阶段检测验收卷 四边形（综合训练）（解析版）-【数学】2026年中考一轮复习讲练测

1/10阶段检测验收卷第五章四边形（考试时间：120分钟试卷满分：120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．（本题3分）如图，在正五边形ABCDE中，∠CAD的大小为（

）A．30° B．36° C．40° D．45°【答案】B【分析】本题考查正多边形的内角问题，等边对等角，先求出正多边形的一个内角的度数，等边对等角求出∠BAC,∠DAE的度数，再根据角的和差关系进行求解即可．【详解】解：由题意，∠CBA=∠BAE=∠AED=5−2×180°5∴∠BAC=1∴∠CAD=∠BAE−∠BAC−∠DAE=36°；故选B．2．（本题3分）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AB，BC上，连接EF交对角线BD于点P．若P为EF的中点，∠ADB=35°，则A．95° B．100° C．110° D．145°【答案】C【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等边对等角．根据矩形的性质求得∠CBD=∠ADB=35°，利用斜边中线的性质求得PB=PF，求得∠CBD=∠PFB=35°，利用三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∵∠ADB=35°，∴∠CBD=∠ADB=35°，∵∠ABC=90°，P为EF的中点，∴PB=PF=1∴∠CBD=∠PFB=35°，∴∠BPF=180°−35°−35°=110°，∴∠DPE=∠BPF=110°，故选：C．3．（本题3分）如图，四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，两条对角线AC与BD互相垂直，则四边形EFGH一定是（

）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形【答案】A【分析】本题主要考查矩形的判定，中点四边形，三角形中位线，设AC交BD于点Q，EF交BD于点P，结合三角形中位线证出四边形EFGH是平行四边形，再结合∠FEH=∠FPD=∠CQD=90°，证出结果即可．【详解】解：设AC交BD于点Q，EF交BD于点P，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，

∴EF∥AC，且EF=12∴EF∥GH，且EF=GH∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，∴∠FEH=∠FPD=∠CQD=90°，∴四边形EFGH是矩形，故选：A．4．（本题3分）由两个宽相等的矩形按如图方式摆放，夹角为120°，若矩形宽为2，则重叠部分的面积为（

）A．433 B．3 C．83【答案】C【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质以及三角函数的应用．解题关键在于判断出重叠部分的图形为平行四边形，并通过矩形的宽和已知夹角求出平行四边形的底边长．先根据矩形的性质和平行四边形的判定定理，确定重叠部分是平行四边形；再通过已知的夹角和矩形的宽，利用三角函数求出平行四边形的底边长；最后根据平行四边形的面积公式求出重叠部分的面积即可．【详解】解：过点A作AH⊥BC于H点，过点B作AB边垂线h，∵两矩形宽度均为2∴h=AH=2由题可知重叠部分为两矩形重叠而成∴BC∥AD，AB∥DC∴四边形ABCD为平行四边形，在Rt△ABH中，∠ABH=180°−120°=60°，AH=2则sin60°=AB=4则平行四边形ABCD面积为AB·h=4故选C．5．（本题3分）菱形ABCD与3个全等的正六边形按如图放置，正六边形的某几条边正好与菱形的边重合，若正六边形的边长为a，下列说法中，错误的是（）A．菱形的边长为4aB．阴影部分的面积与空白部分相等C．∠A=60°D．换种放法，菱形ABCD中最多能放4个这样的正六边形【答案】B【分析】本题主要考查了菱形的性质，正多边形的性质等．因正六边形每个内角均为120°，因此本题可以通过割补正三角形推测出菱形的边长和内角度数，如图①所示可知边长AB=4a且∠A=60°，因此选项A、C正确，通过数正三角形个数可知，B是错误的；关于选项D，找出摆放的新的方式即可，或在现在的正三角形网格中重新画出四个正六边形即可．【详解】解：如图①，割补正三角形和菱形，则AB=4EF=4a，AE=EF=AF，∴△AEF为等边三角形，∴∠A=60°，故选项A、C正确；阴影部分的面积为18S△AEF，空白部分的面积为即阴影部分的面积与空白部分不相等，故选项B错误；如图②所示，菱形ABCD中最多能放4个这样的正六边形，故选项D正确；故选：B6．（本题3分）如图，四边形ABCD中，AC⊥BD，点E，F分别为边AB，CD的中点．若四边形ABCD的面积为24，AC+BD=14，则EF的长为（

）

A．5 B．6 C．8 D．10【答案】A【分析】本题考查中位线的性质以及勾股定理，准确添加辅助线是解题的关键．取BC边的中点G，连接EG，FG，根据已知数量关系求出BD、AC的长度，结合中位线的性质，得出EG=4，FG=3，EG⊥FG，再利用勾股定理解得EF的长．【详解】如图，取BC边的中点G，连接EG，FG，∵四边形面积为24，AC⊥BD，∴AC×BD=48，又∵AC+BD=14，∴AC=8，BD=6，∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EG是△ABC的中位线，FG是△BCD的中位线，∴EG=12AC又BD=6，AC=8，AC⊥BD，∴EG=4，FG=3，EG⊥FG，∴在直角△EGF中，由勾股定理，得EF=E即EF的长度是5．7．（本题3分）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A落在A'处，A'D交BC于点E．将△CDE沿DE折叠，点C落在△BDE内的CA．∠1=45°−α B．∠1=α C．∠2=90°−α D．∠2=2α【答案】D【分析】本题考查了矩形的折叠问题，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键；结果矩形的性质的可得AD∥BC，∠C=90°，则∠ADB=∠1，进而根据折叠的性质得出2∠1=90°−α，【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC∴∠ADB=∠1∵折叠∴∠ADB=∠∴∠1=∠∵∠DEC=90°−α，即2∠1=90°−α∴∠1=45°−1∵∠BDE≠∠CDE∴∠1≠α，故B不正确∵折叠，∴∠C∵∠2=180°−2∠CED=180°−290°−α故选：D．8．（本题3分）如图①是手工课上红红剪的窗花，军军将其轮廓绘制到平面直角坐标系中，得到如图②所示的示意图，其中O是正方形ABCD和正方形EFGH的中心，且正方形ABCD的顶点均在坐标轴上，EF与x轴平行，若AB=EF=16，则BC与EF的交点P的坐标为（

）A．(−83,8) B．(4−42,8) 【答案】D【分析】本题考查了坐标与图形，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识．设PE与y轴交于点M，过点P作PN⊥AC于点N，则四边形ONPM是矩形，得到PN=OM，ON=PM，根据正方形的性质推出PN=OM=12FG=8，∠BCA=45°，得到△PNC和△BOC都是等腰直角三角形，进而得到CN=PN=8，OC=【详解】解：如图，设PE与y轴交于点M，过点P作PN⊥AC于点N，则四边形ONPM是矩形，∴PN=OM，ON=PM，∵四边形ABCD和四边形EFGH都是边长为16的正方形，∴BC=FG=EF=16，OB=OC，BD⊥AC，∠ABC=∠BCD=90°，∠BCA=45°，∴PN=OM=1∵∠BCA=45°，∴△PNC和△BOC都是等腰直角三角形，∴CN=PN=8，OC=2∴ON=OC−CN=82∵点P在第二象限内，∴点P的坐标为(8−82故选：D．9．（本题3分）如图，边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E在BD上，连接CE，作EF⊥CE交AB于点F，连接CF交BD于点H，则下列结论：①EF=EC；②CF2=CG⋅CA；③BE⋅DH=16；④若BF=1，则DE=A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质．①由“SAS”可证△ADE≌△CDE，可得AE=EC，∠DAE=∠DCE，由四边形的内角和定理可证∠AFE=∠BCE=∠EAF，可得AE=EF=EC；②通过证明△FCG∽△ACF，可得CF③通过证明△ECH∽△CDH，可得CHEC=DHCD，通过证明△ECH④通过证明△AFC∽△DEC，可得AFDE【详解】解：如图，连接AE，

∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADB=∠CDB=∠BAC=∠DAC=45°，又∵DE=DE，∴△ADE≌△CDESAS∴AE=EC，∠DAE=∠DCE，∴∠EAF=∠BCE，∵∠ABC+∠FEC+∠EFB+∠BCE=360°，∴∠BCE+∠EFB=180°，又∵∠AFE+∠BFE=180°，∴∠AFE=∠BCE=∠EAF，∴AE=EF，∴EF=EC，故①正确；∵EF=EC，∠FEC=90°，∴∠EFC=∠ECF=45°，∴∠FAC=∠EFC=45°，又∵∠ACF=∠FCG，∴△FCG∽△ACF，∴CF∴CF2=CG⋅CA．∵∠ECH=∠CDB，∠EHC=∠DHC，∴△ECH∽△CDH，∴CH∴CH∵∠ECH=∠DBC，∠BEC=∠CEH，∴△ECH∽△EBC，∴CH∴CH∴DH∴BC⋅CD=DH⋅BE=16，故③正确；∵BF=1，AB=4，∴AF=3，AC=42∵∠ECF=∠ACD=45°，∴∠ACF=∠DCE，又∵∠FAC=∠CDE=45°，∴△AFC∽△DEC，∴AF∴3∴DE=322故选：D．10．（本题3分）如图，在同一平面内放置的Rt△EFG和矩形ABCD，EG与AB重合，FG=3cm，AB=4cm，BC=5cm，Rt△EFG以1cms的速度沿BC方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，Rt△EFG与矩形ABCD重叠部分的面积S（A．B．C．D．【答案】B【分析】根据题意得△FBS∽△FGE和AB=GE=4cm，则FBFG=BSGE，分三种情况求解，当0≤t≤3时，结合题意求得BF=3−t和BS=433−t，利用面积公式S=12FG×EG−12【详解】解：如图，由题意知，AB∥EG，AB=GE=4cm则△FBS∽△FGE，∴FBFG①当0≤t≤3时，∵Rt△EFG以1cms∴BF=3−t，∵FG=3cm，AB=4cm，∴3−t3即BS=4S===6−2②当3<t≤5时，S===6；③当5<t≤8时，如图，则FC=8−t，同理，CS=4S===2故选：B．【点睛】本题主要考查矩形的性质、三角形的面积公式、相似三角形的判定和性质以及二次函数的性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和动态思想的应用．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）11．（本题3分）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O，E是边CD的中点，过点E作EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点G，若AC=12,BD=16，则FG的长为．【答案】5【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，矩形的性质与判定，连接OE，由菱形对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，OC=6，OD=8，则可由勾股定理求出CD=10，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE=5，最后证明四边形【详解】解：如图所示，连接OE，∵四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相交于点O，∴AC⊥BD，∴∠COD=90°，在Rt△COD中，由勾股定理得CD=∵E是边CD的中点，∴OE=1∵EF⊥BD，EG⊥AC，∴∠OGE=∠OFE=∠GOF=90°，∴四边形OGEF是矩形，∴FG=OE=5，故答案为：5．12．（本题3分）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的C处，然后沿着大树底部E和竹竿底部C所在水平直线由C点后退2m至A点时，看大树顶部F视线恰好经过竹竿的顶端D，测得小明的眼睛距地面的高度AB为1.6m，竹竿CD长3m，则大树的高度EF为m．【答案】10【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意找出对应线段的长是解题关键．先根据题意找出图中已知线段的长度，再利用平行线得到相似三角形，通过相似三角形对应线段成比例计算即可．【详解】解：如图，过点B作BN⊥EF，交CD于点M，EF于点N，∴∠BNF=∠BNE=90°，由题意，得AB⊥AE，DC⊥AE，EF⊥AE，∴AB∥CD∥EF，∴BM⊥CD，BN⊥AB，∴四边形ABMC，CMNE，ABNE都是矩形，∴BN=AE，BM=AC，MN=CE，AB=CM=EN，由题意，得CE=10m，AC=2m，AB=1.6m∴BN=AE=AC+CE=12m，BM=AC=2m，EN=AB=1.6m∵∠DBM=∠FBN，∠DMB=∠FNB=90°，∴△DBM∽△FBN，∴DMFN=BM∴FN=8.4m∴EF=FN+EN=10m故答案为：10．13．（本题3分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，连接BD，点P是BD上的一个动点，连接PA，PC，则PA+PB+PC的最小值是．【答案】4【分析】本题考查了旋转-最短路线问题，三角形全等的判定，菱形的性质以及等边三角形的性质．通过将AP绕点A顺时针方向旋转60°的点P'，此时证明△DAP'和△CAP全等后找到对应的线段，PA+PB+PC的最小值即为点B，P'，P，【详解】如图，将线段AP绕点A顺时针方向旋转60°，得到线段AP'，连接AC，DP由题意知，在菱形ABCD中，∠ABC=∠ADC=60°，AB=BC=CD=AD，∴△ABC和△ACD为等边三角形，∵∠DAP∴∠DAP在△DAP'和DA=AC∠DA∴△DAP∴PA+PB+PC=P'D+PP'+BP≥BD，即点B，P'此时最小值BD的长度为43故答案为：4314．（本题3分）如图所示，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，⋯按照此规律继续下去，则S2025【答案】1【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、正方形的面积以及规律型中数字的变化类，根据面积的变化找出变化规律“Sn=4×12n−1”是解题的关键．根据题意求出面积标记为S【详解】解：如图，∵△CDE是等腰直角三角形，∴DE=CE,∠CED=90°，∴CD∴DE=2即等腰直角三角形的直角边为斜边的22∵正方形ABCD的边长为2，S1∴面积标记为S2的正方形边长为2则S2面积标记为S3的正方形边长为2则S3面积标记为S4的正方形的边长为2则S4……，∴S则S2025的值为：4×故答案为：1215．（本题3分）已知△ABC的面积是1．（1）如图1，若D，E分别是边BC和AC的中点，AD与BE相交于点F，则四边形CDFE的面积为．（2）如图2，若M，N分别是边BC和AC上距离C点最近的6等分点，AM与BN相交于点G，则四边形CMGN的面积为．【答案】13【分析】（1）连接DE，可证明DE是△ABC的中位线，得到DE∥AB，DE=12AB，证明△CDE∽△CBA，可得S△CDES△CBA=DEAB2=（2）连接MN，证明△CMN∽△CBA，得到S△CMNS△ABC=CMBC2=136，MNAB=CMBC=16，∠CMN=∠CBA【详解】解：（1）如图所示，连接DE，∵D，E分别是边BC和AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∴S△CDE∵△ABC的面积是1，∴S△CDE∵D是BC的中点，∴S△BDE∵DE∥AB，∴△DEF∽△ABF，∴EFBF∴BF=2EF，∴BE=BF+EF=3EF，∴S△DEF∴S△DEF∴S四边形故答案为：13（2）如图所示，连接MN，∵M，N分别是边BC和AC上距离C点最近的6等分点，∴CM=1∴CMCB又∵∠C=∠C，∴△CMN∽△CBA，∴S△CMNS△ABC=CM∴MN∥AB；∵△ABC的面积是1，∴S△CMN∵M是BC靠近点C的六等分点，∴BMCM∴S△BMN∴S△BMN∵MN∥AB，∴△MNG∽△ABG，∴NGBG∴BG=6NG，∴BN=BG+NG=7NG，∴S△MNG∴S四边形故答案为：121【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（本题7分）如图，点E、F在▱ABCD的对角线AC上．若_________，则四边形BEDF是平行四边形．请从①BE=DF；②AE=CF；③BE∥DF这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由．【答案】②或③，理由见解析【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．添加条件②，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，添加③BE∥DF为条件，证明△ABE≌△CDFAAS得出BE=DF【详解】解：添加②AE=CF为条件，则四边形BEDF是平行四边形．理由如下，如图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC,OB=OD，∵AE=CF∴OE=OF∴四边形BEDF是平行四边形．添加③BE∥DF为条件，则四边形BEDF是平行四边形．理由如下，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥∴∠BAE=∠DCF，∵BE∥DF，∴∠BEF=∠DFE，∴∠AEB=∠DFC，∴△ABE≌△CDFAAS∴BE=DF，∴四边形BEDF是平行四边形；选择①无法得出四边形BEDF是平行四边形．17．（本题8分）如图，点P在直线l外．①在直线l上任取一点A，连接AP；②以点A为圆心，AP长为半径画弧，交直线l于点B；③分别以点P和点B为圆心，以大于12BP的长为半径画弧，两弧在∠BAP内交于点Q，作射线④以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AQ于点C；⑤连接CB,CP．(1)由②得AP与AB的数量关系是__________；由③得到的结论是__________．(2)求证：四边形ABCP是菱形．【答案】(1)AP=AB；射线AQ平分∠BAP(2)见解析【分析】本题考查了尺规作图——基本作图，全等三角形的判定与性质，菱形的判定定理，解题的关键是理解尺规作图中所蕴含的线段等量关系，利用“四边相等的四边形是菱形”进行判定．（1）根据步骤②中“以点A为圆心，AP长为半径画弧交直线l于点B”，直接得出AP与AB的数量关系；步骤③是作角平分线的尺规作图方法，据此得出射线AQ的性质．（2）利用尺规作图得到相等线段和角度，可证△ABC≌△APC(SAS【详解】（1）解：∵以点A为圆心，AP长为半径画弧，交直线l于点B，∴AP=AB，∵步骤③是作角平分线的尺规作图方法，∴射线AQ平分∠BAP．故答案为：AP=AB；射线AQ平分∠BAP．（2）证明：∵以点A为圆心，AP长为半径画弧，交直线l于点B，∴AP=AB，∵射线AQ平分∠BAP，∴∠BAC=∠PAC；在△ABC和△APC中，AB=AP∠BAC=∠PAC∴△ABC≌△APC(SAS∴BC=PC，又∵以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AQ于点C，∴PA=PC，∴AP=AB=BC=PC，∴四边形ABCP是菱形．18．（本题8分）已知，在平行四边形ABCD中，点E，F在分别边BC，AD上，且BE=DF,EH⊥CF于点H，FG⊥AE于点G．(1)求证：GE=FH；(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与∠AFG互余的所有角．【答案】(1)证明见解析；(2)∠FAG，【分析】本题考查了平行四边形性质与判定，余角的求法，解题的关键是掌握平行四边形的性质．（1）先证四边形AECF是平行四边形，证∠GEH=90°，再证四边形EHFG为矩形，即可得答案；（2）先求出∠AFG互余的角是∠FAG，再证∠FAG=∠AEB=∠DFC=∠FCB，即可得答案．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC，AD∥∵BE=DF，∴AD−DF=BC−BE，∴AF=CE，∵AF∥∴四边形AECF是平行四边形，∵AE∥∴∠AEH+∠FHE=180°，∵EH⊥CF,FG⊥AE，∴∠FGE=∠FHE=90°，∴∠GEH=90°，∴四边形EHFG为矩形，∴GE=FH；（2）∵GF⊥AE，∴∠GAF+∠AFG=90°，∴∠AFG互余的角是∠FAG，∵AD∥∴∠AEB=∠FAG，∵AE∥∴∠AEB=∠FCB，∴∠FAG=∠AEB=∠DFC=∠FCB∴∠AFG互余的角有∶∠FAG， 19．（本题9分）如图，O为矩形ABCD对角线AC，BD的交点，AB=6，M，N是直线BC上的动点，且MN=2，求OM+ON的最小值．【答案】最小值是210【分析】本题主要考查了矩形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．利用轴对称变换以及平移变换，作辅助线构造平行四边形，依据平行四边形的性质以及轴对称的性质，可得当O，N，Q在同一直线上时，OM+ON的最小值等于OQ的长，利用勾股定理进行计算，即可得到OQ的长，进而得出OM+ON的最小值．【详解】解：如图所示，作点O关于BC的对称点P，连接PM，将MP沿着MN的方向平移MN长的距离，得到NQ，连接PQ，则四边形MNQP是平行四边形，∴MN=PQ=2，PM=NQ=MO，∴OM+ON=QN+ON，当O，N，Q在同一直线上时，OM+ON的最小值等于OQ长，连接PO，交BC于E，由轴对称的性质，可得BC垂直平分OP，又∵矩形ABCD中，OB=OC，∴E是BC的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE=1∴OP=2×3=6，又∵PQ∥MN，∴PQ⊥OP，∴Rt△OPQ中，∴OM+ON的最小值是21020．（本题9分）活动与探究解码蜜蜂的“家”——为什么蜂房是正六边形的？蜜蜂的“集体宿舍”是由多个正六边形密铺在一起的，这些密铺的正六边形使得蜂房之间没有空隙，一点儿也不浪费空间．这是数学中的密铺（或镶嵌）问题．平面图形的密铺（或镶嵌）是指用形状、大小完全相同的一种或多种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片．探究一：若只用一种正多边形，哪些正多边形可以密铺？平面图形每个内角度数能否整除能否密铺正三角形60°360°÷60°=6能正方形①________②________能正五边形108°360°÷108°=不能正六边形120°360°÷120°=3能正七边形900°360°÷不能正八边形135°③________④________．．．．．．．．．．．．（1）请补全上述表格①________；②________；③________；④________．探究二：在能密铺的正多边形中，哪种形状最省材料？数学视角：蜜蜂的身体可近似看成圆柱，若圆柱底面半径为1，当蜂房恰好容纳一只蜜蜂即正多边形的内切圆半径均为1时，比较正三角形，正方形和正六边形周长的大小．

观察图1，发现⊙O是正三角形ABC的内切圆，与AC切于点D，OD⊥AD，∠OAD=30°，OD=1，在Rt△ADO中，AD=3，则△ABC的周长为（2）如图2，正方形ABCD的周长为__________；（3）如图3，求出正六边形的周长（写出求解过程）．探究三：在能密铺的正多边形中，哪种形状可以使蜜蜂的活动空间最大？数学视角：假设蜜蜂建造蜂房的材料总量即周长一定，比较正三角形、正方形和正六边形面积的大小．（4）若正多边形的周长都为12，则正三角形的面积为__________；正方形的面积为__________；正六边形的面积为__________．【得出结论】综上所述：在相同条件下，正六边形结构最省材料，能使蜜蜂的活动空间最大，是建造蜂房的最优方案．【答案】（1）①90°，②360°÷90°=4，③83，④不能；（2）8；（3）43；（4）43，【分析】（1）根据正方形，正八边形内角性质解答；（2）根据正方形内切圆半径为1，得正方形边长为2，即得正方形周长；（3）根据正六边形内切圆半径为1，得正六边形边长为23（4）在周长都是12的情况下，得正三角形的边长为4，边心距为233，积为43；正方形的边长为3，面积为9；正六边形的边长为2，边心距为3【详解】（1）∵正方形每个内角为90°，∴360°÷90°=4，∴能密铺；∵正八边形的每个内角为135°，∴360°÷135°=8∴不能密铺；故答案为：①90°；②360°÷90°=4；③360°÷135°=8（2）设AB切⊙O于点E，连接OE，则AC，BD交于点O，∵OA=OB，∴AE=BE=OE=1，∴AB=2，∴正方形ABCD的周长为8；故答案为：8；（3）设AB切⊙O于点G，连接OG，则OG⊥AB，∴AG=BG=1∵∠AOB=360°∴∠AOG=1∴OA=2AG，∵AG∴AG=3∴AB=2∴正六边形周长为43（4）三角形：∵AC=12∴AD=1∵∠OAD=1∴OA=2OD，∵AD∴OD=3∴S△ABC正方形：∵AB=12∴S正方形正六边：∵AB=12∴AG=1∴OA=2AG=2，∴OG=O∴S正六边形【点睛】此题主要考查了平面镶嵌．熟练掌握平面镶嵌的原理，正三角形，正方形，正六边形性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，等腰直角三角形性质，是解题的关键．21．（本题10分）在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园ABCD进行测量规划使用，如图，点E、F处是它的两个门，且DE=CF，要修建两条直路AF、BE，AF与BE相交于点O（两个门E、F的大小忽略不计）．(1)请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系，说明理由；(2)同学们测得AD=4米，AE=3米，根据实际需要，某小组同学想在四边形OBCF地上再修一条2.5米长的直路，这条直路的一端在门F处，另一端P在已经修建好的路段OB或花园的边界BC上，并且另一端P与点B处的距离不少于1.5米，请问能否修建成这样的直路，若能，能修建几条，并说明理由．【答案】(1)这两条路AF与BE等长，且它们相互垂直；(2)如果另一端点P在花园边界BC上时，能修建成这样的一条直路，理由见解析．【分析】本题考查主要了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等面积法等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．（1）由四边形ABCD是正方形，则AD=AB，∠BAE=∠ADF=90°，证明△BAE≌△ADFSAS，故有BE=AF，∠DAF=∠ABE，又∠ABE+∠AEB=90°，则∠DAF+∠AEB=90°（2）由（1）得AE=DF，BE=AF，由勾股定理得出AF=5，由S△ABE=12BE⋅AO=12AB⋅AE，即5AO=4×3，得到AO=125，则有【详解】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=DC，∠BAE=∠ADF=90°，∵DE=CF，∴AE=DF，∴△BAE≌△ADFSAS∴BE=AF，∠DAF=∠ABE，又∵∠ABE+∠AEB=90°，∴∠DAF+∠AEB=90°，∴∠AOE=90°，∴AF⊥BE，∴这两条路AF与BE等长，且它们相互垂直；（2）解：能修建一条这样的直路，理由如下：由（1）得AE=DF，BE=AF，∵AE=3米，AD=4米，∴DF=3米，DC=4米，FC=1米，∴AF∴AF=5，∴BE=5，又∵在Rt△ABE中有S∴5AO=4×3，∴AO=12∴OF=AF−AO=5−12①如果另一端点P在路段OB上，则在Rt△OPF中，PF>OF=∴此种情况不成立；②如果另一端点P在花园边界BC上时，设PC=x，则在Rt△PFC中，有P∴x=±21∴PC=21∵BP=BC−PC=4−21∴能修建成这样的一条直路．22．（本题11分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=mxm≠0的图象与反比例函数y=kxk≠0的图象交于A−2,m−9,B两点，点C在反比例函数的图象上，且在第一象限内点(1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式；(2)探究在x轴上是否存在点M，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A−2,−6,B(2)点N坐标为−2,4或8,4或3,−4或−【分析】本题主要考查了反比例函数的表达式、反比例函数与一次函数交点问题、菱形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．（1）先求出点m值，可得点A坐标，进而可得反比例函数解析式，进而可得B坐标；（2）先求出点C坐标，进而分类讨论很容易求出点N坐标．【详解】（1）解：将A−2,m−9代入y=mx得，m−9=−2m解得：m=3，∴正比例函数表达式为y=3x,A−2,−6∴k=−2×−6∴反比例函数解析式为y=12∵点A,B关于原点对称，∴B2,6综上，A−2,−6,B2,6（2）解：过C作CG∥x轴，交AB于点设Cc,12c∴CG=c−4∴S解得：c=3或c=−4∴C3,4则OC=3当OC为菱形的边时，有如下三种情况：①如图，点N在点C左侧，此时CN∥x轴，且∴N−2,4②如图，此点N在点C右侧，此时CN∥x轴，且∴N8,4③如图，OM,CN为对角线，此时点C与点N关于x轴对称，则N3,−4当OC为菱形的对角线时，如下有一种情况：过C作CL⊥x轴于点L，设OM=a，则CM=a,ML=a−3，在Rt△CL