2026届新高考数学三轮热点复习导数与函数的极值、最值

2026届新高考数学三轮热点复习导数与函数的极值、最值函数的极值(1)函数极值的定义：如图，函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.类似地，函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.我们把a叫做函数y＝f(x)的_________，f(a)叫做函数y＝f(x)的______；b叫做函数y＝f(x)的____________，f(b)叫做函数y＝f(x)的________．极小值点、极大值点统称为_________，极小值和极大值统称为______．

回归教材极小值点极小值极大值点极大值极值点极值(2)函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件：一般地，函数y＝f(x)在某一点处的导数值为0是函数y＝f(x)在这点取极值的____________．可导函数y＝f(x)在x＝x0处取极大(小)值的充分条件是：①____________；②在x＝x0附近的左侧f′(x)>0(<0)，右侧f′(x)<0(>0)．(3)利用导数求极值的方法：解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0,那么f(x0)是__________；如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是__________．必要条件f′(x0)＝0极大值极小值函数的最大(小)值(1)函数最大(小)值的再认识①一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．②若函数y＝f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数在[a，b]上的__________，f(b)为函数在[a，b]上的__________；若函数y＝f(x)在[a，b]上___________，则f(a)为函数在[a，b]上的最大值，f(b)为函数在[a，b]上的最小值．最小值最大值单调递减

(2)设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．三次函数的图象与性质三次函数的图象与性质三次函数的图象、单调性与极值f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，Δ＝4(b2－3ac)．三次函数的零点f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，x1，x2为f′(x)的极值点，且x1<x2.(1)1个零点：(2)2个零点：

(3)3个零点：三次函数的对称性(1)三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)图象的对称中心为(2)若[f′(x0)]′＝0，则(x0，f(x0))为函数f(x)图象的对称中心．(3)三次函数y＝f(x)图象的对称中心为(a，b)⇔函数y＝f(x＋a)－b为奇函数⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b.三次函数的切线条数过三次函数y＝f(x)图象的对称中心作切线l，则坐标平面被切线和函数图象分割为四个区域，如图．

(1)过Ⅰ，Ⅳ内的点作f(x)图象的切线，有3条．(2)过Ⅱ，Ⅲ内的点作f(x)图象的切线，有1条．(3)过切线l上的点(除掉对称中心)作f(x)图象的切线，有2条．3．已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则c的值为(

)A．2 B．4C．6 D．2或6 √解析由题意，f′(x)＝(x－c)2＋2x(x－c)＝(x－c)(3x－c)，则f′(2)＝(2－c)(6－c)＝0，所以c＝2或c＝6.4．已知函数f(x)＝

x3－mx2＋mx＋9在R上无极值，则实数m的取值范围为________．[0，1]解析函数f(x)＝

x3－mx2＋mx＋9在R上无极值⇔f′(x)＝x2－2mx＋m在R上无变号零点⇔Δ＝4m2－4m≤0⇔0≤m≤1.5．若函数f(x)＝

x3－4x＋m在[0，3]上的最大值为4，则m＝________．4解析f′(x)＝x2－4，当x∈[0，2)时，f′(x)<0，当x∈(2，3]时，f′(x)>0，所以f(x)在[0，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m，所以在[0，3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4.常用结论(1)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．(2)求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值．(3)若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则该极值点一定是函数的最值点．(4)函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系．(5)极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值．题型一

函数的极值问题(微专题)微专题1根据函数图象判断极值

【多选题】(2025·辽宁锦州开学考试)函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是(

)A．f(－2)>f(－1)B．x＝1是f(x)的极小值点C．函数f(x)在(－1，1)上有极大值D．x＝－3是f(x)的极大值点√√【解析】由y＝f′(x)的图象可知，当x∈(－∞，－3)时，f′(x)>0，所以函数f(x)单调递增，当x∈(－3，－1)时，f′(x)<0，所以函数f(x)单调递减，因此有f(－2)>f(－1)，x＝－3是f(x)的极大值点，所以A、D正确；当x∈(－1，1)或x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数f(x)单调递增，因此函数f(x)在(－1，1)上没有极大值，且x＝1不是f(x)的极小值点，所以B、C不正确．故选AD.状元笔记

由导函数图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)可能的极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性，两者结合可得极值点．√思考题1

【多选题】设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(

)A．函数f(x)有极大值f(－2)B．函数f(x)有极大值f(2)C．函数f(x)有极小值f(1)D．函数f(x)有极小值f(2)√【解析】由图可知，当x∈(－∞，－2)时，1－x>0，且(1－x)f′(x)>0，则f′(x)>0，f(x)在区间(－∞，－2)单调递增，当x∈(－2，1)时，1－x>0，且(1－x)f′(x)<0，则f′(x)<0，f(x)在区间(－2，1)单调递减，当x∈(1，2)时，1－x<0，且(1－x)f′(x)>0，则f′(x)<0，f(x)在区间(1，2)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，1－x<0，且(1－x)f′(x)<0，则f′(x)>0，f(x)在区间(2，＋∞)单调递增，所以函数f(x)的极大值为f(－2)，函数f(x)的极小值为f(2)．故选AD.微专题2求函数的极值

已知函数f(x)＝(x－2)(ex－ax)，当a>0时，讨论f(x)的极值情况．【答案】见解析【解析】∵f′(x)＝(ex－ax)＋(x－2)(ex－a)＝(x－1)·(ex－2a)，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(2a)(a>0)．①当a＝

时，f′(x)＝(x－1)(ex－e)≥0但不恒为0，∴f(x)在R上是增函数，故f(x)无极值．x(－∞，ln(2a))ln(2a)(ln(2a)，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋(x)

极大值

极小值

故f(x)有极大值f(ln(2a))＝－a[ln(2a)－2]2，极小值f(1)＝a－e.x(－∞，1)1(1，ln(2a))ln(2a)(ln(2a)，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)

极大值

极小值

故f(x)有极大值f(1)＝a－e，极小值f(ln(2a))＝－a[ln(2a)－2]2.状元笔记求函数极值的步骤(1)确定函数的定义域．(2)求方程f′(x)＝0的根．(3)用方程f′(x)＝0的根和不可导点处x的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格．(4)由f′(x)＝0的根左右的符号以及f′(x)在不可导点左右的符号来判断f(x)在这个根或不可导点处取极值的情况，此步骤不可缺少．思考题2

(2025·河南普通高考适应性测试)已知函数f(x)＝lnx＋x2＋ax＋2在点(2，f(2))处的切线与直线2x＋3y＝0垂直．(1)求a；【答案】(1)－3

(2)求f(x)的单调区间和极值．【答案】(2)见解析【解析】(2)由a＝－3，知f(x)＝lnx＋x2－3x＋2，极小值f(1)＝ln1＋12－3×1＋2＝0.微专题3已知极值(点)求参数(1)(2025·黑龙江大庆市模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极小值10，则a＋b＝(

)A．－7

B．0C．－7或0 D．－15或6√【解析】由函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2有f′(x)＝3x2＋2ax＋b.函数f(x)在x＝1处有极小值10.显然满足函数f(x)在x＝1处有极小值10.所以函数f(x)在R上单调递增，不满足函数f(x)在x＝1处有极小值10.所以a＋b＝4－11＝－7.故选A.(2)【多选题】(2023·新高考Ⅱ卷)若函数f(x)＝alnx＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则(

)A．bc>0 B．ab>0C．b2＋8ac>0 D．ac<0√√√根x1，x2，即ax2－bx－2c＝0有两个不相等的正根x1，x2，∴Δ＝b2＋8ac>0，x1＋x2＝>0，x1x2＝>0，∴ab>0，ac<0，则bc<0，选BCD.状元笔记由函数极值(个数)求参数的值或范围讨论极值点有无(个数)问题，可转化为讨论f′(x)＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号．已知函数极值(个数)，确定函数解析式中的参数时，注意以下两点：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．√(2)(2025·八省联考)已知函数f(x)＝alnx＋

－x.①设a＝1，b＝－2，求曲线y＝f(x)的斜率为2的切线方程；【答案】①2x－y－5＝0

＝0⇒(x－1)(3x＋2)＝0，解得x＝1(负值舍去)，又f(1)＝－3，则切点为(1，－3)，结合切线斜率为2，则切线方程为y＋3＝2(x－1)，即2x－y－5＝0.②若x＝1是f(x)的极小值点，求b的取值范围．【答案】②(1，＋∞)因为x＝1是f(x)的极小值点，则f′(1)＝－1＋a－b＝0⇒a＝b＋1，ⅰ.当b≤0时，x－b>0，令f′(x)＝0⇒x＝1，当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，此时f(x)在x＝1处取得极大值，舍去．ⅱ.当b＝1时，f′(x)＝－

≤0但不恒为零，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(x)不存在极值，舍去．ⅲ.当0<b<1时，若0<x<b，则f′(x)<0，f(x)单调递减；若b<x<1，则f′(x)>0，f(x)单调递增；若x>1，则f′(x)<0，f(x)单调递减，此时f(x)在x＝1处取得极大值，舍去．ⅳ.当b>1时，若0<x<1，则f′(x)<0，f(x)单调递减；若1<x<b，则f′(x)>0，f(x)单调递增；若x>b，则f′(x)<0，f(x)单调递减，此时f(x)在x＝1处取得极小值．综上，b的取值范围为(1，＋∞)．题型二

函数的最值问题(微专题)微专题1求函数的最值(2025·吉林长春模拟)已知函数f(x)＝e2x＋ex－x.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；【答案】(1)y＝2x＋2

【解析】(1)因为f(x)＝e2x＋ex－x，则f′(x)＝2e2x＋ex－1，可得f(0)＝2，f′(0)＝2，即切点坐标为(0，2)，切线斜率为k＝2，所以切线方程为y＝2x＋2.(2)当x∈[－1，0]时，求函数f(x)的最大值与最小值．【解析】(2)由(1)可得f′(x)＝2e2x＋ex－1＝(ex＋1)(2ex－1)，当x∈[－1，0]时，ex＋1>0，令f′(x)>0，则2ex－1>0，解得－ln2<x≤0；令f′(x)<0，则2ex－1<0，解得－1≤x<－ln2.所以f(x)在[－1，－ln2)内单调递减，在(－ln2，0]内单调递增，状元笔记

利用导数求函数最值的方法(1)当函数在一个区间内只有唯一的极小(大)值时，这个极小(大)值就是最小(大)值，这种情况下可以直接写出最值．(2)当函数在一个闭区间内的极值有多个时，就要把这些极值和区间端点处的函数值进行比较，比较大小的基本方法之一就是作差法．思考题4已知函数f(x)＝lnx－x2.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)求函数f(x)在(0，a](a>0)上的最大值．【答案】(2)见解析微专题2已知函数的最值求参数(1)已知函数f(x)＝lnx＋(a∈R)的最小值为1，则a＝(

)√当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)内恒成立，所以函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数，此时f(x)无最小值，当a>0时，由f′(x)>0，得x>a，由f′(x)<0，得0<x<a，∴函数f(x)在(0，a)单调递减，在(a，＋∞)单调递增，故当x＝a时，f(x)取最小值，即f(x)min＝f(a)＝lna＋1＝1，故a＝1.故选D.√内存在最小值，则实数a的取值范围是(

)A．[－5，0) B．(－5，0)C．[－3，0) D．(－3，0)【解析】由题意，f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，当x<－2或x>0时，f′(x)>0；当－2<x<0时，f′(x)<0.故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上单调递增，在(－2，0)上单调递减，解得a∈[－3，0)．故选C.状元笔记(1)由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，故含参数时，需注意是否分类讨论．(2)已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数．思考题5

(1)已知函数f(x)＝ax＋

＋(a－1)lnx(a∈R)的最小值为2，则实数a的值是________．1或e√(2)已知函数f(x)＝3x2－2lnx＋(a－1)x＋3在区间(1，2)上有最小值，则实数a的取值范围是(

)令h(x)＝6x2＋(a－1)x－2，h(0)＝－2<0，由f(x)＝3x2－2lnx＋(a－1)x＋3在区间(1，2)上有最小值，则h(x)在区间(1，2)上有一个变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，本课总结1．函数的最值是“整体”概念，而函数的极值是“局部”概念．2．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件，因为求函数的极值，还需判断x0两侧的f′(x)的符号是否相反．3．求f(x)的最值应注意是在闭区间上研究，还是在开区间上研究，闭区间上的最值问题只需比较端点函数值与极值即可，开区间上的最值问题，要注意f(x)的有界性.一、生活中的优化问题1．(2025·江苏苏州模拟预测)生物学中，我们常用Sigmoid型曲线描述当某生态系统中存在某一物种的天敌且食物、空间等资源也不充足时，该物种种群数量随时间的变化．现已知定义在R上的函数

(a≠0)，记f(x)的导数为f′(x)，且f′(x)＝f(x)[1－f(x)]．(1)求a；

(2)若y＝K(K>0)是曲线f(x)的渐近线，则称K为该生态系统的K值．某鱼塘的某种鱼的种群数量变化满足Sigmoid模型，其K值为K.通过计算求该鱼塘中该种鱼种群数量为多少时，该鱼塘可持续获得最大捕捞量(即f(x)瞬时变化率最大)．(1)求a；答案(1)1

(2)若y＝K(K>0)是曲线f(x)的渐近线，则称K为该生态系统的K值．某鱼塘的某种鱼的种群数量变化满足Sigmoid模型，其K值为K.通过计算求该鱼塘中该种鱼种群数量为多少时，该鱼塘可持续获得最大捕捞量(即f(x)瞬时变化率最大)．要使函数f(x)瞬时变化率最大，令ex＝t>0，则－t2＋t＝0，解得t＝0(舍)或t＝1，即x＝0.当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如表：x(－∞，0)(0，＋∞)g′(x)＋－g(x)

因此可得x＝0是g(x)的极大值点，因此当x＝0时，该鱼塘可以持续获得最大捕捞量，且2．如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝xcm.某厂商要求包装盒的容积V(单位：cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.当0<x<20时，V′(x)>0，V(x)单调递增；当20<x<30时，V′(x)<0，V(x)单调递减．所以V(x)在x＝20时取极大值，亦即最大值．二、重温高考1．(2023·全国乙卷，文)函数f(x)＝x3＋ax＋2存在3个零点，则a的取值范围是(

)A．(－∞，－2)

B．(－∞，－3)C．(－4，－1) D．(－3，0)√解析f(x)＝x3＋ax＋2，则f′(x)＝3x2＋a，若f(x)要存在3个零点，则f(x)要存在极大值和极小值，则a<0，2．(2022·全国甲卷，理)当x＝1时，函数f(x)＝alnx＋

取得最大值－2，则f′(2)＝(

)√解析由题意知，f(1)＝aln1＋b＝b＝－2.求导得f′(x)＝

(x>0)，因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以易得f′(1)＝a－b＝0，所以a＝－2，3．(2021·全国乙卷)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则(

)A．a<b B．a>bC．ab<a2 D．ab>a2√解析当a>