第01讲 一次方程（组）及其应用（复习讲义6考点+37题型+4重点）（原卷版）-【数学】2026年中考一轮复习讲练测

第二章方程（组）与不等式（组）第01讲一次方程（组）及其应用目录01·TOC\o"1-1"\h\z\u考情剖析·命题前瞻 202·知识导航·网络构建 503·考点解析·知识通关 704·命题洞悉·题型预测 15命题点一等式的基本性质题型01等式的性质相关求解题型02等式的性质天平类题型题型03利用等式的性质判断选项是否成立命题点二一元一次方程的解题型01已知方程的解求参数的值题型02解一元一次方程题型03判断一元一次方程的解题步骤是否正确题型04一元一次方程中程序流程图问题命题点三一元一次方程的实际应用题型01一元一次方程实际应用配套问题题型02一元一次方程实际应用工程问题题型03一元一次方程实际应用盈亏问题题型04一元一次方程实际应用比赛积分问题题型05一元一次方程实际应用方案选择问题题型06一元一次方程实际应用数字问题题型07一元一次方程实际应用动点问题题型08一元一次方程实际应用和差倍问题题型09一元一次方程实际应用水费电费问题题型10一元一次方程实际应用行程问题题型11一元一次方程实际应用日历问题题型12一元一次方程实际应用古代问题命题点四二元一次方程组的解题型01二元一次方程（组）的解题型02已知二元一次方程（组）的解求参数题型03解二元一次方程组（计算题）题型04构造二元一次方程组求解题型05已知二元一次方程（组）解的情况求参数题型06二元一次方程组中同解问题命题点五二元一次方程组的实际应用题型01二元一次方程（组）实际应用之列方程题型02二元一次方程（组）实际应用之方案问题题型03二元一次方程（组）实际应用之行程问题题型04二元一次方程（组）实际应用之工程问题题型05二元一次方程（组）实际应用之数字问题题型06二元一次方程（组）实际应用之分配问题题型07二元一次方程（组）实际应用之销售利润问题题型08二元一次方程（组）实际应用之和差倍问题题型09二元一次方程（组）实际应用之几何问题题型10二元一次方程（组）实际应用之古代问题命题点六三元一次方程组及其应用题型01三元一次方程组的定义及其解题型02三元一次方程组的实际应用05·重难突破·思维进阶 133突破一一元一次方程中新定义题型突破二一元一次方程中新情境类题型突破三一次方程中规律类题型突破四一次方程（组）实践探究题型考点课标要求考法分析一元一次方程基础概念及等式的性质掌握等式的基本性质，理解一元一次方程的定义，能识别一元一次方程，明确方程的解的含义。常以选择题、填空题形式考查，难度较低。一是考查等式性质的应用，比如判断等式变形的正误，或结合天平平衡等（例如2025·山东滨州卷，四川卷）；二是考查一元一次方程的判定，比如给出含参数的方程，判断其为一元一次方程时参数的取值；三是已知方程的解求参数值（如2025·广东深圳卷，四川遂宁卷等），一元一次方程的解法能熟练运用等式性质，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程。题型以选择题、填空题或解答题中的基础题为主。一种考法是直接考查解方程，要求写出完整步骤；另一种是判断解题过程的正误，比如指出去分母、移项等步骤中出现的错误；一元一次方程的解法常常单独考查在解答题中2025·四川眉山卷等二元一次方程（组）的基础概念理解二元一次方程、二元一次方程组的定义，清楚二元一次方程的无数组解与方程组的唯一解（或无解等）的区别。多为选择题、填空题，难度不大。常考查二元一次方程（组）的识别，比如判断给出的方程或方程组是否为二元一次方程（组）；也会考查二元一次方程的解的特征，比如给出一个二元一次方程，判断某个数对是否为它的解，或是根据解的特点求参数范围。2025·山东德州卷、2025·四川泸州卷等二元一次方程组的解法掌握代入消元法和加减消元法，能熟练求解二元一次方程组，部分地区要求能解简单的三元一次方程组是中考基础必考点，题型涵盖选择、填空和解答题。常规考法是直接求解方程组2025·山东淄博卷、2025·山东潍坊卷等；进阶考法包括用整体法简化求解过程、已知方程组同解求参数、根据方程组解的情况（有唯一解、无解等）确定参数值2025·江苏徐州卷等，例如给出两个含参数的方程组同解，求参数的取值。一次方程（组）的实际应用能根据现实情境理解方程的意义，针对行程、工程、销售、计费等实际问题，准确提取等量关系并列出一次方程（组）求解。高频考点，多以选择题或解答题形式考查，难度中等。常见情境有：行程问题（相遇、追及等，围绕路程、速度、时间的关系列方程）2025·黑龙江卷、2025·江苏徐州卷；工程问题（结合工作量、工作效率、工作时间构建模型）2025·江西卷；销售问题（涉及单价、数量、利润等）2025·黑龙江哈尔滨卷、2025·湖南长沙卷等；计费问题（如出租车起步价、话费套餐等分段计费场景）。近年还出现结合跨学科背景或真实生活情境的考题，如结合港珠澳大桥长度、疫情期间物资运输等情境命题，要求先分析题意，找出等量关系，再列方程（组）求解，部分题目还需根据结果给出合理建议。命题预测命题趋势：2026年中考一次方程（组）及其应用的命题将延续“基础为本、素养导向”的核心原则，最显著的趋势是实际应用场景与多学科融合深化，同时强化方程作为工具的综合运用。从近年真题及命题研讨方向来看，传统的行程、工程、销售等经典情境仍会保留，但会更多结合乡村振兴、绿色能源、非遗传承等时代热点，或融入《九章算术》等古代数学文化素材，创设真实且有意义的问题情境。备考建议：针对命题趋势，最关键的备考策略是聚焦实际应用的核心模型，构建“审题—建模—求解—验解”的标准化解题闭环。首先，需分类梳理高频应用场景的核心等量关系，形成“题型—模型”对应思维，如销售问题中“利润=售价-成本、售价=标价×折扣”，行程问题中“相遇总路程=两者路程和”等，通过专项训练熟练提取题干中“共”“比……多”“打折”等关键词，快速锁定等量关系。其次，强化“验解”意识，这是避免实际应用失分的关键——求解后需结合情境验证解的合理性，如人数、数量需为正整数，里程、费用不能为负，确保答案符合实际意义。考点一一元一次方程的解求参数1.一元一次方程的定义：只含有一个，且未知数的（最高次项为一次项），等号两边都是的方程，叫做一元一次方程；2.方程的解：使一元一次方程等号两边的未知数的值，叫做方程的解；3.等式的基本性质（解方程的依据）性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍。即如果a=b，则a±c=b±c；性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍。即如果a=b，则a×c=b×c；如果a=b（c≠0），则a1．（2025·贵州·中考真题）已知x=2是关于x的方程x+m=7的解，则A．3 B．4 C．5 D．62．（2025·广东深圳·中考真题）若关于x的方程x+a=5的解为x=13．（2025·四川遂宁·中考真题）已知x=2是方程3a−2x4．（2025·山东滨州·中考真题）如果☆×−59考点二解一元一次方程一元一次方程的解法（核心技能）步骤操作要点易错提醒在方程两边同乘所有分母的最小公倍数，消去分母。不要漏乘不含分母的项；②分子是多项式时，要加括号去括号按照“先小括号，后中括号”的顺序，运用乘法分配律展开括号。①括号前是负号时，括号内各项要变号；②不要漏乘括号内的每一项。将含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边。移项要变号（“+”变“-”，“-”变“+”），未移项的项不变号。合并同类项分别合并等号两边的同类项，将方程化为

ax=b(a≠0)的形式。合并同类项时，系数相加，字母和次数不变在方程两边同除以未知数的系数

a，得x=b①除数不能为0；②注意符号：a、b同号得正，异号得负1．（2025·河北·中考真题）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为a，b．如图，将甲纸条的13与乙纸条的25叠合在一起，形成长为81的纸条，则a

2．（2025·四川成都·中考真题）任意给一个数x，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则x的值为．3（2025·四川眉山·中考真题）（1）计算：4−（2）解方程：2考点三一元一次方程的实际应用1.列方程解应用题的一般步骤：审题，找出已知量、未知量及等量关系；：设未知数（直接设：问什么设什么；间接设：设与所求量相关的量）；：根据等量关系列出一元一次方程；：解所列方程，求出未知数的值；：检验解是否符合实际意义；：写出答案（带单位）。2.常见的应用题型和等量关系题型核心等量关系和差倍问题较大数=较小数+差；总量=倍数×倍量行程问题①相遇：路程和=总路程；②追及：路程差=初始距离；③匀速：路程=速度×时间工程问题①工作总量=工作效率×工作时间；②总工作量=各部分工作量之和（常把总工作量设为1）利润问题①利润=售价-成本；②利润率=利润成本配套问题配套的两种物品数量比等于配套比（例：1个螺栓配2个螺母，则螺栓数×2=螺母数）1．（2025·四川德阳·中考真题）在2000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数，物价各几何？”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱；如果每人出6文钱，就差16文钱．问买鸡的人数，鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x人，则x为（

）A．5 B．7 C．8 D．92．（2025·江苏连云港·中考真题）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢?”（凫：野鸭．所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇?”）如果设经过x天能够相遇，根据题意，得（

）A．17x+19x=1 B．3．（2025·山东烟台·中考真题）某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为（

）A．350元 B．320元 C．270元 D．220元4．（2025·重庆·中考真题）列方程解下列问题：某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个．(1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？(2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量．5．（2025·山东·中考真题）山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型．已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米．(1)请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式；(2)已知蓄水池的底面积为0.4万平方米，每立方米的水可供发电0.3千瓦时，求注水多长时间可供发电4.2万千瓦时？考点四根据二元一次方程组的解求解1.二元一次方程的定义：含有未知数，并且含有未知数的项的次数都是

，等号两边都是的方程，叫做二元一次方程。注意：二元一次方程有无数组解，一组解是指一对未知数的值2.二元一次方程组定义：由的二元一次方程组成的方程组，叫做二元一次方程组。标准形式：a1x+b1y=c1a2x+b2x=3.二元一次方程组的解：使二元一次方程组中所有方程左右两边都的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。注意：二元一次方程组通常只有一组解，特殊情况下无解或有无数组解。1．（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程x+2y=3的正整数解有1组，x+2y=5的正整数解有2组，x+2y=7的正整数解有3组，…，那么关于xA．7组 B．21组 C．28组 D．42组2．（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组3x+y=32x−考点五解二元一次方程组二元一次方程组的解法核心思路：消元（将二元转化为一元一次方程求解），常用方法有两种。解法类型代入消元法加减消元法核心思路将一个未知数用含另一个未知数的式子表示，代入另一个方程，消去一个未知数，转化为一元一次方程通过加减运算消去一个未知数，转化为一元一次方程适用场景1.方程组中某一个方程的某个未知数系数为1或

−12.能轻松将一个方程变形为

x=ay+b

或

y=ax+b

的形式1.方程组中同一个未知数的系数相等或互为相反数2.同一个未知数的系数成倍数关系，可通过乘系数转化为相等或相反解题步骤1.变形：选一个方程，将其中一个未知数用含另一个未知数的式子表示（如

y=kx+b）2.代入：把变形后的式子代入另一个方程，消元得一元一次方程3.求解：解一元一次方程，求出一个未知数的值4.回代：将求得的值代入变形后的式子，求出另一个未知数5.

写解：联立两个未知数的值，写出方程组的解1.变形（可选）：若系数不相等或相反，给方程两边同乘适当数，使同一未知数系数相等或相反2.加减：系数相反用加法，系数相等用减法，消元得一元一次方程3.求解：解一元一次方程，求出一个未知数的值4.

回代：将求得的值代入原方程组任意一个方程，求出另一个未知数5.写解：联立两个未知数的值，写出方程组的解易错点1.变形后误代入原变形方程，导致恒等式2.代入时漏乘括号内的项，或符号错误1.加减消元时，系数相等用减法，容易忽略各项变号2.变形乘系数时，漏乘方程中的常数项1．（2025·宁夏·中考真题）一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处任意填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则yx=2．（2025·四川广元·中考真题）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则xy=3．（2025·山东淄博·中考真题）解方程组：x4．（2025·山东潍坊·中考真题）解方程组：x−考点六二元一次方程（组）实际应用1.列方程组解应用题的一般步骤①：审题，找出已知量、未知量，确定两个等量关系；②：设两个未知数（直接设或间接设）；③：根据两个等量关系列出二元一次方程组；④：解方程组，求出未知数的值；⑤：检验解是否符合实际意义⑥：写出答案（带单位）2.常见应用题及其等量关系题型核心等量关系和差倍分问题量1±量2=差值；量1=倍数×量2行程问题相遇：路程和=总路程；追及：路程差=初始距离；顺水（风）速度=静水（风）速度+水（风）速工程问题工作总量=工作效率×工作时间；总工作量=各部分工作量之和利润问题总利润=单件利润×数量；总销售额=单价×数量配套问题配套的两种物品数量比=配套比例（如1张桌子配4把椅子，则桌子数×4=椅子数）数字问题两位数=十位数字×10+个位数字；三位数=百位数字×100+十位数字×10+个位数字1．（2025·甘肃兰州·中考真题）《九章算术》是中国传统数学最重要的数学著作之一，“方程章”第11题大意是：两匹马一头牛总价超过1万，超过部分等于半匹马的价格；一匹马两头牛的总价不足1万，不足部分等于半头牛的价格，问一匹马、一头牛的价格分别是多少？若设一匹马价格为x，一头牛价格为y，则可列方程组为（

）A．2x+yC．x+2y−10000=2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（

）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种3．（2025·吉林·中考真题）吉林省长白山盛产人参．为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元．某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元．求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数．4．（2025·江西·中考真题）某文物考古研究院用1:1复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（出酒率=出酒量类别原材料出酒率粮食酒粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水30%芋头酒芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水）20%如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍．(1)求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？(2)受限于当时的生产条件，古代青铜装馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为14命题点一等式的基本性质►题型01等式的性质相关求解利用等式的基本性质判断选项是否正确一般方法1.明确原等式：确定题目给出的原始等式（如a=b）；2.分析选项的变形操作：看选项是对原等式两边进行了加、减、乘、除中的哪种操作，以及操作的对象是什么；3.对照性质逐一判断加减变形：重点看两边是否加/减了同一个对象（数或整式），若是则正确；若两边加/减的不是同一个对象，则错误。乘除变形乘法：看两边是否乘了同一个数，若是则正确（无特殊限制）。除法：两个关键点——①两边除以的是同一个对象；②这个对象不能为0。【典例】（2025·安徽滁州·三模）已知a，b，c均为非实数，且13a−1A．若c=3b，则a=4c B．若a=b，则b=cC．若b>0，则4a<3c D．a+c=【变式1】（2025·湖北荆州·三模）已知a=b，则下列等式关系不正确的是（

）A．a−1=b−1 B．2a=2b C．a+b=0 D．a【变式2】（2025·浙江杭州·一模）下列等式变形正确的是（

）A．若ax=a，则x=1 B．若xa=1C．若x4=a4，则x=a 【变式3】（2025·山东临沂·一模）已知实数a，b，c满足a+b=2c，则下列结论不正确的是（

）A．a−c=c−b B．a−b=2(c−b)C．若a>b，则c>b D．若a>c，则2(b−a)>c−a►题型02等式的性质天平类题型天平问题的本质是等式的直观模型：天平平衡代表等式成立，天平两边的物体质量对应等式两边的代数式或数值。解题的核心是将天平的操作转化为等式的变形，严格遵循等式的两条基本性质 天平状态/操作等式的等价表述天平平衡等式成立（左边质量=右边质量）天平左边下沉左边质量＞右边质量天平右边下沉坐标质量＜右边质量两边同时加或减相同质量的问题等式两边同时加/减同一个数或整式两边同时乘/除以相同的倍数（物体数量成倍数增加/减少，且物体规格相同）等式两边同时乘/除以同一个不为0的数【典例】（2025·甘肃庆阳·三模）用“”“△”“○”表示三种不同的物体，它们的质量分别为a，b，c（a，b，c均为正数），现用天平称了两次，情况如图所示，则能正确表示天平从左到右变化过程的选项为（

）A．如果2a=2b，那么a=b B．如果a=b，那么2a=2bC．如果a+b=b+c，那么a=c D．如果a=b，那么a+b=b+c【变式1】（2025·贵州毕节·一模）观察图①，若天平保持平衡，则在图②天平的右盘中需放入○的个数为（

）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个【变式2】（2024·贵州·模拟预测）如图，在两台天平的左右两边分别放入“□”“△”“◯”三种物体．若图①所示的天平保持平衡，要使图②的天平也保持平衡，则需在右盘放入“◯”的个数是（

）A．5 B．6 C．7 D．8►题型03利用等式的性质判断选项是否成立【典例】（2025·安徽阜阳·三模）已知a，b，c是互不相等的实数，且满足a2+bA．ab>c B．若c=−ab，则aC．若b=0，则c<0 D．若c=0，则a=2b【变式1】（2025·安徽安庆·一模）设a，b，c为互不相等的实数，且2a+3b=5c，则下列结论一定正确的是（

）A．a>b>c B．a:b:c=9:4:6C．25a+b=c−【变式2】（2025·安徽蚌埠·三模）已知两个非负实数a、b满足b=3−2a=c−3a，则下列式子正确的是（

）．A．a−c=3 B．0≤a≤3 C．b+2c=6 D．3≤c≤4.5命题点二一元一次方程的解►题型01已知方程的解求参数的值【典例】（2025·广西钦州·二模）若x=2是关于x的方程x+a=−1的解，则a的值是（

）A．−3 B．0 C．2 D．3【变式1】（2025·江苏无锡·二模）已知x=2是方程2x−3m=−5，那么m的值是（

）A．−13 B．13 C．【变式2】（2025·广东云浮·一模）若x=3是关于x的一元一次方程4x−m+1=0的解，则m的值为（

）A．10 B．11 C．12 D．13►题型02解一元一次方程解一元一次方程的一般步骤步骤具体操作依据适用场景去分母方程两边同时乘所有分母的最小公倍数(常数项也需要乘)等式性质2方程中含有分母时去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号；括号前是负号时，括号内各项要变号去括号法则、乘法分配律方程中含有括号时移项把含未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边等式性质1方程两边同时有未知数项或常数项时合并同类项分别合并左右两边的同类项，将方程化为

ax=b（a≠0）的形式合并同类项法则方程中有同类项时系数化为1方程两边同时除以未知数的系数a（或乘

1a等式性质2方程化为ax=b形式后【典例】（2025·广东深圳·模拟预测）解方程：(1)2x−19=7x+6(2)2【变式1】（2025·福建宁德·二模）解方程：3x−2【变式2】（2025·安徽淮南·二模）解方程：x+2x−3=0．【变式3】（2024·湖南衡阳·模拟预测）解方程．(1)3(2)x:1.2=3:4(3)2x+3×0.9=24.7►题型03判断一元一次方程的解题步骤是否正确按照“去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1”的顺序，逐一检查每一步的变形是否符号规则1.检查分母步骤确定是否给方程的每一项都乘了分母的最小公倍数，重点排查不含分母的常数项或参数项，是否存在漏乘情况例如：解方程x2若分子是多项式，检查去分母后是否给分子加了括号，避免因省略括号导致符号或乘法分配律应用错误。例如：解方程1-x−122.去括号步骤检查括号前是负号时，检查括号内的每一项是否都变号，避免只变第一项、漏变后面项的情况。检查是否应用乘法分配律时漏乘括号内的项，尤其是系数为负数或分数的情况。3.检查移项步骤重点看移项的项是否都变号，未移项的项是否保持不变，避免“移项不变号”或“没移项却变号”的错误【典例】（2025·河北·模拟预测）复习课上，老师展示了两道解方程的题目，如表所示：习题1习题22x+134x+2−1=3x+3…………第一步4x+1=3x+3…第二步4x−3x=2…………．第三步x=2……………．第四步x(x−4)=2(x−4)整理，得x²−6x=−8……………第一步∵a=1，∴b∴方程有两个不相等的实数根，即x1(1)分别写出习题1和习题2的解答过程是从第几步开始出现错误的；(2)从以上两道习题中任选一题，写出解答过程．【变式1】（2025·河北保定·模拟预测）小丁和小迪分别解方程xx−2小丁：解：去分母，得x−去括号，得x−x+3=x−2合并同类项，得3=x−2解得x=5∴原方程的解是x=5小迪：解：去分母，得x+去括号得x+x−3=1合并同类项得2x−3=1解得x=2经检验，x=2是方程的增根，原方程无解(1)你认为小丁的解法，小迪的解法；（均选填“正确”或“错误”）(2)请写出你的解答过程．【变式2】（2025·贵州黔东南·二模）（1）计算：π（2）下面是小星同学解不等式2+x2解：去分母，得：22+x去括号，得：4+2x≥6x−3．．．．．．．．．．．第二步移项，得：2x−6x≥−3−4．．．．．．．．．．．．第三步合并同类项，得：−4x≥−7．．．．．．．．．．．第四步系数化为1，得：x≥7①小星同学的解答过程从第_______步开始出错；②请写出你认为正确的解答过程．►题型04一元一次方程中程序流程图问题【典例】（2025·河北石家庄·三模）如图，小明设计了一个计算程序．输入x值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到m，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到n．如：输入x=1，得到m=1×−4−2=−6，(1)若输入x=−1，则m=________，n=________；(2)若得到m=6，求输入的x值及相应n的值；(3)若得到的m值比n值大，那么输入的x值需要满足什么条件？【变式1】（2025·河北廊坊·二模）如图，在一个圆形转盘上，标有五个有理数．(1)求这已知的四个数的积；(2)若横排三个数的和与竖列三个数的和相等．①求a的值：②求a，4，5，−1这四个数的平均数．【变式2】（2025·河北石家庄·二模）淇淇设计了一个运算程序，如图，输入x值，由上面的一条运算路线从左至右进行运算得到m，由下面的一条运算路线从左至右进行运算得到n．如：输入x=1，得到m=1×−3(1)若输入x=2，求m，n的值；(2)若得到m=7，求输入的x的值及相应的n的值；(3)若得到的m的值比n值小，求x的取值范围．【变式3】（2025·河北石家庄·二模）下图为一个“鱼形”计算程序．输入x值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到m，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到n．例：若输入x=2，则m=2×−3+−2(1)若得到m=10，求输入的x值及相应n的值．(2)若输入x值后得到的m始终大于n，求输入的最大整数x值是多少．命题点三一元一次方程的实际应用►题型01一元一次方程实际应用配套问题配套问题的本质是比例关系，例如1个螺栓配2个螺母→螺栓数量：螺母数量=1:2→螺母数量=2×螺栓数量1张桌子配4把椅子→桌子数量：椅子数量=1:4→椅子数量=4×桌子数量m个A配n个B→A数量：B数量=m：n→n×A数量=m×B数量（交叉相乘，消去比例）【典例】（2025·陕西汉中·一模）某生产线共有60名工人，每名工人每天可生产14个电压表或20个电流表，1套物理电学实验器材包中要配有1个电压表和2个电流表，要使该生产线每天生产的电压表和电流表恰好能配套装入物理电学实验器材包，应分配多少名工人生产电压表？【变式1】（2025·陕西西安·三模）某服装加工厂要用工业机器人生产一批上衣和裤子，已知该加工厂共有8台机器人，每台机器人每天可完成240件上衣或400条裤子，为使每天生产的上衣和裤子刚好配套（每套含1件上衣和1条裤子），请问该服装加工厂应该安排多少台机器人生产上衣？多少台机器人生产裤子？【变式2】（2025·陕西西安·三模）太阳镜，也称遮阳镜，在光线较强的地方佩戴太阳镜可以减轻强光对眼睛的刺激．一个太阳镜由两个镜片和一个镜架组成．某工厂现共有36名工人，平均每人每天生产70个镜架或100个镜片．应该如何分配工人才能使每天生产的镜架和镜片恰好配套？►题型02一元一次方程实际应用工程问题一元一次方程实际应用工程问题解题思路1.审题：明确工程的完成方式（单独做、合作做、分阶段做），找出已知的工作时间、工作量等条件。2.设未知数若求完成时间：设总时间为x（或某阶段时间为x）若求工作效率/人数：设未知效率或人数为x3.表示效率与工作量：根据已知条件，用含x的式子表示各主体的工作效率、工作时间、工作量等条件4.列方程：根据以下等量关系列方程单独做：效率×时间=1（总工作量）；合作做：合作效率×合作时间=1；分阶段做：第一阶段工作量+第二阶段工作量=1分工做：甲工作量+乙工作量=15.解方程：求出未知数的值，注意步骤规范（去分母、移项等避免错误点）。6.检验+作答：检验解是否符合实际意义（时间、效率为正数），再回答题目问题。【典例】（2024·陕西·中考真题）星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除．根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需4h；若爸爸单独完成，需2h．当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务．小峰和爸爸这次一共打扫了【变式1】（2025·陕西咸阳·二模）某工程队对一老旧小区进行改造，计划8个月完成任务，为了尽量减少施工对居民生活的影响，工程队加快施工进度，平均每月实际改造的楼层数比原计划的2倍少2层，结果比原计划提前2个月完成任务，求原计划每月改造的楼层数．【变式2】（2025·湖南永州·三模）为了确保第三届永州旅游发展大会在祁阳唐家山景区顺利进行，现景区有一处地方需要整改，有两个工程队共同参与．甲单独做正好按期完成，乙单独做则要超期30天才能完成．现甲、乙合做20天，余下的由乙单独做正好完成．(1)求甲单独做需要多少天完成全部工作？(2)已知甲队每天施工费用为0.84万元，乙队每天施工费用为0.56万元，工程预算施工费用为50万元，为缩短工期在旅游发展大会前完工，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由．【变式3】（2025·陕西咸阳·二模）人工智能已经成为当今社会发展的重要驱动力，合理使用人工智能可以大幅度提升工作效率．一家公司开发了甲、乙两款AI模型．为了提高效率，实验中学同时使用这两款模型处理一批数据，甲模型工作了2小时，乙模型工作了3小时，一共处理了255GB数据．已知乙模型每小时处理的数据比甲模型少15GB．甲模型和乙模型每小时分别处理多少GB的数据？►题型03一元一次方程实际应用盈亏问题1.基本术语盈：分配后有剩余（多出来的数量）；亏：分配后不够分（缺少的数量）；恰好分完：既没有剩余，也没有不足。2.核心不变量无论采用哪种分配方案，物品总数和分配对象的数量是固定的，这是列方程的关键依据。3.通用等量关系方案1的物品总数=方案2的物品总数推导公式：若每人分m个，盈a个→物品总数=m×人数+a若每人分n个，亏b个→物品总数=n×人数-b【典例】（2024·重庆·中考真题）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用A、B两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要A、B两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知A种外墙漆每千克的价格比B种外墙漆每千克的价格多2元．(1)求A、B两种外墙漆每千克的价格各是多少元？(2)已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的45【变式1】（2025·陕西咸阳·二模）5月20日，“世界蜜蜂日”西北大区会场暨蜂产业助力乡村振兴主题活动在宝鸡市陇县八渡镇启幕．活动现场，西北地区优质蜂产品企业纷纷展示特色农货．已知购买A种蜂蜜1kg和B种蜂蜜2.5kg共需450元，若A种蜂蜜的单价打八折之后与B种蜂蜜的单价相等，求A，B【变式2】（2025·北京·三模）我校学生会正在策划一次儿童福利院的慰问活动．为了筹集到600元活动资金，学生会计划定制一批穿校服的毛绒小熊和带有校徽图案的钥匙扣，表格中有这两种商品的进价和售价．另外，若将一个小熊和一个钥匙扣组成一份套装出售，则将售价打九折．小熊钥匙扣套装进价133售价164购买意向占比40%30%25%(1)出售一份套装可获得的利润是______元；(2)为了更好的制定进货方案，学生会利用抽样调查的方式统计了校内学生对商品购买意向的百分比情况（见表格），若按照这个百分比情况定制商品，至少分别定制小熊和钥匙扣各多少个，才能筹集到600元资金（即获得600元利润）？【变式3】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）某中学举办以“诗韵华夏，词润心田”为主题的诗词朗诵大赛，学校专门定制一些笔记本和纪念册作为大赛奖品．已知一个笔记本比一个纪念册价格便宜5元，定制20个笔记本和30个纪念册共需花费750元．(1)求定制一个笔记本和一个纪念册各需多少元？(2)根据学生获奖比例，学校决定定制笔记本和纪念册共70个，但总支出不能超过1000元，求最多可以定制多少个纪念册？►题型04一元一次方程实际应用比赛积分问题比赛积分问题的核心是明确比赛规则（胜负平的得分标准、总场次），抓住两个关键等量关系：总场次=胜场数+负场数+平场数、总积分=胜场积分+负场积分+平场积分，通过设未知数表示各类场次，进而列方程求解。1.审题：提取关键信息－总场次、总积分、各场次的得分标准（胜/负/平的分值），明确题目所求（胜场数、负场数等）2.舍未知数：若只有胜负两种场次，直接设胜场数为x，则负场数=总场次-x若有胜负平三种场次，通常设胜场数为x，平场数为y，但是一元一次方程题型中会给出平常数（或负场数）的相关条件，转化为单一未知数。3.表示积分：用含x的式子分别表示胜场积分、负场积分（平场积分）4.列方程：根据“总积分=各场次积分之和”建立一元一次方程5.解方程：求出未知数的值，注意场次必须是非负整数（0或正整数）6.检查作答：检验解是否为非负整数，是否符合总场次限制；回答题目所求的场次或积分问题【典例】（2023·河北·中考真题）某磁性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投，计分规则如下：投中位置A区B区脱靶一次计分（分）31−2在第一局中，珍珍投中A区4次，B区2次，脱靶4次．

(1)求珍珍第一局的得分；(2)第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值．【变式1】（2025·湖南长沙·三模）近期“国家喊你减肥了”话题冲上热搜，为了让大家有一个健康的身体和良好的生活习惯，某学校组织全体中学生参加健康生活方式知识竞赛，共设25道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了5个参赛者的得分情况．参赛者答对题数答错题数得分A24195B21480C18765D141145E250100(1)填空：每答对一道题得______分，每答错一道题扣_____分；(2)参赛者F得70分，他答对了几道题？(3)参赛者G说他得87分，你认为可能吗？请通过计算说明．【变式2】（2025·陕西西安·二模）中国航天实现历史性高质量跨越式发展．太空水稻有望实现优质增产，太空黄瓜、太空番茄等蔬菜备受好评．某校为激发学生对航空航天的兴趣，举行了航空航天知识竞赛，此次知识竞赛共25道题，答对一题得4分，答错或不答一题扣2分．已知张倩同学在该知识竞赛中的得分是70分，求她答对了多少道题？【变式3】（2025·河北邯郸·一模）某代表队参加知识竞赛，竞赛依次分必答和抢答两个环节，规定：必答环节每队均需答10道题．答对一题得20分，答错或不答扣10分；抢答环节各队共抢答10道题，抢答且答对得30分，抢答但答错扣10分，没有抢答得0分．初始分数为100分．(1)必答环节该队答对7道题，求该队必答环节后的总分数；(2)若抢答环节该队共抢答6次，本环节得140分，请通过列方程求该队抢答环节答对题目数．►题型05一元一次方程实际应用方案选择问题【典例】（2025·河北邯郸·三模）今年冬季，为了让学生们更好地体验冰雪快乐，某学校新开设了滑冰选修活动课，现需要购买一批滑冰鞋，已知两家商场A，B分别推出了自己的优惠方案：A商场：每双滑冰鞋标价为120元，若购买超过20双，超过部分按每双标价的八折出售；B商场：每双滑冰鞋标价为120元，若购买超过15双，超过部分按每双标价的九折出售，然后每双再优惠10元．若用字母x表示购买滑冰鞋的数量，字母y表示购买的总价，其函数图象如图所示．(1)分别写出选择购买A，B两家商场滑冰鞋的总价y与数量x之间的函数关系式；(2)当x>20时，两函数图象交于点M，请求出图中点M的坐标，并简要说明点M表示的实际意义；(3)根据图象直接写出选择哪家商场更划算．【变式1】（2025·陕西西安·三模）中国作为世界茶道的宗主国，茶文化是中华文化教育的重要组成部分，历史悠久，内涵丰富．某茶具加工厂需要一批茶具包装盒，经了解，有下列两种获得这种包装盒的方案可供选择：方案一：从包装盒加工厂直接购买，每个包装盒6元，无需其他费用；方案二：购买机器自己加工包装盒，购买机器的费用为900元，每个包装盒还需额外的加工成本1.5元设该茶具加工厂需要的包装盒数量为x个，按照方案一获得包装盒的总费用为y1元，按照方案二获得包装盒的总费用为y(1)分别求出y1、y2与(2)假如你是该茶具加工厂的负责人，你认为应该选择哪种方案更省钱？并说明理由．【变式2】（2025·河南周口·一模）我国古代文房四宝（笔、墨、纸、砚）是文人墨客必备的文具．某文房阁直接从作坊购进毛笔、砚台两款文具进行销售，进货价和销售价如下表：毛笔砚台进货价/（元/件）3040销售价/（元/件）4560(1)该文房阁第一次用1300元购进毛笔、砚台两款文具共40件，求两款文具分别购进的件数；(2)第一次购进的两款文具售完后，该文房阁计划最多用5600元再次购进毛笔、砚台两款文具共150件，该文房阁应如何设计进货方案，才能使第二次所购毛笔、砚台全部销售完后能获得最大销售利润？最大销售利润是多少元？【变式3】（2025·辽宁葫芦岛·一模）某中学组织部分学生赴博物馆参加研学活动，委托甲、乙两家旅行社承担此次活动的出行事宜．由于接待能力有限，甲旅行社一次最多只能接待m人（即额定数量），超过额定数量的人，再由乙旅行社接待．甲旅行社收费标准：团队固定费300元，再额外收取每人150元；乙旅行社收费标准；每人收取180元．该中学第一批组织了35名学生参加，总费用为5700元．(1)求甲旅行社一次最多能接待的人数；(2)为节约开支，要控制人均费用不超过165元，试求每批组织人数x的合理范围．►题型06一元一次方程实际应用数字问题【典例】（2024·四川攀枝花·中考真题）幻方，中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则a的值为．295a【变式1】（2023·陕西西安·模拟预测）已知三阶幻方中的9个数满足每行、每列、每条对角线上的三数之和都相等，如果一个三阶幻方中填入的是1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数，则这个幻方正中间的数字是．【变式2】（2025·河北唐山·三模）某两位数，已知十位数字与个位数字之和为9，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，设原两位数的个位数字为x．(1)请用含x的式子表示得到的新的两位数，并说明这个新的两位数能被9整除；(2)若新的两位数比原来的两位数大45，试通过列一元一次方程的方法求出x的值．【变式3】（2025·河北石家庄·一模）一个三位数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位数为“半和数”．例如234，因为3=12×(1)已知abc是半和数，若a=1，b=3，求c的值；(2)嘉嘉认为任意一个半和数都能被3整除．你同意嘉嘉的看法吗？说明理由．►题型07一元一次方程实际应用动点问题【典例】（2025·河北石家庄·一模）在如图所示的数轴上，已知AC=6,BC=2，点B表示的数为−1．(1)写出点A,C所表示的数：(2)将点A向右平移x个单位后，若AC=3，求x的值．【变式1】（2023·河北邯郸·三模）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，且a+2+

(1)a=______，b=______；(2)点A、点B开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点B以每秒2个单位长度的速度向右运动．求t秒后点A、点B之间的距离（用含t的代数式表示）．【变式2】（2023·浙江杭州·三模）如图，点A与点C表示的数分别为1和3，宸宸同学在数轴上以C为直角顶点作Rt△ABC，BC=1，再以A为圆心，AB为半径画圆，交数轴于D、E两点，莲莲同学说，若D、E分别表示m和n，我发现x=m是一元二次方程x2+bx−4=0(1)写出m与n表示的数(2)求出b的值(3)你认为琮琮说的对吗？为什么？►题型08一元一次方程实际应用和差倍问题【典例】（2023·陕西·中考真题）“绿水青山就是金山银山”，希望中学每年都会组织学生进行植树活动．今年该校又买了一批树苗，并组建了植树小组．如果每组植5棵，就会多出6棵树苗；如果每组植6棵，就会缺少9棵树苗．求学校这次共买了多少棵树苗？【变式1】（2024·湖北·一模）现有甲、乙两种型号的商品，已知一个甲种型号商品比一个乙种型号商品多20元，购买甲、乙两种型号商品各10个共需1760元，(1)求甲、乙两种型号的商品单价各是多少元？(2)某团队计划用不超过4500元购买甲、乙两种型号的商品共50个，求最多可购买多少个甲种型号的商品？【变式2】（2025·黑龙江佳木斯·二模）开放性问题某校九年级共有300名学生，其中男生人数比女生人数的2倍少30人．(1)设女生人数为x人，用含x的代数式表示全校学生人数；(2)若该校计划组织一次户外活动，要求男生和女生分别分组，且每组人数相同．已知男生每组不超过15人，女生每组不超过12人，求分组方案中每组人数最多是多少？此时男生、女生各分多少组？【变式3】（2025·重庆·一模）2025年4月23日是第30个“世界读书日”，通过倡导阅读习惯和版权意识，支持创造力与多样性，提供平等获取知识的机会，推进科学知识和教育资源的开放获取．“世界读书日”前夕，某书城购进A、B两种畅销书籍，共花费3700元．已知每本A种书籍的进价为25元，每本B种书籍的进价为40元，其中购进的A种书籍的数量比B种书籍数量的2倍多4本．(1)求A、B两种书籍分别购进多少本？(2)该书城在“世界读书日”当天售出A、B两种书籍共63本，总销售额为2340元，其中B种书籍的销售额是1200元，已知每本B种书籍的售价是每本A种书籍售价的1.6倍，求每本B种书籍的售价是多少元？►题型09一元一次方程实际应用水费电费问题【典例】（2023·江苏连云港·中考真题）目前，我市对市区居民用气户的燃气收费，以户为基础、年为计算周期设定了如下表的三个气量阶梯：阶梯年用气量销售价格备注第一阶梯0∼400m2.67元/若家庭人口超过4人的，每增加1人，第一、二阶梯年用气量的上限分别增加100m第二阶梯400∼1200m3.15元/第三阶梯1200m3.63元/(1)一户家庭人口为3人，年用气量为200m(2)一户家庭人口不超过4人，年用气量为xm3(x>1200)，该年此户需缴纳燃气费用为y元，求y(3)甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为5人，某年甲户、乙户缴纳的燃气费用均为3855元，求该年乙户比甲户多用多少立方米的燃气？（结果精确到1m【变式1】（2025·江苏淮安·一模）综合与实践【背景】近年来，涟水以高质量发展为首要任务，实现经济迅猛腾飞，成为江苏省最年轻、淮安市唯一的全国百强县.涟水更是风光与美食交织的宝藏之地，让游客流“涟”忘返.住在涟水的小美想给亲朋好友寄送当地特产．【素材1】她了解到某快递公司的收费标准（单位：元/千克）如下表：计费单位收费标准江浙沪地区江西省首重aa+3续重bb+4收费说明：①每件快递按送达地分别计算运费；②运费计算方式：首重价格+续重×续重运费．首重均为1千克，超过1千克即要续重，续重以1千克为计重单位（不足1千克按1千克计算）．【素材2】电子存单1电子存单2托寄物：捆蹄、萝卜干目的地：江苏常州计量重量：2千克件数：1总费用：10元托寄物：鸡糕、捆蹄目的地：江西南昌计量重量：3千克件数：1总费用：23元【问题解决】(1)求a、b的值；(2)小美给在上海的哥哥寄出了4.8千克的涟水特产，她需要支付多少元快递费？(3)小美给在江西的外婆寄特产花了59元快递费，求这份特产重量的取值范围．【变式2】（2025·内蒙古·二模）金师傅购买了一辆某型号的新能源车，其电池电量为60千瓦时．目前有两种充电方案供选择（如表），经测算金师傅发现电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶里程x（千米）关系如图．方案安装费用每千瓦时所需费用方案一：私家安装充电桩2520元0.6元方案二：公共充电桩充电01.8元（含服务费）(1)已知新能源车充电时一般损耗率为1.2，电池剩余电量为零时，使用家用充电桩一次性充满电需要费用为60×1.2×0.6＝43.2（元），则电池剩余电量为零时到公共充电桩一次性充满电需要多少费用？(2)当已行驶里程大于300千米时，求出电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶里程x（千米）的函数解析式，当电池剩余电量为10%时，会提示充电，此时理论上还能继续行驶多少千米？(3)金师傅都是在电池剩余电量不低于30千瓦时就开始充电，请问累计行驶里程为多少千米时，选择私家安装充电桩充电（含安装费用）更合算．【变式3】（2025·河南信阳·二模）学科实践：近年来，太原市加大了公共充电站的建设力度，综合与实践小组的同学对A，B两个充电站的收费情况进行了调查，调查结果如下表所示．名称充电桩领服务费充电费充电速度充电站A直流式免费1.5元/每小时充电5充电站B直流式前4小时免费，4小时后充电量的服务费为0.8元/1.2元/每小时充电5问题解决：(1)若汽车充电的总电量为xkW①在充电站A所需支付的费用y1（元）与x②请分别写出当0<x≤20和x>20时，在B充电站需要支付的费用y2（元）与x(2)出租车司机小李和小王分别在A，B两个充电站充电，充电结束后两人所支付的费用相同．求他们此次的充电量是多少．►题型10一元一次方程实际应用行程问题【典例】（2025·黑龙江·中考真题）一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚13h到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：km）与轿车的行驶时间(1)图中a的值是_______，b的值是_______；(2)在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：km）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式；(3)直接写出轿车出发多长时间与货车相距40km．【变式1】（2025·江苏·二模）甲、乙两车从A地出发沿同一路线驶向B地，甲车先出发匀速驶向B地，40分钟后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50千米/时，结果与甲车同时到达B地．甲、乙两车距A地的路程y1（千米），y2（千米）与乙车行驶时间(1)a的值为______；甲车的速度为______千米/时；(2)求乙车减速前的速度，以及图中线段EF所表示的y与x的函数关系式．【变式2】（2025·浙江温州·二模）某无人机社团正在进行表演训练，无人机甲从地面起飞，以3m/s的速度匀速上升，2s后无人机乙从同一地面起飞，以am/s的速度匀速上升，无人机乙起飞6s后与无人机甲位于同一高度．两架无人机表演训练时距地面的高度均为60m(1)求a，b的值．(2)求无人机乙在上升期间高度ym与时间xs的函数关系式（标出(3)直接写出两架无人机在飞行过程中高度相差6m时x【变式3】（2025·江苏苏州·三模）已知甲、乙两地相距480km，一辆出租车从甲地出发往返于甲、乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来用30分钟装完货物后，发现此时与出租车相距120km，货车改变速度继续出发23h后，与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图，这是两车距各自出发地的距离(1)a=________，货车装完货物后的行驶速度为________．(2)求出租车从乙地返回甲地的速度．(3)在出租车返回的过程中，货车出发多长时间与出租车相距12km►题型11一元一次方程实际应用日历问题【典例】（2025·广东深圳·模拟预测）如图，吉姆同学在某月的月历上圈出2×2个数，正方形的方框内的四个数的和是32，那么这四个数是．某月有5个星期日，它们的日期之和是75，则这个月中最后一个星期日是号．【变式1】（2025·湖北·中考真题）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空．主题探究月历与幻方的奥秘活动一图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数．（1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则a是______，b是______；（2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则c是______，d是______；（注：用含n的代数式表示c和d．）活动二移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等．（3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则e是______，f是______；（4）若方框选取的数中最小的数是n，调整后，部分数的位置如图6所示，则g是______（用含n的代数式表示g）．►题型12一元一次方程实际应用古代问题【典例】（2025·吉林·中考真题）《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆车，可列方程为．【变式1】（2025·贵州铜仁·三模）孙权曾致巨象，太祖欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理，冲曰：“置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣．”《三国志》．某动物保护区按照曹冲称象的方法：先将象牵到大船上，并在船的侧面标记水位再将象牵出，然后往船上抬入30块等重的条形石，并在船上留4个搬运工，这时水位恰好到达标记位置；如果再抬入2块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记的位置．已知每个搬运工体重为80kg，则每块条形石的重量为，大象的重量为【变式2】（2025·吉林长春·二模）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中记载：今有四人共车，三车空；三人共车，五人步，问人与车各几何．其大意为：现在有若干人乘车，每四人共乘一辆车，则有三辆空车；每三人共乘一辆车，则有五人无车可乘，问车和人各多少？若设有x辆车，根据题意，可列方程为．命题点四二元一次方程组的解►题型01二元一次方程（组）的解【典例】（2023·浙江·中考真题）下列各组数满足方程2x+3y=8的是（

）A．x=1y=2 B．x=2y=1 C．x=−1y=2【变式1】（2023·江苏无锡·中考真题）下列4组数中，不是二元一次方程2x+y=4的解是（

）A．x=1y=2 B．x=2y=0 C．x=0.5y=3【变式2】（2024·山东滨州·一模）下列四组数中，不是二元一次方程2x+y=4的解的是（

）A．x=1y=2 B．x=2y=0 C．x=0.5y=3【变式3】（2024·江苏无锡·一模）请写出一个解为x=2y=−3的二元一次方程组►题型02已知二元一次方程（组）的解求参数题型1：已知二元一次方程的一组解，求参数步骤1：将解x=my=n步骤2：代入后得到一个关于参数的一元一次方程；步骤3：解一元一次方程，求出参数的值。题型2：已知二元一次方程组的解，求参数步骤1：将解x=my=n步骤2：得到关于参数的一元一次方程（组）；步骤3：解这个方程（组），求出参数的值。【典例】（2025·湖南岳阳·一模）已知x=1y=2是方程组x+y=3ax−2y=−1的解，则a的值为（A．3 B．2 C．-2 D．-3【变式1】（2025·江苏盐城·一模）已知x=1y=−3是二元一次方程组ax+by=22ax−by=8的解，则a+6b的值为【变式2】（2025·广东韶关·三模）已知x=2y=1是2x−4ky+4=0的解，则k的值是【变式3】（2024·河南漯河·一模）若关于x，y的二元一次方程组ax−by=32ax+by=9的解为x=−2y=1，则a+b的值为►题型03解二元一次方程组（计算题）一、代入消元法专属易错点1.变形方程时移项忘变号错误示例：方程x-y=3变形为y=x+3（正确应为y=x-3）规避方法：移项严格遵循“移项必变号”，变形后可代入原方程验证是否等价。2.代入时选错方程，导致循环推导规避方法：必须代入另一个未变形的方程，消去一个未知数。3.代入多项式时漏乘括号内的项错误示例：将y=x-1代入2x+3y=7，写成2x+3y-1=7（正确应为2x+3(x-1)=7）规避方法：代入含多项式的式子时，先给多项式加括号，再用乘法分配律展开。二、加减消元法专属易错点1.给方程乘系数时漏乘常数项错误示例：方程2x+y=4两边乘2，写成4x+y=4（正确应为4x+2y=8）规避方法：方程两边每一项都要乘同一个系数，包括常数项，乘完后检查每一项的系数。2.加减消元时符号处理错误错误场景1：系数相等时用减法，未给被减方程的所有项变号错误场景2：混淆加减消元的适应条件，系数相反时误用减法规避方法：系数互为相反数→两方程相加消元系数相等→两方程相减消元，减法时把被减方程的每一项变号后在相加。【典例】（2025·辽宁·一模）方程：x+2y=253x+4y=49【变式1】（2025·山西·一模）解方程组：3x−y=10①【变式2】（2025·上海徐汇·二模）解方程组x−3y=2x【变式3】（2025·山西·中考真题）（1）计算：−1（2）解方程组：3x−2y=11►题型04构造二元一次方程组求解【典例】（2024·江苏扬州·三模）设a1,a2,a3,⋯,a2024是从A．154 B．155 C．156 D．157【变式1】（2025·浙江金华·二模）待定系数法是确定函数解析式的常用方法，也可用于化学方程式的配平．锂是新能源时代的核心战略金属，锂和水反应的化学方程式为xLi+yH2O=xLiOH【变式2】（2025·重庆·二模）赋值法是给代数式中的字母赋予某个特殊值，从而解决问题的一种方法，已知(x−1)5=ax5+bx4+cx3+d【变式3】（2024·四川成都·一模）待定系数法是确定函数表达式的常用方法，也可用于化学方程式配平．石青[xCuCO3⋅yCu(OH)2]加热分解的化学方程式为：xCuC►题型05已知二元一次方程（组）解的情况求参数【典例】（2024·广东汕头·一模）若关于x，y的方程组2x−y=2m−1x−2y=n的解满足x+y=−4，则4m÷A．8 B．18 C．6 D．【变式1】（2023·四川眉山·中考真题）已知关于x,y的二元一次方程组3x−y=4m+1x+y=2m−5的解满足x−y=4，则m的值为（

A．0 B．1 C．2 D．3【变式2】（2025·四川南充·三模）若关于x，y的方程组2x−y=3m−1x−2y=m+5的解满足x+y=0，则m的值为【变式3】（2024·宁夏银川·一模）已知关于x，y的方程组x+2y=−7+m2x+y=2m+4，若此方程组的解满足x+y≥2，则m的取值范围是►题型06二元一次方程组中同解问题二元一次方程组的同解问题，核心是指两个不同的方程组有完全相同的解。解题关键是抓住“公共解同时满足四个方程”这一特点，通过“先求无参公共解，再代入含参方程求参数”的步骤求解。规范解题步骤筛选方程：从两个方程组中，选出不含参数的两个方程，组成新的方程组。求公共解：解这个由无参方程组成的新方程组，得到的x=ay=b代入求参：将公共解代入两个原方程组中含参数的方程，得到关于参数的一元一次方程（组）。解参数方程：求解参数方程（组），得到参数的值。检验：将参数和公共解代入原方程组，验证所有方程是否成立。【典例】（2025·贵州铜仁·三模）若关于x，y的方程组x=2mx+ny=1与y=1nx+my=−7有相同的解，则A．−5 B．−1 C．3 D．−2【变式1】（2024·湖南长沙·一模）已知方程组2x−y=7x+y=a和方程组x−y=b3x+y=8有相同的解，求a，【变式3】（2024·广东江门·一模）已知方程组5x−2y=3mx+5y=4与x−4y=−3(1)求m和n值，(2)已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2m−7x−3n=0的两个实数根，第三边BC命题点五二元一次方程（组）的实际应用►题型01二元一次方程（组）实际应用之列方程【典例】（2025·江苏淮安·中考真题）《九章算术》记载：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”意思为：“今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱．问合伙人数、金价各是多少？”设合伙人数为x人，金价为y钱，则可列方程组（

）A．y=400x+3400y=300x+100 B．C．y=400x−3400y=300x+100 D．【变式1】（2025·江苏宿迁·中考真题）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛羊各值金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛羊每头各值金多少？”若设牛每头值金x两，羊每头值金y两，则可列方程组是（

）A．5x+2y=102x+2y=8 B．5x+5y=102x+5y=8 C．2x+5y=105x+2y=8【变式2】（2025·浙江·中考真题）手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表．

材料类别彩色纸（张）细木条（捆）手工艺品A53手工艺品B21如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（

）A．5x+3y=172x+y=10 B．C．5x+2y=173x+y=10 D．【变式3】（2025·四川眉山·中考真题）我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个，问甜果苦果各买几个？若设买甜果x个，苦果y个，根据题意可列方程组为（

）A．x+y=10009x+7y=999 B．C．x+y=1000119x+►题型02二元一次方程（组）实际应用之方案问题【典例】（2025·黑龙江佳木斯·一模）为积极响应“环保垃圾分类”政策，某小区计划采购A、B两种类型的垃圾桶，用于提升小区垃圾分类的效率和质量．已知A型垃圾桶每个80元，B型垃圾桶每个60元．小区准备投入1200元资金全部用于购买这两种垃圾桶（两种垃圾桶都要买），则共有（

）种购买方案A．6 B．5 C．4 D．3【变式1】（2024·江苏南通·中考真题）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．相关信息如下：信息一A型机器人台数B型机器人台数总费用（单位：万元）1326032360信息二(1)求A、B两种型号智能机器人的单价；(2)现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多?【变式2】（2025·河南驻马店·三模）某小区为方便业主电动汽车充电，准备购买A、B两种型号的充电桩，已知A型充电桩的单价比B型少0.5万元，购买一台A型充电桩与一台B型充电桩共需要花费5.5万元．(1)求A、B两种型号充电桩的单价；(2)小区准备采购A、B两种型号的充电桩共m台，商家提供了两种购买方案：方案一方案二A、B两种型号的充电桩分别按单价的九折销售A、B两种型号的充电桩分别按单价的八八折销售，但小区自行承担1.2万元的运费．①若小区准备购买的12台A型充电桩和n台B型充电桩，两种方案的最终费用相同，直接写出n的值；②当m=20时，若选择方案二购买充电桩，且购买A型充电桩的数量不超过B型充电桩数量的43【变式3】（2025·河南洛阳·一模）绿动未来—树木固碳护家园【素材呈现】在全球气候变暖的严峻形势下，二氧化碳排放量不断攀升已成为亟待解决的关键问题，为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关统计结果，10棵成年的阔叶树种（例如杨树）和10棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收2820千克二氧化碳，而5棵成年的阔叶树种（例如杨树）和6棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收1520千克二氧化碳．【问题解决】(1)每棵成年的阔叶树种（例如杨树）和每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收的二氧化碳分别是多少千克？(2)某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树a棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为w千克．①求w与a的函数关系式；②杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树的棵数不超过冷杉的一半，请设计一个采购方案，使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大．►题型03二元一次方程（组）实际应用之行程问题规范解题步骤二元一次方程组解行程问题的核心是抓住两个核心等量关系：路程=速度×时间（s=vt），以及题目中给出的路程、速度、时间的数量关系（如路程和、路程差、时间差等），通过设两个未知数，列方程组求解。1.审题：明确行程类型（相遇/追及/顺水逆水等），提取关键信息——甲、乙的速度/时间/路程，以及它们之间的数量关系（如“甲速度是乙的2倍”“相遇时甲比乙多走10km”）。2.设未知数直接设：求什么设什么，如设甲的速度为xkm/h，乙的速度为ykm/h；间接设：若直接设不便，设与所求量相关的量，如设相遇时间为xh，水速为ykm/h。技巧：未知量有几个，就设几个未知数，通常设2个未知数。3.找等量关系列方程组根据基本公式和题目中的特殊关系，列出两个独立的等量关系；例：相遇问题中，①甲路程+乙路程=总路程；②甲速度=2×乙速度。解方程组：用代入消元法或加减消元法求解，得到未知数的值。4.检验作答检验解是否符合实际意义（速度、时间为正数）；回答题目所求的量，注意带单位。【典例】（2025·浙江·三模）已知A，B两地间有一条300千米的高速公路，甲车以100千米/时的速度从A地匀速开往B地，乙车以m千米/时的速度从B地匀速开往A地，两车同时出发，分别到达目的地后停止．甲，乙两车相距的路程s（千米）与行驶时间t（小时）之间的函数关系如图所示．(1)请根据题意，直接写出a，b，m的值．(2)求甲，乙两车相遇后s与t之间的函数关系式．【变式1】（2025·江苏苏州·二模）如图，南北向的星港街与东西向的现代大道可以看成互相垂直的两条直线，十字路口记作点A，星港街上的点B与点A的距离AB为1200m(1)若甲从点B出发，骑车向北匀速直行；同时，乙从点A出发，沿现代大道步行向东匀速直行．设出发x分钟后，甲、乙两人与点A的距离分别为y1m、y2m．当x=3.75和①则甲的速度是__________mmin，乙的速度是__________m②求y1与x(2)若甲从点B先出发，骑车向北匀速直行；1分钟后，乙从点A出发，沿现代大道步行向东匀速直行．当甲到达点A时休息了1分钟，然后继续向北骑行．已知两人各自保持（1）中的速度不变，求甲出发多长时间，两人与点A的距离相等?【变式2】（2025·广东深圳·三模）深圳市罗湖区作为深圳最早发展的城区之一，融合了自然景观、历史文化和现代都市风貌，有很多知名景区，比如“仙湖植物园”