（辅导班）2027年高考数学一轮复习精讲精练 第2章 第04讲 指数与指数函数 讲义+随堂检测（原卷版）

第第页第04讲指数与指数函数1、指数及指数运算(1)根式的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数．(2)根式的性质：当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数.(3)指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.(4)有理数指数幂的分类①正整数指数幂；②零指数幂；③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义．(5)有理数指数幂的性质①，，；②，，；③，，；④，，．2、指数函数图象性质①定义域，值域②，即时，，图象都经过点③，即时，等于底数④在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数⑤时，；时，时，；时，⑥既不是奇函数，也不是偶函数【解题方法总结】1、指数函数常用技巧(1)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．(2)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．(3)指数函数与的图象关于轴对称．【典例例题】题型一：指数运算及指数方程、指数不等式【例题1-1】计算（

）A．B．C．D．【例题1-2】甲､乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为或x=，乙写错了常数c，得到的根为或，则原方程的根是（

）A．或B．或C．或D．或【变式1-1】若关于的方程有解，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【变式1-2】不等式的解集为______．【解题总结】利用指数的运算性质解题.对于形如，，的形式常用“化同底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如或的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解.题型二：指数函数的图像及性质【例题2-1】（多选）函数的图象可能为（

）A．B．C．D．【例题2-2】已知的定义域为R，则实数a的取值范围是______．【变式2-1】已知函数，，则其值域为_______．【变式2-2】已知函数在内的最大值是最小值的两倍，且，则______【变式2-3】函数的大致图像如图，则实数a，b的取值只可能是（）A．B．C．D．【变式2-4】已知函数的图象恒过定点A，若点A的坐标满足关于x，y的方程，则的最小值为（

）A．8B．24C．4D．6【变式2-5】（多选）已知函数，则（

）A．函数是增函数B．曲线关于对称C．函数的值域为D．曲线有且仅有两条斜率为的切线【解题总结】解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.题型三：指数函数中的恒成立问题【例题3-1】已知函数，若不等式在R上恒成立，则实数m的取值范围是________.【例题3-2】设，当时，恒成立，则实数m的取值范围是____________.【变式3-1】已知不等式，对于恒成立，则实数的取值范围是_________．【变式3-2】若，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．【解题总结】已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．题型四：指数函数的综合问题【例题4-1】已知函数，则不等式的解集为（

）A．B．C．D．【例题4-2】设.若函数的定义域为，则关于的不等式的解集为__________.【变式4-1】已知是定义在上的偶函数，且当时，，则满足的x的取值范围是______________．【变式4-2】已知实数，满足，，则__________．【变式4-3】（多选）点在函数的图象上，当，则可能等于（

）A．-1B．C．D．01．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（

）A．B．C．D．2．（2022·北京·统考高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（

）A．B．C．D．3．（2020·山东·统考高考真题）已知函数是偶函数，当时，，则该函数在上的图像大致是（

）A．B．C．D．第04讲指数与指数函数随堂检测1．要得到函数的图象，只需将指数函数的图象（

）A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位2．某款电子产品的售价（万元/件）与上市时间（单位：月）满足函数关系（a，b为常数，且），若上市第2个月的售价为2.8万元，第4个月的售价为2.64万元，那么在上市第1个月时，该款电子产品的售价约为（

）（参考数据：）A．3.016万元B．2.894万元C．3.048万元D．2.948万元3．已知函数同时满足性质：①；②对于，，则函数可能是（

）A．B．C．D．4．已知函数，则（

）A．为奇函数B．为偶函数C．为奇函数D．为偶函数5．已知是定义在上的奇函数，对任意正数，，都有，且，当时，，则不等式的解集为（

）A．B．C．D．6．已知函数，是的导函数，则下列结论正确的是（

）A．B．C．若，则D．若，则7．若，则当取得最小值时，_______.8．由函数的观点，不等式的解集是______9．已知函数（且），若关于的不等式的解集为，其中，则实数的取值范围是_________．10．已知函数是奇函数．(1)求的值；(2)已知，求的取值范围．11．已知为定义在上的偶函数，，且．(1)求函数，的解析式；(2)求不等式的解集．12．已知函数且）为定义在R上的奇函数(1)利用单调性的定义证明：函数在R上单调递增；(2)若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围；(3)若函数有且仅有两个零点，求实数k的取值范围．1．（2020·全国·统考高考真题）若，则（

）A．B．C．D．2．（2013·全国·高考真题）若存在正数x使2x（x-a）＜1成立，则a的取值范围是A．（-∞，+∞）B．(-2,+∞)C．(0,+∞)D．（-1，+∞）3．（2016·全国·高考真题）已知，，，则A．B．C．