第04讲 反比例函数的图像、性质及其应用（复习讲义）（解析版）-【数学】2026年中考一轮复习讲练测

1/10第三章函数第04讲反比例函数的图像、性质及应用目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）01·TOC\o"1-1"\h\z\u考情剖析·命题前瞻 102·知识导航·网络构建 303·考点解析·知识通关 404·命题洞悉·题型预测 14命题点一反比例函数的图像与性质题型01根据反比例函数的定义求参数题型02画反比例函数图像题型03根据反比例函数解析式判断其性质题型04比较反比例函数自变量或函数值的大小题型05判断函数经过的象限题型06判断函数的增减性题型07待定系数法求反比例函数解析式题型08以开放性试题的形式考查反比例函数的图像与性质题型09与反比例函数有关的最值问题命题点二反比例系数k的几何意义题型01已知反比例系数求图形面积题型02已知图形面积求反比例系数命题点三反比例函数与一次函数题型01反比例函数与一次函数交点问题（基础）题型02反比例函数与一次函数交点问题（综合）命题点四反比例函数与实际应用题型01反比例函数与实际问题题型02函数综合应用05·重难突破·思维进阶 77突破一反比例函数与几何综合（动态问题）突破二反比例函数与几何综合（整点问题）突破三反比例函数与几何综合（特殊三角形存在性问题）突破四反比例函数与几何综合（特殊四边形存在性问题）突破五反比例函数与几何综合（其它存在性问题）考点课标要求考法分析反比例函数的图像与性质理解反比例函数y=kx(考查图像所在象限（如2025・浙江温州卷）、增减性的应用（如比较同一象限内点的函数值大小，2025・山东济南卷），常以选择/填空题形式出现。反比例系数k的几何意义掌握反比例函数图像上一点向坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形/三角形面积与k的关系（面积=k或1结合图像求k的值（如2025・江苏苏州卷）、利用面积关系求线段长/点坐标（2025・广东广州卷），是高频考点，难度中等。反比例函数的实际应用能从实际问题（如“路程-速度”“面积-边长”等反比例关系场景）中抽象出反比例函数模型，求解实际问题以解答题形式考查建模（如2025・湖北武汉卷），结合“工作量=效率×时间”等关系列函数式，需验证结果的实际意义。反比例函数与一次函数能联立反比例函数与一次函数的解析式，求交点坐标；能结合图像分析两函数的位置关系、函数值的大小关系综合考查交点计算（2025・四川成都卷）、图像交点与不等式的结合（如“当x取何值时，反比例函数值大于一次函数值”，2025・湖南长沙卷），难度中等偏上。命题预测命题趋势：是中考函数板块的核心考点之一，题型覆盖选择、填空、解答题，以中档题为主，是区分度适中的考点。题型特点：1）图像与性质：侧重考查双曲线的象限分布、增减性（需注意“分象限讨论”），常结合点的坐标分析函数值大小；2）k的几何意义：是高频考点，多结合矩形/三角形面积求k值，或利用k的几何意义推导线段、面积关系；3）综合应用：常与一次函数结合（求交点、分析函数值大小），或融入实际场景（如“压强-受力面积”“路程-速度”等反比例关系）；4）难度梯度：基础题（图像性质、k的几何意义）难度适中，综合题（与一次函数结合）难度中等偏上。命题新方向：近年出现“反比例函数+几何图形（如三角形、矩形）”的综合题，考查数形结合与知识迁移能力。备考建议：1）夯实核心概念：①牢记反比例函数y=②熟练掌握k的几何意义：图像上任意一点向坐标轴作垂线，围成的矩形面积为∣k∣、三角形面积为122）强化图像分析能力：①训练由k的符号判断图像象限”“由点的坐标判断函数值变化”的题型，结合图像理解增减性的“分象限”特点；②练习“反比例函数+一次函数”的图像综合题，掌握“联立解析式求交点”“结合图像解不等式（函数值大小关系）”的方法。3）突破几何意义应用：针对“k的几何意义”，总结“面积→k值”“k值→面积”的双向推导技巧，注意符号（k的正负由图像象限决定）。4）重视实际建模训练：熟悉反比例关系的实际场景（如“工作量固定时，效率与时间成反比”），掌握“设变量→找反比例关系→列函数式→验证实际意义”的建模流程。考点一反比例函数的图像与性质1.反比例函数的定义：一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数.其中x是自变量，y是x的函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.2.反比例函数的图像与性质k的符号k＞0k＜0图像图像位置图像分别位于第一、第三象限（x、y同号）图像分别位于第二、第四象限（x、y异号）增减性在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大图像特征1）图像是关于直线y=x和y=-x对称的双曲线；2）图像是关于原点对称的双曲线；3）图像无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交.【易错易混】1.反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当k＞0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k＞0时，y随x的增大而减小．同样，当k＜0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．2.反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数k的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号。3.双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）．3.用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤：（1）设：设所求的反比例函数的解析式为；（2）列：把x，y的一对对应值或图像上任意一点的坐标代入所设解析式中，得到关于k的方程；（3）解：解方程求出k的值；（4）代：把k的值代回所设反比例函数的解析式即可.【补充】当题目中已经明确“y是x的反比例函数”或“y与x成反比例关系”时，可直接设函数.1．（2025·重庆·中考真题）反比例函数y=−12x的图象一定经过的点是（A．(2,6) B．(−4,−3) C．(−3,−4) D．(6,−2)【答案】D【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键，根据反比例函数图象上点坐标特点进行判断即可．【详解】解：反比例函数y=−12x的∵点(6,−2)所在的反比例函数的k=6×−2∴反比例函数y=−12x的图象一定经过的点是故选：D．2．（2025·西藏·中考真题）一个三角形花坛的面积是6m2，它的一边a（单位：m）是这边上的高h（单位：m）的函数，此函数的图象大致为（A．B．C．D．【答案】B【分析】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象和性质是解此题的关键．根据三角形的面积公式，得到一边a和高h之间的关系式，再结合h的范围逐项判断即可．【详解】解：由题意得12∴a与h的函数关系式为a=12∴此函数是一个以h为自变量的反比例函数，∵边上的高为h，∴h>0，故选：B．3．（2025·广东广州·中考真题）若k=−k(k≠0)，反比例函数y=kxA．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限【答案】C【分析】本题考查的是绝对值的化简，反比例函数图象的性质，由绝对值的性质得出k的符号，再根据反比例函数的图象性质确定其所在象限．【详解】解：确定k的符号：由题设条件k=−k且k≠0，根据绝对值的非负性，右边−k≥0，即k≤0．又因k≠0，故k∵反比例函数y=kx的图象位置由当k>0时，图象位于第一、三象限；当k<0时，图象位于第二、四象限．因k为负数，故图象在第二、四象限．综上，正确答案为选项C．故选：C4．（2025·陕西·中考真题）如图，过原点的直线与反比例函数y=kxk>0的图象交于Am,n，Bm−6,n−6【答案】9【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求反比例函数的解析式，关于原点对称的点的性质，先根据题意得出−m=m−6，−n=n−6，解得m=3，n=3，即A3,3，再把A3,3代入【详解】解：∵过原点的直线与反比例函数y=kxk>0的图象交于A∴Am,n，Bm−6,n−6两点关于原点即A的横坐标与B的横坐标互为相反数，A的纵坐标与B的纵坐标互为相反数，∴−m=m−6，−n=n−6，∴m=3，n=3，∴A3,3把A3,3代入y=得3=k解得k=9，故答案为：9．考点二反比例函数中|k|的几何意义类型一单系数k一点

一垂直结论一点

两垂直结论两点一垂直两点两垂直类型二双曲线k符号相同（两条同号k值曲线+平行线）k符号不同（异号k值曲线+平行线）1．（2025·宁夏·中考真题）函数y=k1xk1≠0和y=k2xk2≠0的部分图象如图所示，点A在y=k1x的图象上，过点A作ABA．−3 B．−13 C．1【答案】A【分析】本题考查反比例函数y=kxk≠0系数k的几何意义：从反比例函数y=kxk≠0图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为k．连接OA、OB，由AC=3BC、AB∥y轴得到S△OAC=3S△OBC，根据反比例函数系数【详解】解：如图，连接OA、OB，∵AB∥y轴，AC=3BC，∴OC⊥AB，∴S∵点A在反比例函数y=k∴S∴S∴12k∴−k∴k1故选A．2．（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数y=4x的图象上，点B在反比例函数y=−2x的图象上，连接OA，OB【答案】22/【分析】本题主要考查了求角的正切值，相似三角形的性质与判定，反比例函数比例系数的几何意义，过点A作AC⊥y轴于C，过点B作BD⊥y轴，可证明△DBO∽△COA，得到S△DBOS△COA=OB【详解】解：如图所示，过点A作AC⊥y轴于C，过点B作BD⊥y轴于D，∴∠BDO=∠ACO=90°，∵AO⊥BO，∴∠DOB+∠DBO=∠COA+∠DOB=90°，∴∠DBO=∠COA，∴△DBO∽△COA，∴S△DBO∵点A在反比例函数y=4x的图象上，点B在反比例函数∴S△BOD∴12∴OBOA∴tan∠BAO=故答案为：223．（2025·广东肇庆·一模）如图，矩形ABEF的顶点A，B分别在反比例函数y=kxx<0和y=6xx>0的图象上，顶点E，F都在x轴上，AB交y轴于点D．若点C在A．83 B．−83 C．4【答案】D【分析】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数图像上点的坐标特征，矩形的性质，熟练掌握反比例函数中k的几何意义，是解答本题的关键．根据k值的几何意义得出S四边形AFOD=k=−k，S四边形BEOD=6，根据【详解】解：∵矩形ABEF的顶点A，B分别在反比例函数y=kxx<0∴S四边形AFOD=∵S△ADC∴AD:BD=2:3，∴S四边形∴2:3=−k:6，解得：k=−4．故选：D．4．（2025·陕西咸阳·二模）已知反比例函数C1：y=2x和C2：y=5x在第一象限的图象如图所示，平行四边形ABCO的顶点A，B分别在C1和C2上，点【答案】3【分析】通过作辅助线，利用反比例函数中k的几何意义，结合平行四边形的性质，求出平行四边形的面积．本题主要考查反比例函数k的几何意义和平行四边形的性质，熟练掌握反比例函数y=kx中【详解】解：延长BA交y轴于点E，则BE⊥y轴于E，连接OB．∵点A在y=2x∴S∵点B在y=5∴S∵四边形ABCO是平行四边形，∴S故答案为：3．考点三反比例函数与实际问题利用反比例函数解决实际问题，要做到：1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型；2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义；3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．【易错点】1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上；2.利用函数图像解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义．1．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）某玩具汽车的功率P（单位：W）为定值，行驶速度v（单位：ms）与所受阻力F（单位：N）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则该玩具汽车的功率P=W【答案】20【分析】本题考查反比例函数的应用．根据题意得知函数是反比例函数，由图中数据可以求出反比例函数的解析式即可．【详解】解：设功率为P，由题可知P=Fv，即v=P将F=10N，v=2m/s代入解得故答案为：20．2．（2025·江苏连云港·中考真题）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强pPa是气球体积Vm3的反比例函数．当V=1.2m3时，p=20000Pa【答案】16000【分析】本题考查了求反比例函数以及反比例函数的应用，先根据题意，设这个反比例函数的解析式为p=kV，再代入数值求出k=24000，然后把V=1.5m【详解】解：∵气球内气体的压强pPa是气球体积V∴设这个反比例函数的解析式为p=k把V=1.2m3时，p=20000Pa代入p=解得k=24000，∴p=24000把V=1.5m3代入得p=24000故答案为：16000．3．（2025·江苏南通·中考真题）如图，一块砖的A，B，C三个面的面积比是5：3：1．如果B面向下放在地上，地面所受压强为aPa，那么C面向下放在地上时，地面所受压强为Pa【答案】3a【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是确定两个变量之间的关系．根据题意，得出压强与受力面积之间的关系，分析计算即可．【详解】解：设这块砖的质量为m，与地面的接触面积为S，地面所受压强为P，则PS=mg（定值），即P与S成反比例关系，∵SB∴PB∵B面向下放在地上，地面所受压强为aPa∴C面向下放在地上时，地面所受压强为3aPa故答案为：3a．4．（2025·湖北·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻R大于9Ω时，电流I可能是（

A．3A B．4A C．5A【答案】A【分析】本题考查了反比例函数的实际应用；设该反比函数解析式为I=kRk≠0，根据当R=9时，I=4，可得该反比函数解析式为I=36R【详解】解：设该反比函数解析式为I=k由题意可知，当R=9时，I=4，∴4=k解得：k=36，∴该反比函数解析式为I=36∴在第一象限I随R的增大而减小；∴当R>9时，I<4，∴电流可以为3A故选：A．命题点一反比例函数的图像与性质►题型01根据反比例函数的定义求参数在反比例函数中，与自变量x的指数为-1这两个条件必须同时具备，缺一不可.忽视这个条件，而得到错误结论.【典例1】（2025·山东德州·中考真题）已知点Pa,b在双曲线y1=1x上，点M6a,b，Na,c在双曲线y【答案】52,【分析】本题考查待定系数法求反比例函数的解析式；反比例函数图象上的点的坐标满足反比例函数解析式，将点的坐标代入对应的反比例函数解析式中，即可求解.【详解】解：∵点Pa,b在双曲线y∴ab=1，∴b=1∵点M6a,b，Na,c在双曲线∴6ab=k，ac=k，∴k=6，∴ac=6，∴c=6∵b−c=2∴1a∴5a∴a=∴a=±5当a=52时，c=12当a=−52时，c=−12故N的坐标为52,12【变式1】（2025·内蒙古鄂尔多斯·三模）反比例函数的y=3−8x的图象一定经过点1,t，则t【答案】−2【分析】本题考查了立方根，反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数图象上的点满足反比例函数解析式是解题关键．先计算立方根，得到反比例函数解析式为y=−2x，再将点1,t代入求出【详解】解：∵3∴反比例函数解析式为y=−2∵1,t在反比例函数y=∴t=−2故答案为：−2．．【变式2】（2025·陕西商洛·模拟预测）已知P、Q两点分别在反比例函数y=2mx和y=3−mxm<0的图象上，若点P与点Q关于y【答案】−3【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，列出方程是解题的关键．设Pa,b，根据点P与点Q关于y轴对称，求出Q【详解】解：设Pa,b∵点P与点Q关于y轴对称，∴点Q−a,b∵P、Q两点分别在反比例函数y=2mxm≠0∴2m=ab−ab=3−m∴2m=m−3解得：m=−3，故答案为：−3．【变式3】（2025·浙江宁波·三模）若P(m,a)，Q1m,b两点均在函y=2x的图像上，且−1<m<0A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数【答案】B【分析】本题考查了反比例函数，将点P和Q代入函数解析式求出a和b，再计算a−b的表达式，结合m的取值范围判断符号即可．【详解】解：由题意，点Pm,a，Q1m故a=2m，∴a−b==2−2∵−1<m<0，m为负数，分母m<0；∴分子1−m∴2−2m∴a−b<0；故选：B．►题型02画反比例函数图像【典例2】（2025·贵州·中考真题）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔gāo的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动．在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300N的物体，且OB=1m．若图中人物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，小星发现F与l有一定的关系，记录了拉力的大小点A与点O的距离l11.522.53拉力的大小F300200150120a(1)表格中a的值是；(2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F与l之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象；(3)根据以上数据和图象判断，当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小？请说明理由．【答案】(1)100(2)见解析(3)当OA的长增大时，拉力F减小，理由见解析【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，画反比例函数图象，根据函数图象判断增减性，解题的关键是熟练掌握反比例函数的定义，判断出F是l的反比例函数．（1）根据表格中的数据找出规律，求出a的值即可；（2）先描点，然后连线，画出函数图象即可；（3）根据反比例函数的性质，得出答案即可．【详解】（1）解：根据表格中的数据发现：1×300=1.5×200=2×150=2.5×120=300，因此点A与点O的距离l与拉力F的乘积不变，∴a=300（2）解：F与l之间的函数图象，如图所示：（3）解：由函数图象可知：F是l的反比例函数，且该函数图象在第一象限内，根据反比例函数的性质可知，F随l的增大而减小，所以当OA的长增大时，拉力F减小．【变式1】（2025·宁夏·模拟预测）【综合实践】如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，如图1，即FA×L1=FB×L2），受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点(1)若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为_______N．(2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的重力变化时，L2的长度随之变化．设重物B的重力为xN，L2①y关于x的函数解析式是____________．②完成下表：x/…1020304050…y/…8a

82b…a=_______；b=______．③在图2的直角坐标系中画出该函数的图象．【答案】(1)200(2)①y=80x②4，1.6；③见解析【分析】本题考查反比例函数的应用，理解题意，求得函数的解析式是解答的关键．(1)根据公式FA(2)①根据公式FA×L②根据①所求求出a、b的值即可；③先描点，再连线，画出函数图象即可；【详解】（1）解：∵FA∴FB=F∴重物B所受拉力为200N故答案为：200．（2）解：①∵FA∴L2=F故答案：y=80②由①得：当x=20时，a=80当x=50时，b=80答案：4，1.6．③函数图象如图所示：【变式2】（2025·山西阳泉·二模）阅读与思考：老师在讲完反比例函数的性质后留下了一道题目让大家思考交流将其解决，下面是小红和小明解题过程，请仔细阅读并完成相应任务．题目：请求出y=1小红的过程：1．列表x．．．−2−10234．．．y=．．．−−−1111．．．2．描点3．用平滑的曲线连接．通过观察图象可知：当3≤x≤6时，y随着x的增大而减小，所以当x=6时，y有最小值15小明的过程：小明将其问题进行了逆推．求1x−1的最小值→求x−1的最大值→求x通过推理可得：当3≤x≤6时，x的最大值为6，所以当x=6时，y有最小值15任务：(1)填空：小红的解题过程中体现的数学思想有：__________（写出一个即可）；(2)请用小红或者小明或者自己的方法求出y=1(3)直接写出y=x【答案】(1)数形结合思想；函数思想；类比思想．（写一个即可）(2)当−8≤x≤0时，x的最大值为0，所以当x=0时，y有最大值为3(3)2【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，描点法画函数图象等知识点，正确用已学知识解决新的问题的是解题的关键．（1）结合解题过程即可得到涉及的解题思想；（2）仿照题干的分析方法求解即可；（3）先将原函数化为y==1+1【详解】（1）解：小红的解题过程中体现的数学思想有：数形结合思想；函数思想；类比思想．（写一个即可）；故答案为：数形结合思想；函数思想；类比思想．（写一个即可）（2）解：小红的方法，列表：x……−2−10234……y=……753135……描点、连线得：观察图象可得：−8≤x≤0时，y随着x的增大而增大，∴当x=0时，y取得最大值为3；小明的方法：通过推理可得：当−8≤x≤0，x的最大值为0，∴当x=0时，y取得最大值为3；（3）解：y=x令t=x−1−6≤x≤−2∵k=1>0，∴t随着x的增大而增大，∴当x=−2时，t取得最大值−3，∴由反比例函数的性质可得1t取得最小值为−∴y取得最小值为1−1【变式3】（2025·山东·模拟预测）学习函数时，我们经历了列表、描点、连线、画出函数图象、观察分析图象特征、概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，探究函数y=−4(1)根据题意，列表如下：x…−3−10…235…y…124…−4−2−1…在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象．(2)观察图象，发现：①当x>1时，y随x的增大而______（填“增大”或“减少”）；②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为______．(3)深度思考：函数y1=−4x−1+2的图象可由函数y=−4x−1【答案】(1)见解析(2)①增大；②1,0(3)上；2个；x<1或x≥2【分析】本题考查函数图象及性质，图象的平移；（1）利用描点法画出函数图象即可；（2）通过观察图象即可求解；（3）根据函数图象平移规则“上加下减”解决问题即可．【详解】（1）解：在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象，如图所示，（2）解：观察图象，发现：①当x>1时，y随x的增大而增大；故答案为：增大；②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为1,0故答案为：1,0；（3）解：函数y=−4x−1+2的图象可由函数y=−∵当y=−2时，x=2，∴当y≥−2时，x的取值范围是x<1或x≥2．故答案为：上；2个；x<1或x≥2．►题型03根据反比例函数解析式判断其性质【典例3】（2025·湖南·中考真题）对于反比例函数y=2x，下列结论正确的是（A．点2,2在该函数的图象上B．该函数的图象分别位于第二、第四象限C．当x<0时，y随x的增大而增大D．当x>0时，y随x的增大而减小【答案】D【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．【详解】A、当x=2时，y=1，所以点(2,1)在它的图象上，故选项不符合题意；B、由y=2x可知C、当x<0时，y随x的增大而减小，故选项不符合题意；D、当x>0时，y随x的增大而减小，故符合题意；故选：D．【变式1】（2025·浙江·中考真题）已知反比例函数y=−7x．下列选项正确的是（A．函数图象在第一、三象限 B．y随x的增大而减小C．函数图象在第二、四象限 D．y随x的增大而增大【答案】C【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据性质逐一判断即可．根据反比例函数y=kx的性质，当k<0时，图象两支位于第二、四象限，且在每一象限内，y随【详解】解：反比例函数y=−7x中，当k<0时，在第二象限（x<0）和第四象限（x>0）内，y随x的增大而增大．但选项D未明确“在每个象限内”，若x跨象限变化（如从负数到正数），y会减小，因此选项D的描述不准确．选项B“y随x的增大而减小”与k<0时的性质矛盾，错误．故选：C．【变式2】（2025·江苏连云港·二模）“利用描点法画出函数图象，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数y=1A．x>0时，y的值随x的增大而减小 B．x<0时，y的值随x的增大而增大C．图象不经过第二象限 D．图象不经过第四象限【答案】A【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质．画出图象，根据题意得到x≠−2，那么函数y=1x+2−1在x>−2时，y的值随x的增大而减小，x<−2时，y【详解】解：如图，∵1>0，x+2≠0，即x≠−2，那么函数y=1x+2−1在x>−2时，y的值随x的增大而减小，x<−2时，y由图可知图象经过第二、三、四象限，故C选项错误，不符合题意；D选项错误，不符合题意；故选：A．【变式3】（2025·广东深圳·模拟预测）关于函数y=6x有如下结论：①函数图象一定经过点−2,−3；②函数图象在第一、三象限；③函数值y随x的增大而减小；④当x≤−6时，y的取值范围为y≥−1．其中正确的有（A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，增减性，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据−2×−3=6，得出函数图象一定经过点−2,−3；又因为k=6>0，则函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小；先求出当x=−6【详解】解：∵y=6∴6=xy，∵−2×∴函数图象一定经过点−2,−3，故①符合题意；∵此函数中k=6>0，∴函数图象在第一、三象限，故②符合题意；∵k=6>0∴在每个象限内或在双曲线的每一支上，函数值y随x的增大而减小，故③不符合题意；∵y=6∴当x=−6时，则y=∴当x≤−6时，y的取值范围为−1≤y<0，∴故④不符合题意；故选：B．►题型04比较反比例函数自变量或函数值的大小1.在同一分支上的点，可根据反比例函数的增减性进行比较.2.不在同一分支上的点，先判断函数值的正负，再比较大小.注:特殊值法也是解决此类问题的常用方法.【典例4】（2025·天津·中考真题）若点A−3,y1,B1,y2,C3,A．y1<y2<y3 B．【答案】D【分析】本题考查比较反比例函数的函数值的大小关系，根据反比例函数y=−9【详解】解：∵y=−9∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，y随着x的增大而增大，∵点A−3,y1,B1,∴y1故选D．【变式1】（2025·河北·中考真题）在反比例函数y=4x中，若2<y<4，则（A．12<x<1 B．1<x<2 C．2<x<4 【答案】B【分析】本题考查了反比例数的性质，根据反比例函数性质，将不等式转化为关于x的范围求解．【详解】解：∵y=4x，4>0，当x>0时，y随当y=2时，x=4当y=4时，x=∴当2<y<4时，1<x<2，故选：B．【变式2】（2025·江苏镇江·中考真题）已知点A−1,y1、Ba,y2在反比例函数y=1A．a<−1或a>0 B．−1<a<0C．a>0 D．a<−1【答案】A【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象性质，解题关键是掌握反比例函数图象与系数的关系，掌握反比例函数的性质．首先将A−1,y1，Ba,y2代入y=1x求出【详解】解：∵点A−1,y1、B∴y1=1∵y2∴1∴当a>0时，解得a>−1，∴a>0；当a<0时，解得a<−1；综上所述，则a的取值范围是a<−1或a>0．故选：A．【变式3】（2025·内蒙古·中考真题）已知点Am,y1，Bm+1,yA．y1>yC．当m<0时，y1<y2 【答案】D【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数y=−3x的性质，分情况讨论m的取值范围，比较y1【详解】解：对于反比例函数y=−3x的图象上，在各个象限内，y随∵m<m+1，当m<m+1<0时，即m<−1时，则y1当0<m<m+1时，即m>0时，则y1当m<0<m+1时，即−1<m<0时，则y1综上，只有选项D正确，故选：D．►题型05判断函数经过的象限【典例5】（2025·广东广州·中考真题）若k=−k(k≠0)，反比例函数y=kxA．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限【答案】C【分析】本题考查的是绝对值的化简，反比例函数图象的性质，由绝对值的性质得出k的符号，再根据反比例函数的图象性质确定其所在象限．【详解】解：确定k的符号：由题设条件k=−k且k≠0，根据绝对值的非负性，右边−k≥0，即k≤0．又因k≠0，故k∵反比例函数y=kx的图象位置由当k>0时，图象位于第一、三象限；当k<0时，图象位于第二、四象限．因k为负数，故图象在第二、四象限．综上，正确答案为选项C．故选：C【变式1】（2025·山东德州·中考真题）在平面直角坐标系中，函数y=−1x的图象是（A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，分类讨论思想是解题的关键．化简绝对值，当x>0或x<0时，分别求出对应函数，确定函数图象所在象限即可．【详解】解：由题意得，当x>0时，y=−1当x<0时，y=−1故选C．【变式2】（2025·江苏连云港·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y=m−3x的图象位于第一、三象限，则m【答案】m>3【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数y=kxk≠0的性质：当k>0时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象在二、四象限，在每一象限内，y根据反比例函数的性质，当比例系数大于0时，图象位于第一、三象限，据此得到m−3>0，再解不等式即可．【详解】解：反比例函数y=m−3则比例系数m−3>0，解得m>3，故答案为：m>3．【变式3】（2025·上海徐汇·二模）如果反比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图像经过第一、三象限，那么一次函数y=kx−k的图像一定经过（A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限【答案】B【分析】本题考查一次函数，反比例函数中系数与图像的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数，反比例函数中系数与图像的关系解答即可．【详解】解：∵反比例函数y=k∴k>0∴一次函数y=kx−k的图像一定经过第一、三象限，且交y轴于负半轴，∴一次函数y=kx−k的图像一定经过第一、三、四象限．故选：B．►题型06判断函数的增减性【典例6】（2025·福建·一模）已知反比例函数y=kx的图象在第二、四象限，则它在各自的象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值逐渐【答案】增大【分析】本题考查了反比例函数图象与性质，反比例函数图象的位置由比例系数k的符号决定，图象在第二、四象限，表明k<0，在各自象限内，分析x增大时y的变化趋势．【详解】解：由于反比例函数y=kx的图象在第二、四象限，因此比例系数在第二象限内，x<0，y>0，当x增大（即从负无穷向0移动）时，|x|减小，而y=kx中k为负，故在第四象限内，x>0，y<0，当x增大（即从0向正无穷移动）时，|x|增大，而y=kx中k为负，故因此，在各自的象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值逐渐增大．故答案为：增大．【变式1】（2025·四川成都·模拟预测）已知A−1,y1，B2,y2两点在双曲线【答案】m<−1【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的增减性是解题的关键．先题意判断出反比例函数的图象所在的象限，故可得出m+1的正负，进而确定m的取值范围．【详解】解：∵A−1,y1，B∴反比例函数图象在二、四象限，∴m+1<0，解得：m<−1．故答案为：m<−1．【变式2】（2025·浙江·模拟预测）已知点x1,y1，x2,y2在反比例函数y=2m2A．0 B．负数 C．正数 D．非负数【答案】B【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．根据反比例函数k>0可知反比例函数图像的两个分支分别在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，据此即可解答．【详解】解：∵2m∴反比例函数图像y=2m2−2m+∵x1∴x1>0，假设x1>0，x2∴x1−x∴x1同理：当x1<0，x2∴x1故选：B．►题型07待定系数法求反比例函数解析式由于反比例函数中，只有一个待定系数k，因此只需要知道一对对应值或图像上一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式.【典例7】（2025·广西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”ABCDEFG的所有线段均与x轴平行或垂直，且满足BC=DE=FG=1，点A，C，E，G均在双曲线y=kx的一支上．若点A的坐标为4,32，则第三级阶梯的高A．4 B．3 C．72 D．【答案】B【分析】本题考查了双曲线的解析式，点的坐标与线段长度，解题的关键是得出双曲线的解析式．把点A的坐标代入y=kx，可得双曲线的解析式，结合已知的线段长度求出点E和点【详解】解：∵点A4,32∴k=4×3∴双曲线y=6∵“双曲线阶梯”ABCDEFG的所有线段均与x轴平行或垂直，且BC=DE=FG=1，∴点E的横坐标为4−1−1=2，点G的横坐标为2−1=1，∴点E的纵坐标为62=3，点G的纵坐标为∴EF=6−3=3，故选：B．【变式1】（2025·陕西·中考真题）一个反比例函数的图象经过Am,−4,B3,n两点，若m<−3，则n【答案】n>4【分析】本题考查反比例函数的性质，不等式的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．反比例函数的图象经过Am,−4,B3,n两点，则−4m=3n，n=−43【详解】解：∵反比例函数的图象经过Am,−4则−4m=3n，即n=−4∵m<−3，∴−4即n>4．故答案为：n>4．【变式2】（2025·辽宁鞍山·一模）如图，矩形ABCD的边AB在y轴的正半轴上，函数y=kxx>0的图象经过点C和边AD的中点E．若AB=3，BC=4，则k【答案】12【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并灵活运用是关键.依据题意，由E是AD的中点，AD=BC=4，从而AE=2，进而设E(2,k2)【详解】解：由题意，∵由E是AD的中点，AD=BC=4，∴AE=2，设E(2,k又AB=3，∴C(4,k又∵C在函数y=k∴4k∴k=12．故答案为：12．【变式3】（2025·四川巴中·中考真题）如图，直线y=kx+b与双曲线y=mx(x<0)(1)求m和直线的表达式；(2)根据函数图象直接写出不等式kx+b>m(3)求△ABO的面积．【答案】(1)m=−12；y=x+8(2)−6<x<−2(3)16【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象与性质，一次函数解析式的求解，一次函数与反比例的交点与不等式的解集的关系，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解决本题的关键．（1）已知双曲线y=mx过点A(−2,6)，将点A的坐标代入双曲线方程，即可求出m的值，先将点A的坐标代入双曲线方程求出a的值，再将点A和B的坐标代入直线方程，联立方程组求解k和（2）根据函数图象，找出直线y=kx+b在双曲线y=mx上方时x的取值范围，即为不等式（3）可先求出直线y=kx+b与x轴的交点C，然后根据三角形面积公式S=12×底×高，将【详解】（1）解：∵点A−2,6在双曲线y=∴m=−2×6=−12，又∵B−6,a在双曲线y=∴−6a=−12，解得a=2．由题意得：−2k+b=6−6k+b=2，解得k=1∴y=x+8．（2）解：由（1）可知k=1，m=−12，所以不等式kx+b>mx可化为根据函数图象，直线y=x+8在双曲线y=−12x上方时，x的取值范围是所以不等式x+8>−12x的解集为（3）解：如图，设直线AC与x轴交于点C，当y=0时．x+8=0，∴x=−8，∴C−8,0∴S►题型08以开放性试题的形式考查反比例函数的图像与性质【典例8】（2025·湖北武汉·中考真题）在平面直角坐标系中，某反比例函数y=kx的图象分别位于第一、第三象限．写出一个满足条件的k的值是【答案】1（答案不唯一）【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，即反比例函数y=kx的图象分别位于第一、第三象限，则k>0，反比例函数y=k【详解】解：∵反比例函数y=k∴k>0即可，∴k=1，故答案为：1（答案不唯一）．【变式1】（2025·甘肃·中考真题）已知点A2,y1，B6,y2在反比例函数y=【答案】1（答案不唯一）【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据点A2,y1，B6,y2在反比例函数y=k【详解】解：∵点A2,y1，又∵0<2<6，y1∴在同一象限内y随着x的增大而减小，∴双曲线过一，三象限，∴k>0，∴k=1（答案不唯一）；故答案为：1（答案不唯一）．2（2025·上海·中考真题）已知一个反比例函数在各个象限内，y随x的增大而减小，那么这个反比例函数的解析式可以是．（只需写出一个）【答案】y=1【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性，根据增减性可知该反比例函数的比例系数大于0，据此可得答案．【详解】解：∵一个反比例函数在各个象限内，y随x的增大而减小，∴该反比例函数的比例系数大于0，∴符合题意的反比例函数解析式可以为y=1故答案为：y=1►题型09与反比例函数有关的最值问题【典例9】（2025·江苏南京·中考真题）已知反比例函数y=6x，则当1≤x≤3时，yx【答案】2【分析】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是熟练运用相关性质．由反比例函数解析式可得yx=6【详解】解：将反比例函数y=6x代入可得：yx∵1≤x≤3，当x增大时，x2也随之增大，6因此，6x2在得63故答案为：23【变式1】（2025·浙江衢州·三模）已知反比例函数y=kxk<0，当2≤x≤3时，函数y的最小值为a，则当−2≤x≤−1时，函数yA．最小值−2a B．最大值−2aC．最大值−a D．最小值−【答案】B【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据反比例函数的增减性进行判断即可．【详解】解：∵y=k∴双曲线过二，四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，∵当2≤x≤3时，函数y的最小值为a，∴当x=2时，y的值为a，∴k=2a，∴当−2≤x≤−1时，最小值为2a−2=−a，最大值为故选：B．【变式2】（2025·陕西·模拟预测）若反比例函数y1=−1x，y2=2x，当1≤x≤4时，函数y1的最小值是【答案】1【分析】本题考查了反比例函数的性质，利用反比例函数的性质求出m，n的值是解题的关键，根据反比例函数的性质，可得函数的最值，根据有理数的乘法，可得答案．【详解】解：∵反比例函数y1=−1x∴把x=1,x=4分别代入y1得y∴y1的最小值是−1∴把x=1,x=4分别代入y2得y∴y2的最大值是2∴m=−1，∴mn故答案为：1．【变式3】（2025·江苏南京·二模）已知反比例函数y=kx（k为常数，k≠0），当1≤x≤2时，y的最大值与最小值的差为2，则k=【答案】±4【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的增减性是解题关键．分两种情况讨论，利用反比例函数的增减性分别列方程求解即可．【详解】解：①若k>0，则反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小，∵当1≤x≤2时，y的最大值与最小值的差为2，∴k解得：k=4；②若k<0，则反比例函数在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大，∵当1≤x≤2时，y的最大值与最小值的差为2，∴k解得：k=−4；综上可知，k=±4，故答案为：±4．命题点二反比例系数k的几何意义►题型01已知反比例系数求图形面积【典例1】2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形OACB是矩形，函数y=1xx>0的图象与边AC交于点M，与边BC交于点N（M①△COM与△CON的面积一定相等；②△MON与△MCN的面积可能相等；③△MON一定是锐角三角形；④△MON可能是等边三角形．上述结论中，所有正确结论的序号是（

）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【答案】B【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图形和性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．根据矩形的性质结合反比例函数k的意义即可判断①②，根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④，根据M,N是反比例函数图象上的动点，可得∠OMN或∠ONM为钝角，即可判断③，即可求解．【详解】解：∵四边形OACB是矩形，∴S又∵M,N是反比例函数y=1xx>0图象上的动点，BN⊥y∴S∴S△OBC−S△OBN=由①可得S当△MON与△MCN的面积相等时，如图，连接AB，BM∴S∴N在直线BM上，则M,N重合，∴△MON与△MCN的面积不可能相等，故②不正确，∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当∠NOM=60°且对称轴都为直线y=x，△MON可能是等边三角形，故④正确,如图当M,N在y=x的同侧时，△MON可能是钝角三角形，故③错误综上，①④正确、②③错误.故选：B．【变式1】（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数y=4x的图象上，点B在反比例函数y=−2x的图象上，连接OA，OB【答案】22/【分析】本题主要考查了求角的正切值，相似三角形的性质与判定，反比例函数比例系数的几何意义，过点A作AC⊥y轴于C，过点B作BD⊥y轴，可证明△DBO∽△COA，得到S△DBOS△COA=OB【详解】解：如图所示，过点A作AC⊥y轴于C，过点B作BD⊥y轴于D，∴∠BDO=∠ACO=90°，∵AO⊥BO，∴∠DOB+∠DBO=∠COA+∠DOB=90°，∴∠DBO=∠COA，∴△DBO∽△COA，∴S△DBO∵点A在反比例函数y=4x的图象上，点B在反比例函数∴S△BOD∴12∴OBOA∴tan∠BAO=故答案为：22【变式2】（2025·山东淄博·中考真题）如图，D为矩形OABC（边OA，OC分别在x，y轴的正半轴上）对角线OB上的点，且OD=12BD，经过点D的反比例函数y=kx的图象分别与AB，BC相交于点E，F，连接OE，OF，EF，若△OBFA．25 B．26 C．793 D．【答案】D【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，设A点坐标为(a,0)，点C的坐标为(0,b)，得到点D，E，F的坐标，然后求出BF和BE的长，然后根据三角形面积公式求出ab的值，再根据S△OEF【详解】解：设A点坐标为(a,0)，点C的坐标为(0,b)，则点B的坐标为(a,b)，点D的坐标为(1又∵点D在反比例函数y=k∴k=1又∵点E，F在反比例函数的图象上，∴点F的坐标为(19a,b)，点E∴BF=a−19a=∴S△OFB解得ab=54，∴S=ab−==80故选：D．【变式3】（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=k1x的图象与一次函数y=k2(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)当x<0时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式k2(3)过直线AB上的点C作CD∥x轴，交反比例函数的图象于点D．若点C横坐标为−4，求△BOD的面积．【答案】(1)y=−6x(2)−6≤x≤−1(3)8【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，反比例函数k的几何意义、函数图象的特点，掌握理解函数图象的特点是解题关键．（1）先根据点B−6,1（2）所求不等式的解集即为求一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方时，x的取值范围；（3）根据题意得出B−6,1，D−2,3，根据反比例函数k的几何意义得出S△BFO【详解】（1）解：∵反比例函数y=k1∴k1故反比例函数的表达式为y=−把点Aa,6代入反比例函数y=−6x得，∴点A的坐标为−1,6∵一次函数的图象经过A−1,6、B−6,1∴−k+b=6−6k+b=1，解得故一次函数的表达式为y=x+7；（2）∵k∴k2∴−6≤x≤−1；（3）∵点C横坐标为−4，代入y=x+7解得：y=−4+7=3∴C当y=3时，代入y=−6x解得：x=−2∴D如图，过点B,D分别作x轴的垂线，垂足分别为F,E，∵B−6,1，∴DE=3,BF=1，EF=−2−∵S△BOD+∴S△BOD【变式4】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在反比例函数y=kx的图象上有P1，P2，P3，…，P2020等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S(1)当k=1时，S1(2)当k=2时，S1(3)当k=3时，S1(4)当k=n时，S1【答案】(1)2025(2)2025(3)6075(4)2025⋅n【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键．将面积为S2，S3，…，S2025的矩形向左平移到面积为S【详解】（1）解：∵P1，P2，P∴阴影矩形的一边长都为1，记P1D⊥y轴于点D，P1C⊥x轴于点C，P2026A⊥y将面积为S2，S3，…，S2025的矩形向左平移到面积为S当k=1时，把x=2026代入y=1x，得y=12026，即根据反比例函数中k的几何意义可知S矩形∴S故答案为：20252026（2）解：同理当k=2时，把x=2026代入y=2x，得y=22026，即根据反比例函数中k的几何意义可知S矩形∴S故答案为：20251013（3）解：当k=3时，把x=2026代入y=3x，得y=3∴S矩形OABC=OA⋅OC=3∴S故答案为：60752026（4）解：当k=n时，把x=2026代入y=nx，得y=n2026，即根据反比例函数中k的几何意义可知S矩形∴S故答案为：2025⋅n2026►题型02已知图形面积求反比例系数【典例2】（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，反比例函数y=kx经过A、C两点，过点A作AB⊥y轴于点B，过点C作CD⊥x轴于点D，连接OA、OC、AC．若S△ACO=4，CD:OB=1:3，则A．−12 B．−9 C．−6 D．−3【答案】D【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的判定与性质，熟练掌握k值几何意义是关键．延长DC,BA交于点E，设CD=aa>0，则OB=3a，求出OD=−ka，AB=−k3a，进而得到S△DOC=S△AOB【详解】解：延长DC,BA交于点E，设CD=aa>0∵CD:OB=1:3，∴OB=3a，∵AB⊥y轴，CD⊥x轴，∴点A的纵坐标为3a，点C的纵坐标为a，∴a=k∴xC∴OD=−ka，∵反比例函数y=kx经过A、∴S△DOC∵∠EDO=∠DOB=∠EBO=90°，∴四边形OBED是矩形，∴BE=OD=−k∴AE=BE−AB=−2k∴S△AEC∴S矩形∵S△ACO∴S矩形OBED−∴k=−3，故选：D．【变式1】（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点A、B在双曲线y1=k1xx>0上，直线AB分别与x轴、y轴交于点C、D，与双曲线y2=k2xx<0交于点A．−10 B．−11 C．−12 D．−13【答案】C【分析】过点E作EK⊥y轴于点K，过点A作x、y轴的垂线，垂足为G,H，过点B作x轴的垂线，垂足为F，连接OE,HF,BH,AF，先证明四边形DHFB为平行四边形，则BF=DH，证明△AHD≌△CFBAAS，则AD=BC，再证明△EKD≌△AHDAAS，则S△EKD=S△AHD，ED:AD:AB:BC=1:1:3:1，则S△ODE=S△OAD=14【详解】解：过点E作EK⊥y轴于点K，过点A作x、y轴的垂线，垂足为G,H，过点B作x轴的垂线，垂足为F，连接OE,HF,BH,AF，∵点A、B在双曲线y1=∴S△OAH∵BF∥y轴，AH∥x轴，AG∥y轴，∴S△OAH∵S△AHF=S△BFH，且∴△AHF,△BHF在FH上的高相等，∴AB∥FH，∴四边形DHFB为平行四边形，∴BF=DH，∵AH∥x轴，∴∠DAH=∠BCF，∵∠AHD=∠CFB=90°，∴△AHD≌△CFBAAS∴AD=BC，∵∠EDK=∠ADH,∠EKD=∠AHD=90°，AD=DE，∴△EKD≌△AHDAAS∴S△EKD=S∵AB=3BC，∴ED:AD:AB:BC=1:1:3:1，∴ED=1∴S△ODE∵AG∥y轴，∴OG∴S△AGO∴S△ADH∴S△EKD∴S△OEK∵双曲线y2∴k2故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数k的几何意义，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键是熟练掌握反比例函数有关的“等角、等线段”的性质是解题的关键．【变式2】（2025·天津·二模）如图，△ABC的顶点A在x轴上，顶点B和C都在反比例函数y=kx图象上且关于原点对称，AD:DB=1:4，△OBD的面积为24．则A．5 B．6 C．8 D．10【答案】D【分析】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义．过点D作DF⊥x轴于点F，过点B作BE⊥x轴于点E，设点Da,ka，则Ba5,5ka，根据【详解】解：过点D作DF⊥x轴于点F，过点B作BE⊥x轴于点E，则∠AFD=∠AEB=90°∵∠FAD=∠EAB，∴△ADF∽△ABE，∴DFBE∵AD:DB=1:4，∴AD:AB=1:5，∴DF:BE=1:5，设点Da,ka∴BE=−5ka，DF=−ka，∵点B和点D在反比例函数图象上，反比例函数图象经过一、三象限，∴S△ODF∴S△OBD∴12BE+DF⋅EF=24，即1解得k=10．故选：D．【变式3】（2025·陕西·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点E，D为函数y=kx−1(k<0)上的两点，过点E作EB⊥y轴，过点D作DC⊥x轴，交直线BE于点A，连接BC，若S△BCO=6【答案】y=−【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，过E作EF⊥x轴于点F，由点E，D为函数y=kx−1(k<0)上的两点，则S△BOE=S△COD=−k2，S矩形OBEF=−k，又S△BCO=6，故有S【详解】解：如图，过E作EF⊥x轴于点F，∵EB⊥y轴，过点D作DC⊥x轴，∴∠ACO=∠COB=∠ABO=90°，∴四边形ABOC是矩形，∵点E，D为函数y=kx∴S△BOE=S∵S△BCO∴S矩形∵S△COD∴S梯形∵点E，D为函数y=kx∴设Dm,km∵S矩形∴OB=−12∴E−∴CF=OC−OF=−mk∵S梯形∴整理得：k2解得：k=26（舍去），k=−2∴该函数的解析式是y=−2故答案为：y=−2【变式4】（2025·宁夏·模拟预测）【问题背景】如图，在平面直角坐标系中，∠MON的一边ON与x轴正方向重合，点A在射线OM上；过点A作AE⊥x轴于点E，△AOE的面积是12，函数y=kxx>0的图象经过点A；以点A为圆心，以2OA为半径作弧，交函数y=kxx>0的图象于点C；分别过点A，点C作x轴，y轴的平行线，两线相交于点B，连接OB；过点C【构建联系】（1）填空：k=________；【深入探究】（2）求证：点D在直线OB上；（3）请写出∠BOM与∠BON的数量关系，并说明理由．【答案】（1）1；（2）见解析；（3）∠BOM=2∠BON，理由见解析．【分析】（1）由于点A是反比例函数y=kx的图象上一点，则S△AOE=1（2）设Aa,1a，Cc,1c，由AB∥CD∥x轴，AE∥BC∥（3）连接AC交BD于点G，证明四边形ABCD是矩形，则AC=BD，AG=CG=12AC，BG=DG=12BD，所以AC=2AG，DG=CG，故有∠GDC=∠GCD，由【详解】解：（1）由于点A是反比例函数y=k则S△AOE又∵k>0，∴k=1，答案：1；（2）由（1）知：y=1设Aa,1a∵AB∥CD∥∴Bc,1a设直线OB的解析式为y=mx，则cm=1解得m=1∴直线OB的解析式为y=1当x=a时，y=1∴点D在直线OB上；（3）∠BOM=2∠BON，理由如下：如图，连接AC交BD于点G，∵AB∥CD∥∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°，∴四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AG=CG=12AC∴AC=2AG，DG=CG，∴∠GDC=∠GCD，∴∠AGO=∠GDC+∠GCD=2∠GDC，∵AC=2AO，∴AG=AO，∴∠BOM=∠AGO=2∠GDC，∵CD∥∴∠GDC=∠BON，∴∠BOM=2∠BON．【点睛】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，等边对等角，矩形的判定与性质，一次函数的性质，平行线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．命题点三反比例函数与一次函数►题型01反比例函数与一次函数交点问题（基础）1.求函数解析式时:先将已知交点的坐标代入，求出k再求另一交点的坐标，最后利用待定系数法求得一次函数的解析式.2.根据函数值的大小关系确定x的取值范围时:第一步，确定两函数图像交点的横坐标；第二步，利用数形结合思想得出结论.3.解决与图形面积相关的问题时需注意以下几点:(1)要善于根据点的横、纵坐标求图形的边长；(2)求不规则三角形(三角形三边均不在坐标糊上且均不与坐标轴平行)的面积时，往往将其转为能直接求解的三角形的面积的和或差求解；(3)有时可利用|k|几何意义解决问题【典例1】（2025·青海西宁·中考真题）如图，一次函数y1=k1x+bk1≠0的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数A．b=52 B．△BOC与C．△COD的面积是174 D．当1≤x≤4时，【答案】C【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，坐标系中三角形的面积，函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键．先根据待定系数法求出两个函数的解析式，即可判断A选项，对于一次函数，分别令y=0，x=0，求出点A，B的坐标，根据三角形的面积公式求出各个三角形的面积，即可判断B、C选项，根据图象即可判断D选项．【详解】解：∵反比例函数y2=k∴k2∴反比例函数为y2∵反比例函数y2=2∴12=2∴D4,∵一次函数y1=k1x+b∴k1解得k1故A选项正确；∴一次函数的解析式为y1∵对于一次函数y1=−12x+令y=0，则−1解得x=5，∴A5,0，B∴AO=5，BO=5∴S△AOBS△BOCS△AOD∴S△BOCS△COD∵一次函数y1=−12x+52∴由图象可得当1≤x≤4时，y1故选：C．【变式1】（2025·海南·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=mx的图象交于点A−1,−2A．x>2 B．x<−1C．−1<x<2 D．−1<x<0或x>2【答案】D【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，观察函数图象，得出y1函数图象都在y【详解】解：当y1函数图象都在y2函数图象的上方时，由函数图象可得，当−1<x<0或x>2时，kx+b>m∴不等式kx+b>mx的解集为−1<x<0或故选：D．【变式2】（2025·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y=mx的图像相交于点A1,n、B−3,−2，且与(1)求一次函数、反比例函数的表达式；(2)连接OA，求△OAC的面积．【答案】(1)y=2x+4；y=(2)2【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，解题的关键是掌握一次函数、反比例函数交点问题的解法．（1）先将B−3,−2代入y=mx求出反比例函数解析式，再将A1,n代入y=6x，求出A1,6（2）先求出C0,4，再利用S【详解】（1）解：∵一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y=mx的图像相交于点A1,n∴将B−3,−2代入y=得：−2=m解得：m=6，∴反比例函数的解析式为y=6将A1,n代入y=得：n=6，∴A1,6将A1,6，B−3,−2代入得：6=k+b−2=−3k+b解得：k=2b=4∴一次函数的解析式为y=2x+4；（2）解：当x=0时，y=2x+4=4，∴C0,4∴OC=4，∴S△OAC【变式3】（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，函数y=x−1和y=2x的图象相交于A、(1)A点的坐标为__________，B点的坐标为__________；观察图象，不等式x−1<2(2)若y轴上存在点C，使S△ABC=6，求点【答案】(1)2,1，−1,−2，0<x<2或x<−1；(2)0,3或0,−5【分析】（1）联立方程组，解方程组求出A，B坐标，再利用图象求出不等式的解集即可；（2）将△ABC的面积转化为两个三角形的面积之和即可．本题主要考查反比例函数与一次函数图象交点，函数与不等式的关系，三角形的面积等，能利用数形结合的思想是解题的关键．【详解】（1）解：联立方程组得y=x−1y=解得x=−1y=−2或x=2∴A点的坐标为2,1，B点的坐标为−1,−2，观察图象，找出函数y=2x的图象在y=x−1的图象上边位置时∴不等式x−1<2x的解集为0<x<2或故答案为：2,1，−1,−2，0<x<2或x<−1；（2）解：设y=x−1与y轴的交点为M，令x=0时，y=−1，则点M的坐标为0,−1，设C点的坐标为(0,y由题意知，S△ABC解得yc当yc+1≥0时，yc当yc+1≤0时，yc∴点C的坐标为0,3或0,−5．►题型02反比例函数与一次函数交点问题（综合）反比例函数与一次函数两个方程联立，构造一元二次方程，无需求解方程，只需求出一元二次方程根的判别式的值，由判别式判断交点个数.【典例2】（2025·河南郑州·模拟预测）如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为8m2的矩形地块ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为

【问题提出】小组同学提出这样一个问题：若a=10，能否围出矩形地块？【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设AB为xm，BC为ym.由矩形地块面积为8m2，得到xy=8，满足条件的x,y可看成是反比例函数y=8x的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到（1）根据小颖的分析思路，完成下面的填空：如图2，反比例函数y=8xx>0的图象与直线l1:y=−2x+10的交点坐标为1,8和____________，因此，木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：AB=1m，BC=8m；或【类比探究】（2）若a=6，能否围出矩形地块？仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．【问题延伸】（3）当木栏总长为a m时，小颖建立了一次函数y=−2x+a，当直线y=−2x+a与反比例函数y=8x【答案】（1）4,2；4；2；（2）不能围出面积为8m2【分析】本题考查了实际应用题的函数直观解释，比较新颖，实质是一次函数和反比例函数图象得交点问题．（1）观察图象或联立解方程组得到另一个交点坐标为(4,2)，解答即可；（2）观察图象得到l2与函数y=（3）根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式，令判别式等于零求解即可．．【详解】解：将反比例函数y=8x与直线l1∴8∴x∴x1=1∴方程组的解为x=1y=8或x=4∴另一个交点坐标为4,2，∵AB为xm，BC为y∴AB=4，BC=2．故答案为：4,2；4；2；（2）不能围出面积为8m将反比例函数y=8x与直线l2∴8∴x∵Δ∴x故两个函数图象无交点；y=−2x+6的图象，如图中l2

∵y=−2x+6与函数y=8x∴不能围出面积为8m（3）如图中直线l3∵直线y=−2x+a与反比例函数y=8∴8x=−2x+a∴a解得：a=8，a=−8（舍去）．【变式1】（2025·贵州·模拟预测）如图：反比例函数y=kxk≠0的图象与正比例函数y=mx的图象交于A、B两点，其中A(1)求反比例函数和正比例函数的表达式，并直接写出B点坐标；(2)将正比例函数y=mx的图象逆时针旋转90°后向上平移b（b>0）个单位长度，得到的一次函数y=ax+b的图象刚好与反比例函数y=kxk≠0【答案】(1)y=1x，y=4x(2)b=1【分析】本题考查了正比例函数与反比例数，一次函数的平移，旋转的性质，一次函数与反比例函数交点问题；（1）将点A12,2（2）先求得旋转后的正比例函数解析式，根据平移的性质得出一次函数解析式为y=−14x+b【详解】（1）解：将点A12,2∴k=1∴反比例函数表达式为：y=1将点A12,22=1解得：m=4∴正比例函数的表达式为：y=4x，∵正比例函数图象与反比例函数图象都是中心对称图形，∴A,B关于原点对称，∴B（2）解：∵将12,2绕原点逆时针旋转90°得到代入正比例函数y=k1x解得：k1∴正比例函数y=4x逆时针旋转90°后得到y=−1向上平移b（b>0）个单位长度，得到的一次函数：y=−∵y=−14x+b∴−14x+b=∴b解得：b=1或b=−1（舍去）【变式2】（2025·宁夏银川·模拟预测）在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值R=2Ω）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、RLR/Ω…12b46…I/A…a32.421.5…(1)a=______，b=______；(2)根据以上实验，构建出函数y=12x+2x≥0①在平面直角坐标系中画出对应函数y=12②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是______；(3)在（2）的坐标系中画出y1=−x+6的图象，结合函数图象，直接写出当x≥0时，12x+2【答案】(1)4，3，(2)①见解析；②不断减小；(3)x≥4或x=0【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是：画出函数图象，应用数形结合的思想．（1）由已知列出方程，即可求解，（2）①用描点法，画出图象，②根据反比例函数的图象性质，即可求解，（3）作函数y1【详解】（1）解：根据题意得：a=121+2=4∴b=3，故答案为：4，3，（2）①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中函数y=12x+2②由图象可知随着自变量x的不断增大，函数值y的不断减小，故答案为：不断减小；（3）作函数y1由函数图象可知，当x≥4或x=0时，12x+2即当x≥0时，12x+2≥−x+6的解集为：x≥4或故答案为：x≥4或x=0．【变式3】（2025·宁夏银川·模拟预测）在学习反比例函数后，小华在同一个平面直角坐标系中画出了y=9x(x>0)和y=−x+10的图像，两个函数图像交于A1,9，B9,1两点，在线段AB上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图像于点Q（如图1），在点P移动的过程中，发现PQ的长度随着点P【探索发现】（1）设点P的横坐标为x，则点P的纵坐标为________，点Q的纵坐标为________；（用x的代数式表示）若设PQ的长度为y，则y与x之间的函数关系式为________(1≤x≤9)；（2）为了进一步研究（1）中的函数关系，决定运用列表、描点、连线的方法绘制函数的图像：①列表：x11.52344.569y02.53.543.753.52.50②描点：根据上表中的数据，在图2中描出各点；③连线：请在图2中画出该函数的图像．观察函数图像，发现：当x=________时，y的最大值为________．【迁移应用】连接OP、OQ（请自行完成作图），探究：△PQO的面积是否存在最大值？若存在，请求出对应的x值和最大面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1）−x+10，9x，y=−x+10−9x1≤x≤9（2）图见解析，3，4（3）存在，x=5,【分析】本题考查一次函数图像与反比例函数图像的交点问题，二次函数的综合应用：（1）根据题意，点P的横坐标为x，由点P在y=−x+10的图像上即可得出纵坐标，点Q在y=9xx>0的图像上即可得出纵坐标，PQ的长度为y，根据PQ（2）描点，连线，画出函数图像，根据图像作答即可；（3）根据三角形的面积公式，列出函数关系式，利用函数的性质，求出最值即可．【详解】解：（1）∵点P的横坐标为x，在线段AB上选取一点P，过点P作y轴的平行线交反比例函数图像于点Q，∴P∴点P的纵坐标为−x+10，点Q的纵坐标为9x∵PQ的长度为y，∴y=−x+10−9（2）描点，连线，如图所示；

由图像可知：当x=3时，y有最大值为4；（3）存在，由（1）可知：y=−x+10