平面向量的概念-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.1平面向量的概念第六章平面向量及其应用情境引入

老鼠为什么认为猫是“傻猫”?

结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。

速度是既有大小又有方向的量

50m／s10m／s傻猫问题：请观察这三个物理中的量有什么区别?

力、速度:既有大小又有方向的量.(矢量)

力(2)

速度(3)质量(1)质量:只有大小.(标量)湖面上有三个景点O,A,B,一游艇将游客从景点O送至景点A,半小时后,游艇再将游客送至景点B.一、向量的实际背景与概念

OBA

在物理中，位移与路程是同一个概念吗？为什么？物体在液体中受到的浮力物体受到的重力被拉长或压缩的弹簧的弹力力是常见的物理量，也是既有大小又有方向的量.向量与数量既有大小，又有方向的量叫做向量(物理学中称为矢量);只有大小，没有方向的量叫做数量(物理学中称为标量).

练习

下列量不是向量的是（

）①

质量

②

速度

③

位移

④

力⑤

加速度

⑥

面积

⑦

年龄

⑧

身高注意：

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、能比较大小；

向量具有大小和方向这双重要素，由于方向不能比较大小，故向量不能比较大小.二、向量的几何表示由于实数与数轴上的点一一对应,数量常常用数轴上的一个点表示，那么怎么表示向量呢？有向线段在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，就说线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段.

A（起点）B（终点）

如图，以A为起点、B为终点的有向线段记作.线段AB的长度也叫做有向线段

的长度，记作.箭头所指的方向表示有向线段的方向.(1)有向线段的定义思考：一条有向线段由哪几个基本要素所确定？有向线段的三个要素：起点、方向、长度.有向线段使向量的“方向”得到了表示，而线段的长度可表示向量的大小，这样我们就可用有向线段表示向量.下列说法正确的是（）A.身高是一个向量B.温度有零上温度和零下温度之分，故温度是向量C.有向线段由方向和长度两个要素确定D.有向线段和有向线段的长度相等D（2）向量的几何表示

AB

——用有向线段表示.画图时，我们常用有向线段来表示向量

，线段按一定比例（标度）画出.其中有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.（3）向量的表示方法：一般可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如

若表示向量的有向线段没有标注起点和终点字母，向量也可用黑体字母a，b，c，…（书写时用注意用表示）.

AB

向量:与起点无关.用有向线段表示向量时,起点可以取任意位置.数学中的向量也叫自由向量.注意：有向线段与向量的区别：有向线段：三要素：起点、大小、方向向量:可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向

ABCD

ABCD

有向线段、是不同的向量、是同一个向量做一做已知向量如图所示，下列说法不正确的是（）A.向量可以用表示B.向量的方向是由M指向NC.向量的起点是MD.向量的终点是MMND向量的大小，就是向量的长度（或称模）,记作，或者记作.（4）向量的模思考：向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？零向量：长度为0的向量，记作.单位向量：长度等于1个单位的向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，

不确定方向.故零向量的方向是任意的，单位向量的方向具体而定.注意：向量是不能比较大小的,但向量的模（是正数或零）是可以进行大小比较的.有意义没有意义下列说法正确的是（）A.向量的模是一个正实数B.零向量没有方向C.单位向量的模等于1个单位长度D.零向量就是实数0C

比例1：8000000解：例1在图中，分别用向量表示A地至B、C两地的位移，并根据图中的比例尺，并求出A地至B、C两地的实际距离（精确到1km）.表示A地至B地的位移；表示A地至C地的位移.①模相等，方向相同思考1：向量由其模和方向所确定.对于两个向量，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？三.相等向量与共线向量②模相等，方向不相同③模不相等，方向相同④模不相等，方向不相同规定：零向量与任一向量平行（1）平行向量：方向相同或相反的非零向量.向量与

平行，记作(2)相等向量长度相等且方向相同的向量叫相等向量2.零向量与零向量相等3.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。注：1.若向量

相等，则记为

；(3)共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上,所以

平行向量也叫共线向量。ABc一切向量都可以在不改变它大小和方向的前提下,将它平移到任何位置。O下列说法正确的是（）A.向量与向量是相等向量B.与实数类似，对于两个向量，有三种关系C.当两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行D.若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合D探究一向量的有关概念例1

下列说法正确的有

。（填序号）①若，则或；②若向量与是共线向量，则A,B,C,D四点必在同一条直线上；③向量与是平行向量；④任何两个单位向量都是相等向量。③变式训练1下列说法正确的是（）A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小B.向量的模可以比较大小C.模为1的向量都是相等向量D.由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行B探究二平面向量的表示例2

如图所示，在坐标纸上（每个小方格的边长均为1），用直尺和圆规画出下列向量：(1),使,点A在点O北偏东方向；(2),使,点B在点A正东方向；(3),使,点C在点B北偏东方向。O北变式训练2某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了米到达点C，到达点C后又改变方向向西走了10米到达点D。（1）作出向量；（2）求的模。

探究三相等向量与共线向量例3如图，四边形ABCD为边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作向量，则与平行且长度为的向量有

个。8ABCD延伸探究1、本例中的条件不变，与同向且长度为的向量有几个？

2、本例中的条件不变，如图，与相等的向量有多少个？

48ABCDO易错辨析典例已知下列说法：

①若，则为零向量；②若,则；③共线的单位向量是相等向量；④两个有共同起点，而且相等的向量，其终点必相同.其中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个