2026年高考数学二轮复习模块六 立体几何与空间向量（天津）（解析版）

模块六立体几何与空间向量（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知棱长为的正方体的所有顶点均在球的球面上，则球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设球的半径为，则该正方体的体对角线长即为，即，故球的表面积为.故选：B.2．设x，，向量，向量，，且，，则（

）A． B．3 C．4 D．【答案】D【详解】由题意得，解得，，解得，则，，，则.故选：D.3．如图所示，在平行六面体中，设，，，是的中点，用，，表示为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为在平行六面体中，是的中点，所以.故选：A.4．已知两条不同的直线，两个不同的平面，于是可得到（

）A．若是一对异面直线，且，则．B．若，则．C．若，则．D．若，则．【答案】A【详解】对于A，直线上任取一点，过点作，则与确定平面，因为，故，若直线与平面相交，则直线与平面相交，矛盾，故直线与平面平行，直线与平面平行，，，且，，又相交，，所以且，则，故A正确；

对于B，平行于同一平面的两条直线平行，相交，或异面，故B错误；对于C，若，则，若则与不垂直，故C错误；对于D，若，则或或与相交，故D错误.故选：A5．已知正四面体的棱长为1，点在上，且，点为中点，则用基底表示为（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】因为为的中点，则，所以，则，因为，所以，因此.故选：C6．下列三个命题中，错误命题的个数是（

）①若两条不同直线，的方向向量分别是，，则；②若是空间的一个基底，且，则四点共面；③若两个不同平面，的法向量分别是，，且，，则.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【详解】对于①，若两条不同直线的方向向量分别是，则，由方向向量的定义知①正确；对于②，若是空间的一个基底，且，则，即，由空间向量共面定理知四点共面，故②正确；对于③，若两个不同平面的法向量分别是，且，易得不成立，所以不成立，故③错误.故错误命题的个数是1.故选：B.7．中国雕刻技艺举世闻名，今一雕刻大师在棱长为12的整块正方体玉石内部套雕出一个可以任意转动的球，在球内部又套雕出一个正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），若不计各层厚度和损失，则最内层正四面体的棱长最长为（

）A． B． C．6 D．【答案】A【详解】由题意，球是正方体的内切球，且该球为正四面体的外接球时，四面体的棱长最大，则该球半径，如图：设正四面体的棱长为，则正方体的棱长为，则该正方体的体对角线长为，解得，故选：A8．在体积为，正四棱锥中，为的中点，过直线作平面，分别与侧棱、相交于点、，当时，记四棱锥的体积为，则（）A． B． C． D．【答案】B【详解】如图，设在底面的射影为，设，则为三角形的重心，

所以为的靠近的三等分点，过作，则过直线作平面为平面，所以分别为靠近的三等分点，所以四棱锥的体积为故选：B9．在棱长为2的正方体.中，点P满足且，则下列说法错误的是（

）A．若，则平面B．若，则C．若则到平面的距离为D．若时，直线与平面所成角为，则【答案】B【详解】以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示.则，所以.因为，所以，所以.对于A：因为，设平面的法向量为，则满足，则有，令，则，所以.因为，，所以，所以与平面的法向量垂直，所以与平面平行，所以A正确；对于B：因为，，所以，所以不垂直，所以B错误；对于C：因为，设平面的法向量为，则满足，则有，令，则，所以.所以.所以点到平面的距离为，所以C正确；对于D：由C可知，，所以直线与平面所成角.因为，所以，因为，当时，.当时，，根据基本不等式的性质可得，当且仅当时等号成立.所以，所以，综上可知，所以D正确.故选：B.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分10．已知空间内三点，，，则点到直线的距离为．【答案】【详解】空间内三点，，，则，，所以点到直线的距离.故答案为：.11．如图，在长方体中，，，，与相交于点，以为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则向量的坐标为.

【答案】【详解】由题可知，，，，而为中点，则，所以.故答案为：12．如图，正方体的棱长为，点满足，若平面经过直线，且与平面的法向量平行，则平面截此正方体所得的截面的周长为．【答案】/【详解】以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，正方体的棱长为，点满足，，，，平面经过直线，且与平面的法向量平行，即为平面的一条法向量，取中点，作，过点作平行于交于，则为中点，四边形即为平面与正方体相交的截面，设，则，，，，故，，，，解得，，，，平面截此正方体所得的截面的周长为．故答案为：．13．已知，，若，则的值为.【答案】【详解】因为，，则，，又，所以，即，化简得，解得.故答案为：14．如图，在正四棱锥中，记其体积为V，且，，，过M，N，P的平面将四棱锥切出一个多面体，记其体积为，则的值为．【答案】【详解】在正四棱锥中，分别延长NM，BA交于点E，分别延长NP，BC交于点F，连接EF，在平面SBC内，作交SC于G，由，得，由平面平面，得点Q，R在线段EF上，又，则，，同理，则，，记点N到平面ABCD的距离为，点S到平面ABCD的距离为，则，，同理，因此，所以．故答案为：15．在三棱锥中，平面，，，则三棱锥的体积为；三棱锥的四个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为．【答案】【详解】因为平面，所以为三棱锥的高，又，，所以三棱锥的体积为；由平面，平面，平面，则，，又，则，即两两垂直，所以三棱锥的外接球，也是以的长为三条相邻棱长的长方体外接球，所以外接球半径为，故外接球O的表面积为.故答案为：，三、解答题：（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（14分）长方体中，，，E、F分别为，中点，.

(1)求证：平面；(2)求直线与直线所成角的余弦值；(3)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)(3)6【详解】（1）因为为中点，且，在直角中，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，所以，所以，（4分）在长方体中，可得平面，因为平面，所以又因为分别为的中点，可得，所以因为平面，所以，因为，且平面，所以平面.（6分）（2）以D为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为，

可得，则，，设直线与直线所成角为，则，所以直线与直线所成角的余弦值为.（10分）（3）由（1）知：平面，且平面，所以，在直角中，，可得，又由，可得，由（1）知：平面，所以平面的一个法向量为，所以到平面的距离为，故三棱锥的体积为.（14分）17．（15分）如图，在三棱柱中，分别是，的中点，平面平面，，为等边三角形，.(1)求证：平面；(2)求平面与平面的夹角的余弦值；(3)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析;(2);(3).【详解】（1）证明：取中点H，因为为等边三角形，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因为，中位线，所以，（2分）则以点为原点，以，，所在直线分别为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为，，所以可得，，，，，，，，向量，且平面的法向量为，则，所以，又因为平面，所以平面.（6分）（2）由向量，，设平面的法向量为，则，令，得，所以，又因为平面的法向量为，所以，则平面与平面的夹角的余弦值为.（10分）（3）由，，，则向量，平面的法向量为，设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为.（15分）18．（15分）如图，平面，，，，，点，，分别为，，的中点.

(1)求证：平面；(2)求平面与平面夹角的大小；(3)若为线段上的点，且直线与平面所成的角正弦值为，求到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）连接，

因为，，所以，又因为，所以四边形为平行四边形.由点和分别为和的中点，可得且，因为，，为的中点，所以且，

可得且，即四边形为平行四边形，

所以，又平面，平面，

所以平面；（5分）（2）因为平面，，可以建立以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系：

依题意可得，，，，，，则.，，，，设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得，设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得，所以，

所以平面与平面的夹角为；（10分）（3）设，即，则，从而，由（2）知平面的法向量为，设线面所成角的大小为，由题意，，即，整理得，解得或，因为，所以，

所以，则到平面的距离为.（15分）19．（15分）如图，长方体中，，，点为的中点.(1)求证：平面；(2)求平面和平面夹角的余弦值；(3)在线段上是否存在点，使得平面，若不存在，说明理由；若存在，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)(3)存在，三棱锥的体积为.【详解】（1）连接交于，连接.则，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，而不在平面内，所以平面.（5分）（2）以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则.所以，设平面与平面的法向量分别为，则，即，令，则，所以.，即，令，则，所以.所以.又平面和平面夹角的范围为，所以平面和平面夹角的余弦值为.（10分）（3）设在线段上存在点，使得平面，则设，.所以，由（2）知平面的一个法向量为，若使得平面，则则有，所以在线段上存在点，使得平面，点位于靠近的四分之一处.因为，所以为等腰三角形，其底边的高为，所以.因为，所以点到平面的高为.所以三棱锥的体积为.（15分）20．（16分）如图，在长方体中，，，，，分别是棱，，的中点.(1)请判断直线与平面是否垂直，并证明你的结论；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)不垂直；证明见解析；(2)直线与平面所成角的正弦值为；(3)不存在，理由见解析；【详解】（1）由题意得：三条直线