（辅导班）2027年高考数学一轮复习精讲精练 第6章 第06讲 双曲线及其性质 讲义+随堂检测（原卷版）

资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】第第页资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】第06讲双曲线及其性质知识点一：双曲线的定义平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为．注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支．（2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线．（3）时，点的轨迹不存在．在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：=1\*GB3①条件“”是否成立；=2\*GB3②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用．知识点二：双曲线的方程、图形及性质双曲线的方程、图形及性质标准方程图形A2A2焦点坐标，，对称性关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称顶点坐标，，范围实轴、虚轴实轴长为，虚轴长为离心率渐近线方程令，焦点到渐近线的距离为令，焦点到渐近线的距离为点和双曲线的位置关系共焦点的双曲线方程共渐近线的双曲线方程切线方程为切点为切点切线方程对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得．切点弦所在直线方程为双曲线外一点为双曲线外一点点为双曲线与两渐近线之间的点弦长公式设直线与双曲线两交点为，，．则弦长，，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数．通径通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为焦点三角形双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形，设，，，则，，焦点三角形中一般要用到的关系是等轴双曲线等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为．【解题方法总结】（1）双曲线的通径过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为．（2）点与双曲线的位置关系对于双曲线，点在双曲线内部，等价于．点在双曲线外部，等价于结合线性规划的知识点来分析．（3）双曲线常考性质性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数；性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；（4）双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）（5）双曲线的切线点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．若点在双曲线外，则点对应切点弦方程为题型一：双曲线的定义与标准方程【例1】已知，分别是离心率为2的双曲线的左，右焦点，过点的直线与双曲线的左､右两支分别交于点，，且，，则的标准方程为.【变式1-1】设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为．【变式1-2】渐近线方程为且经过点的双曲线标准方程为．【变式1-3】若双曲线C与双曲线有相同的渐近线，且经过点，则双曲线C的标准方程是．题型二：双曲线方程的充要条件【例2】若曲线表示双曲线，那么实数k的取值范围是（

）A．B．C．D．【变式2-1】若方程表示双曲线，则m的取值范围是（

）A．或B．C．或D．【变式2-2】设，则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为（

）A．B．C．D．题型三：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题【例3】已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于，两点，若，则的面积等于（

）A．18B．10C．9D．6【变式3-1】已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线分别交双曲线的左右两支于两点，且，则（

）A．B．C．D．【变式3-2】设双曲线的左、右焦点分别、，点为双曲线右支上一点，的内切圆圆心为，则的面积与的面积之差为（

）A．B．C．D．【变式3-3】设为双曲线（）的上一点，，（为左、右焦点），则的面积等于（

）A．B．C．D．题型四：双曲线上两点距离的最值问题【例4】已知双曲线的左右焦点为，，点为双曲线上任意一点，则的最小值为（）A．1B．C．2D．3【变式4-1】已知点，点在曲线上运动，点在曲线上运动，则的最小值是．【变式4-2】已知双曲线，其右焦点为，为其上一点，点满足=1，，则的最小值为(

)A．3B．C．2D．【变式4-3】已知直线l与双曲线交于A，B两点，且（为坐标原点），若M是直线上的一个动点，则的最小值为（

）A．12B．6C．16D．8题型五：双曲线上两线段的和差最值问题【例5】已知等轴双曲线的焦距为8，左、右焦点在轴上，中心在坐标原点，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最大值为（

）A．B．C．D．【变式5-1】已知F是双曲线C：的右焦点，P是C的左支上一点，，则的最小值为（

）A．5B．6C．7D．8【变式5-2】已知拋物线上一点到准线的距离为是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的一动点，则的最小值为（

）A．12B．11C．10D．9【变式5-3】已知双曲线，点F是C的右焦点，若点P为C左支上的动点，设点P到C的一条渐近线的距离为d，则的最小值为（

）A．B．C．8D．10【变式5-4】过双曲线的右支上一点，分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，，则的最小值为（）A．B．C．D．题型六：离心率的值及取值范围方向1：利用双曲线定义去转换【例题6-1】已知，分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线与交于，两点（点在第一象限），延长交于点，若，，则双曲线的离心率为（

）A．B．2C．D．1【变式6-1】已知双曲线的左、右焦点分别为，，若在上存在点不是顶点，使得，则的离心率的取值范围为（

）A．B．C．D．方向2：建立关于和的一次或二次方程与不等式【例题6-2】已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的离心率是（

）A．B．C．D．【变式6-2】如图，是双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线的左、右两支于两点，且，则双曲线的离心率为（

）

A．B．C．D．【变式6-3】已知双曲线为左焦点，分别为左､左顶点，为右支上的点，且（为坐标原点）.若直线与以线段为直径的圆相交，则的离心率的取值范围为（

）A．B．C．D．方向3：找几何关系，利用余弦定理【例题6-3】已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，若，的周长为8a，则C的离心率为（

）A．B．C．D．【变式6-4】已知圆O：与双曲线C：的右支交于点A，B，若，则C的离心率为（

）A．2B．C．D．【变式6-5】已知双曲线：的左､右焦点分别是，，是双曲线上的一点，且，，，则双曲线的离心率是（

）A．B．C．D．题型七：双曲线的简单几何性质问题【例7】已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于B点，则的内切圆的半径为．【变式7-1】已知双曲线（，）的一条渐近线恰好平分第一、三象限，若的虚轴长为4，则的实轴长为.【变式7-2】已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于两点，则.题型八：求解轨迹【例8】设P为双曲线上一动点，O为坐标原点，M为线段的中点，则点M的轨迹方程为．【变式8-1】已知圆C1：（x＋3）2＋y2＝1和圆C2：（x－3）2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为.【变式8-2】已知点，，，动圆与直线切于点，分别过点且与圆相切的两条直线相交于点，则点的轨迹方程为.【变式8-3】若动圆过定点且和定圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是.题型九：双曲线的渐近线【例9】若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为．【变式9-1】已知为双曲线上一点，以为切点的切线为，直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，则（为坐标原点）的面积为．【变式9-2】已知双曲线的左右焦点分别为，过作渐近线的垂线交双曲线的左支于点，已知，则双曲线的渐近线方程为．第06讲双曲线及其性质1．已知双曲线的右焦点为F，过点F作一条渐近线的垂线，垂足为P，O为坐标原点，则的面积为（

）A．B．C．D．2．已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，F是C的焦点，点P为C的右支上位于第一象限的点，且轴.若直线PB与直线PA的斜率之比为3，则C的离心率为（

）A．B．C．2D．33．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于两点，若的周长为，则当取得最大值时，该双曲线的离心率为（

）A．B．C．D．4．已知点F是双曲线（）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（

）A．B．C．D．5．已知双曲线的左、右焦点分别为，，若在上存在点不是顶点，使得，则的离心率的取值范围为（

）A．B．C．D．6．已知双曲线为左焦点，分别为左､左顶点，为右支上的点，且（为坐标原点）.若直线与以线段为直径的圆相交，则的离心率的取值范围为（