16.2 二次根式的运算（题型专练）（原卷版）

16.2二次根式的运算题型一二次根式的乘法1．计算2×6的值为（A．22 B．23 C．322．下列各数中，与2的积为有理数的是（

）A．2 B．3 C．2 D．33．计算6×7的结果为4．计算：3×12题型二二次根式的除法1．计算12÷3的结果是（A．4 B．2 C．3 D．22．方程6x=3A．x=33 B．x=223．6÷34．273=题型三二次根式的乘除混合运算1．计算15÷4A．1 B．354 C．142．计算18÷34A．32 B．42 C．523．计算8×24．计算：3÷3×题型四最简二次根式的判别1．下列各式是最简二次根式的是（）A．0.3 B．6 C．12 D．2．若a是最简二次根式，则a的值可以是（

）A．12 B．2 C．4 D．3．任意写出一个最简二次根式．4．在2，0.1，32，a2+b2题型五化为最简二次根式1．化简27的结果是．2．将二次根式20化为最简二次根式．3．把下列根式化成最简二次根式：(1)24．(2)40．(3)1.5．4．化简：(1)209(2)ba题型六同类二次根式1．下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（

）A．18 B．9 C．27 D．0.32．下列各根式中，是同类二次根式的是（

）A．3和9 B．2和1C．a2b和ab2 D3．下列各式中，化简后能与2合并的是（

）A．20 B．18 C．23 D．4．请写出一个23的同类二次根式5．2与8同类二次根式（填“是”或“不是”）．题型七二次根式的加减运算1．计算32+2A．22 B．-2 C．422．计算45-A．25 B．25 C．5 D．3．能与-34-A．-34-7 B．7+34．计算：32+题型八二次根式的混合运算1．化简：48-12÷A．26 B．6 C．3 D．2．下列各式计算正确的是（

）A．53-2C．2×3=3．下列计算正确的是（

）A．-22=-2C．122=64．1-25．计算：23×3．计算8+287．计算：1-2337．计算：(1)75-(2)148．计算：(1)48+(2)20+(3)3+5题型九比较二次根式的大小1．下列各数中，大于3的数是（）A．22 B．7 C．10 D．2．已知m=32，则下列数中比m大的是（A．23 B．4 C．17 D．3．比较大小：2310．（选填“>”、“=”、“<”4．比较大小：7667（填“>”或“<5．比较大小：3-14

3(用“>”、“<”或“=”题型十二次根式的应用1．如图，矩形ABCD中，相邻两个正方形EFGH和MNCD的面积分别为2和4，则图中阴影部分的面积是（

）A．2 B．4-22 C．22-2．如图，从一个大正方形中裁去面积为12cm2和27cm

A．36cm2 B．39cm2 C．3．三角形的一边长是30 cm，这条边上的高是42 A．635 cm2 B．3354．【跨学科】“海阔千江辏，风翻大浪随”．海浪的大小与风速和风压有很大的关系，用风速估计风压的通用公式为wp=v21600，其中wp为风压（单位：kN/m2），v为风速（单位：5．高空抛物严重威胁着人们的头顶安全，即便是常见小物件，一旦从高空落下，其威力也惊人，而且落地用时很短，行人常常来不及避让．据研究，从高度为h（单位：m）的高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h满足关系式t=2hg（不考虑风速的影响，g的值取6．某居民小区有块形状为长方形绿地ABCD，长BC为128米，宽AB为50米，现在要长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为13+1米，宽为13-1米．除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为30元

题型一根据最简（同类）二次根式求参数的值1．最简二次根式2x-1与11-2x2．若最简二次根式8-3k与8能合并，则k的值可以是（

A．0 B．1 C．2 D．33．若二次根式3m+9是最简二次根式，则m可取的最小整数为（A．1 B．0 C．-1 D．4．已知最简二次根式2x-3与5可以合并，则x5．如果最简根式a+ba+b与题型二二次根式中的新定义运算1．用x表示不超过x的最大整数，例如：2.94=2，-3.89=-4．已知mA．4 B．23 C．-4 D．232．对于任意的正数m、n，定义运算为：mⓧn=A．1 B．2 C．2 D．33．对于正整数n，定义fn=1n+nA．2025-1 B．2026-1 C．4．定义两种新运算，规定：a★b=a-b，a☆(1)求5★15☆1(2)求2★1题型三二次根式的估算1．估计6×6+A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间2．估计3-52×A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间3．估计314-2A．4与5之间 B．5与6之间 C．6与7之间 D．7与8之间题型四二次根式中与整数部分有关的计算1．已知m=5+1，那么mA．1 B．2 C．3 D．42．设8-10的整数部分为a，小数部分为b，则a+10A．6 B．210 C．12 D．3．已知x-10-x+5A．2 B．3 C．4 D．54．若3的整数部分为x，小数部分为y，则3x-y的值是（A．32-3 B．3 C．15．若7的整数部分是a，小数部分是b，求7+abA．7-27 B．3 C．5 D．6．实数110-3的整数部分a=题型五二次根式中较复杂的代数式求值1．已知a=3-12A．-3 B．3 C．-3+22．设n为正整数且n<126-22A．6 B．7 C．8 D．93．当1<a<2时，代数式（aA．2a-3 B．1 C．-4．已知a-1a=2，则A．22 B．±22 C．235．如果x2-3A．5 B．3 C．5 D．26．已知实数m满足2025-m+m-2026A．2025 B．-2025 C．2026 D．7．小芬在解决问题：已知a=12+∵a∴(∴a∴a∴2a请你根据小芬的解答过程，解决如下问题：(1)计算：12(2)若a=①求4a②求3a题型六数学文化与二次根式的应用1．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=14a2b2-a2+b2-c222．已知△ABCA．3 B．23 C．33 D2．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p=a+b+c2，那么这个三角形的面积为S=pp-ap-b3．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一秦九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p=a+b+c2，那么这个三角形的面积为S=pp-ap-b4．北师大（2024版）八年级（上）数学教材指出：设一个三角形的三边长分别为a,b,S=S=请选择合适的公式解决以下问题．（1）若一个三角形的三边长分别是5,6,（2）若一个三角形边长依次为5、6、7，这个三角形三条边上的高之和为5．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦--秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p=a+b+c2，那么三角形的面积为S=pp-ap-bp-6．问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究：材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron,约公元50年)，在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式S=pp-ap-bp-材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：S=14a2b2-a(1)利用材料1解决下面的问题：当a=(2)利用材料2解决下面的问题：已知△ABC三条边的长度分别是a=x+1①当x=2时，请直接写出△②若x是满足0<x≤4的整数，当C△题型七分母有理化1．下列二次根式中，与a+b互为有理化因式的是（A．-a+b B．a-b C2．化简21+3+A．42 B．43 C．44 D．453．阅读下列解题过程：1====52===26观察上面解题过程，310-7A．310+7 B．10+7 C．4．【阅读材料】材料一：我们规定，如果两个含有二次根式的式子的积中不含二次根式，我们就称这两个含有二次根式的式子互为有理化因式，其中一个式子叫作另一个式子的有理化因式．材料二：我们在进行二次根式的化简时，有时需要把分子、分母乘以分母的有理化因式从而去掉分母中的根号，这个过程就是分母有理化，如：12+材料三：我们有时又需要把分子、分母乘以分子的有理化因式从而去掉分子中的根号，这个过程就是分子有理化，如：2+3【问题解决】任务一：请写出2的一个有理化因数为______；任务二：11-5与-5【知识应用】（1）请利用分母有理化知识，化简：11+（2）请利用分子有理化知识，比较大小：2025-2024与5．【阅读与探究】在进行二次根式去分母时，我们有时会碰上如53，23，53=5×23=2×323+1=以上这种化简的步骤叫做分母有理化．2323+1=(1)【小试牛刀】请参照③式、④式用不同的方法化简25(2)【拓展应用】化简：13题型八二次根式中的规律类问题1．观察下列各式：1+13=213，2+14=31A．2019+12021=2020C．2021+12023=20222．如图，原图是一块边长为1，面积记为S的正三角形纸板，沿原图的底边剪去一块边长为12正三角形纸板后得到图①，面积记为S1，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板，即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的12后，得图②、③面积依次记为S2，S3，……，记第2025n≥3块纸板的面积为A．341220232 B．343．将一组数2，2，6，22，10，23，…，2n则第七行左起第1个数是．4．观察下列计算：121212……从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算：12+15．观察下列等式：a1=11+3=3按照上述规律，回答以下问题：(1)请写出第7个等式：________；(2)请写出第n个等式：________；(3)求a1题型九求参数的取值范围1．若a-52=5-aA．a>5 B．a<5 C．a≥52．若x3+4x2=-A．x≤0 B．x≥-4 C．-4≤3．已知关于x的方程x2-2x+1A．-3<t<0 B．t>-3且t≠-1 C．t≥-14．若代数式(2020-a)2+(A．a≥2023 B．a≤2020 C．a=2020或a题型十二次根式中最值问题1．【阅读理解】通过二次根式和乘法公式可以发现：对于任意正实数a，b，∵(∴a∴a+b≥2ab（当且仅当【获得结论】在a+b≥2ab（a，b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥如：若x>0，则∴x+1x≥2，当且仅当x=1【探索应用】根据上述内容，回答下列问题：(1)若x>0，则2x+(2)已知x>0，m是一个大于0的常数，若m2x2-(3)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AC⊥BD，AC=BD=62．阅读下面材料：我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：7-6=7-67+67+6=17解：由x+2≥0，x-2≥0可知x≥2，而y=x+2-x-2解决下述问题：(1)由材料可知，________=(2)比较13-12和(3)式子Y=x+1先化简，再求值：1-ba+b-a2．观察下列一组等式，然后解答后面的问题：2+13+4+5+(1)观察以上规律，请写出第5个等式：________．(2)利用上面的规律，计算12(3)请利用上面的规律，比较2025-2024与3．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当a>0,b>0时，∵a-(1)当x>0时，x+1x的最小值为；当x<0(2)当x>-1时，求代数式x(3)如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4．观察下列等式：121314…(1)求下列各式的值：①17+②132③1n+1+n(2)已知x=12+3，y=12-3，若x的整数部分是m，(3)计算6+5．【发现问题】由(a-b)2≥0得，a2+ba+b≥2【提出问题】若a>0，b>0，利用配方能否求出【分析问题】例如：已知x>0，求式子x解：令a=x, b=4x，则由a+【解决问题】请根据上面材料回答下列问题：（1）2+3__________22×3（用“=”“>”“<”填空）；当x>0，式子x+【能力提升】（2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使