2026届湖南省师范大学附属中学高一数学第二学期期末达标检测模拟试题含解析

2026届湖南省师范大学附属中学高一数学第二学期期末达标检测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．2021年某省新高考将实行“”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件：“他选择政治和地理”，事件：“他选择化学和地理”，则事件与事件（）A．是互斥事件，不是对立事件 B．是对立事件，不是互斥事件C．既是互斥事件，也是对立事件 D．既不是互斥事件也不是对立事件2．已知三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为（）A． B．4 C． D．3．若不等式的解集为，则（）A． B．C． D．4．已知向量，向量，且，那么等于()A． B． C． D．5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，则B为（）A． B．或 C． D．或6．若，，，点C在AB上，且，设，则的值为（）A． B． C． D．7．在数列{an}中，若a1，且对任意的n∈N*有，则数列{an}前10项的和为（）A． B． C． D．8．已知向量，，则在方向上的投影为（）A． B． C． D．9．一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是A．两次都中靶B．至少有一次中靶C．两次都不中靶D．只有一次中靶10．直线的倾斜角是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，，两圆和只有一条公切线，则的最小值为________12．函数，的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是_____.13．（理）已知函数，若对恒成立，则的取值范围为．14．已知等差数列的前项和为，且，，则；15．已知数列是等比数列，公比为，且，，则_________．16．函数在的值域是__________________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图所示，在梯形中，∥，⊥，，⊥平面，⊥．（1）证明：⊥平面；（2）若，求点到平面的距离．18．已知偶函数.（1）若方程有两不等实根，求的范围；（2）若在上的最小值为2，求的值.19．某校从参加高二年级期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的化学成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段，，…，后画出如图部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求出这60名学生中化学成绩低于50分的人数；（2）估计高二年级这次考试化学学科及格率（60分以上为及格）；（3）从化学成绩不及格的学生中随机调查1人，求他的成绩低于50分的概率．20．如图，在四棱柱中，底面ABCD为菱形，平面ABCD，AC与BD交于点O，，，．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的大小.21．已知边长为2的等边，是边的中点，以为旋转中心，逆时针旋转得对应，与所在直线交于.（1）任意旋转角，判断是否是定值.若是，求此定值；若不是，说明理由.（2）求的最小值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

事件与事件不能同时发生，是互斥事件，他还可以选择化学和政治，不是对立事件，得到答案.【详解】事件与事件不能同时发生，是互斥事件他还可以选择化学和政治，不是对立事件故答案选A【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件，意在考查学生对于互斥事件和对立事件的理解.2、B【解析】

依据题中数据，利用勾股定理可判断出从而可得三棱锥各面都为直角三角形，进而可知外接圆的直径，即可求出三棱锥的外接球的表面积【详解】如图，因为,又，,从而可得三棱锥各面都为直角三角形，CD是三棱锥的外接球的直径，在中，,,即，，故选B．【点睛】本题主要考查学生空间想象以及数学建模能力，能够依据条件建立合适的模型是解题的关键．3、D【解析】

根据一元二次不等式的解法，利用韦达定理列方程组，解方程组求得的值.【详解】根据一元二次不等式的解法可知，是方程的两个根，根据韦达定理有，解得，故选D.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解集与对应一元二次方程根的关系，考查根与系数关系，考查方程的思想，属于基础题.4、D【解析】

由两向量平行，其向量坐标交叉相乘相等，得到.【详解】因为，所以，解得：.【点睛】本题考查向量平行的坐标运算，考查基本运算，注意符号的正负.5、C【解析】

根据正弦定理得到，再根据知，得到答案.【详解】根据正弦定理：，即，根据知，故.故选：.【点睛】本题考查了根据正弦定理求角度，多解是容易发生的错误.6、B【解析】

利用向量的数量积运算即可算出．【详解】解：，，又在上，故选：【点睛】本题主要考查了向量的基本运算的应用，向量的基本定理的应用及向量共线定理等知识的综合应用．7、A【解析】

用累乘法可得．利用错位相减法可得S，即可求解S10＝22．【详解】∵，则．∴，．Sn，．∴，∴S，则S10＝22．故选：A．【点评】本题考查了累乘法求通项，考查了错位相减法求和，意在考查计算能力，属于中档题．8、D【解析】

直接利用向量的数量积和向量的投影的定义，即可求解，得到答案．【详解】由题意，向量，，则在方向上的投影为：．故选D．【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9、A【解析】

利用对立事件、互斥事件的定义直接求解．【详解】一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是两次都中靶．故选：A．【点睛】本题考查互事件的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件、互斥事件的定义的合理运用．10、D【解析】

先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角.【详解】由题得直线的斜率.故选：D【点睛】本题主要考查直线的斜率和倾斜角的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、9【解析】

两圆只有一条公切线，可以判断两圆是内切关系，可以得到一个等式，结合这个等式，可以求出的最小值.【详解】，圆心为，半径为2；，圆心为，半径为1.因为两圆只有一条公切线，所以两圆是内切关系，即，于是有（当且仅当取等号），因此的最小值为9.【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.12、【解析】

作出其图像，可只有两个交点时k的范围为.故答案为13、【解析】试题分析：函数要使对恒成立，只要小于或等于的最小值即可，的最小值是0，即只需满足，解得.考点：恒成立问题.14、1【解析】

若数列{an}为等差数列则Sm，S2m-Sm，S3m-S2m仍然成等差数列．所以S10，S20-S10，S30-S20仍然成等差数列．因为在等差数列{an}中有S10=10，S20=30，所以S30=1．故答案为1．15、.【解析】

先利用等比中项的性质计算出的值，然后由可求出的值.【详解】由等比中项的性质可得，得，所以，，，故答案为.【点睛】本题考查等比数列公比的计算，充分利用等比中项和等比数列相关性质的应用，可简化计算，属于中等题.16、【解析】

利用反三角函数的性质及，可得答案.【详解】解：，且，，∴，故答案为：【点睛】本题主要考查反三角函数的性质，相对简单.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）【解析】

（1）通过⊥，⊥来证明；（2）根据等体积法求解.【详解】（1）证明：∵⊥平面，平面，∴⊥.又⊥，，平面，平面，∴⊥平面.（2）由已知得，所以且由（1）可知，由勾股定理得∵平面∴=，且∴，由，得∴即点到平面的距离为【点睛】本题考查线面垂直与点到平面的距离.线面垂直的证明要转化为线线垂直；点到平面的距离常规方法是作出垂线段求解，此题根据等体积法能简化计算.18、（1）；（2）或.【解析】

（1）由偶函数的定义，利用，求得的值，再由对数函数的单调性，结合题设条件，即可求解实数的范围；（2）利用换元法和对勾函数的单调性，以及二次函数的闭区间上的求法，分类讨论对称轴和区间的关系，即可求解.【详解】（1）因为，所以的定义域为，因为是偶函数，即，所以，故，所以，即方程的解为一切实数，所以，因为，且，所以原方程转化为，令，，所以所以在上是减函数，是增函数，当时，使成立的有两个，又由知，与一一对应，故当时，有两不等实根；（2）因为，所以，所以，令，则，令，设，则，因为，所以，即在上是增函数，所以，设，则.（i）当时，的最小值为，所以，解得，或4（舍去）；（ii）当时，的最小值为，不合题意；（iii）当时，的最小值为，所以，解得，或（舍去）.综上知，或.【点睛】本题主要考查了函数的综合应用，其中解答中涉及到函数的奇偶性，对数函数的图象与性质，以及换元法和分类讨论思想的应用，试题综合性强，属于难题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.19、（1）6人；（2）75%；（3）.【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图可得化学成绩低于50分的频率为0.1，然后可求得人数为人；（2）根据频率分布直方图求分数在第三、四、五、六组的频率之和即可；（3）结合图形可得“成绩低于50分”的人数是6人，成绩在这组的人数是，由古典概型概率公式可得所求概率为。试题解析：（1）因为各组的频率和等于1，由频率分布直方图可得低于50分的频率为：，所以低于分的人数为（人）．（2）依题意可得成绩60及以上的分数所在的第三、四、五、六组（低于50分的为第一组），其频率之和为，故抽样学生成绩的及格率是，于是，可以估计这次考试化学学科及格率约为75%．（3）由（1）知，“成绩低于50分”的人数是6人，成绩在这组的人数是（人），所以从成绩不及格的学生中随机调查1人，有15种选法，成绩低于50分有6种选法，故所求概率为．20、(1)证明见解析；(2)﹒【解析】

(1)证面面垂直只需证一个平面内有一条直线和另一个平面垂直(2)通过作图需找二面角的平面角即可【详解】（1）证明：由平面ABCD，有;由四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD：又因为，所以平面，因为平面，所以平面平面，（2）过O作于E，连结BE，由（1）知平面，所以，又因为，，所以平面BDE，从而；由，，所以∠OEB为二面角的平面角.由为等边三角形且O为BD中点，有，，，由，有，由，有，从而.在中，，所以，即.综上，二面角的大小为﹒【点睛】面面垂直可通过线面垂直进行证明，二面角的平面角有正有负，解题时要注意结合题设