（辅导班）2027年高考数学一轮复习精讲精练 第6章 第01讲 直线的方程 讲义+随堂检测（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】第第页资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】第01讲直线的方程知识点一：直线的倾斜角和斜率1、直线的倾斜角若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示（1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为（2）倾斜角的取值范围2、直线的斜率设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为（1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系）（4）越大，直线越陡峭（5）倾斜角与斜率的关系当时，直线平行于轴或与轴重合；当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大；当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而减小；3、过两点的直线斜率公式已知直线上任意两点，，则（1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关．（2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°4、三点共线．两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在．知识点二：直线的方程1、直线的截距若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关）（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线2、直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式不含垂直于轴的直线斜截式不含垂直于轴的直线两点式不含直线和直线截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式平面直角坐标系内的直线都适用3、求曲线（或直线）方程的方法：在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）4、线段中点坐标公式若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式．5、两直线的夹角公式若直线与直线的夹角为，则.题型一：倾斜角与斜率的计算【例1】已知是直线的倾斜角，则的值为（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】法一：由题意可知，（为锐角），∴，法二：由题意可知，（为锐角）∴，．故选：B．【变式1-1】已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可得：直线的斜率，即直线的倾斜角为.故选：A【变式1-2】过两点，的直线的倾斜角是135°，则y等于（

）A．1B．5C．D．【答案】D【解析】由斜率公式得，且直线的倾斜角是135°，所以，即，解得．故选：D.【变式1-3】函数的图像上有一动点，则在此动点处切线的倾斜角的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】设切线的倾斜角为，则，∵，∴切线的斜率，则.故选：B【解题方法总结】正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式，根据该公式求出经过两点的直线斜率，当时，直线的斜率不存在，倾斜角为，求斜率可用，其中为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不可分割．牢记“斜率变化分两段，是其分界，遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．这可通过画正切函数在上的图像来认识．题型二：三点共线问题【例2】若三点，，共线，则实数的值是（

）A．6B．C．D．2【答案】C【解析】因为三点，，共线，所以，可得：，即，解得；故选：C【变式2-1】若三点（2，2），（，0），（0，），（）共线，则的值为（）A．1B．C．D．【答案】C【解析】因为三点（2，2），（，0），（0，），（）共线，所以，即，所以=，故选C．【变式2-2】若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝（

）A．1±或0B．或0C．D．或0【答案】A【解析】由题意知kAB＝kAC，即，即a(a2－2a－1)＝0，解得a＝0或a＝1±.故选：A．【解题方法总结】斜率是反映直线相对于轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因．题型三：过定点的直线与线段相交问题【例3】已知点.若直线与线段相交,则的取值范围是（

）A．B．C．或D．【答案】D【解析】由已知直线恒过定点,如图所示,若与线段相交,则,因为,所以.故选:D.【变式3-1】已知点和，直线与线段相交，则实数的取值范围是（

）A．或B．C．D．【答案】A【解析】直线方程可整理为：，则直线恒过定点，，，直线与线段相交，直线的斜率或.故选：A.【变式3-2】已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围是（

）A．B．C．或D．或或【答案】C【解析】直线，即，其恒过定点，根据题意，作图如下：数形结合可知，当直线过点时，其斜率取得最小值，当直线过点时，其斜率取得最大值，故，解得.故选：C.【变式3-3】在线段上运动，已知，则的取值范围是.【答案】【解析】表示线段上的点与连线的斜率，因为所以由图可知的取值范围是．故答案为：【解题方法总结】一般地，若已知，过点作垂直于轴的直线，过点的任一直线的斜率为，则当与线段不相交时，夹在与之间；当与线段相交时，在与的两边．题型四：直线的方程【例4】过点且方向向量为的直线的方程为（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可知直线的斜率，由点斜式方程得，所求直线的方程为，即．故选：A【变式4-1】过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（

）A．B．C．或D．或【答案】D【解析】解法一

当直线过原点时，满足题意，此时直线方程为，即；当直线不过原点时，设直线方程为，因为直线过点，所以，解得，此时直线方程为.故选：解法二

易知直线斜率不存在或直线斜率为0时不符合题意.设直线方程为，则时，，时，，由题意知，解得或，即直线方程为或.故选：【变式4-2】已知过定点直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】直线可变为，所以过定点，又因为直线在两坐标轴上的截距都是正值，可知，令，所以直线与轴的交点为，令，所以直线与轴的交点为，所以，当且仅当即时取等，所以此时直线为：.故选：C.【变式4-3】已知直线的倾斜角为，且在轴上的截距为，则直线的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率，又直线在轴上的截距为，所以直线的方程为；故选：C【解题方法总结】要重点掌握直线方程的特征值（主要指斜率、截距）等问题；熟练地掌握和应用直线方程的几种形式，尤其是点斜式、斜截式和一般式．题型五：直线与坐标轴围成的三角形问题【例5】若一条直线经过点，并且与两坐标轴围成的三角形面积为1，则此直线的方程为．【答案】或【解析】由题意可知该直线不经过原点，且存在斜率且不为零，所以设直线方程为，因为该直线过点，所以有，因为该直线与两坐标轴围成的三角形面积为1，所以有，或，当时，，或，当时，，此时方程为：，当时，，此时方程为：，当时，，故答案为：或【变式5-1】已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，直线l的方程为.【答案】x＋2y－4＝0【解析】法一，利用截距式设出直线方程，再利用基本不等式求面积最小时的直线方程；法二显然存在，设(其中)求出坐标，然后求解三角形的面积，再利用基本不等式求解面积的最小值时的直线方程.法一设直线l：，且a＞0，b＞0，因为直线l过点M(2,1)，所以，则≥，故ab≥8，故S△AOB的最小值为×ab＝×8＝4，当且仅当＝时取等号，此时a＝4，b＝2，故直线l：，即x＋2y－4＝0.法二设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)，，B(0,1－2k)，S△AOB＝(1－2k)＝≥(4＋4)＝4，当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立，故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.故答案为：.【变式5-2】已知直线的方程为：．(1)求证：不论为何值，直线必过定点；(2)过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程．【解析】（1）证明：直线的方程为：提参整理可得：．令，可得，不论为何值，直线必过定点.（2）设直线的方程为．令则，令．则，直线与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积．当且仅当，即时，三角形面积最小．此时的方程为．【变式5-3】在平面直角坐标系中，直线过定点，且与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点.（1）当取得最小值时，求直线的方程；（2）求面积的最小值.【解析】（1）设直线的倾斜角为（为锐角），由P点做x轴，y轴垂线，垂足分别为E，F，则PE=2，PF=3,，则，所以当时，取得最小值，此时直线的方程为；（2）矩形OFPE面积为3×2=6，，，当且仅当时取等号，所以面积的最小值为12.【解题方法总结】（1）由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说．（2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏．题型六：两直线的夹角问题【例6】直线与直线所成夹角的余弦值等于【答案】【解析】直线，即，则其斜率为，倾斜角为；直线，即，则其斜率，设直线的倾斜角为，则，又，所以，所以，，而，所以两直线的夹角为，又因为，则所以，故所求夹角的余弦值为.故答案为：.【变式6-1】已知直线，则与的夹角大小是.【答案】【解析】设直线与的夹角为（），因为，所以两直线的斜率分别为，所以，因为，所以，故答案为：【变式6-2】两条直线，的夹角平分线所在直线的方程是．【答案】【解析】因为直线的倾斜角为，的倾斜角为，且由解得两直线的交点坐标为，所以可设两直线夹角平分线所在直线的方程为：．∴，解得，即两直线夹角平分线所在直线的方程为：．故答案为：．【解题方法总结】若直线与直线的夹角为，则.题型七：直线过定点问题【例7】已知直线过定点A，直线过定点，与相交于点，则．【答案】13【解析】对于直线，即，令，则，则，可得直线过定点，对于直线，即，令，则，则，可得直线过定点，因为，则，即，所以.故答案为：13.【变式7-1】已知实数满足，则直线过定点.【答案】【解析】由实数满足，可得,代入直线方程，可得，联立方程组，解得，所以直线过定点.故答案为：.【变式7-2】直的方程为，则该直线过定点．【答案】【解析】即，令得，直线过定点，故答案为：【变式7-3】若实数、、成等差数列，则直线必经过一个定点，则该定点坐标为.【答案】【解析】因为实数、、成等差数列，所以，即，所以直线必过点.故答案为：【解题方法总结】合并参数题型八：轨迹方程【例8】如图，在平行四边形中，点是原点，点和点的坐标分别是、，点是线段上的动点.(1)求所在直线的一般式方程；(2)当在线段上运动时，求线段的中点的轨迹方程.【解析】（1），所在直线的斜率为：.所在直线方程是，即；（2）设点的坐标是，点的坐标是，由平行四边形的性质得点的坐标是，是线段的中点，，，于是有，，点在线段上运动，，，即，由得，线段的中点的轨迹方程为.【变式8-1】如图，已知点是直线上任意一点，点是直线上任意一点，连接，在线段上取点使得.(1)求动点的轨迹方程；(2)已知点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.【解析】（1）设，，，由，，又，得：，把①②代入上式得，即为点的轨迹方程.（2）设，由，得，又点满足，联立得方程组，解得或.故存在点满足条件，点的坐标为或.【变式8-2】已知是坐标原点，.若点满足，其中，且，求点的轨迹方程.【解析】设，则，，，即，解得，即【解题方法总结】（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）题型九：中点公式【例9】已知点A，B分别是直线和直线上的点，点P为的中点，设点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点的直线与曲线C，x轴分别交于点M，N，若点D为的中点，求直线的方程.【解析】（1）设点，，，因为点P为的中点，可得，，又由，，两式相加，可得，所以，即，所以曲线C的方程为.（2）根据题意，设，，因为点为的中点，所以，解得，，即，所以直线的方程为，整理得，即直线的方程.【变式9-1】已知直线.(1)求证：直线经过定点，并求出定点P；(2)经过点P有一条直线l，它夹在两条直线与之间的线段恰被P平分，求直线l的方程.【解析】（1）证明：将直线l的方程改写为，令，且，两式联立，解得，，所以直线过定点.（2）如图，设直线l夹在直线，之间的部分是AB，且AB被平分，设点A，B的坐标分别是，，则有，，又A，B两点分别在直线，上，所以，，由以上四个式子解得，，即，所以直线AB的方程为.【变式9-2】已知直线l：（2+m）x+（1+2m）y+4–3m=0．（1）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；（2）过定点M作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l1的方程．【解析】（1）将直线l：（2+m）x+（1+2m）y+4–3m=0化为m（x+2y–3）+2x+y+4=0，∴由题意，令，解得，∴直线l恒过定点M（）．（2）设所求直线l1的方程为y–=k（x+），直线l1与x轴、y轴交于A、B两点，则A（–，0）B（0，）．∵AB的中点为M，∴，解得k=．∴所求直线l1的方程为y–（x+），即30x–33y+220=0．所求直线l1的方程为30x–33y+220=0．第01讲直线的方程随堂检测1．直线的倾斜角是A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，故倾斜角为.故选B.2．直线绕原点顺时针旋转45°得到直线，若直线的倾斜角为，则（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可得，求得的值，再根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系求得的值．由题意可知，，，故选：．3．若直线恒过点A，点A也在直线上，其中均为正数，则的最大值为（

）A．B．C．1D．2【答案】B【解析】因为，则，令，解得，即直线恒过点.又因为点A也在直线上，则，可得，且，则，即，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为.故选：B.4．已知点在圆上，过作圆的切线，则的倾斜角为（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意得，当的斜率不存在时，此时直线方程为，与圆相交，不合题意，当的斜率存在时，设切线的方程为，则，解得，设的倾斜角为，故的倾斜角为.故选：D5．已知点在直线上的射影为点B，则点B到点距离的最大值为（

）．A．B．5C．D．【答案】C【解析】将直线l整理得到，于是，解得，所以直线l恒过点，因为点在直线上的射影为点B，所以，则点B在以线段为直径的圆上，该圆的圆心坐标为，半径大小为，又，所以点B到点距离的最大值为，故选：C．6．已知点，与直线，若在直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】对于直线，即，所以在直线上，设，其中，由两边平方得，