（辅导班）2027年高考数学一轮复习精讲精练 第5章 第03讲 导数与函数的极值与最值 讲义+随堂检测（教师版）

34/34第03讲极值与最值知识点一：极值与最值1、函数的极值函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．求可导函数极值的一般步骤（1）先确定函数的定义域；（2）求导数；（3）求方程的根；（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．注：①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号．②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点．2、函数的最值函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．导函数为（1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．（2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：（1）求在内的极值（极大值或极小值）；（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；③函数的最值必在极值点或区间端点处取得．【解题方法总结】（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；不等式在区间D上恒成立；（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则不等式在区间D上恒成立．不等式在区间D上恒成立．（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；不等式在区间D上有解；（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：不等式在区间D上有解不等式在区间D上有解（5）对于任意的，总存在，使得；（6）对于任意的，总存在，使得；（7）若存在，对于任意的，使得；（8）若存在，对于任意的，使得；（9）对于任意的，使得；（10）对于任意的，使得；（11）若存在，总存在，使得（12）若存在，总存在，使得．题型一：求函数的极值与极值点【例1】若函数存在一个极大值与一个极小值满足，则至少有（

）个单调区间.A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】若函数存在一个极大值与一个极小值，则至少有3个单调区间，若有3个单调区间，不妨设的定义域为，若，其中可以为，可以为，则在上单调递增，在上单调递减，（若定义域为内不连续不影响总体单调性），故，不合题意，若，则在上单调递减，在上单调递增，有，不合题意；若有4个单调区间，例如的定义域为，则，令，解得或，则在上单调递增，在上单调递减，故函数存在一个极大值与一个极小值，且，满足题意，此时有4个单调区间，综上所述：至少有4个单调区间.故选：B.【变式1-1】已知定义在R上的函数f（x），其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（

）A．B．函数在x＝c处取得最大值，在处取得最小值C．函数在x＝c处取得极大值，在处取得极小值D．函数的最小值为【答案】C【解析】由题图可知，当时，，所以函数在上单调递增，又a<b<c，所以，故A不正确．因为，，且当时，；当c<x<e时，；当x>e时，．所以函数在x＝c处取得极大值，但不一定取得最大值，在x＝e处取得极小值，不一定是最小值，故B不正确，C正确．由题图可知，当时，，所以函数在[d，e]上单调递减，从而，所以D不正确．故选：C．【变式1-2】已知函数．(1)证明：当时，有唯一的极值点为，并求取最大值时的值；(2)当时，讨论极值点的个数．【解析】（1）证明：当，时，，可得的定义域为，且，令，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，有唯一的极小值，即有唯一的极值点为，由，令，设，可得，由，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当，即时，有唯一的极大值，即取得最大值，所以当的最大值时，.（2）当时，的定义域为，且，①当时，时恒成立，此时单调递增，所以极值点的个数为个；②当时，设，即（i）当，即时，可得，即对恒成立，即在上无变号零点，所以此时极值点的个数为个；（ii）当，即时，设的两零点为，且，，，可得即在上有个变号零点，所以此时极值点的个数为个；综上所述，当时，的极值点的个数为；当时，的极值点的个数为.【解题方法总结】1、因此，在求函数极值问题中，一定要检验方程根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．2、原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大．题型二：根据极值、极值点求参数【例2】已知函数在处取得极大值4，则（

）A．8B．C．2D．【答案】B【解析】因为，所以，所以，解得，经检验，符合题意，所以.故选：B【变式2-1】若函数无极值，则的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，因为无极值，所以，解得，所以a的取值范围为．故选：A.【变式2-2】已知函数在处取得极小值，则实数的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为函数，则，要使函数在处取得极小值，则，故选：B.【变式2-3】已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】的定义域是，，令，所以在区间递减；在区间递增.要使有两个极值点，则，此时，构造函数，所以在上递增，所以，所以，所以实数a的取值范围.故选：D【解题方法总结】根据函数的极值（点）求参数的两个要领（1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；（2）验证：求解后验证根的合理性．题型三：求函数的最值（不含参）【例3】已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求在区间上的最大值；【解析】（1）因为，所以，则，又，所以曲线在点处的切线方程为.（2）令，则，当时，，在上单调递增.因为，，所以，使得.所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，又，，所以.【变式3-1】已知函数，则的最大值是________．【答案】【解析】因为，所以.当时，，所以在单调递增；当时，，所以在单调递减；所以.故答案为：.【变式3-2】已知函数，，则函数的最小值为______.【答案】【解析】因为，所以，记，，则，因为，所以，所以在上单调递增，所以，所以在上恒成立，所以在上单调递增，故当时，函数有最小值为，故答案为：【变式3-3已知，且，则的最小值为__________.【答案】1【解析】因为，，所以，所以，且，所以，设，，则，因为，所以，在上为增函数，因为，所以，则，所以，所以，令，则，令，则，则在上为增函数，令得，即，则存在唯一实数，使得，即，所以当时，，，当时，，，所以在上为减函数，在上为增函数，所以.所以的最小值为.故答案为：.【变式3-4】已知正实数，满足：，则的最小值为______.【答案】【解析】由可得：,所以，，设，，所以在上单调递增，所以，则，所以，所以，所以，令，令，解得：；令，解得：；所以在上单调递减，在上单调递增，所以.故的最小值为.故答案为：.【解题方法总结】求函数在闭区间上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值，与的各极值进行比较得到函数的最值．题型四：求函数的最值（含参）【例4】已知函数，，其中.(1)若曲线在处的切线与曲线在处的切线平行，求的值；(2)若时，求函数的最小值；(3)若的最小值为，证明：当时，.【解析】（1）因为，，所以，，所以，，因为两条切线平行，所以，解得（2）由（1）可知，令，即，即，即，又，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以时，函数的最小值为.（3）证明：因为，，，令，则，即，所以当时解得，所以在上单调递增，令，解得，所以在上单调递减，所以在处取得极小值即最小值，所以，即的最小值为的解析式为，，则，令，解得，所以当时，即在上单调递增，当时，即在上单调递增，所以在处取得极大值即最大值，即，所以，即当时，总有.【变式4-1】已知函数，其中．(1)若a=2，求的单调区间；(2)已知，求的最小值．（参考数据：）【解析】（1）由题设，则，且，所以，当时，当时，所以的减区间为，增区间为.（2）由题意，所以，即，又，且，当或时，或时，所以、上递减，、上递增，又极小值，故最小值为.【变式4-2】已知函数．(1)当时，讨论函数在上的单调性；(2)当时，求在内的最大值；【解析】（1）当时，，，且．当时，，，则，即，故函数在上单调递增．（2），令，则，由且，可得，，则，在内单调递增，所以，又当时，，所以，在内单调递增，故．【解题方法总结】若所给的闭区间含参数，则需对函数求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值．题型五：根据最值求参数【例5】若函数在区间上存在最小值，则整数的取值可以是______．【答案】（答案不唯一，、均可）【解析】因为，则.由可得，由可得或，所以，函数的减区间为，增区间为、，所以，函数的极大值为，极小值为，令，其中，则，解得，因为函数在区间上存在最小值，则，解得，所以，整数的取值集合为.故答案为：（答案不唯一，、均可）.【变式5-1】若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围为________.【答案】【解析】，所以在和上，，函数单调递减；在上，，函数单调递增；且，当时，，，即，所以在区间上有最小值，则：解得.故答案为：.【变式5-2】若函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为_______【答案】【解析】因为，且函数在区间上存在最大值，故只需满足，所以，解得．故答案为：【变式5-3】已知函数，若函数在上存在最小值.则实数的取值范围是________.【答案】【解析】，，当时，，单调递减；当或时，，单调递增，∴在处取得极小值，在处取得极大值.令，解得或，又∵函数在上存在最小值，且为开区间，所以，解得.即的取值范围是.故答案为：.题型六：函数单调性、极值、最值得综合应用【例6】已知，函数，其中e是自然对数的底数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，求函数的单调区间；(3)求证：函数存在极值点，并求极值点的最小值.【解析】（1）当时，,,,,曲线在点处的切线方程,切线方程.（2）当时，，则令，得；令，得；所以，函数的单调增区间为，单调减区间为．（3）令，因为，所以方程，有两个不相等的实根，又因为，所以，令，列表如下:-0+减极小值增所以存在极值点.所以存在使得成立，所以存在使得，所以存在使得对任意的有解，因此需要讨论等式左边的关于的函数，记，所以，当时，单调递减；当时，单调递增．所以当时，的最小值为．所以需要，即需要，即需要，即需要因为在上单调递增，且，所以需要，故的最小值是e．【变式6-1】已知函数，其中．(1)当时，求函数在内的极值；(2)若函数在上的最小值为5，求实数的取值范围．【解析】（1）由题意得，当时，，则，令，得，，，在内随x变化而变化的情况如下表所示：x1+0单调递增极大值9单调递减故在内的极大值为9，无极小值；（2），①当时，，且不恒为0，所以函数在区间上单调递增，所以在上，，由题意，则，解得，与矛盾，②当时，，且不恒为0，所以函数在区间上单调递减，所以在上，，符合题意，③当时，当时，，函数在区间上单调递减，当时，，函数在区间上单调递增，所以在上，，由题意，则，即，即，即，解得或，与矛盾，综上，实数a的取值范围为．【变式6-2】已知．(1)求函数在内的极值点；(2)求函数在上的最值．【解析】（1）由得．令，解得，，即，．又，所以，．，随x变化而变化的情况如下表所示：x+0-0+↑极大值↓极小值↑所以函数在内的极大值点为，极小值点为．（2）由题知．，记，则．因为，所以，又，所以，所以函数单调递增，，所以当时，，即，函数单调递减；当时，，即，函数单调递增．，，，显然，所以函数在上的最小值为，最大值为．题型七：不等式恒成立与存在性问题【例7】若不等式对恒成立，则a的取值范围是______.【答案】【解析】令，则，令，，则,当时，；当时，，所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以,当x趋近于0时，趋近于，所以，令，，，则，当时，；当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，若恒成立，即恒成立，所以，所以；故答案为：.【变式7-1】若存在，使得不等式成立，则m的取值范围为______【答案】【解析】存在，要使成立，即，，令，，即，又，设，，则，则在内单调递增，，则，在内单调递增，，故m的取值范围为．故答案为：.【变式7-2】已知函数，是上的奇函数，当时，取得极值．(1)求函数的单调区间和极大值；(2)若对任意，都有成立，求实数的取值范围；(3)若对任意，，都有成立，求实数的取值范围．【解析】（1）是上的奇函数，，即，得恒成立，可得，即，又当时，取得极值，，解得，故函数，导函数，令解得，当或时，，当时，，单调增区间为和，单调减区间为，故当时，取到极大值（2），对任意，都有成立，只需在时恒成立，构造函数，，则有，令可得或，当时，，单调递减当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，取到极大值，又，故的最大值为8，故实数的取值范围为：；（3）若对任意，，都有成立，即在区间上的最大值都小于或等于的最小值，由（1）可知：当时，单调递减，当时，单调递增，故当时，函数取到极小值，也是该区间的最小值，而为开口向上的抛物线，对称轴为，故当时取最大值，由，解得故实数的取值范围为：【解题方法总结】在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数．第03讲极值与最值1．函数的极小值点为（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为定义域为，所以，令得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得极小值．故选：D2．已知函数，则（

）A．有一个极值点B．有两个零点C．点（0，1）是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线【答案】C【解析】由题，，令得或，令得，所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A错误；因，，，所以，函数在上有一个零点，当时，，即函数在上无零点，综上所述，函数有一个零点，故B错误；令，该函数的定义域为，，则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心，故C正确；令，可得，又，当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.故选：C.3．若在和处有极值，则函数的单调递增区间是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，由已知得，解得，所以，所以，由，解得，所以函数的单调递增区间是.故选：C．4．已知函数的极值点为，函数的最大值为，则（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】的定义域为，在上单调递增，且，，所以，．的定义域为，由，当时，，当时，，故在处取得极大值，也是最大值，，即．所以．故选：A5．当时，函数取得最小值，则（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，函数取得最小值，所以，所以，得，又，根据函数在处取得最值，所以即得，所以，.故选：C.6．已知e是自然