2025年中考数学真题分类汇编18：勾股定理与翻折、动点、最值问题（10大考点40题）（教师版）

专题18勾股定理与翻折、动点、最值问题考点概览考点1勾股定理的有关计算考点2勾股定理的应用考点3勾股定理的逆定理考点4勾股数问题考点5勾股树问题考点6弦图计算问题考点7翻折问题考点8最值问题考点9几何变化规律问题考点10动点、旋转问题考点1勾股定理的有关计算1．（2025·安徽·中考真题）如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥ACA．43 B．6 C．23 D【答案】B【分析】本题主要考查了等腰三角形性质、含30∘角的直角三角形性质及勾股定理，熟练掌握这些性质定理，通过设未知数，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．先根据等腰三角形性质求出∠C的度数，再利用中点得到线段关系，最后在Rt△EDC中，结合含30∘【详解】解：∵在△ABC中，AB=AC∴∠∵D是AC∴设AC=2x，则∵ED⊥∴△EDC是直角三角形，且∠∴EC∵DE=3，则EC=23．在∴(2312=3+xx2解得x=3（x∵AC∴AC故选：B．2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为60°，则这个矩形的面积是（

）A．25 B．253 C．255 D【答案】B【分析】本题主要考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确画出图形并灵活运用相关知识是解题的关键．如图：根据矩形的对角线互相平分且相等求出OA=OB=5，然后判断出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质求出【详解】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=∵∠AOB∴△AOB∴AB=由勾股定理得，BC=∴矩形的面积=BC故选：B．3．（2025·上海·中考真题）在锐角三角形ABC中，AB=AC，BC=8，△ABC的外接圆为⊙O，且半径为5，边BC中点为D，如果以D为圆心的圆与⊙A．2 B．5 C．8 D．9【答案】B【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，两圆相交的条件等知识，掌握两圆相交的条件是关键；根据题意，等腰△ABC的外接圆半径为5，由等腰三角形的性质、勾股定理求得OD=3；当⊙D与⊙O相交时，圆心距需满足条件【详解】解：如图，连接AD并延长交⊙O于点E∵AB=AC，D为∴BD=DC=4∵锐角三角形ABC中，AB=∴外接圆心O在AD上，连接OB，由勾股定理得：OD=

设以D为圆心的圆的半径为r，⊙D，⊙即5-r<3<5+在此范围的半径只有选项B；故选：B．4．（2025·陕西·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点，点F在AD上，EF⊥EC，则△CEFA．10 B．8 C．5 D．4【答案】C【分析】该题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键．根据四边形ABCD为正方形，得出AB=AD=BC=4,∠A=∠B=90°，AE【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∵E为AB的中点，∴AE∴CE=∵EF⊥∴∠AEF又∠BCE∴∠AEF∴△AEF∴AEBC=EF∴EF=∴△CEF的面积=故选：C．5．（2025·辽宁·中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，BE=BC，连接CE，若AB=3，AEA．1 B．5 C．22 D．10【答案】D【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，是解题的关键，勾股定理求出BE的长，进而得到BC的长，推出AD的长，进而求出DE的长，再利用勾股定理求出CE的长即可．【详解】解：∵矩形ABCD，∴∠A=∠D=90°，∴BE=∴BC=∴AD=5∴DE=∴CE=故选D.6．（2025·天津·中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，点B，C的对应点分别为B',C'A．125 B．165 C．4 D【答案】D【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．连接AD，交CC'于点O，先证出Rt△AC'D≌Rt△ACD，根据全等三角形的性质可得C【详解】解：如图，连接AD，交CC'于点由旋转的性质得：AC'=∴∠A在Rt△ACAD=∴Rt△∴C'∴AD垂直平分CC∴CC'=2∵∠ACB=90°，∴AD=又∵S△∴OC=∴CC故选：D．7．（2025·广西·中考真题）如图，点A,D在BC同侧，AB=BC

【答案】3-1【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定以及勾股定理，过点D作BC垂线交于点H，先证明△BDH≌△CDH，得到BH=HC【详解】解：过点D作BC垂线交于点H，即DH∴∠∵∴△∴BH=HC=1∵AB=∴A∴DH=∴故答案为：3-

8．（2025·四川内江·中考真题）如图，AB是⊙O的弦．半径OC⊥AB于点D，且AB=8,OC【答案】2【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．先根据垂径定理得到AD=12AB=4，在Rt【详解】解：∵OC⊥AB，∴AD=12∵OC=5∴OA=5∴在Rt△ADO中，∴CD=故答案为：2．9．（2025·四川广安·中考真题）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交BC于点D；（2）分别以点C和点D为圆心，大于12CD的长为半径画弧，两弧相交于点F；（3）画射线AF交BC于点E．若∠C=2∠B，BC=23【答案】12【分析】本题考查了尺规作线段的垂线、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角性质以及勾股定理等知识，读懂作图信息、熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键；易得CD=10，连接AD，如图，据题意可得：AD=AC，AE垂直平分CD，可得∠C=∠ADC【详解】解：∵BC=23，BD∴CD=23-13=10连接AD，如图，据题意可得：AD=AC，AE垂直平分∴∠C=∠ADC∵∠C∴∠ADC∵∠ADC∴∠B∴AD=则在直角三角形ADE中，根据勾股定理可得AE=故答案为：12.10．（2025·北京·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足为F．若AB=1，∠EBC=30°【答案】38【分析】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．过点F分别作FM⊥BC,FN⊥AB，垂足为M，N，连接AM，则∠FMC【详解】解：过点F分别作FM⊥BC,FN⊥AB，垂足为M，∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC∴∠ABC∴AB∥∴FN=∵S△∴S△∵CF⊥BE，垂足为F，AB=1=∴∠BFC∴∠CFM∴CM=∴BM=∴S△故答案为：3811．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点B的坐标为1,0．点E在边CD上．将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为0,3．则点E的坐标为【答案】-【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理，矩形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形变化-对称，利用勾股定理求出正方形的边长是解题关键．设AB=x，可得OA=x-1，在Rt△AOF中，利用勾股定理可求出x=5，根据翻折的性质得出OF=3，【详解】解：在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，如图，设CD与y轴交于点G，AB=∴∠AOG∴四边形OADG是矩形，∴AD=∵点A的坐标为1,0，∴OA=∵将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为0,3∴OF=3，AF=AD在Rt△AOF中，由勾股定理得：∴x2解得：x=5∴DG=设EG=a，则DE=在Rt△EFG中，由勾股定理得：∴4-a解得：a=∴点E的坐标为-3故答案为：-12．（2025·辽宁·中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=12，点E在线段OA上，AE=2，点F在线段OC上，OF=1，连接BE，点G为【答案】13【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质等．由菱形对角线互相垂直且平分，可得OA=12AC=4，OB=12BD=6，AC⊥【详解】解：∵在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∴OA=12∵AE=2∴OE=如图，取OE中点H，连接GH，∵点G为BE的中点，点H为OE的中点，∴GH=12∴∠GHE∵OF=1∴HF=∴GF=故答案为：13．13．（2025·四川成都·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=1，BC=2．以点A为圆心，以AB长为半径作弧；再以点C为圆心，以BC长为半径作弧，两弧在AC上方交于点D，连接【答案】455【分析】本题考查线段垂直平分线的判定与性质、勾股定理，根据作图过程得到AC垂直平分BD是解答的关键．连接AD，CD，设AC与BD相交于O，先根据线段垂直平分线的判定与性质得到根据作图过程AC⊥BD，OB=OD，再利用勾股定理求得【详解】解：连接AD，CD，设AC与BD相交于O，根据作图过程，得AD=AB，∴AC垂直平分BD，则AC⊥BD，∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∴AC=由S△BO=∴BD=2故答案为：4514．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，∠MON=60°，以O为圆心，2为半径画弧，分别交OM，ON于A，B两点，再分别以A，B为圆心，6为半径画弧，两弧在∠MON内部相交于点【答案】5【分析】本题考查了求角的正切值、等边三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角的正切的定义是解题关键．连接AB，交OC于点D，先得出OC垂直平分AB，再证出△AOB是等边三角形，则可得BD=1，然后利用勾股定理可得【详解】解：如图，连接AB，交OC于点D，由题意得：OA=OB=2∴OC垂直平分AB，∴OC⊥∵∠MON∴△AOB∴AB=∴BD=1∴CD=∴在Rt△BCD中，故答案为：5515．（2025·山西·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8，BC=4，点E在边AB上，AE=3，连接CE，且∠DCE=∠BCE．点F在【答案】18【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，延长CE交DA延长线于点G，过D作DH⊥BF于点H，则∠BHD=90°，由三线合一性质可得CH=FH=12CF，然后证明四边形ABHD是矩形，所以AB=DH=8，AD=BH，又∠AEG=∠【详解】解：如图，延长CE交DA延长线于点G，过D作DH⊥BF于点H，则∵DF=∴CH=∵AD∥BC，∴∠B=∠GAE∴∠B∴四边形ABHD是矩形，∴AB=DH=8∵∠AEG∴△AEG∴AGBC∵AB=8，AE∴BE=5∴AG4∴AG=∵AD∥∴∠G∵∠DCE∴∠DCE∴CD=设CH=FH=∴CD=由勾股定理得：CD∴x+325即CH=∴CF=2故答案为：185考点2勾股定理的应用16．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，长为3m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m，则梯子顶端的高度h为【答案】2.4【分析】本题考查了勾股定理，根据长为3m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8【详解】解：∵长为3m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8∴h=故答案为：2.4．17．（2025·山东东营·中考真题）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积=12（弦×矢＋矢2），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则cos∠【答案】45/【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角函数的定义等知识点．如图，作OH⊥AB交AB于H，交圆弧于C，利用垂径定理和勾股定理构建方程组求出OA，【详解】解：如图，作OH⊥AB交AB于H，交圆弧于由题意：AB=设OA=x，由∴OH=∵OH⊥AB，∴AH=在Rt△由勾股定理得AH∴42解得x=5∴OA=5，∴cos∠故答案为：4518．（2025·山东东营·中考真题）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳OA与地面垂直，摆绳长2m，向前荡起到最高点B处时距地面高度1.3m，摆动水平距离BD为1.6m，然后向后摆到最高点C处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且OB与OC成90°角，则小丽在C处时距离地面的高度是（

A．0.9m B．1.3m C．1.6m D【答案】A【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点C作CE⊥OA于点E，摆绳OA与地面的垂点为F，由勾股定理得到OD=1.2m，进而得出OF=2.5m，证明【详解】解：如图，过点C作CE⊥OA于点E，摆绳OA与地面的垂点为由题意可知，OB=OC=2m，BD∴OD∴OF∵∠ODB∴∠OBD∵∠BOC∴∠BOD∴∠OBD在△BOD和△∠ODB∴△BOD∴OE∴EF即小丽在C处时距离地面的高度是0.9m故选：A．考点3勾股定理的逆定理19．（2025·湖南·中考真题）已知，a，b，c是△ABC的三条边长，记t=a（1）若三角形为等边三角形，则t=（2）下列结论正确的是（写出所有正确的结论）①若k=2，t=1，则②若k=1，a=12③若k=1，t≤53，a，b，c为三个连续整数，且a【答案】2①②/②①【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解一元一次不等式组，三角形三边的关系，等边三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．（1）根据等边三角形的性质可得a=（2）当k=2，t=1时，可证明a2+b2=c2，由勾股定理的逆定理可判断①；当k=1，a=12b+2，c=1时，可得t=32b+2；当a≥b时，可得12b+2-b<11【详解】解：（1）∵a，b，c是△ABC的三条边长，且△∴a=∴t==1+1=2，故答案为；2；（2）①当k=2，t=1时，∵∴ac∴a2∴a2∴△ABC为直角三角形，故①②当k=1，a=1∵t=∴t=当a≥∵a-∴12∴2<b当a<∵b-∴b-∴4<b∴2<b∵t=∴t随b的增大而增大，当b=2时，t当b=6时，t∴5<t<11，故③当k=1时，则t∵t≤∴a+∴a+∵a、b、c是三个相邻的正整数，a<∴不妨设c=n+2，则剩下两个数分别为n∵c<∴n+2<解得1<n∴符合题意的n的值有2、3、4、5、6、7，共6个，∴符合题意的a、b、c的取值一共有6组，∴满足条件的△ABC的个数为6，故③故答案为：①②．考点4勾股数问题20．（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为．【答案】11,60,61【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为x，则第3个数为x+1【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为x，则第3个数为x+1由勾股定理，得：112解得：x=60∴x+1=61∴第⑤组勾股数为11,60,61；故答案为：11,60,61．21．（2025·广东·中考真题）《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义．若直角三角形的三边长a，b，c都是正整数，则a，b，c为一组“勾股数”．下表中的每一组数都是勾股数．3，4，57，24，2511，60，6115，112，11319，180，1814，3，58，15，1712，35，3716，63，6520，21，295，12，139，12，1513，84，8517，144，14521，28，356，8，1010，___，2614，48，5018，80，8222，120，122(1)请补全上表中的勾股数．(2)根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示a，b，c，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明．(3)某校计划在一块绿地上种花，使之构成如图所示的图案，该图案是由四个全等的直角三角形组成．种花要求：仅在三角形边上种花，每个三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1 m．如果每个三角形最短边都种【答案】(1)24(2)a=k(m2-n2)，b=2kmn(3)280【分析】（1）先由表中勾股数规律，令a=10，b，c（2）由表中数据，分别用代数式表示出a，b，c，再由整式混合运算求证即可得证明；（3）由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，根据题意可知，最短边为20，另一个直角边为21，然后根据勾股定理求得斜边，即可得到答案．【详解】（1）解：由表中勾股数的规律可知，令a=10，b，c则由勾股数定义可知a2即102∴b解得b=24或b故答案为：24．（2）解：由题意，a=k(m2-n2)，b=2kmn∵a=k(m2∴a2b2c2∵a∴a（3）解：由于该图案是由四个全等的直角三角形组成，下面只需要解决其中一个直角三角形的种植情况即可，如图所示：设AC<BC，即直角三角形中最短边为∵仅在三角形边上种花，三角形顶点处都种一株花，各边上相邻两株花之间的距离均为1 m，三角形最短边种∴AC由题意可知，BC最小为21m那么AB=A那么这块绿地最少需要种植(20+21+29)×4=280株花．【点睛】本题考查由勾股数涉及的数字规律问题，难度中等偏上，涉及勾股数定义、整式加减乘法混合运算、平方差公式等知识，观察分析所给表中勾股数，分类找准规律并灵活运算解决实际问题是关键．考点5勾股树问题22．（2025·山东东营·中考真题）如图所示，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，⋯按照此规律继续下去，则S2025【答案】1【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“Sn=4×12n-1”【详解】解：如图，∵△CDE是等腰直角三角形，∴DE=∴CD∴DE=即等腰直角三角形的直角边为斜边的22∵正方形ABCD的边长为2，S1∴面积标记为S2的正方形边长为2则S2面积标记为S3的正方形边长为2则S3面积标记为S4的正方形的边长为2则S4……，∴S则S2025的值为：4×故答案为：1223．（2025·山东东营·中考真题）如图所示，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，……按照此规律继续下去，则S2025【答案】1【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“Sn=4×12n-1”【详解】解：如图，∵△CDE∴DE=∴CD∴DE=即等腰直角三角形的直角边为斜边的22∵正方形ABCD的边长为2，S1∴面积标记为S2的正方形边长为2则S2面积标记为S3的正方形边长为2则S3面积标记为S4的正方形的边长为2则S4……，∴S则S2025的值为：4×故答案为：12考点6弦图计算问题24．（2025·山东威海·中考真题）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为12cm，则折成立方体的棱长为cm【答案】1252【分析】本题考查了正方体的展开图、正方形的性质、勾股定理以及一元二次方程的求解等知识；如图，设BC=x，则【详解】解：如图，设BC=x，则则在直角三角形ABE中，由勾股定理可得：AE即12-x解得：x=125∴正方体的棱长为BD=2故答案为：12525．（2025·山东威海·中考真题）把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形EFGH的面积等于四边形ABCD面积的2倍，则mn=【答案】2+【分析】首先表示出四边形EFGH的面积和四边形ABCD面积，然后根据题意得到m2+n24=2m2-【详解】解：根据题意得，四边形EFGH的面积=四边形ABCD面积=∵四边形EFGH的面积等于四边形ABCD面积的2倍∴m整理得，4∴4设mn∴4解得t=2+3∴m故答案为：2+3【点睛】此题考查了完全平方公式，勾股定理，解一元二次方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点．考点7翻折问题26．（2025·重庆·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边的中点，连接DE，将△DCE沿直线DE翻折到正方形ABCD所在的平面内，得△DFE，延长DF交AB于点G．∠ADG和∠DAG的平分线DH，AH相交于点H，连接A．58 B．54 C．55【答案】A【分析】本题考查了正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，连接GE，证明Rt△EFG≌Rt△EBGHL，可得GF=GB，设GB=GF【详解】解：如图，连接GE，，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C∵点E是BC边的中点，∴BE∵将△DCE沿直线DE翻折得△∴∠EFD=∠C∴∠GFE∵GE∴Rt∴GF设GB=GF=根据勾股定理可得AG即2-x解得x=∴DG∵∠ADG和∠DAG的平分线DH，∴点H到AD,∴S故选：A．27．（2025·河南·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠B=45°,AB=6，点E在边BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点FA．2 B．6-32 C．22 D【答案】D【分析】由折叠的性质可知，∠AEB=∠AEF=90°，BE=EF，再根据菱形的性质，得出【详解】解：由折叠的性质可知，∠AEB=∠AEF在菱形ABCD中，∠B∴∠BAE=∠B∴AE∴AB∴BE∴BF∴CF故选：D．【点睛】本题考查了折叠的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，分母有理化等知识，掌握菱形的性质是解题关键．28．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE翻折，得到△A'BE，连接A'A．A'D∥C．△A'CD的面积=△A'DE的面积【答案】D【分析】本题考查了正方形与折叠问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等．过点A'作FG∥AB，分别交AD、BC于点F、G，由折叠的性质得∠AEB=∠A'EB，求得DE=A'E，推出∠EDA=∠EA'D，由∠AEA'是△A'【详解】解：过点A'作FG∥AB，分别交AD、BC于点F由折叠的性质得∠AEB=∠A∵E为边AD的中点，∴AE=∴DE=∴∠EDA∵∠AEA'∴∠AE∴∠AEB∴A'D∥∵正方形ABCD，∴AB=BC=设AB=∵E为边AD的中点，∴AE=由折叠的性质得∠BAE=∠BA'∵FG∥∴四边形ABGF和DCGF为矩形，∴FG=AB=10设DF=CG=x，则∴∠E∴△E∴A'∴A'F=∵A'∴12解得x=2∴DF=CG=2，A∴A'C=∴A'C=∵△A'CD的面积=12∴△A'CD的面积=△∵四边形A'BED的面积等于△A'DE△A'BC∴四边形A'BED的面积≠△A故选：D．29．（2025·吉林·中考真题）【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为60°的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下：【探究发现】如图①，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB>AD，E为边AD的中点，点F在边DC上，且DF=DE，连接EF，将△DEF沿EF翻折得到△【探究证明】取图①中的边BC的中点M，点N在边AB上，且BN=BM，连接MN，将△BMN沿MN翻折得到△HMN，点B的对称点为点H．连接FH，GN，如图【探究提升】在图②中，四边形GFHN能否成为轴对称图形．如果能，直接写出ADAB【答案】[探究发现]：四边形DEGF是菱形，理由见解析；[探究证明]：四边形GFHN是平行四边形；[探究提升]：四边形GFHN为轴对称图形时，ADAB的值为12或【分析】本题考查四边形综合应用，涉及到平行四边形，矩形，菱形、等边三角形等知识，解题的关键是掌握菱形的判定定理，平行四边形的判定定理；[探究发现]由将△DEF沿EF翻折得到△GEF，即知DE=GE，DF=GF，而[探究证明]同探究发现可知四边形BMHN是菱形，有NH∥BC，而E为边AD的中点，M为边BC的中点，四边形ABCD是平行四边形，即可得DE=BM，AD∥NH，又DE=FG，[探究提升]若四边形GFHN为轴对称图形，则四边形GFHN是矩形或菱形，分两种情况进行讨论：当四边形GFHN是矩形时，过G作GK⊥AB于K，过E作ET⊥AB于T，设AT=x，则AE=2x，可得AD=2AE=4x，DE=AE=2x，求出AB=【详解】[探究发现]：解：四边形DEGF是菱形，理由如下：∵将△DEF沿EF翻折得到△GEF，∴DE=GE∵DF∴GE∴四边形DEGF是菱形；[探究证明]：证明：如图：∵将△BMN沿MN翻折得到△HMN，∴BN=HN∵BN∴HN∴四边形BMHN是菱形，∴NH∵E为边AD的中点，M为边BC∴DE=1∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC∴DE=BM∵四边形DEGF是菱形，∴DE=FG∴FG=DE∴四边形GFHN是平行四边形；[探究提升]：解：四边形GFHN能成为轴对称图形，理由如下：由[探究证明]知，四边形GFHN是平行四边形，若四边形GFHN为轴对称图形，则四边形GFHN是矩形或菱形，当四边形GFHN是矩形时，过G作GK⊥AB于K，过E作ET⊥∵∠A=60°∴∠AET∴AT设AT=x，则∴ET∵E为AD∴AD=2AE∵四边形DEGF是菱形，∴EG∵四边形GFHN是矩形，∴∠GNH∵AD∥NH∴∠HNB∴∠GNK∴KN∵BN∴AB∴ADAB当四边形GFHN是菱形时，延长FG交AB于W，如图：设AD=y，则∵四边形GFHN是菱形，∴GF∵EG∥CD∴四边形AEGW是平行四边形，∠GWN∴AW=EG∴GW∴△GWN是等边三角形，∴WN∴AB∴ADAB综上所述，四边形GFHN为轴对称图形时，ADAB的值为12或考点8最值问题30．（2025·四川广安·中考真题）如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，D是BC【答案】2【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，垂线段最短，由勾股定理可得BC=42，由垂线段最短可得，当AD⊥BC时，AD有最小值，则此时点D为【详解】解：∵在等腰Rt△ABC中，∠BAC∴BC=由垂线段最短可知，当AD⊥BC时，∵AB=∴当AD⊥BC时，点D为∴此时AD=故答案为：2231．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点D、E分别在边AB和BC上，且AD=4，CE=3，连接DE，点M、N分别是AC、DE的中点，连接A．52 B．125 C．2 D【答案】A【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质，利用平行线+中点模型构造全等三角形，正确作出辅助线是解题的关键．过点C作CG∥AD，连接DM并延长交CG于点G，连接EG，可证△GMC≌△DMAASA，可得CG=【详解】解：如图，过点C作CG∥AD，连接DM并延长交CG于点G，连接∴∠GCM∵点M是AC的中点，∴CM=又∵∠GMC=∠∴△GMC≌△∴CG=AD=4∵CG∥AD，∴∠GCE∵CE=3∴GE=∵GM=DM，点N是∴MN是△DEG∴MN=1故选：A．32．（2025·黑龙江·中考真题）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=7，BC=9，点M是△ABC内部一点，连接AM、BM、CM，若【答案】5【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题关键构造相似三角形转化线段关系得出MG=在BC上取点G，使CG=1，构造出△MCG∽△BCM，得MG=13BM【详解】解：在BC上取点G，使CG=1又∵BC=9，CM∴CGCM又∵∠MCG∴△MCG∴MGBM∴MG=∴AM+∵AG=∴AM+即当M在AG上时，AM+13故答案为5233．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AC=4，BD=2，E为线段AC上的动点，四边形DAEF为平行四边形，则BE+【答案】13【分析】利用四边形DAEF为平行四边形，得出EF=AD，EF=AD，由E为线段AC上的动点，可知E、F运动方向和距离相等，利用相对运动，可以看作EF是定线段，菱形ABCD在AC方向上水平运动，过点B作AC的平行线MN，过点E作关于线段MN的对称点E'，由对称性得BE=BE'，则BE+BF=BE'+BF≤E'F，当且仅当E'、B、F依次共线时，BE'+BF取得最小值E'F，此时，设【详解】解：∵四边形DAEF为平行四边形，∴EF=AD，∵E为线段AC上的动点，∴可以看作EF是定线段，菱形ABCD在AC方向上水平运动，则如图，过点B作AC的平行线MN，过点E作关于线段MN的对称点E'由对称性得BE=∴BE+BF=BE'+BF≤E'此时如图，设AC与BD交于点O，EE'交MN于点H，延长E'E交∵菱形ABCD中，AC=4，BD∴AO=12AC=2由题可得AC∥∴由对称性可得EH⊥∴AC⊥∴∠OEH∴四边形EOBH是矩形，∴E'∵四边形DAEF为平行四边形，∴DF=AE，∴GD⊥∴∠GDO∴四边形DOEG是矩形，∴GD=EO，∴GF=GD+∴E'即BE+BF的最小值为故答案为：13．【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，两点之间线段最短，根据题意结合相对运动得出运动轨迹，再利用将军饮马解决问题是解题的关键．34．（2025·四川内江·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=6，点E、F分别是边AD、CD上的动点，连接BE、EF，点G为BE的中点，点H为EF【答案】5【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，通过三角形中位线定理进行转化是解题的关键．连接BD,BF，先由勾股定理求得BD=10，则BF≤BD【详解】解：连接BD,∵矩形ABCD中，AB=8,∴∠A∴BD=∴BF≤∵点G为BE的中点，点H为EF的中点，∴GH是△EBF∴GH=∴当点F,D重合时，GH取得最大值为故答案为：5．35．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=4，对角线BD=43，点P是边CD的中点，点M是对角线BD上的一个动点，连接PM、CM．则PM【答案】2【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定，连接AC，根据两点之间线段最短可知PM+CM的最小值为CP'，再结合菱形的性质得AD=AB=CD=4，AC【详解】解：如图，连接AC，作点P关于直线BD的对称点P'，则PM=P'M∴PM+根据两点之间线段最短，可知PM+CM的最小值为∵四边形ABCD是菱形，∴AD=根据勾股定理，得AO=∴AC=∵点P'是AD∴CP'⊥在Rt△ACP所以PM+CM的最小值为故答案为：2336．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的顶点C，A分别在x轴，y轴正半轴上，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=2．以BC为边作等边△【答案】3+13【分析】本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质、勾股定理、三角形三边关系，解直角三角形得出AC=23，由等边三角形的性质可得CD=BC=2，∠BCD=60°，取AC的中点E，连接OE、DE，作EF⊥CD交DC的延长线于F，则AE=CE=OE【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AC=∵△BCD∴CD=BC=2如图，取AC的中点E，连接OE、DE，作EF⊥CD交DC的延长线于，则AE=CE=∴EF=12∴DF=∴DE=根据三角形三边关系可得：OD≤∴OD≤∴OD的最大值为3+故答案为：3+考点9几何变化规律问题37．（2025·四川自贡·中考真题）如图，在△ABC中，AC=BC，CD⊥AB于点D，AB=DC=2．以点B为圆心，DB的长为半径画弧，交BC于点E1．以点C为圆心．CE1的长为半径画弧．交CD于点D1，过点D1作D1F1⊥DC，交AC于点F1；再以点F1为圆心，F1D1的长为半径画弧，交AC于点F【答案】5【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、图形类规律探索，由等腰三角形的性质可得AD=BD=1，由勾股定理得出AC=BC=5，求出D1【详解】解：∵在△ABC中，AC=BC，CD⊥AB∴AD=∴AC=∵以点B为圆心，DB的长为半径画弧，交BC于点E1∴BE∴CE∵以点C为圆心．CE1的长为半径画弧．交CD于点∴CD∵过点D1作D1F1⊥∴AD∥∴△C∴CD1CD∴D1F1∵以点F1为圆心，F1D1的长为半径画弧，交∴D1∴CF∵以CF2的长为半径画弧，交DC于点∴CD∵过点D2作D2E2⊥∴∠C∵∠F∴△C∴CD2C∴D2同理可得：D3F3=∴D2025F2025故答案为：5-考点10动点、旋转问题38．（2025·安徽·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AB=4，BC=3，AD=1，点E为边AB上的动点．将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接FB，FCA．EC-ED的最大值是25 B．C．EC+ED的最小值是42 D．【答案】A【分析】本题主要围绕四边形中的动点问题展开，解题思路是先通过旋转的性质得到相关线段和角的关系，再利用勾股定理建立线段之间的联系，最后根据点与点之间的位置关系以及几何性质来分别判断各个结论的正确性．【详解】解：∵将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，∴DE=DF，又∵∠A=∠ABC=90°，AB=4过点D作DG⊥BC于点G，在DG上取一点H，使得DH=AD=1,延长FH交AB∴∠GDA∴∠ADE∴△DHF≌△DAE∴∠∴FH⊥DG，即点F在∴四边形DAIH和四边形BGHI是矩形，∴HI=AD=BG=1∵∠A=∠ABC=90°，AB=4∴DE=1∴EC-∴BE最大时，EC-当点E与点A重合时，F与H重合时，BF最小,此时EC=42+32=5，ED=1,EC-作点D关于AB的对称点M，连接MC,则ED=EM，AD=AM=1，∠BAM=∠BAD=90°,过M作MN⊥CB于点N，此时∵MN∴四边形AMNB是