=∠C+90°，则∴此种情况不存在；④当∠CAP∵当点P与点B重合时，∠APC最小，此时∠同③理可证，此种情况不存在；综上可知，BP的长为254或11故答案为：254或1133．（2025·河北·中考真题）2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”，图是一幅眼肌运动训练图，其中数字1-12对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字0-12对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为．（参考数据：sin15°=6-【答案】6【分析】如图所示，设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作OD⊥AB于点D，首先得到线段AB的长与其他的都不相等，然后求出∠BOD【详解】如图所示，设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作OD⊥AB由图可得，线段AB的长与其他的都不相等，∵其中数字1-12对应的点均匀分布在一个圆上，∴360°÷12=30°∴相邻两个数字与圆心O组成的圆心角为30°∴∠∴∠∵OD∴∠∴sin∠BOD∴BD∵OA=OB∴AB=2∴这条线段的长为6+故答案为：6+【点睛】此题考查了圆心角，解直角三角形，等边对等角，三线合一性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点．考点5锐角三角函数解三角形34．（2025·浙江·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，点O在边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的半圆，交BC于点D，与AC相切于点(1)求证：OD⊥(2)若AB=BC,【答案】(1)见解析(2)3+【分析】本题考查了圆的切线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．（1）根据等边对等角导角得到OD∥AC，再结合圆的切线性质得到（2）先得到△ABC是等边三角形，则∠A=60°，解Rt△AOE求出AO【详解】（1）证明：由题意得OD=∴∠ODB∵AB=∴∠C∴∠ODB∴OD∥∵以点O为圆心，OB长为半径的半圆与AC相切于点E，∴OE⊥∴∠DOE∴OD⊥（2）解：∵AB=BC，∴AB=∴△ABC∴∠A∵OE⊥AC，∴AE=OEtan∴AC=∴EC=∴四边形ODCE的面积为：1235．（2025·江苏苏州·中考真题）综合与实践小明同学用一副三角板进行自主探究．如图，△ABC中，∠ACB=90°,CA=【观察感知】（1）如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合，AB，DE交于点F，求∠AFD【探索发现】（2）在图①的基础上，保持△CDE不动，把△ABC绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边DE上（如图①求线段AD的长；（结果保留根号）②判断AB与DE的位置关系，并说明理由．【答案】（1）∠AFD=15°，AD=62-43cm【分析】本题考查了等腰三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．（1）先根据等腰三角形的性质可得∠BAC=∠ABC=45°，再求出∠CDE（2）①过点C作CG⊥DE，垂足为G，先解直角三角形可得CG,②根据等腰三角形的性质可得∠CAG=∠ACG【详解】解：（1）∵△ABC中，∠∴∠BAC∵△CDE中，∠∴∠CDE∴∠AFD在Rt△ABC中，在Rt△CDE中，∴AD=（2）①如图，过点C作CG⊥DE，垂足为∵△CDG中，∠CGD∴DG∵△CGA中，∠∴AG=∴AD②AB⊥∵在Rt△CGA中，∴∠CAG又∵∠BAC∴∠DAB∴AB⊥36．（2025·山东威海·中考真题）问题提出已知∠α，∠β都是锐角，tanα=1问题解决（1）如图，小亮同学在边长为1的正方形网格中画出∠BAD和∠CAD，请你按照这个思路求∠α+∠β的度数．（点A，B策略迁移（2）已知∠α，∠β都是锐角，tanα=23，（3）已知∠α，∠β，∠θ都是锐角，tanα=13（提示：在正方形网格中画出求解过程的图形，并直接写出答案）【答案】（1）45°；（2）90；（3）tanθ【分析】本题考查作了解直角三角形，勾股定理及其逆定理等知识，解题的关键是学会路数形结合的思想解决问题．（1）连接BC，利用等腰直角三角形的性质求解；（2）构造等腰直角三角形ABC可得结论；（3）构造直角三角形DGF可得结论．【详解】解：（1）如图1中，连接BC，∵AB=BC=∴A∴△ABC∴∠ABC=90°，∴∠α（2）如图中，连接BC，由题意，tanα=tan∠∵AB=AC=∴△ABC∴∠BAC∴∠α故答案为：90；（3）如图中，由题意知，tanα=tan∴∠α∵∠α∴∠θ∵DG=22+6∴DG∴△DGFtanθ37．（2025·北京·中考真题）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G(1)求证：四边形DFCG是矩形；(2)若∠B=45°，DF=3，DG=5，求【答案】(1)见解析(2)BC【分析】本题主要考查了矩形的判定，三角形中位线定理，勾股定理，解直角三角形，熟知相关知识是解题的关键．（1）由三角形中位线定理可得DE∥CF，即DG∥CF，则可证明四边形DFCG是平行四边形，再由（2）求出CF=5，解Rt△BDF得到BD=32，BF=3，则BC=BF+CF=8；由线段中点的定义可得AB=2BD【详解】（1）证明：∵D，E分别为AB，∴DE是△ABC∴DE∥CF，即∵DG=∴四边形DFCG是平行四边形，又∵DF⊥∴平行四边形DFCG是矩形；（2）解：∵DG=5∴CF=∵DF⊥∴∠DFB在Rt△BDF中，∠B∴BD=∴BC=∵点D为AB的中点，∴AB=2如图所示，过点A作AH⊥BC于在Rt△ABH中，∴CH=在Rt△AHC中，由勾股定理得考点6三角函数与圆的计算与证明38．（2025·北京·中考真题）如图，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，OB，OP，取OP的中点C，连接AC并延长，交⊙O于点D，连接(1)求证：∠ADB(2)延长OP交DB的延长线于点E．若AP=10，tan∠AOP【答案】(1)见解析；(2)DE长为44．【分析】（1）利用切线长定理得OP平分∠AOB，利用圆周角定理得∠（2）延长AO交⊙O于点F，连接DF，利用条件求出线段长，再利用角度转换证明三角形相似，最后根据相似求得DE【详解】（1）证明：∵AP，BP分别切⊙O于A点，B∴OP平分∠AOB∴∠AOP又∵AB=∴∠ADB∴∠ADB（2）延长AO交⊙O于点F，连接DF，则∠∵AP，BP分别切⊙O于A点，B点，∴∵C为OP的中点，∴PC∴AC又∵AP=10，tan∴AO=OP=AC=OC=∵AC∴∠CAO又∵∠PAO∴PO∴DA=20∵∠AOP=∠ADB∴△ACO∴AO∴DE【点睛】本题主要考查切线长定理，圆周角定理及推论，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定与性质等知识点，熟记切线长定理，圆周角定理，并且能根据题意作出合适的辅助线是解题的关键．39．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，过点B的切线交AC的延长线于点D，连接DO并延长，交⊙O于点(1)求证：∠ADB(2)若AB=4，cos∠AEC【答案】(1)见解析(2)OD=2【分析】（1）由切线的性质求得∠ABD=90°，由圆周角定理求得∠ACB（2）由（1）得∠ADB=∠ABC=∠AEC，求得BDAD=BCAB【详解】（1）证明：∵BD是⊙O∴∠ABD∵AB是⊙O∴∠ACB∴∠ADB∵AC=∴∠AEC∴∠ADB（2）解：由（1）得∠ADB∴cos∠∴BDAD∵AB=4∴BC=∴AC=∵∠ADB=∠ABC∴△ADB∴ABAD=AC解得AD=6∴BD∵OB=∴OD=【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，切线的性质．熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．40．（2025·陕西·中考真题）如图，点O在△ABC的边AC上，以OC为半径的⊙O与AB相切于点D，与BC相交于点E，EF为⊙O的直径，FD与AC相交于点G，∠(1)求证：AB=(2)若sinA=35，【答案】(1)证明见解析(2)DG【分析】（1）如图，连接OD，证明OD⊥AB，∠DOE=2∠F=90°，即EF⊥（2）求解AC=8，设⊙O的半径为r，结合sinA=35，可得ODAO=r8-r=【详解】（1）解：如图，连接OD，∵以OC为半径的⊙O与AB相切于点D，∴OD⊥∵∠F∴∠DOE=2∠F∴AB∥∴∠OEC∵OE=∴∠C∴∠B∴AB=（2）解：∵AB=8，AB∴AC=8设⊙O的半径为r∴AO=8-r，OD=r，而∴ODAO解得：r=3∴OF=OD=3，AO∵OD⊥EF，则∴DF=∵EF∥∴△OFG∴FGDG∴DG=【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，切线的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键.41．（2025·四川成都·中考真题）如图，点C在以AB为直径的半圆O上，连接AC,BC，过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D，在AC上取点E，使EC=BC，连接BE，交(1)求证：BE∥(2)若sinD=23，BD=1【答案】(1)见解析(2)半圆O的半径为2，EF【分析】（1）连接OC，切线得到OC⊥CD，等边对等角得到∠OAC=∠OCA，圆周角定理得到∠（2）连接AE，设半圆O的半径为r，解直角三角形OCD，求出半径的长，进行求出AB的长，平行得到∠ABE=∠D，解直角三角形ABE，求出AE，BE【详解】（1）解：连接OC，则：OA=∴∠OAC∵过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D，∴OC⊥∴∠BCD∵AB为直径，∴∠ACB∴∠OCA∴∠OCA∴∠CAB∵EC=∴∠CAE∵∠CAB∴∠EBC∴BE∥（2）设半圆O的半径为r，则OC=∵BD=1∴OD=∵OC⊥∴sinD∴r=2，即：半圆O的半径为2∴AB=2连接AE，则：∠AEB∵BE∥∴∠ABE∴sin∠∴AE=∴BE=∵EC=∴∠EAF∴AF平分∠BAE∴F到AE,AB的距离相等，都等于∴S△∴EFBF∴EFBE∴EF=【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，角平分线的性质等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．42．（2025·天津·中考真题）已知AB与⊙O相切于点C,OA=OB,∠AOB=80°,OB(1)如图①，求∠CED(2)如图②，当EC∥OA时，EC与OB相交于点F，延长BO与⊙O相交于点G，若⊙O的半径为3，求【答案】(1)∠(2)3【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：（1）连接OC，切线的性质得到OC⊥AB，三线合一，求出∠BOC（2）平行线的性质，结合三角形的外角的性质，得到∠EDF=∠EFG-∠FED【详解】（1）解：连接OC．∵AB与⊙O相切于点∴OC⊥AB∴OC平分∠∴∠COB∵∠AOB∴∠COB在⊙O中，∠∴∠CED（2）由（1）知：∠CED∵EC∴∠EFG∵∠EFG为△∴∠EDF由题意，DG为⊙O∴∠GED又⊙O的半径为3，则：DG在Rt△GED中，∴ED43．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，连接CD，∠BCD=∠A，过点B作(1)求证：CD是⊙O(2)若点B是AD的中点，且BE=3，求⊙【答案】(1)见解析(2)3【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，解直角三角形，熟练掌握相关定理和切线的判定方法，是解题的关键：（1）连接OC，圆周角定理，得到∠ACB=90°，进而得到∠A+∠ABC=90°，等边对等角，得到（2）根据线段之间的数量关系求出sinD=BEDE=【详解】（1）证明：连接OC，∵AB是⊙∴∠ACB∴∠∵OB∴∠∵∠BCD∴∠BCD+∠OCB∴OC∵OC为⊙∴CD是⊙（2）解：∵点B是AD的中点，∴BD∵OB∴OD∴∵BE∴∠DBE又∵∠OCD∴sin∴DE在Rt△DBE中∴OC即⊙O半径为344．（2025·山东威海·中考真题）如图，PA是⊙O的切线，点A为切点．点B为⊙O上一点，射线PB,AO交于点C，连接AB，点D在AB上，过点D作，DF⊥AB，交AP于点F，作(1)求证：PB是⊙O(2)若AP=4，sin∠C【答案】(1)见解析(2)4【分析】本题考查了圆的综合题，涉及圆的切线的性质与判定，切线长定理，解直角三角形，勾股定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键．（1）连接OB，证明Rt△DEB≌Rt△FAD，则∠3=∠4，而OA=OB，则（2）可得sinC=APPC=OBOC=23，设OB=2【详解】（1）证明：连接OB，∵PA是⊙O∴∠∵DF⊥AB，∴∠ADF∵AD=∴Rt△∴∠3=∠4，∵OA∴∠1=∠2，∴∠1+∠3=∠2+∠4，∴∠OBP即OB⊥∴PB是⊙O（2）解：∵OB⊥BP，∴sinC设OB=2∴BC=OC∵PB是⊙O的切线，PA是⊙∴PB=∵sin∴44+解得：x=∴半径为2545．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，四边形ABCO的顶点A，B，C在⊙O上，∠BAO=∠BCO，直径BE与弦AC相交于点F，点D是(1)求证：CD是⊙O(2)若四边形ABCO是平行四边形，EF=3，求CD【答案】(1)见解析(2)2【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握切线的判定方法，圆周角定理，是解题的关键．（1）连接AE，根据圆周角定理得到∠E=12∠AOB，推出∠BCD=∠E，根据等边对等角，推出∠（2）由平行四边形的性质得到OF=12OB，根据OF+OE=EF=3,OB=OE，得到12【详解】（1）证明：如图1，连接AE，∵∠BCD=12∴∠BCD∵∴∠OAE∴∠OAE∵BE是⊙O∴∠BAE=90°，即∵∠BAO∴∠BCO+∠BCD∵OC为⊙O∴CD是⊙O（2）解：如图2，∵四边形ABCO是平行四边形，∴OF又∵OF∴1∴OB∵OA∴▱ABCO∴BC∴△BOC∴∠BOC∴在Rt△ODC中，46．（2025·甘肃·中考真题）如图，四边形ABCO的顶点A，B，C在⊙O上，∠BAO=∠BCO，直径BE与弦AC相交于点F、点D是(1)求证：CD是⊙O(2)若四边形ABCO是平行四边形，EF=3．求CD【答案】(1)见解析(2)2【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握切线的判定方法，圆周角定理，是解题的关键．（1）连接AE，根据圆周角定理得到∠E=12∠AOB，推出∠BCD=∠E，根据等边对等角，推出∠（2）由平行四边形的性质得到OF=12OB，根据OF+OE=EF=3,OB=OE，得到12【详解】（1）证明：如图1，连接AE，∵∠BCD=12∴∠BCD∵∴∠OAE∴∠OAE∵BE是⊙O∴∠BAE=90°，即∵∠BAO∴∠BCO+∠BCD∵OC为⊙O∴CD是⊙O（2）解：如图2，∵四边形ABCO是平行四边形，∴OF又∵OF∴1∴OB∵OA∴▱ABCO∴BC∴△BOC∴∠BOC∴在Rt△ODC中，考点7锐角三角函数的应用：俯角、仰角问题47．（2025·四川达州·中考真题）为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清，莲花湖管委会定期利用无人机指引工作人员清理湖中垃圾．已知无人机悬停在湖面上的C处，工作人员所乘小船在A处测得无人机的仰角为30°，当工作人员沿正前方向划行30米到达B处，测得无人机的仰角为45°，求无人机离湖面的高度（结果不取近似值）【答案】无人机离湖面的高度为153【分析】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键；过点C作CD⊥AB于点D，设CD=x，根据题意得出BD=x，【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB于点依题意∠设CD=在Rt△BCD∴BD=∵AB∴AD=在Rt△ACD∴3解得：x答：无人机离湖面的高度为15348．（2025·吉林·中考真题）综合与实践：确定建筑物的3D打印模型的高度项目提出：图是某城市规划展览馆．树人中学的3D打印社团为展示城市文化，准备制作该城市规划展览馆的3D项目报告表

时间：2025年5月29日项目分析活动目标测量该城市规划展览馆的实际高度并换算其3D测量工具测角仪、皮尺项目实施任务一测量数据以下是测得的相关数据，并画出了如图所示的测量草图．1．测出测角仪的高CD=1.42．利用测角仪测出展览馆顶端A的仰角∠ACE3．测出测角仪CD底端D处到展览馆AB底端B处之间的距离DB=42任务二计算实际高度根据上述测得的数据，计算该城市规划展览馆AB的高度．（结果精确到1m）（参考数据：sin61°=0.875，cos61°=0.485，任务三换算模型高度将该城市规划展览馆AB的高度按1:400等比例缩小，得到其3D打印模型的高度约为________cm．（结果精确到1cm项目结果为社团制作城市规划展览馆的3D请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该社团完成任务二和任务三．【答案】该城市规划展览馆AB的高度为77m；3D【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，比例的基本性质，正确理解题意是解题的关键．任务二：先由矩形BECD得到BE=CD=1.4m，任务三：由比例尺等于图上距离比上实际距离求解即可．【详解】解：任务二：由题意得BECD为矩形，∴BE=CD=1.4∵在Rt△AEC∴AE=∴AB=答：该城市规划展览馆AB的高度为77m任务三：设3D打印模型的高度约为x则由题意得：x7700解得：x≈19答：3D打印模型的高度约为1949．（2025·陕西·中考真题）小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆的高度．在征得家长同意后，他们带着工具前往测量．测量示意图如图所示，他们在坡面FB上的点D处安装测角仪DE，测得信号杆顶端A的仰角α为45°，DE与坡面的夹角β为72.5°，又测得点D与信号杆底端B之间的距离DB为22m．已知DE=1.7m，点A，B，C在同一条直线上，AB，DE均与水平线FC垂直．求信号杆的高AB．（参考数据：sin72.5°≈0.95，【答案】信号杆的高AB为16【分析】本题考查了解直角三角形的应用，三角形内角和性质，矩形的判定与性质，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，得出∠DBH=∠BDE=72.5°，再在Rt△DBH中，运用HD=BD×sin72.5°，BH=BD×cos72.5°，代入数值进行计算，得出【详解】解：过点E作EI⊥AC于点I，过点D作DH⊥∵AB，DE均与水平线FC垂直．∴DE∴∠DBH∵DH∴∠在Rt△DBH中，则HD=在Rt△DBH中，则BH=∵过点E作EI⊥AC于点I，过点D作DH⊥AC∴∠EDH∴四边形EDHI是矩形∴EI=∵∠AEI=45°，∴∠EAI∴AI=∴AB=信号杆的高AB为16m50．（2025·安徽·中考真题）某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛．如图所示，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段AB和CD表示，彩带用线段AD表示．工作人员在点A处测得点C的俯角为23.8°，测得点D的仰角为36.9°．已知AB=13.20m，求AD的长（精确到0.1m）．参考数据：sin23.8°≈0.40，cos23.8°≈0.91，tan23.8°≈0.44，sin【答案】37.5【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过点A作AE⊥CD，垂足为点E，则四边形ABCE为矩形，可得CE=AB=13.20m，解Rt△【详解】解：过点A作AE⊥CD，垂足为点∵线段AB和CD都与地面垂直，∴四边形ABCE为矩形，∴CE=在Rt△ACE中，∴AE=在Rt△ADE中，AD=答：AD的长为37.5m51．（2025·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑AB的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A，E，C依次在同一条水平直线上，CD⊥AC，EF⊥AC，且CD=EF=1.7m．在D处测得世纪钟建筑顶部B的仰角为22°，在F处测得世纪钟建筑顶部参考数据：tan22°≈0.4，tan【答案】世纪钟建筑AB的高度约为40【分析】本题考查了解直角三角形的应用．延长DF与AB相交于点G，在Rt△FGB和Rt△DGB中，分别求得GF=GB【详解】解：如图，延长DF与AB相交于点G，根据题意，可得DG∥有∠GDB=22°，∠GFB=31°，∠DGB在Rt△FGB中，tan∴GF在Rt△DGB中，∴GD∵GF∴GB∴GB∴AB答：世纪钟建筑AB的高度约为40m52．（2025·山西·中考真题）项目学习项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告．项目主题景物的测量与计算驱动问题如何测量内栏墙围成泉池的直径活动内容利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算活动过程方案说明图1为该景，点俯视图的示意图，点A，D是正八边形中一组平行边的中点，BC为圆的直径图中点A、图2为测量方案示意图，直径BC所在水平直线与外栏墙分别交于，点E，F，外栏墙AE与DF均与水平地面垂直，且AE=DF．BE，CF均表示步道的宽，数据测量在点A处测得，点B和点C的俯角分别为∠DAB=37°，∠DAC计算……交流展示……请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径BC的长（结果精确到1米．参考数据：sin8.5°≈0.15，cos8.5°≈0.99，tan8.5°≈0.15，sin37°≈0.60，【答案】内栏墙围成泉池的直径BC的长约为17米．【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，由题意得∠AEF=90°，四边形AEFD为矩形，则EF=AD=26，AD∥EF，所以∠ABE=∠DAB=37°，∠ACE=∠DAC=8.5°，设BE=【详解】解：由题意得，∠AEF=90°，四边形∴EF=AD=26∴∠ABE=∠DAB设BE=CF=x米，则在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∴AE=在Rt△ACE中，∠AEC∴AE=∴x⋅tan37=∴BC=26-2×答：内栏墙围成泉池的直径BC的长约为17米．53．（2025·新疆·中考真题）某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下：实验主题测量校徽的高度工具准备测角仪，卷尺等实验过程1．站在与教学楼底部A同一水平地面的B处，由于大树CD的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部E处（此时F，C，E三点在同一直线上）；2．测量A，D两点和B，D两点间的距离；3．用测角仪测得从眼睛F处看校徽顶部E处的仰角∠EFG4．向后退至点H处时，视线恰能看到校徽底部M处（此时N，C，M三点在同一直线上），测量B，H两点间的距离；5．用测角仪测得从眼睛N处看校徽底部M处的仰角∠MNG实验图示测量数据1．AD2．BD3．BH4．∠5．∠备注1．图上所有点均在同一平面内；2．AE,参考数据：sin21.8°≈0.37，cos21.8°≈0.93，sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，请你根据以上实验过程和测量的数据，计算校徽的高度EM的值．【答案】2.02【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确找到直角三角形进行解直角三角形是解题的关键．由题意得，四边形FGAB，四边形NHAG为矩形，则FG=AB=AD+BD=14m，NG=AH=【详解】解：由题意得，四边形FGAB，四边形NHAG为矩形，∴FG=AB=∵在Rt△EFG中，∴tan43°=∴EG=14×0.93=13.02在Rt△MNG中，∴tan21.8=∴MG=11∴EM=答：校徽的高度为2.02m54．（2025·山东威海·中考真题）小明同学计划测量小河对面一幢大楼的高度AB．测量方案如图所示：先从自家的阳台点C处测得大楼顶部点B的仰角∠2的度数，大楼底部点A的俯角∠1的度数．然后在点C正下方点D处，测得大楼顶部点B的仰角∠3的度数．若∠1=45°，∠2=52°，∠3=65°，CD=10m，求大楼的高度AB．（精确到1m）．参考数据：sin52°≈0.8，cos52°≈0.6，tan52°≈1.3；【答案】大楼的高度AB约为29m【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，等腰直角三角形的性质，矩形的性质等知识，过C作CG⊥AB于G，过D作DH⊥AB于H，则四边形CDHG是矩形，根据矩形的性质得到GH=【详解】解：如图，过C作CG⊥AB于G，过D作DH⊥AB于∴GH=∵∠1=45°，∴CG=设CG=在Rt△BCG中，∴BG=在Rt△BDH中，∠3=65°∴BH=∴GH=∴x=12.5∴AB=答：大楼的高度AB约为29m55．（2025·四川泸州·中考真题）如图，在水平地面上有两座建筑物AD, BC，其中BC=18m．从A, B之间的E点（A, E, B在同一水平线上）测得(1)求∠CDE(2)求建筑物AD的高度（计算过程和结果中的数据不取近似值）．【答案】(1)45°(2)27+9【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，三角形内角和定理，矩形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键。（1）过点C作CH⊥AD于H，则∠DHC（2）过点E作ET⊥CD于T，则∠ETD=∠ETC=90°，求出∠DET=45°，则可求出∠CET=30°；解Rt△BCE得到CE=36m，解Rt△CTE得到CT=18m，ET=183【详解】（1）解：如图所示，过点C作CH⊥AD于H，则由题意得，∠DCH∴∠CDH=180°-∠DCH∴∠CDE（2）解：如图所示，过点E作ET⊥CD于T，则∴∠DET∴∠CET在Rt△BCE中，在Rt△CTE中，ET=在Rt△DET中，∴CD=在Rt△DCH中，∵CH⊥∴四边形ABCH是矩形，∴AH=BC∴AD=答：建筑物AD的高度为27+956．（2025·四川自贡·中考真题）如图1，自贡彩灯公园内矗立着一座高塔，它见证过自贡灯会的辉煌历史．小蕊参加了测量该塔高度的课外实践活动，小组同学研讨完测量方案后，活动如下．(1)制作工具如图2，在矩形木板HIJK上O点处钉上一颗小铁钉，系上细绳，绳的另一端系小重物G，过点O画射线QM∥HK．测量时竖放木板，当重垂线OG∥HI时，将等腰直角三角尺ACB的直角顶点C紧靠铁钉，绕点O转动三角尺，通过OB边瞄准目标测量时，QM是否水平呢？小蕊产生了疑问．组长对她说：“因为OG始终垂直于水平面，满足OG⊥QM就行．”求证：(2)获取数据如图3，同学们利用制作的测量工具，在该塔对面高楼上进行了测量．已知该楼每层高3米，小蕊在15楼阳台P处测得塔底U的仰角为5.1°，在25楼对应位置D处测得塔底U的俯角为9.1°，塔顶T的仰角为14.5°．如图4，为得到仰角与俯角的正切值，小蕊在练习本上画了一个Rt△VWZ，∠W=90°，∠WVZ=14.5°，VW=10.0cm．在边WZ上取两点X，Y，使∠YVW=5.1°，∠XVY=4.0°，量得YW=0.91cm(3)计算塔高请根据小蕊的数据，计算该塔高度（结果取整数）．(4)反思改进小蕊的测量结果与该塔实际高度存在2米的误差．为减小误差，小组同学想出了许多办法．请你也帮小蕊提出两条合理的改进建议（总字数少于50字）．【答案】(1)见解析(2)0.09，0.16，0.26(3)50米(4)见解析【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）根据矩形的性质和平行线的性质证明即可；（2）根据正切的定义计算即可得解；（3）延长DR交TU于F，延长PS交TU于E，则四边形DPEF为矩形，由矩形的性质可得DP=EF，DF=PE，由题意可得DP=30米，∠EPU=5.1°，∠FDU=9.1°，∠TDF=14.5°，设EU（4）结合题意提出合理的建议即可．【详解】（1）证明：∵四边形HIJK为矩形，∴∠H∵QM∥∴∠IQM又∵OG∥∴∠MOG∴OG⊥（2）解：∵在Rt△VWY中，∠W=90°，∠YVW∴tan5.1°=∵∠XVY=4.0°，∠YVW=5.1°，∴∠XVW=∠XVY∵在Rt△VWX中，∠W=90°，∠XVW∴tan9.1°=∵YW=0.91cm，XY=0.70∴ZW=∵在Rt△VWZ中，∠W=90°，∠ZVW∴tan14.5°=（3）解：如图，延长DR交TU于F，延长PS交TU于E，，则∠DFE∴四边形DPEF为矩形，∴DP=EF，由题意可得：DP=25-15×3=30米，∠EPU=5.1°设EU=x米，则∵tan∠EPU=∴PE=x0.09∴30-x解得：x=10.8∴FU=30-10.8=19.2米，PE∵tan∠∴TF=31.2∴TU=即该塔高度为50米；（4）解：提出合理建议为：①多次测量取平均值；②取角的正切值用分数．考点8锐角三角函数的应用：方向角问题57．（2025·湖南长沙·中考真题）如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西45°方向上．已知AB=800(1)求∠ACB(2)求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号）【答案】(1)30°(2)1200-400【分析】本题主要考查了直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．（1）由题意可得∠CBE=60°,∠CAF=30°,∠BDM=45°,BM（2）根据∠CBE=60°，得出∠CBM=30°．由（1）得∠ACB=30°．则∠ABC=∠ACB=30°，故AB=AC=800【详解】（1）解：如图，由题意可得∠CBE=60°,∠CAF∴∠BCM∴∠ACB（2）解：∵∠CBE∴∠CBM由（1）得∠ACB∴∠ABC又∵AB∴AB在Rt△ACM中，sin∠∴AMCM=∴BM∵∠BDM∴DM∴DC∴景点C与景点D之间的距离为1200-400358．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，港口B位于岛A的北偏西37°方向，灯塔C在岛A的正东方向，AC=6km，一艘海轮D在岛A的正北方向，且B、D、C三点在一条直线上，(1)求岛A与港口B之间的距离；(2)求tanC（参考数据：sin37°≈35，cos【答案】(1)4(2)8【分析】本题考查解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，比例的性质，能根据DC=（1）过点B作BM⊥AD，垂足为M，证明△BDM∽△CDA，得出BMCA=BDCD（2）在Rt△ABM中，利用三角函数求出AM，利用△BDM∽△CDA，得出DM【详解】（1）解：如图，过点B作BM⊥AD，垂足为∵AC⊥∴BM∥∴△BDM∴BMCA∵DC=52∴BM6=得：BM=在Rt△ABM中，由得AB≈4答：岛A与港口B之间的距离为4km（2）解：在Rt△ABM中，∵△BDM∴DMAD∴AD=在Rt△ADC中，59．（2025·山东烟台·中考真题）【综合与实践】烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动．如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息：位置信息码头A在灯塔B北偏西14°方向14：30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方向的C处15：00时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处天气预警受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气．请注意防范．请根据以上信息，解答下列问题：(1)求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离；(2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin14°≈0.24，【答案】(1)渔船在航行过程中到灯塔