第02讲 整式与因式分解（专项训练）（原卷版）-【数学】2026年中考一轮复习讲练测

1/10第一章数与式第02讲整式与因式分解目录01·趋势领航练02·考点通关练03·真题诊断练基础通关题型01代数式（★）题型02求代数式的值（★）题型03整式的相关概念（★）题型04与单项式/多项式有关的规律探索问题（★★）题型05整式的加减运算（★）题型06整式加减法的应用（★★）题型07幂的混合运算（★）题型08整式的乘除运算（★）题型09整式的混合运算（★）题型10数式的规律探索（★★）题型11图形的规律探索（★★）题型12利用乘法公式变形求值（★★）题型13整式运算的几何意义（★★）题型14选用合适的方法分解因式（★）题型15因式分解的应用（★★）题型16整式的化简求值问题（★）题型17与整式运算有关的新定义问题（★★）能力通关1．（2025·安徽合肥·模拟预测）化学中有一类仅由碳和氢组成的有机化合物，称为碳氢化合物．如图，这是一类特殊碳氢化合物的球棍模型，其中黑球是碳原子（记作C），白球是氢原子（记作H），碳原子之间都由单键结合，这类特殊的碳氢化合物统称为烷烃．烷烃依据碳原子数量进行命名，为了方便记忆，前十个以天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）来代表碳原子的数量．如：第2个模型中有2个C和6个H，分子式是C2(1)壬烷的分子式是_____，第n个结构式的分子式是_____；(2)请问分子式为C2025考查知识点：数字规律探索（等差数列）、代数式表示、整数运算.能力要求：观察分析能力（从具体分子式提炼通用规律）、逻辑推理能力（验证规律合理性）、数学建模能力（用含n的代数式表示规律）.考法特点：以化学“烷烃”球棍模型为新情境，将抽象的数学规律与具体的化学分子结构结合，设问从“具体物质分子式”到“通用规律验证”，层层递进，体现“从特殊到一般”的数学思想.2．（2024·广西·中考真题）综合与实践在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．【洗衣过程】步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为0.2%，每次拧干后校服上都残留0.5浓度关系式：d后=0.5d前0.5+w．其中d前【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于0.01【动手操作】请按要求完成下列任务：(1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为0.01%(2)如果把4kg(3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．考查知识点：分式方程实际应用、代数式求值、不等式比较.能力要求：数学建模能力（将漂洗浓度关系转化为分式方程）、运算求解能力（解方程与计算浓度）、数据分析能力（比较不同漂洗方案的用水效率）.考法特点：以生活中“衣物漂洗”为真实情境，给出浓度关系式，设问涵盖“单步计算”“多步验证”“策略优化”，强调数学在解决实际问题中的实用性，体现“数学源于生活”的理念.3．（2025·山西大同·三模）阅读与思考生命是充满奇迹的，新生命的诞生代表着新希望．把一个人出生的年份减去组成这个年份的数字之和，所得的差我们可以称为这个人的“欢乐年份”．例如：“共和国勋章”获得者，中国工程院院士，被誉为“世界杂交水稻之父”的生物学家袁隆平出生于1930年，他的“欢乐年份”是1930−(1+9+3+0)=1917．根据上述材料，解答下列问题：(1)①某人出生于1987年，则他的“欢乐年份”是________；②你出生于________年，你的“欢乐年份”是________．(2)观察猜想：这些“欢乐年份”都能被________（填数字）整除，请你用所学的知识证明你的猜想（假设出生年份均为四位数）．考查知识点：四位数的表示（整式运算）、因式分解、整除性质.能力要求：数学抽象能力（理解“欢乐年份”新定义）、逻辑推理能力（证明规律的普遍性）、运算求解能力（计算具体年份的“欢乐年份”）.考法特点：设“欢乐年份”新定义，结合名人出生年份举例，拉近数学与生活的距离；设问从“具体计算”到“规律猜想与证明”，突出对“特殊到一般”思维方法的考查.4．（2025南阳市模拟）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”．此图揭示了a+bn（n(1)请在图中括号内的数为______；(2)a+b20(3)根据上面的规律，写出a+b6(4)利用上面的规律计算：35(5)假如今天是星期五，那么再过621考查知识点：完全平方公式延伸（二项式展开规律）、数字规律、余数问题（星期几推算）.能力要求：直观想象能力（观察杨辉三角的系数规律）、逻辑推理能力（推导二项式展开式）、知识迁移能力（用杨辉三角规律解决余数问题）.考法特点：以传统文化“杨辉三角”为载体，将代数展开规律与实际问题（星期几推算）结合，设问涵盖“规律填空”“展开式书写”“计算应用”“实际预测”，体现传统文化与数学知识的融合，以及数学的应用性.5．（2025厦门市模拟）根据以下素材，完成三个任务：以下所有拼接的图形都是拼成既没有缝隙也没有重叠的图形．素材一某综合实践小组准备了如图所示的三种卡片，其中A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为a宽为b的长方形，且a>b．素材二将1张B型卡片沿对角线剪开，得到两张直角三角形卡片．素材三小组操作发现，将2张A型卡片，3张B型卡片（所拼成的长方形既没有缝隙也没有重叠）．得到了一个代数恒等式：a+b2a+b【问题解决】【任务1】用1张A型和2张B型卡片拼成一个长方形，用含a，【任务2】现共有10张A型卡片，25张B型卡片和18张C型卡片，请你选取若干张卡片，将取出的这些卡片拼成一个正方形．请你列举两种拼正方形的方案（写出各种型号的卡片数量和相应的正方形的边长；其中一种方案正方形的边长要最大）；【任务3】将2张B型卡片剪成4张直角三角形卡片，再从A，B，C型卡片中挑选若干张（长方形除外）．请画出示意图，并写出与该平行四边形的面积相关的代数恒等式．（用含考查知识点：完全平方公式、多项式乘法、图形面积计算.能力要求：创新思维能力（设计不同的正方形拼接方案）、动手操作能力（通过图形拼接验证代数恒等式）、逻辑表达能力（列举方案并说明理由）.考法特点：设问“选取若干张卡片拼成正方形，列举两种方案（一种边长最大）”，具有开放性；要求结合图形与代数恒等式，体现“从具体操作到抽象规律”的考查，突出对“数学应用与创新”能力的要求.题型01代数式（★）1．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，小州把纸杯整齐地叠放在一起，若3个纸杯的高度为9cm，8个纸杯的高度为14cm，则将n个这样的纸杯叠放在一起，其高度为（

）A．n+6cm B．n+7cm C．2n+6cm2．（2025·河北邯郸·三模）一个三位数，百位上的数字为x，十位上的数字是百位上的数字的2倍，个位上的数字比百位上的数字少3，这个三位数用含有x的代数式表示为（）A．112x−30 B．100x−30 C．121x−3 D．121x+33．（2025·贵州贵阳·模拟预测）在端午假期中，“黔货出山”旅游商店第一天售出m件吉祥物，第二天的销售量比第一天的2倍少1件，则代数式“3m−1”表示的意义是（

）A．第二天售出吉祥物的数量 B．第二天比第一天多售出吉祥物的数量C．两天共售出吉祥物的数量 D．第二天比第一天少售出吉祥物的数量题型02求代数式的值（★）1．（2025·广东韶关·二模）若a+b+b+2=0，则aA．4 B．−4 C．14 D．2．（2025·湖南益阳·模拟预测）若a+b=10，a3+bA．10 B．14 C．52 D．643．（2025·内蒙古鄂尔多斯·三模）已知2a6bm−3A．−4 B．−3 C．1 D．24．（2025·重庆·模拟预测）若x2+2x−2=0，则x题型03整式的相关概念（★）1．（2025·吉林长春·二模）单项式−x2y3的系数是a，次数是b2．（2025·河北邯郸·二模）在式子2a,a+2,−3ab23．（2025·上海杨浦·模拟预测）代数式x+y3中xy24．（2025盐山县二模）多项式3xmy3−m+1x+2A．1 B．−1 C．3 D．−3题型04与单项式/多项式有关的规律探索问题（★★）1．（2025·云南昆明·三模）观察下列单项式：−2a，4a2，−6aA．−1nna2 B．2nan2．（2025·浙江杭州·模拟预测）按一定规律排列的一列数：2−1,2−3,2−43．（2025·云南楚雄·二模）按一定规律排列的多项式：12x+y，13x2−2yA．1nxn+1C．1n+1xn题型05整式的加减运算（★）1．（2025·河北沧州·一模）要使3a2−2aA．a2 B．−2a C．−3a22．（2025·江苏扬州·二模）若一个多项式加上y2−4，结果是3xy+2y3．（2025·河北唐山·二模）已知A=ab(1)计算2A−3B；(2)若a、b满足a−1+b+32题型06整式加减法的应用（★）1．（2025·江西新余·二模）如图，在一个矩形（其边长不变）公园中划出两个矩形草地（阴影部分），若MN的长固定不变，两个阴影部分的面积之和为S，周长之和为C，则下列说法正确的是（

）A．S和C均不变 B．只有S不变 C．只有C不变 D．S和C均会变3．（2025·河南新乡·三模）一个正两位数M，它的个位数字是a，十位数字是a+1，把M十位上的数字与个位上的数字交换位置得到新两位数N，若M+N的值能被13整除，则a的值是．4．（2025·江苏盐城·二模）阅读思考某校初三有32个班级共1510名学生参加模拟考试，学校给学生编制了模拟考试的准考证条形码，共有13位数字（均为0–9之间的整数），它是由12位数字代码和最后1位的校验码构成，具体结构如图1：其中校验码用于校验准考证条形码中前12位数字代码的正确性，具体算法如下：入学年份班级学号考场号座位号学验码步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和a步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和b步骤3：计算3a与b的和c，步骤4：取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d，步骤5：计算d与c的差就是校验码*，(1)某同学的准考证条形码号为202219011512∗，计算d的值为___________，校验码*的值是___________；(2)如图2，某学生的“准考证条形码”号中有两位数字被污损了，这两个数字的差为1，你能通过其他信息还原出这两个数字吗？请说明理由．(3)如图3，某学生说他的准考证的班级号、学号、考场号、座位号的末位数与校验码都相同，你同意他的说法吗？同意，请求出该数字，不同意，请说明理由．题型07幂的混合运算（★）1．（2025·山东泰安·一模）小虎学习了“整式的乘法”后，完成了以下5道题，其中做对的有（

）①(−a)3⋅a=−a4；②a8÷aA．0个 B．1个 C．2个 D．3个2．（2025·山东青岛·模拟预测）计算：−2x23A．1 B．−1 C．89 D．3．（2025·陕西榆林·二模）计算：−m⋅2m题型08整式的乘除运算（★）1．（2025·山东青岛·模拟预测）计算−2a23A．−1 B．−89 C．82．（2025·江西·二模）下列运算结果等于ab的是（

）A．ab2−b C．−ab32 3．（2025·四川绵阳·二模）下列计算正确的是（

）A．−3a−13a−1=1−9aC．−3x2x24．（2025·河北邯郸·二模）已知矩形的两条邻边分别为2m，2m+2，如果m为整数，则关于矩形的面积S，下列说法正确的是（A．S可能是24 B．S可能是15 C．S可能是12 D．S可能是6题型09整式的混合运算（★）1．（2025·湖北荆州·三模）化简：2xx2．（2025·陕西咸阳·二模）化简：a+ba−b34．（2025慈利县一模）计算：(1)−a(2)x−12x+135．（2025铁山区二模）化简：3a−b题型10数式的规律探索（★★）1．（2025·湖南怀化·一模）石油的最低级产物沥青蒸汽里含有多种稠环芳香烃，如图是它的同系列化合物（结构相似，分子组成相差相同的原子团）的结构式：第1种物质的分子式是C10H8，第2种物质的分子式是C16H2．（2025·重庆·模拟预测）下列各方格中的四个数之间都有相同规律，根据此规律，第8个图中的d=（）．

A．315 B．645 C．965 D．12753．（2025·宁夏·模拟预测）将一组正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对n,m表示第n行，从左到右第m个数，如4,2表示的数为8，则正整数2025用有序实数对表示为．4．（2025·四川成都·二模）在一次数学游戏中，老师在A、B、C三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为a0,b0,c0（1）若G0=4,7,10（2）小明发现：若G0=4,8,18，则游戏永远无法结束，那么5．（2025·安徽六安·模拟预测）阅读下面材料，并填空：我们学过的一些代数公式很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释，例如：平方差公式、完全平方公式．【提出问题】如何用表示几何图形面积的方法推证：1【规律探索】观察下面表示几何图形面积的方法：

阴影部分可以看成1个1×1的正方形，总面积=12

阴影部分可以看成2个2×2的正方形，总面积=13（1）如图，阴影部分可以看成3个3×3的正方形，总面积=13+23

【解决问题】（2）归纳猜想（不需要证明）：13+23+33【拓展应用】（3）根据以上结论，计算：23题型11图形的规律探索（★★）1．（2025·山东临沂·模拟预测）如图，春节期间，广场上空用红色无人机（〇）和黄色无人机（△）组成如下图案：结合上面图案中“〇”和“△”的排列方式及规律，当红色无人机（〇）比黄色无人机（△）的个数多28台，此时正整数n为（

）A．6 B．7 C．8 D．92．（2025·山东菏泽·三模）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作．．．根据以上操作，若要得到2026个小正方形，则需要操作的次数是（

）A．669 B．670 C．671 D．6753．（2025·甘肃·模拟预测）我国宋朝时期的数学家杨辉曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”．顶层记为第1层，有1颗弹珠；前2层共有3颗弹珠；前3层共有6颗弹珠．往下依次是第4层、第5层……下图中画出了最上面的四层，若用an表示前n层的弹珠数，其中n=1，2，3，…，则1a4．（2025·江苏扬州·三模）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表（图①），即杨辉三角．现在将所有的奇数记“1”，所有的偶数记为“0”，则前4行如图②，前8行如图③，求前64行“1”的个数为．5．（2025·安徽合肥·三模）小乐同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和黑色正方形按一定规律搭建图形，观察图形，回答下列问题：

(1)图1中黑色正方形有：1+1=1+1×(1+1)图2中黑色正方形有：1+1+2=1+2×(1+2)图3中黑色正方形有：1+1+2+3=1+3×(1+3)……图n中黑色正方形有：1+1+2+3+⋯+n=__________，白色正方形有__________个．(2)若图n中黑色正方形比等边三角形多45个，求图n中白色正方形的个数．题型12利用乘法公式变形求值（★★）1．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知a+1a=5，则a22．（2025·湖南长沙·一模）已知a2+b2+3a3．（2025·山东聊城·二模）如果a+b=3,ab=1，那么a3b+2a4．（2025·浙江·模拟预测）已知a−b2=1,a+b2=25题型13整式运算的几何意义（★★）1．（2025沈阳市三模）如图，将4个长、宽分别为a，b的长方形摆成一个大正方形．利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（

）A．a+ba−b=aC．a+b2=a2．（2025·安徽合肥·二模）如图，在边长为6的正方形ABCD的四个角落分别放置了四张大小不同的正方形纸片1、2、3、4．其中AE=2，DE=4，BF+CG=AEA．正方形1的面积等于正方形3与正方形4的面积的和B．图中阴影部分面积保持不变C．阴影部分周长保持不变D．阴影部分面积和周长都不确定3．（2025·河北·模拟预测）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示(a>b)．某同学分别用4张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如图2和图3，其面积分别为S1，S24．（2025·河北·一模）根据a+b2(1)若a+b=3，ab=2，求a2(2)如图1，根据图中数据用两种方法来表示大矩形的面积，并列出等式；(3)如图2，结合图中数据，若a+b+c=5，a2+b题型14选用合适的方法分解因式（★）1．（2025·山东泰安·一模）分解因式3mn3−92．（2025·全国·一模）分解因式：x2y−12xy+36y=3．（2025·安徽·模拟预测）分解因式：x2+ax+x+a=4．（2025·上海静安·二模）在实数范围内分解因式：x2−6x+1=题型15因式分解的应用（★★）1．（2025·河南新乡·三模）若m为任意整数，则2m+62−36的值总能（A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除2．（2025·广东东莞·三模）如图，某校九年级两个班级的劳动实践基地是两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，S1、S2分别表示两个阴影部分的面积．若A．6 B．21 C．921 D．4．（2026延安市一模）在数学课堂上，李老师带领同学们解答问题“①因式分解a2−6a+5；②求小明的解答：a===小丽的解答：a==无论a为何值，a−3∴a−3即a2则a2−6a+5(1)根据小明的解答，将a2(2)根据小丽的解答，求代数式a25．（2025·湖南邵阳·三模）小俊利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，请结合图形，帮助小俊补全因式分解：a2+3ab+2题型16整式的化简求值问题（★）1．（2025·陕西西安·模拟预测）已知A=x−3，B=x−1，C=x．试从2．（2025·浙江·中考真题）化简求值：x(5−x)+x2+33．（2025·湖南娄底·三模）先化简，再求值：x−yx+y+y−44．（2025·广东汕头·三模）先化简再求值：3x−y2x+y−x−3y2+10题型17与整式运算有关的新定义问题（★★）1．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）我们知道：an⋅an=am+n，现定义一种新运算：hm+n=hm⋅hA．2k+2026 B．1013k C．2k+1013 D．2．（2025·河北·二模）定义新运算：规定下图中每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，则(x−y)m−n的值是3．（2025·山东日照·一模）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”．例如：8=32−12，16=4．（2025·河南平顶山·二模）定义运算“*”为a∗b=ab2(1)计算4∗5；(2)若a=2b，求证a∗b=ab1．（2025·安徽芜湖·三模）若A=3x2−2xy+2，B=x2−yA．A≥B B．A>B C．A≤B D．A<B2．（2025·四川成都·二模）已知a、b表示一个直角三角形的两直角边的长，若a+b=6，ab=4，则这个直角三角形的斜边长为3．（2025·全国·一模）已知a，b为实数，且满足a2+b24．（2025·河北邯郸·三模）阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式ax2+bx+ca≠0变形为ax+m2+n根据以上材料，解答下列问题：(1)用配方法及平方差公式把多项式x2(2)若y=−x2+2x−3，当x(3)求证：不论x，y取何值，多项式x25．（2025·安徽滁州·一模）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m−n=3，则称这个正整数为“三方数”．例如：15=42−(1)第2个“三方数”是________；第10个“三方数”是________；(2)请判断2025是“三方数”吗？并说明理由．1．（2025·四川·中考真题）下列计算正确