（辅导班）2027年高考数学一轮复习精讲精练 第7章 第04讲 数列求和 讲义+随堂检测（教师版）

第第④二．几种数列求和的常用方法（1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．（2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．（3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解．（4）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解．【解题方法总结】常见的裂项技巧积累裂项模型1：等差型（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）积累裂项模型2：根式型（1）（2）（3）（4）（5）（6）积累裂项模型3：指数型（1）（2）（3）（4）（5）（6），设，易得，于是（7）积累裂项模型4：对数型积累裂项模型5：三角型（1）（2）（3）（4），则积累裂项模型6：阶乘（1）（2）常见放缩公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；（12）；（13）．（14）．题型一：通项分析法【例1】求和．【解析】∵，∴．【变式1-1】数列的前n项和为.【答案】【解析】观察数列得到，所以前n项和.故答案为：.【变式1-2】年意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引人“兔子数列”，又称斐波那契数列，即该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用若此数列各项被除后的余数构成一新数列，则数列的前项的和为.【答案】【解析】由数列，，，，，，，，，，各项除以的余数，可得数列为，，，，，，，，，，，，，，1，，所以数列是周期为的数列，一个周期中八项和为，又因为，所以数列的前项的和.故答案为：.【解题方法总结】先分析数列通项的特点，再选择合适的方法求和是求数列的前项和问题应该强化的意识．题型二：公式法【例2】已知是数列的前项和，，．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【解析】（1）由，则，两式相减得：，整理得：，即时，，所以时，，又时，，得，也满足上式．故．（2）由（1）可知：．记，设数列的前项和．当时，；当时，综上：【变式2-1】已知等差数列的前四项和为10，且成等比数列(1)求通项公式(2)设，求数列的前项和【解析】（1）设等差数列的公差为，则，即，又成等比数列，所以，即，整理得，得或，若，则，，若，则，得，，.综上所述：或.（2）若，则，；若，则，.【解题方法总结】针对数列的结构特征，确定数列的类型，符合等差或等比数列时，直接利用等差、等比数列相应公式求解．题型三：错位相减法【例3】已知数列满足且(1)若存在一个实数，使得数列为等差数列，请求出的值；(2)在（1）的条件下，求出数列的前n项和．【解析】（1）假设存在实数符合题意，则必为与无关的常数.因为.要使是与无关的常数，则，可得.故存在实数，使得数列为等差数列.（2）由，且，由（1）知等差数列的公差，所以，即，所以记：，有，两式相减，得，故.【变式3-1】已知数列的前项和为，且.(1)求，并求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【解析】（1）由题意①，当时；当时；当时，②，①－②得，当时，也适合上式，所以，所以时，两式相减得，故数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以.（2）由（1）得，③，④，③－④得：，所以.【变式3-2】已知数列和，，，.(1)求证数列是等比数列；(2)求数列的前项和.【解析】（1）由，，得，整理得，而，所以数列是以为首项，公比为的等比数列（2）由（1）知，∴，∴，设，则，两式相减得，从而∴.【解题方法总结】错位相减法求数列的前n项和（1）适用条件若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和．（2）基本步骤（3）注意事项①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出；②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号．等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法．①②得：．整理得：．题型四：分组求和法【例4】已知数列和满足：，，，，其中．(1)求证：；(2)求数列的前项和．【解析】（1）证明：因为①，②，①②可得，且，所以，数列为常数列，且③，①②可得，且，所以，数列为等比数列，且该数列的首项为，公比为，所以，④，③④可得，则，所以，.（2）由（1）可知，，则.【变式4-1】已知数列的首项，且满足.(1)求证：是等比数列；(2)求数列的前项和.【解析】（1）因为，即，则，又因为，可得，所以数列表示首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）知，所以.所以，当为偶数时，可得；当为奇数时，可得；综上所述：.【变式4-2】为数列的前项和，已知，且.(1)求数列的通项公式；(2)数列依次为：，规律是在和中间插入项，所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列的前100项的和.【解析】（1）当时，，解得（舍去），由得时，，两式相减得，因为，所以，所以是等差数列，首项为4，公差为3，所以；（2）由于，因此数列的前100项中含有的前13项，含有中的前87项，所求和为.【变式4-3】已知数列的首项，，.(1)设，求数列的通项公式；(2)在与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列.记为数列的前n项和，求.【解析】（1）因为，，所以，取倒得，所以，即，即，因为，所以是，的等比数列，所以.（2）在之间有2个3，之间有个3，之间有个3，之间有个3，合计个3，所以.【解题方法总结】（1）分组转化求和数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求前n项和的数列求和．（2）分组转化法求和的常见类型题型五：裂项相消法【例5】已知数列的前项和，且.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.【解析】（1）当时，，当时，因为对也成立.所以，所以数列是等差数列，则公差，故.（2）因为，所以，故.【变式5-1】已知等差数列的前项和为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和，并证明：.【解析】（1）设公差为，由题意得解得∴.（2）由（1）知，∴.∵，∴.【变式5-2】在数列中，已知，．(1)求；(2)若，为的前n项和，证明：．【解析】（1）而，是公比为首项为的等比数列，,.（2）,,,，，.【变式5-3】设数列的前项和为，且.(1)求；(2)记，数列的前项和为，求.【解析】（1）由，当时，，解得，当时，，所以，整理得：，①所以有，②①-②可得，所以为等差数列，因为，所以公差为，所以.（2），∴.【解题方法总结】裂裂项相消法求和（1）基本步骤（2）裂项原则一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．（3）消项规律消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．题型六：倒序相加法【例6】已知数列的项数为，且，则的前n项和为．【答案】【解析】因为，又，所以又因为，所以，即.故答案为：.【变式6-1】设函数，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，求得的值为.【答案】11【解析】因，设，则，故.故答案为：11【变式6-2】已知数列的前n项和为，且，设函数，则．【答案】【解析】∵①，∴当时，②，①－②得，∴；当时，，∴，此时仍然成立，∴．∴当n=1时，；当时，，当n=1时，上式也成立，故．由于，设则，∴．故答案为：．【解题方法总结】将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此方法）．题型七：并项求和【例7】已知数列的前项和为，则．【答案】36【解析】由题意可得为奇数时，，两式相减得；为偶数时，，两式相加得，故.故答案为：36【变式7-1】在等比数列中，，且，，成等差数列．(1)求的通项公式；(2)设，数列的前n项和为，求满足的k的值．【解析】（1）设的公比为q，由，得，解得，由，，成等差数列，得，即，解得，所以数列的通项公式是．（2）由（1）知，，，当k为偶数时，，令，得；当k为奇数时，，令，得，所以或37.【变式7-2】已知正项数列的前项和为，满足.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【解析】（1），当时，，两式子作差可得，又，所以，可得数列为公差为2的等差数列，当时，，所以，数列的通项公式为.（2），，所以，数列的前项和.【解题方法总结】两两并项或者四四并项题型八：先放缩后裂项求和【例8】已知数列的前n项和为，.(1)证明：数列为等比数列，并求数列的前n项和为；(2)设，证明：.【解析】(1)当时，，即由，则两式相减可得，即所以，即数列为等比数列则，所以则(2)，所以【解题方法总结】先放缩后裂项，放缩的目的是为了“求和”，这也是凑配放缩形式的目标．第04讲数列求和1．已知等差数列的前n项和为，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设等差数列的公差为d，因为，所以…①，又，即，，代入①，解得，，则，所以；故选：A.2．已知，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】若数列与数列的公共项，则设，即，因为为偶数，所以也为偶数，所以令数列与数列的公共项为：，所以，所以，故选：B.3．已知数列满足，，则.【答案】【解析】当时，，∴，又，满足，∴，，即，∴.故答案为：.4．在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和为同一个常数，那么这个数列称为等和数列，这个常数称为该数列的公和．已知数列是等和数列，且，，则这个数列的前2022项的和为．【答案】6066【解析】设等和数列的公和为m．因为，所以，，，，…，所以，又，所以，所以．故答案为：60665．已知数列的各项均为正数，其前项和满足，数列满足.(1)求的通项公式；(2)设数列的前项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）由，得，当时，，解得，当时，，化简得，∴数列是以为首项，为等差的等差数列，所以.（2）由（1）可得，∴数列的前项和.∵，∴单调递增，∴，∵，∴，若使得对一切恒成立，则，解得，∴实数的取值范围是.6．在公差不为零的等差数列中，，且成等比数列，数列的前项和满足.(1)求数列和的通项公式；(2)设，数列的前项和，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）设等差数列的公差为，且成等比数列，，即，解得或（舍去），所以.数列的前项和，当时，，当时，，，即数列是首项为，公比为的等比数列，.（2）由（1）可得，.令，，单调递增，.，，.7．在①，②，③这三个条件中任选一个，