（辅导班）2027年高考数学一轮复习精讲精练 第6章 第02讲 两条直线的位置关系 讲义+随堂检测（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】第第页资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】第02讲两条直线的位置关系知识点一：两直线平行与垂直的判定两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示．两直线方程平行垂直（斜率存在）（斜率不存在）或或中有一个为0，另一个不存在．知识点二：三种距离1、两点间的距离平面上两点的距离公式为．特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离2、点到直线的距离点到直线的距离特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离3、两条平行线间的距离已知是两条平行线，求间距离的方法：（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离．（2）设，则与之间的距离注：两平行直线方程中，x，y前面对应系数要相等．4、双根式双根式型函数求解，首先想到两点间的距离，或者利用单调性求解．【解题方法总结】1、点关于点对称点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点关于点的对称点为，则根据中点坐标公式，有，可得对称点的坐标为2、点关于直线对称点关于直线对称的点为，连接，交于点，则垂直平分，所以，且为中点，又因为在直线上，故可得，解出即可．3、直线关于点对称法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．4、直线关于直线对称求直线，关于直线（两直线不平行）的对称直线第一步：联立算出交点第二步：在上任找一点（非交点），利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点第三步：利用两点式写出方程5、常见的一些特殊的对称点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为．点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．点关于点的对称点为．点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为．6、过定点直线系过已知点的直线系方程（为参数）．7、斜率为定值直线系斜率为的直线系方程（是参数）．8、平行直线系与已知直线平行的直线系方程（为参数）．9、垂直直线系与已知直线垂直的直线系方程（为参数）．10、过两直线交点的直线系过直线与的交点的直线系方程：（为参数）．题型一：两直线位置关系的判定【例1】直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】易知直线的斜率为，由两直线垂直条件得直线的斜率，解得；联立，解得；即交点为故选：C.【变式1-1】设直线，，则是的（

）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当时，直线，，此时，则，所以，故充分性成立；当时，，解得或，故必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要条件，故选：C.【变式1-2】直线：与直线：平行，则（

）A．或B．C．D．【答案】A【解析】因为直线：与直线：平行，所以或，当时，直线：，直线：，此时直线与直线平行，满足题意，当时，直线：，直线：，此时直线与直线平行，满足题意，故选：A.【变式1-3】设分别为中所对边的边长，则直线与直线的位置关系是（

）A．相交但不垂直B．垂直C．平行D．重合【答案】B【解析】由题意可知直线与直线的斜率均存在且不为0，直线的斜率，直线的斜率，由正弦定理可得，所以两直线垂直，故选：B【解题方法总结】判断两直线的位置关系可以从斜率是否存在分类判断，也可以按照以下方法判断：一般地，设（不全为0），（不全为0），则：当时，直线相交；当时，直线平行或重合，代回检验；当时，直线垂直，与向量的平行与垂直类比记忆．题型二：两直线的交点与距离问题【例2】若直线与直线的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】法一：联立两直线方程，得，解得，所以两直线的交点坐标为.因为两直线的交点在第一象限，所以，解得，设直线l的倾斜角为θ，则，又，所以.法二：由题意，直线l过定点，设直线与x轴、y轴的交点分别为.如图，当直线l在阴影部分（不含边界）运动时，两直线的交点在第一象限，易知，∴的倾斜角为，的倾斜角为.∴直线l的倾斜角的取值范围是.故选：D【变式2-1】若点在直线上，O是原点，则OP的最小值为（

）A．B．2C．D．4【答案】C【解析】由题意可知，OP的最小值即为原点到直线的距离，则.故选：C【变式2-2】已知点在直线上，则的最小值为（

）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】就是到原点距离，到原点距离的最小值为则的最小值为2，故选：B.【变式2-3】点到直线的距离的最大值是．【答案】【解析】因为直线恒过点，记，直线为直线，则当时，此时点到直线的距离最大，∴点到直线距离的最大值为：.故答案为：.【变式2-4】若两条直线与平行，则与间的距离是.【答案】【解析】两条直线与平行,解得，经检验时，,两直线不重合；所以，则与间的距离,故答案为：.【变式2-5】平行直线与之间的距离为．【答案】【解析】由题意得即，则平行直线与之间的距离为，故答案为：【解题方法总结】两点间的距离，点到直线的距离以及两平行直线间的距离的计算，特别注意点到直线距离公式的结构．题型三：有关距离的最值问题【例3】的最小值所属区间为（

）A．B．C．D．前三个答案都不对【答案】C【解析】如图，设．根据题意，设题中代数式为M，则，等号当P，Q分别为直线与x轴，y轴交点时取得．因此所求最小值为13．故选：C.【变式3-1】已知实数，满足，，，则的最小值是．【答案】【解析】依题意，方程、分别表示以原点为圆心，2、3为半径的圆，令，即点分别在、上，如图，显然，，即有，，取线段中点，连接，则，因此点在以原点为圆心，为半径的圆上，而，即表示点到直线的距离和的倍，过分别作直线的垂线，垂足分别为，过作垂直于直线于点，于是，，，原点到直线的距离，显然，当且仅当点共线，且点在线段上时取等号，所以.故答案为：【变式3-2】已知直线过定点M，点在直线上，则的最小值是（

）A．5B．C．D．【答案】B【解析】由得，所以直线l过定点，依题意可知的最小值就是点M到直线的距离，由点到直线的距离公式可得．故选:B.【变式3-3】著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为点到点的距离，则的最小值为（

）．A．3B．C．D．【答案】D【解析】,可以看作点到点的距离之和，作点关于轴的对称点，显然当三点共线时，取到最小值，最小值为间的距离.故选：D.【变式3-4】已知，满足，则的最小值为（

）A．B．C．1D．【答案】B【解析】如图，过点作点关于线段的对称点，则.设，则有，解得，所以.设，则，所以，又，所以点到轴的距离为，所以，可视为线段上的点到轴的距离和到的距离之和.过作轴，显然有，当且仅当三点共线时，和有最小值.过点作轴，则即为最小值，与线段的交点，即为最小值时的位置.因为，所以的最小值为.故选：B．【变式3-5】在平面直角坐标系中，已知点，点为直线上一动点，则的最小值是（

）A．B．4C．5D．6【答案】B【解析】设点关于直线的对称点为，则，解得，所以，所以，当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立，所以的最小值是4，故选：B.【变式3-6】已知，则的最小值为（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】设点为直线上的动点，由可看作与的距离和与的距离之和，设点则点为点关于直线的对称点，故，且，所以，当且仅当三点共线时，取等号，所以的最小值为.故选：C【解题方法总结】数学结合，利用距离的几何意义进行转化．题型四：点点对称【例4】已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标为，则线段的长度为.【答案】【解析】在平面直角坐标系中，，则为直角三角形，且为斜边，故.故答案为：【变式4-1】已知直线l与直线及直线分别交于点P，Q．若PQ的中点为点，则直线l的斜率为．【答案】【解析】设，则．由点Q在直线上，得，．故．所以直线l的斜率为，所以故答案为【解题方法总结】求点关于点中心对称的点，由中点坐标公式得题型五：点线对称【例5】如下图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，点是轴上一点，点，分别为直线和轴上的两个动点，当周长最小时，点，的坐标分别为（

）

A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】作关于轴的对称点，作关于的对称点，连接交轴于，交于，所以，此时周长最小，即，由，直线方程为，所以，解得，所以，可得直线方程为，即，由，解得，所以，令可，所以.故选：C.【变式5-1】抛物线的焦点关于直线的对称点的坐标是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】抛物线即，其焦点坐标为，设关于直线的对称点的坐标是，则，解得，则，故选：A．【变式5-2】已知点A与点关于直线对称，则点A的坐标为（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，因点A与点B关于直线对称，则AB中点在直线上且直线AB与直线垂直，则，即点A坐标为.故选：C【解题方法总结】求点关于直线对称的点方法一：（一中一垂），即线段的中点M在对称轴上，若直线的斜率存在，则直线的斜率与对称轴的斜率之积为－1，两个条件建立方程组解得点方法二：先求经过点且垂直于对称轴的直线（法线），然后由得线段的中点，从而得题型六：线点对称【例6】直线关于点对称的直线的方程为．【答案】【解析】设为上任意一点，则关于点的对称点为，因为在直线l上，所以，即直线的方程为．故答案为：【变式6-1】直线关于点的对称直线方程是．【答案】【解析】设对称直线为，则有，即解这个方程得（舍）或.所以对称直线的方程中.故答案为：.【变式6-2】与直线关于点对称的直线的方程为.【答案】【解析】直线关于点对称的直线的方程可设为，其中，又点到直线与到直线的距离相等，所以，即，所以或（舍）.故所求直线方程为：.故答案为：.【变式6-3】直线恒过定点，则直线关于点对称的直线方程为．【答案】【解析】由得：，当时，，；设直线关于点对称的直线方程为，，解得：或（舍），直线关于点对称的直线方程为.故答案为：.【解题方法总结】求直线l关于点中心对称的直线求解方法是：在已知直线l上取一点关于点中心对称得，再利用，由点斜式方程求得直线的方程（或者由，且点到直线l及的距离相等来求解）．题型七：线线对称【例7】已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为．【答案】.【解析】由题意知，设直线，在直线上取点，设点关于直线的对称点为，则，解得，即，将代入的方程得，所以直线的方程为.故答案为：【变式7-1】若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为()A．3B．2C．3D．4【答案】A【解析】先求出点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，再求出m的值和原点到直线l的距离即得解.依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式得所以|m＋7|＝|m＋5|，所以m＝－6，即l：x＋y－6＝0.根据点到直线的距离公式得M到原点的距离的最小值为.故选：A.【变式7-2】直线关于直线对称的直线方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】在直线上任取一点，设点关于直线的对称点为，则，解得，即，因为点在直线上，所以，即，所以所求直线方程为，故选：A.【变式7-3】两直线方程为，，则关于对称的直线方程为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设所求直线上任一点，关于直线的对称点，，则，解出点在直线上，将式代入，得，化简得，即为关于对称的直线方程．故选：C【解题方法总结】求直线l关于直线对称的直线若直线，则，且对称轴与直线l及之间的距离相等．此时分别为，由，求得，从而得．若直线l与不平行，则．在直线l上取异于Q的一点，然后求得关于直线对称的点，再由两点确定直线（其中）．题型八：直线系方程【例8】经过直线3x－2y＋1＝0和直线x＋3y＋4＝0的交点，且平行于直线x－y＋4＝0的直线方程为．【答案】x－y＝0.【解析】设直线方程为3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，再求出的值即得解.过两直线交点的直线方程可设为3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，即(3＋λ)x＋(3λ－2)y＋4λ＋1＝0，因为它与直线x－y＋4＝0平行，所以3＋λ＋3λ－2＝0，即λ＝－，故所求直线为x－y＝0.故答案为：x－y＝0.【变式8-1】已知坐标原点为O，过点作直线n不同时为零的垂线，垂足为M，则的取值范围是．【答案】【解析】根据题意，直线，即，则有，解可得，则直线恒过点．设，又由与直线垂直，且为垂足，则点的轨迹是以为直径的圆，其方程为，所以；即的取值范围是；故答案为．【变式8-2】若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为．【答案】【解析】设直线l的方程为（其中为常数），即①．又直线l的斜率为，则，解得．将代入①式并整理，得，此即所求直线l的方程．故答案为：.【变式8-3】设直线经过和的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线的方程为.【答案】或【解析】方法一：由，得，所以两条直线的交点坐标为（14，10）,由题意可得直线的斜率为1或-1，所以直线的方程为或，即或.方法二：设直线的方程为，整理得，由题意，得，解得或，所以直线的方程为或.故答案为：或.【解题方法总结】利用直线系方程求解．第02讲两条直线的位置关系1．若直线与之间的距离为，则a的值为（

）A．4B．C．4或D．8或【答案】C【解析】将直线化为，则直线与直线之间的距离，根据题意可得：，即，解得或，所以a的值为或.故选：C2．若，复数与在复平面内对应的点分别为，则（

）A．2B．C．3D．4【答案】A【解析】由，所以，所以，故与在复平面内对应的点分别为，所以，故选：A.3．若两条直线，与圆的四个交点能构成正方形，则（

）A．B．C．D．4【答案】B【解析】由题设知：，要使，，，四点且构成正方形，∴正方形的边长等于直线、的距离，则，若圆的半径为r，，即，则，由正方形的性质知：，∴，即有.故选：B.4．已知圆，从圆心C射出的光线被直线反射后，反射光线恰好与圆C相切，则反射光线所在直线的斜率为（

）A．或B．或C．或D．或【答案】C【解析】圆，圆心为，设圆心关于直线的对称点为，则，解得，即，设反射光线所在的直线斜率为k，则反射光线所在的直线方程为，因为反射光线恰好与圆C相切，所以，整理得，解得或.故选：C．5．直线，直线，给出下列命题：①，使得；

②，使得；③，与都相交；

④，使得原点到的距离为.其中正确的是（

）A．①②B．②③C．②④D．①④【答案】C【解析】对于①，若，则，该方程组无解，①错；对于②，若，则，解得，②对；对于③，当时，直线的方程为，即，此时，、重合，③错；对于④，直线的方程为，若，使得原点到的距离为，则，整理可得，，方程有解，④对.故选：C.6．已知点分别为直线上的动点，若，则的最小值为（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，由，且点，为直线上的动点，则即为点到直线的距离，所以，则，故选:C7.点到曲线在处的切线l的距离为.【答案】【解析】，