时间序列分析和预测课件

时间序列分析和预测

8.8.1时间序列及其分解原理时间序列的概念时间序列的种类时间序列的编制原则时间序列的构成与分解时间序列

（动态数列）(timesseries)1. 同一现象在不同时间上的相继观察值排列而成的数列2. 形式上由现象所属的时间和现象在不同时间上的观察值两部分组成3. 排列的时间可以是年份、季度、月份或其他任何时间形式时间按序列的分类时间序列分类绝对数时间序列相对数时间序列平均数时间序列时期数列时点数列时间序列的分类绝对数时间序列：总量指标形成的时间序列。反映社会经济现象在各期达到的绝对水平及其变化发展的状况时期数列：由时期绝对数编制而成可以相加;数值与时期长短有关;连续登记得到时点数列：由时点绝对数编制而成。不能相加;数值与时间间隔无关;通过一定时期登记一次得到相对数时间序列：相对指标形成的时间序列。说明社会经济现象的比例关系、结构、速度的发展变化过程。平均数时间序列：平均指标形成的时间序列。说明社会现象一般水平的发展趋势。时间序列的编制原则1、时期长短应统一2、总体范围应一致3、指标的经济内容应相同4、计算口径应统一线性趋势长期趋势季节变动循环变动随机变动时间序列的成分非线性趋势时间序列的成分时间序列的成分长期趋势(trend)由各时期普遍和长期起作用的基本因素引起的变动，是时间序列的基本变动趋势季节变动

(Seasonalfluctuation)时间序列在一年内重复出现的周期性波动

循环波动(Cyclicalfluctuation)

围绕长期趋势的一种波浪形或振荡式变动

随机变动(random)

也称不规则波动(Irregularvariations)除去趋势、周期性和季节性之后的偶然性波动

1950-1998年中国水灾受灾面积(单位：千公顷）-50000500010000150002000025000300003500040000450001950195219541956195819601962196419661968197019721974197619781980198219841986198819901992199419961998长期趋势T（Trend）循环变动C（Cyclical）不规则变动I（Irregular）季节变动S（Seasonal）时间序列的构成模型时间序列的构成要素分为四种，即长期趋势(T)、季节变动(S)、循环波动(C)、随机或不规则波动(I)时间序列的分解模型乘法模型

Yi=Ti×Si×Ci×Ii加法模型

Yi=Ti+Si+Ci+Ii

Yi=Ti+Si+IiYi=Ti+Ci+Ii

时间数列分析模型取决于对各因素组合模式的理解，同时也决定时间数列的分析方法。8.8.2平稳序列的分析和预测间隔扩大法移动平均法指数平滑平均法间隔扩大法间隔扩大法

通过扩大数列时间间隔，形成新的数列，以反映现象发展的趋势可以用间隔扩大的总数，也可以用间隔扩大平均数来编制新的数列间隔扩大法应注意：同一数列前后时间间隔应一致，以便比较时间间隔长短，应根据具体现象的性质和特定而定，以能显示现象变化趋势为宜简单平均法

(例题)某机器厂各月生产机器台数月份123456789101112机器台数414252434551534051495654某机器厂各季度生产机器台数季度1234机器台数135139144159某机器厂各季度平均生产机器台数季度1234机器台数4546.34853移动平均法移动平均法

通过对时间序列逐期递移求得一系列平均数作为趋势值或预测值修匀趋势线的基本方法，可以消除原数列中的循环变动和不规则变动的影响，使原数列显得平滑，从而得到现象的趋势。有简单移动平均法和加权移动平均法两种简单移动平均法将最近k的其数据加以平均作为下一期的预测值

设移动间隔为

K(1<k<t)，则t期的移动平均值为

t+1期的简单移动平均预测值为实践中也有采用下述方法作为预测值的：简单移动平均法

(特点)将每个观察值都给予相同的权数每次计算移动平均值时，移动的间隔都为k应用时，应注意：修匀程度与原数列移动平均的项数有关。项数多，修匀效果好。移动平均的项数的多少，视资料的特点而定。移动平均的时期长度可以等于周期长度或其整倍数。奇数项数移动时，一次移动即可的趋势值；偶数项数移动时，需两次移动获得趋势值。移动平均后的数列，比原数列项数减少。趋势值项数＝原数列项数－移动项数＋1。统计分析时要求两端数据时，不能用移动平均法。原数列三项移动平均五项移动平均四项移动平均简单移动平均法

(例题分析)月份机器台数3项移动平均数4项移动平均数2项移动平均数123456789101112414252434551534051495654－4545.746.746.349.7484846.75253－－－44.545.547.754847.2548.7548.254952.5－－－－－4546.62547.87547.6254848.548.62550.75－－－器台数的移动平均数某机器厂各月生产机简单移动平均法

(例题分析)月份销售量3项移动平均数变动趋势值平均趋势值t－5t－4t－3t－2t－1t54555456585954.355.056.057.70.71.01.71.13简单移动平均预测计算简单移动平均法

(例题分析)【例】对居民消费价格指数数据，分别取移动间隔k=3和k=5，用Excel计算各期的居民消费价格指数的平滑值(预测值)，计算出预测误差，并将原序列和预测后的序列绘制成图形进行比较用SPSS进行移动平均预测简单移动平均法

(例题分析)加权移动平均法对近期的观察值和远期的观察值赋予不同的权数后再进行预测当时间序列的波动较大时，最近期的观察值应赋予最大的权数，较远的时期的观察值赋予的权数依次递减当时间序列的波动不是很大时，对各期的观察值应赋予近似相等的权数所选择的各期的权数之和必须等于1。*指数平滑平均法指数平滑法

(exponentialsmoothing)是加权平均的一种特殊形式对过去的观察值加权平均进行预测的一种方法观察值时间越远，其权数也跟着呈现指数的下降，因而称为指数平滑有一次指数平滑、二次指数平滑、三次指数平滑等一次指数平滑法也可用于对时间序列进行修匀，以消除随机波动，找出序列的变化趋势一次指数平滑

(singleexponentialsmoothing)只有一个平滑系数观察值离预测时期越久远，权数变得越小以一段时期的预测值与观察值的线性组合作为t+1的预测值，其预测模型为

Yt为t期的实际观察值

Ft为t期的预测值为平滑系数(0<<1)一次指数平滑在开始计算时，没有第1个时期的预测值F1，通常可以设F1等于1期的实际观察值，即F1=Y1第2期的预测值为第3期的预测值为一次指数平滑第t期的预测值为一次指数平滑

(预测误差)预测精度，用误差均方来衡量

Ft+1是t期的预测值Ft加上用

调整的t期的预测误差(Yt-Ft)一次指数平滑

(

的确定)不同的

会对预测结果产生不同的影响一般而言，当时间序列有较大的随机波动时，宜选较大的

，以便能很快跟上近期的变化当时间序列比较平稳时，宜选较小的

选择

时，还应考虑预测误差误差均方来衡量预测误差的大小确定

时，可选择几个进行预测，然后找出预测误差最小的作为最后的值一次指数平滑

(例题分析)一次指数平滑

(例题分析)8.8.3有趋势序列的分析和预测线性趋势分析和预测非线性趋势分析和预测线性趋势分析和预测线性模型法

(直线方程)

线性方程的形式为—时间序列的趋势值

t—时间标号

a—趋势线在Y轴上的截距

b—趋势线的斜率，表示时间t变动一个单位时观察值的平均变动数量线性模型法

(直线方程)使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小来求得a和b的方法。即用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的关系与实际数据的误差比其他任何直线都小最小二乘法

(图示)xy(xn,yn)(x1,y1)

(x2,y2)(xi,yi)｝ei=yi-yi＾线性模型法

(a和b的求解方程)

对离差平方和求导得求解a和b

的标准方程为解得：若令

t=0解得：年份ttGDP(y)tyt2198619871988198919901991199219931994199519961997199812345678910111213-6-5-4-3-2-101234567610.68491.39448.09832.210209.111147.712735.114452.916283.117993.719718.421454.723129.0-45663.6-42456.5-37792.0-29496.6-20418.2-11147.7014452.932566.253981.178873.6107273.5138774.03625169410149162536合计910182506.1238946.7182非线性趋势分析和预测现象的发展趋势为抛物线形态一般形式为根据最小二乘法求得a、b、c标准方程二次曲线二次曲线

(例题分析)【例】根据能源生产总量数据，计算出各期的趋势值和预测误差，预测2001年的能源生产总量，并将原序列和各期的趋势值序列绘制成图形进行比较二次曲线方程：2001年能源生产总量的预测值：二次曲线

(例题分析)二次曲线

(例题分析)用于描述以几何级数递增或递减的现象一般形式为指数曲线a、b为未知常数若b>1，增长率随着时间t的增加而增加若b<1，增长率随着时间t的增加而降低若a>0，b<1，趋势值逐渐降低到以0为极限指数曲线

(a、b的求解方法)采取“线性化”手段将其化为对数直线形式根据最小二乘法，得到求解lga、lgb的标准方程为求出lga和lgb后，再取其反对数，即得算术形式的a和b

指数曲线

(例题分析)【例】根据人均GDP数据，确定指数曲线方程，计算出各期的趋势值和预测误差，预测2001年的人均GDP，并将原序列和各期的趋势值序列绘制成图形进行比较指数曲线趋势方程：预测的估计标准误差：

2001年人均GDP的预测值：指数曲线

(例题分析)指数曲线

(例题分析)指数曲线与直线的比较比一般的趋势直线有着更广泛的应用可以反应现象的相对发展变化程度上例中，b=0.170406表示1986～2000年人均GDP的年平均增长率为17.0406%

不同序列的指数曲线可以进行比较比较分析相对增长程度在一般指数曲线的基础上增加一个常数K一般形式为修正指数曲线

(modifiedexponentialcurve)K、a、b为未知常数K>0，a≠0，0<b≠1用于描述的现象：初期增长迅速，随后增长率逐渐降低，最终则以K为增长极限修正指数曲线

(求解k、a、b

的三和法)趋势值K无法事先确定时采用将时间序列观察值等分为三个部分，每部分有m个时期令趋势值的三个局部总和分别等于原序列观察值的三个局部总和修正指数曲线

(求解k、a、b

的三和法)根据三和法求得设观察值的三个局部总和分别为S1，S2，S3修正指数曲线

(例题分析)【例】我国1983～2000年的糖产量数据如表。试确定修正指数曲线方程，计算出各期的趋势值和预测误差，预测2001年的糖产量，并将原序列和各期的趋势值序列绘制成图形进行比较修正指数曲线

(例题分析)修正指数曲线

(例题分析)解得K、a、b如下修正指数曲线

(例题分析)

糖产量的修正指数曲线方程2001年糖产量的预测值预测的估计标准误差$Yt

=3659.149–2230.531

(0.87836)t修正指数曲线

(例题分析)以英国统计学家和数学家B·Gompertz而命名一般形式为Gompertz曲线

(Gompertzcurve)描述的现象：初期增长缓慢，以后逐渐加快，当达到一定程度后，增长率又逐渐下降，最后接近一条水平线两端都有渐近线，上渐近线为Y

K,下渐近线为Y=

0K、a、b为未知常数K>0，0<a≠1，0<b≠1Gompertz曲线

(求解k、a、b

的三和法)仿照修正指数曲线的常数确定方法，求出lga、lgK、b取lga、lgK的反对数求得a和K

则有：将其改写为对数形式：令：Gompertz曲线

(例题分析)【例】我国1983～2000年的糖产量数据如表。试确定修正指数曲线方程，计算出各期的趋势值和预测误差，预测2001年的糖产量，并将原序列和各期的趋势值序列绘制成图形进行比较Gompertz曲线

(例题分析)Gompertz曲线

(例题分析)Gompertz曲线

(例题分析)

糖产量的Gompertz曲线方程

2001年糖产量的预测值

预测的估计标准误差Gompertz曲线

(例题分析)罗吉斯蒂曲线

(Logisticcurve)1838年比利时数学家Verhulst所确定的名称该曲线所描述的现象的与Gompertz曲线类似3.其曲线方程为K、a、b为未知常数K>0，a>0，0<b≠1Logistic曲线

(求解k、a、b

的三和法)取观察值Yt的倒数Yt-1当Yt-1

很小时，可乘以10的适当次方a、b、K的求解方程为趋势线的选择观察散点图根据观察数据本身，按以下标准选择趋势线一次差大体相同，配合直线二次差大体相同，配合二次曲线对数的一次差大体相同，配合指数曲线一次差的环比值大体相同，配合修正指数曲线对数一次差的环比值大体相同，配合Gompertz曲线倒数一次差的环比值大体相同，配合Logistic曲线3.比较估计标准误差8.8.4复合型序列的分解一.季节性分析趋势分析周期性分析季节性分析

季节变动（Seasonal）：一年之内因纯季节原因造成的数列的波动，以及与季节无关的类似的变动。饮料的生产量及销售量在一年内的变化用电量在一年之内的增减蔬菜价格在一年内的波动鲜花销售每年的几个旺季每年旅客运输的高峰期……季节变动的概念测量季节变动的意义某种商品零售量051015202530第一年第二年第三年第四年按月平均法按月平均法

按月平均法的假设：没有循环变动和长期趋势的影响。即：则季节比率S的求解程序为：首先：然后：按月平均法的计算过程：第一步，求各年同季（同月）平均数：设有n年m季的数据，yij为第i年第j季的数据第二步，求各季或各月的总平均数：第三步，求出季节比率：即按月平均法

（例题分析）123456789101112合计第一年第二年第三年821101237265816270843840452028455793454561113158096949014816185134144552720812合计31521821612393211215392703993632084月平均数10572.7724131745139013312157.9季节比率％181.35125.56124.3570.8153.5412.096.918.6422.45155.44229.71208.981199.83围巾销售量季节比率计算表由于是月资料，季节比率之和应等于1200％，本例季节比率之和为1199.83％，基本接近。若相差过大，应作调整，方法是先求出校正系数，再用此系数乘以原来的各月季节比率。如果是季资料，则季节比率之和应等于400％。移动平均趋势剔除法移动平均趋势剔除法使用趋势剔除法的原因

当存在向上的长期趋势时，原资料平均法对于每年前面季节的季节比率有所贬低，对后面季节的季节比率则有所夸大。反则反之。趋势剔除法的基本过程趋势剔除法的假设：没有循环变动影响。即：第一步，使用移动平均法产生新数列，得到长期趋势。第二步，用原数列各值与新数列各值相除，得到相对数数列。第三步，计算相对数数列的平均水平。季节指数

(计算步骤)计算移动平均值(季度数据采用4项移动平均，月份数据采用12项移动平均)，并将其结果进行“中心化”处理将移动平均的结果再进行一次二项的移动平均，即得出“中心化移动平均值”(CMA)剔除长期趋势。用原数列除以同一时期的趋势值。计算移动平均的比值，也成为季节比率