（辅导班）2027年高考数学一轮复习精讲精练 第6章 第05讲 椭圆及其性质 讲义+随堂检测（教师版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】第第页资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】第05讲椭圆及其性质知识点一：椭圆的定义平面内与两个定点的距离之和等于常数（）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作，定义用集合语言表示为：注意：当时，点的轨迹是线段；当时，点的轨迹不存在．知识点二：椭圆的方程、图形与性质椭圆的方程、图形与性质所示．焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程统一方程参数方程第一定义到两定点的距离之和等于常数2，即（）范围且且顶点、、、、轴长长轴长，短轴长长轴长，短轴长对称性关于轴、轴对称，关于原点中心对称焦点、、焦距离心率准线方程点和椭圆的关系切线方程（为切点）（为切点）对于过椭圆上一点的切线方程，只需将椭圆方程中换为，换为可得切点弦所在的直线方程焦点三角形面积①，（为短轴的端点）②③焦点三角形中一般要用到的关系是焦半径左焦半径：又焦半径：上焦半径：下焦半径：焦半径最大值，最小值通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=（最短的过焦点的弦）弦长公式设直线与椭圆的两个交点为，，，则弦长（其中是消后关于的一元二次方程的的系数，是判别式）【解题方法总结】（1）过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为．①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点．②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．距离的最大值为，距离的最小值为．（2）椭圆的切线①椭圆上一点处的切线方程是；②过椭圆外一点，所引两条切线的切点弦方程是；③椭圆与直线相切的条件是．题型一：椭圆的定义与标准方程【例1】已知椭圆C上任意一点都满足关系式，则椭圆C的标准方程为.【答案】【解析】由题可知椭圆C的焦点在x轴上，其坐标分别为，，故，，所以椭圆C的标准方程为.故答案为：.【变式1-1】已知椭圆的左、右焦点为，且过点则椭圆标准方程为．【答案】【解析】由题知：，①又椭圆经过点，所以，②又，③联立解得：，故椭圆的标准方程为：.故答案为：.【变式1-2】已知椭圆焦点在轴，它与椭圆有相同离心率且经过点，则椭圆标准方程为.【答案】【解析】椭圆的离心率为，设所求椭圆方程为，则，从而，，又，∴，∴所求椭圆的标准方程为.故答案为：.【变式1-3】与双曲线有相同焦点，且长轴长为6的椭圆标准方程为.【答案】【解析】即，焦点为，椭圆长轴，即，故短半轴，故椭圆方程为.故答案为：.【变式1-4】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线交E于P，Q两点，且，且，，则的标准方程为.【答案】【解析】连接，因为，所以四边形是平行四边形，所以，，又，所以四边形为矩形，设，则由题意得，解得，则，则标准方程为，故答案为：.【解题方法总结】（1）定义法：根据椭圆定义，确定的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程.（2）待定系数法：根据椭圆焦点是在轴还是轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出的方程组，解出，从而求得标准方程.注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为.②与椭圆共焦点的椭圆可设为.③与椭圆有相同离心率的椭圆，可设为（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）.题型二：椭圆方程的充要条件【例2】若是任意实数，方程表示的曲线不可能是（

）A．圆B．抛物线C．椭圆D．双曲线【答案】B【解析】对于A，当时，由得，方程表示圆，故A正确；对于B，当是第一象限角时，，不会是抛物线方程；当是第二象限角时，，不会是抛物线方程；当是第三象限角时，，不成立，不会是抛物线方程；当是第四象限角时，，不会是抛物线方程；当的角的终边落在轴正半轴上时，，，得，不是抛物线方程；当的角的终边落在轴正半轴上时，，，得，不是抛物线方程；当的角的终边落在轴负半轴上时，，，得不成立；当的角的终边落在轴负半轴上时，，，得不成立；故B错误；对于C，当时，由，得，方程表示焦点在y轴上的椭圆，故C正确；对于D，当时，由，得，方程表示焦点在x轴上的双曲线，故D正确；故选：B.【变式2-1】已知曲线，则“”是“曲线C是椭圆”的（

）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若曲线是椭圆，则有：解得：，且故“”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件，故选：C【变式2-2】“”是方程“表示椭圆”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条【答案】B【解析】若方程表示椭圆，则有因此且，故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件．故选：B【解题方法总结】表示椭圆的充要条件为：；表示双曲线方程的充要条件为：；表示圆方程的充要条件为：.题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题【例3】已知点，是椭圆上关于原点对称的两点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则（

）A．1B．2C．4D．5【答案】C【解析】因为,所以四边形是平行四边形.所以.由椭圆的定义得.所以.故选：C【变式3-1】已知椭圆为两个焦点，为椭圆上一点，若的周长为4，则（

）A．2B．3C．D．【答案】D【解析】设椭圆的焦距为，则，的周长为，解得，故选：D【变式3-2】已知分别为椭圆的两个焦点，且的离心率为为椭圆上的一点，则的周长为（

）A．6B．9C．12D．15【答案】C【解析】因为的离心率为，且，所以，解得，则，所以的周长为.故选：C【变式3-3】已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，左、右焦点分别为，，延长交椭圆E于点P．若点A到直线的距离为，的周长为16，则椭圆E的标准方程为（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，得，，，则直线的方程为，所以点A到直线的距离①．由的周长为16，得，即a+c=8②，联立①②，解得③．因为，所以④．联立②④，解得a=6，c=2，所以，故椭圆E的标准方程为是.故选：B．【变式3-4】已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（

）A．6B．12C．D．【答案】C【解析】由椭圆，得，，.设，，∴，在中，由余弦定理可得：，可得，得，故.故选：C.【变式3-5】若椭圆的离心率为，两个焦点分别为，，为椭圆上异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则（

）A．2B．C．4D．【答案】A【解析】如图，连接，，设到轴距离为，到轴距离为，则，设△内切圆的半径为，则，∴不妨设，则，∴，因为椭圆的离心率为，∴，故选：A.【解题方法总结】焦点三角形的问题常用定义与解三角形的知识来解决，对于涉及椭圆上点到椭圆两焦点将距离问题常用定义，即.题型四：椭圆上两点距离的最值问题【例4】已知分别为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，则的最大值为（

）A．64B．16C．8D．4【答案】B【解析】，因为椭圆上的点满足，当点为的延长线与的交点时，取得最大值，最大值为．所以的最大值为16．故选：B．【变式4-1】已知是椭圆上的动点，且与的四个顶点不重合，分别是椭圆的左、右焦点，若点在的平分线上，且，则的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】如图所示，延长交的延长线于点，点在椭圆上，由椭圆的性质可知，因为分别是椭圆的左、右焦点，所以点的坐标为、点的坐标为，因为点是的角平分线上的一点，所以，又，则,所以，则，，又因为点为线段的中点，所以为的中位线，即，当点在椭圆右顶点时，取最大值，最大值为6，当点在椭圆左顶点时，取最小值，最小值为2，当点在椭圆上顶点或下顶点时，，又因为点是椭圆上的动点，且与的四个顶点不重合，则的取值范围为，结合函数函数的性质可得，的取值范围是，故选：A.【变式4-2】已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】设，，则，，又，所以当时，，当时，.故选：C.【变式4-3】已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（

）A．B．C．5D．6【答案】B【解析】设圆的圆心为，则，设，则，所以，当且仅当时取得最大值，所以．故选：B．【解题方法总结】利用几何意义进行转化.题型五：椭圆上两线段的和差最值问题【例5】设实数x，y满足，则的最小值为（

）A．B．C．D．前三个答案都不对【答案】C【解析】点是椭圆上的点，设，如图．记题中代数式为M，则，等号当点E，A，P依次共线时取得．因此所求最小值为．故选：C.【变式5-1】已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，A是C上一点，，则的最大值为（

）A．7B．8C．9D．11【答案】A【解析】设椭圆的半焦距为，则，，如图，连接，则，而，当且仅当共线且在中间时等号成立，故的最大值为.故选：A.【变式5-2】已知F为椭圆C：的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：上一点，则PQ＋PF的最大值为（

）A．3B．6C．D．【答案】D【解析】圆M：的圆心为，设椭圆的左焦点为，如下图，由椭圆的定义知，，所以，所以，当且仅当三点在一条直线上时取等，，，，.故选：D．【变式5-3】已知椭圆的左焦点为是上一点，，则的最大值为（

）A．7B．8C．9D．11【答案】C【解析】因为，所以在椭圆内部，设椭圆的右焦点为，由椭圆，得，由椭圆的定义可得，所以，当且仅当是射线与椭圆的交点时取等号．故选：C.【变式5-4】已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一动点，定点，则的最小值为（

）A．1B．－1C．D．【答案】A【解析】设椭圆的左焦点为，则，可得，所以，如图所示，当且仅当，，三点共线（点在线段上）时，此时取得最小值，又由椭圆，可得且，所以，所以的最小值为1．故选：A．【解题方法总结】在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问题的过程中，如果发现动点在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解．题型六：离心率的值及取值范围方向1：利用椭圆定义去转换【例6】设椭圆的一个焦点为，点为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】记椭圆的左焦点为，连接，则即所以椭圆的圆心率的取值范围是.故选：A.【变式6-1】已知椭圆C的左右焦点分别为，，P，Q为C上两点，，若，则C的离心率为（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，则，，.在中得：，即.因此，，，在中得：，故，所以.故选：D【变式6-2】已知，分别是椭圆（）的左，右焦点，M，N是椭圆C上两点，且，，则椭圆的离心率为（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】连接，设，则，，，在中，即，，，，，，在中，，即，，，又，.故选：C.【变式6-3】椭圆的左右焦点为，，点P为椭圆上不在坐标轴上的一点，点M，N满足，，若四边形的周长等于，则椭圆C的离心率为（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以点为线段的中点，因为，所以，即，所以点为线段的中点，又因点为线段的中点，所以且，且，所以四边形的周长为，又因点P为椭圆上不在坐标轴上的一点，所以，所以，即，故椭圆C的离心率为.故选：C.方向2：利用与建立一次二次方程不等式【变式6-4】椭圆​的左、右焦点分别为​，焦距为​，若直线​与椭圆​的一个交点为​在​轴上方，满足​，则该椭圆的离心率为（

）A．​B．​C．​D．​【答案】A【解析】由直线可知：过定点，斜率，即，则，解得，又因为，可得，结合椭圆的定义可得，整理得.故选：A.【变式6-5】已知椭圆E：的右焦点为，左顶点为，若E上的点P满足轴，，则E的离心率为（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，则直线：，由，得，即，而，，由，得，即，有，又，因此，所以E的离心率为.故选：A【变式6-6】已知为坐标原点，是椭圆上一点，F为右焦点.延长，交椭圆于，两点，，，则椭圆的离心率为（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】设椭圆的左焦点，连接，，，，由椭圆的对称性可知四边形为平行四边形，因为,所以，所以可得四边形为矩形，因为，所以，设，则，由椭圆的定义可知，，，在中，，即，整理可得：，所以可得，在△中，，即，所以离心率，故选：A【变式6-7】已知椭圆的左、右焦点分别是，斜率为的直线经过左焦点且交于两点（点在第一象限），设△的内切圆半径为的内切圆半径为，若，则椭圆的离心率的值为（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】如图所示，由椭圆定义可得，，设△的面积为，的面积为，因为，所以，即①，设直线，则联立椭圆方程与直线，可得，所以②，③，联立①②③得，，整理得，所以．故选：D【变式6-8】已知椭圆，为其左焦点，直线与椭圆交于点，，且．若，则椭圆的离心率为（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】设椭圆的右焦点为，连接，，故四边形为平行四边形，设，，则，，，，中，，整理得到，即，故.故选：A方向3：找几何关系，利用余弦定理【变式6-9】已知椭圆的左､右焦点分别为、，过作直线与椭圆相交于、两点，，且，则椭圆的离心率为（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】如图所示，设，，设，则，在中，，由椭圆定义可知，，，解得，所以，，在中，可得，在中，由余弦定理可得，，，即0，解得，所以椭圆离心率.故选：D.【变式6-10】已知椭圆的左焦点为，若椭圆上存在点P，使得线段与直线垂直垂足为Q，若，则椭圆C的离心率为（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】设C的右焦点为，线段与直线垂直，所以的斜率为，所以，设，则，故，在中，由余弦定理得，，所以所以，所以，又因为，所以椭圆C的离心率为.故选:A．【变式6-11】已知，分别是椭圆：（）的左，右焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】在中，，设，由题意知,，由余弦定理得,，由椭圆定义知，则离心率.故选:C.方向4：利用焦半径的取值范围为．【变式6-12】在平面直角坐标系中，椭圆上存在点，使得，其中、分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率取值范围是________．【答案】【解析】设椭圆的焦距为，由椭圆的定义可得，解得，，由题意可得，解得，又，所以，所以椭圆离心率的取值范围是．故答案为：.【变式6-13】若椭圆上存在一点，使得，其中分别是的左、右焦点，则的离心率的取值范围为______.【答案】【解析】，，又，，解得，则.

故答案为【变式6-14】已知椭圆：的左，右焦点分别为，，若椭圆上一点Р到焦点的最大距离为7，最小距离为3，则椭圆C的离心率为（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】设椭圆的半焦距为，若椭圆上一点，则，且，又，，则，由于，所以，于是可得，，所以椭圆C的离心率.故选：B.【变式6-15】已知，分别是椭圆C：的左､右焦点，B是椭圆C的上顶点，P是椭圆C上任意一点，且C的焦距大于短轴长，若的最大值是的最小值的倍，则椭圆C的离心率为（

）A．B．C．或D．【答案】D【解析】依题意得，设，则，由题意知，故，又，所以当时，取得最大值.因为，所以，因为，所以当或时，取得最小值，为，又的最大值是的最小值的倍，所以，即，又，所以，得或.又不满足，满足，所以，故选：D.【解题方法总结】求离心率的本质就是探究之间的数量关系，知道中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法.题型七：椭圆的简单几何性质问题【例7】已知双曲线的一个焦点是，椭圆的焦距等于，则．【答案】5【解析】因为双曲线的一个焦点是，所以，得，又椭圆的焦距等于，所以，得.故答案为：5【变式7-1】已知椭圆的左、右焦点分别为点、，若椭圆上顶点为点，且为等腰直角三角形，则.【答案】8【解析】椭圆，故，为等腰直角三角形，故，故，即，.故答案为：【变式7-2】已知点、，动点满足：直线的斜率与直线的斜率之积为，则的取值范围为．【答案】【解析】因为点，，，所以，，所以，即，所以，由，可知，所以，即.所以的取值范围为.故答案为：.【变式7-3】AB是平面上长度为4的一条线段，P是平面上一个动点，且，M是AB的中点，则的取值范围是．【答案】【解析】由题设，，则P的轨迹是以为焦点，长轴长为6的椭圆，若，，则P的轨迹方程为.所以的范围为，即.故答案为：题型八：利用第一定义求解轨迹【例8】已知圆，圆，动圆与圆外切并与圆内切，则圆心的轨迹方程为【答案】【解析】设动圆P的圆心为，半径为，由题意得，所以，所以点P的轨迹为以为焦点的椭圆，则，即，，则，所以动圆圆心的轨迹方程为，故答案为：【变式8-1】已知点P为椭圆上的任意一点，O为原点，M满足，则点M的轨迹方程为．【答案】.【解析】设点，由得点，而点P为椭圆上的任意一点，于是得，整理得：，所以点M的轨迹方程是.故答案为:【变式8-2】一个动圆与圆外切，与圆内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为．【答案】【解析】设动圆圆心为，半径为，根据题意知：，，所以，所以圆心的轨迹为椭圆.其中，，故，因为焦点在轴上，故圆心轨迹方程为：.故答案为：.【变式8-3】已知，B是圆（F为圆心）上一动点.线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为.【答案】．【解析】由题意，在线段的垂直平分线上，则，所以，又，所以在以为焦点，长轴长为2的椭圆上，，，，则，所以轨迹方程为．故答案为：．【变式8-4】设F1，F2为椭圆的左、右焦点，A为椭圆上任意一点，过焦点F1向∠F1AF2的外角平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨迹方程是________．【答案】x2＋y2＝4【解析】由题意，延长F1D，F2A并交于点B，易证Rt△ABD≌Rt△AF1D，则|F1D|＝|BD|，|F1A|＝|AB|，又O为F1F2的中点，连接OD，则OD∥F2B，从而可知|OD|＝|F2B|＝(|AF1|＋|AF2|)＝2，设点D的坐标为(x，y)，则x2＋y2＝4.故答案为：【变式8-5】一动圆与圆：内切，且与圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是______．【答案】【解析】由题意，圆：的圆心为，半径为，圆：的圆心为，半径为，设动圆的圆心，半径为，动圆与圆：内切，与圆：外切，所以，，所以，所以的轨迹是以原点为中心，焦点在轴上的椭圆，且，，所以，椭圆的方程为.故答案为：．【变式8-6】一动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为___________.【答案】【解析】设动圆半径为，根据题意知：，，故.故轨迹为椭圆，，，故，故轨迹方程为：.故答案为：.【变式8-7】已知圆，点，点为动点，以线段为直径的圆内切于圆，则动点的轨迹方程是______．【答案】【解析】设的中点为，切点为，连，，则三点共线，且，取关于轴的对称点，连，根据中位线的性质有．且当在时也满足题意.所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为6的椭圆．其中，，，则动点的轨迹方程是．故答案为：．【解题方法总结】常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点标志的定点连起来做判断．焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围.第05讲椭圆及其性质1．已知离心率为的椭圆的方程为，则（

）A．2B．C．D．3【答案】C【解析】由题意，，即，可得，则.故选：C2．法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆：（）的蒙日圆为，则椭圆Γ的离心率为（

）A．