重难点02 四边形热考模型（8大类型8种题型）（复习讲义）（原卷版）-【数学】2026年中考一轮复习讲练测

1/10第五章四边形重难点02四边形热考模型（8大类型8种题型）目录01TOC\o"1-1"\h\z\u深挖重难·固根基 102分层锤炼·验成效 30固·重难考点拓·创新能力重难点一四边形热考模型是中考几何的高频命题载体，以平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质为基础，结合图形变换、动点、角度/线段关系设计“多维度综合题”，核心考查“模型识别、性质应用、逻辑推理能力”，重点如下：一、风车模型核心要求：利用四边形的旋转/对称变换，分析线段、角度的等量关系。特征：以四边形的顶点为中心，将部分图形旋转（如正方形中旋转△ABE至△ADF），形成“风车”状的对称结构，旋转后对应边/角相等。考法：证明线段相等（如旋转后BE=DF）；求角度（如旋转后∠EAF=90°）；判断线段位置关系（如EF与BD垂直）。二、对角互补模型核心要求：利用“四边形对角互补”的性质，推导线段、角度的关系。特征：四边形中一组对角之和为180°（如∠A+∠C=180°），常结合圆内接四边形（四点共圆）的性质。考法：证明线段相等（如对角互补的四边形中，邻边相等时，对边存在和差关系）；求角度（如利用四点共圆，推导圆周角相等）；计算面积（如对角互补的四边形面积=两组对边乘积之和的一半）。三、折叠模型核心要求：结合四边形的折叠变换，利用“折叠前后边/角相等”分析图形关系。特征：四边形沿某条线段折叠，折叠部分与原图形重合，对应边、对应角相等。考法：求折叠后线段的长度（如矩形折叠后，利用勾股定理列方程求边长）；求重叠部分的面积（如正方形折叠后，计算重叠三角形的面积）；判断折叠后图形的形状（如折叠后形成等腰三角形）。四、最值模型核心要求：结合四边形的性质，分析动点下的线段/面积最值。特征：动点在四边形的边/对角线上运动，利用“垂线段最短”“两点之间线段最短”等定理求最值。考法：求线段长度的最值（如矩形中，动点到两定点的距离和的最小值）；求面积的最值（如平行四边形中，动点形成的三角形面积的最大值）。五、中点四边形模型核心要求：利用“三角形中位线定理”，分析四边形各边中点连接形成的新四边形的性质。特征：连接四边形各边中点，形成的新四边形（中点四边形）的形状由原四边形的对角线决定。考法：判断中点四边形的形状（如原四边形对角线相等时，中点四边形是菱形）；求中点四边形的周长/面积（如原四边形面积为S，中点四边形面积为\(\frac{1}{2}S\)）。六、垂美四边形模型核心要求：利用“对角线互相垂直的四边形”的性质，分析线段、面积的关系。特征：四边形的对角线互相垂直（如AC⊥BD），常结合勾股定理推导边的关系。考法：证明边的平方和关系（如AB²+CD²=AD²+BC²）；求面积（如垂美四边形的面积=）。七、半角模型核心要求：利用四边形中“半角”（如45°是90°的半角）的性质，推导线段的和差关系。特征：四边形中存在一个角是另一个角的一半（如正方形中∠EAF=45°，∠BAD=90°），常结合旋转构造全等。考法：证明线段和差（如正方形中EF=BE+DF）；求线段长度（如利用勾股定理，结合线段和差求EF的长）。八、十字架模型核心要求：利用四边形中“垂直交叉的线段”（如矩形中的“十字架”）的性质，分析线段比例。特征：四边形中两条线段互相垂直且交叉（如矩形中AE⊥BF），常结合相似或勾股定理。考法：证明线段比例（如矩形中）；求线段长度（如利用勾股定理，结合线段比例求AE的长）。题型01中点四边形【基础模型】已知点E、F、G、H分别为任意四边形ABCD四条边AB、BC、CD、AD的中点，则①四边形EFGH是平行四边形②CEFGH=AC+BD③【名师总结】1）顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形是矩形.2）顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的四边形是矩形.3）顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的四边形是菱形.4）顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所组成的四边形是正方形.速记口诀：矩中菱，菱中矩，正中正.1．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，两条对角线AC与BD互相垂直，则四边形EFGH一定是（

）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形2．（2025·广东广州·中考真题）如图，菱形ABCD的面积为10，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的面积为（

）A．52 B．5 C．4 3．（2025·四川德阳·中考真题）如图：点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点，如果BD=AC，四边形EFGH的面积为24，且HF=6，则GH=（

）A．4 B．5 C．8 D．104．（2025·江苏徐州·中考真题）如图，E，F，G，H分别为矩形ABCD各边的中点．若AB=3，BC=4，则四边形EFGH的周长为．5．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，已知四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB、CD、AC、BD的中点．(1)求证：EF和GH互相平分；(2)当EF和GH垂直时，AD与BC有什么数量关系？说明你的理由．题型02垂美四边形1．（2021·山东枣庄·中考真题）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．猜想：AB2+C（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE，BG，GE．已知AC=4，AB=5，求GE2．（2025·河南商丘·二模）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．例如：在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AC⊥BD，则四边形ABCD为垂美四边形．(1)下面是垂美四边形的是_____；（填序号）①平行四边形

②菱形

③矩形

④正方形(2)如图1，已知四边形ABCD是垂美四边形，则边AB，CD，AD，BC存在怎样的数量关系?并说明理由；(3)如图2，已知四边形ABCD是垂美四边形，若E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接E，F，G，H，判断四边形EFGH的形状，并说明理由；(4)如图3，分别以△ACB的边AC，AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，若△ACB是直角三角形，AC=7，AB=13，直接写出3．（2025·河南南阳·一模）综合与实践：在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有的经验对“对等垂美四边形”进行研究．定义：对角线相等且垂直的四边形叫作对等垂美四边形．

(1)定义理解图1中，A、B、D三点均在格点上，请在格点上确定点C，使四边形ABCD为对等垂美四边形．(2)深入探究如图2，在对等垂美四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且OA=OD，OB=OC，将△COB绕点O逆时针旋转（0°≤旋转角<45°），B、C的对应点分别为B'、C'，如图3，请判断四边形AB(3)拓展运用在（2）的条件下，若OB=3，OA=5，当△OAB'为直角三角形时，直接写出四边形4．（2025·四川绵阳·三模）如图，直线y=x+b的图象与反比例函数y=kx的图象交于A4,m(1)若点C为第一象限内反比例函数图象上的一点，且∠ACB=90°，求点C的坐标；(2)我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．设P是第一象限内的反比例函数图象上一点，Q是x轴上一点，当四边形APBQ是垂美四边形且PQ被AB平分时，求P，Q两点的坐标．题型03半角模型已知正方形ABCD中，E，F分别是BC、CD上的点，∠EAF=45°，AE、AF分别与BD相交于点O、P，则：①EF=BE+DF②AE平分∠BEF，AF平分∠DFE③C∆CEF=2倍正方形边长④S∆ABE+S∆ADF=S∆AEF⑤AB=AG=AD（过点A作AG⊥EF，垂足为点G）⑥OP2=OB2+OD2⑦若点E为BC中点，则点F为CD三等分点⑧∆APO∽∆AEF∽∆DPF∽∆BEO∽∆DAO∽∆BPA⑨ABEP四点共圆、AOFD四点共圆、OECFP五点共圆⑩∆APE、∆AOF为等腰直角三角形(11)EF=2OP(12)S∆AEF=2S∆APO(13)AB2=BP×OD(14)CE•CF=2BE•DF(15)∆EPC为等腰三角形(16)PX=BX+DP(过点E作EX⊥BD，垂足为点X)类型一与正方形半角模型有关的多结论问题1．（2025·北京东城·一模）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B，C重合），连接AE，点B关于直线AE的对称点为B'，连接EB'并延长交DC于点F，连接AF．设CE=x①∠EAF=45°；②S△AEF<1上述结论中，所有正确结论的序号是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③2．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点H在AD边上（不与点A、D重合），∠BHF=90°，HF交正方形外角的平分线DF于点F，连接AC交BH于点M，连接BF交AC于点G，交CD于点N，连接BD．则下列结论：①∠HBF=45°；②点G是BF的中点；③若点H是AD的中点，则sin∠NBC=1010；④BN=2BM；⑤若AH=A．①②③④ B．①③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤3．（2024·安徽合肥·二模）正方形ABCD中，AB=m,∠EAF=45°．点E、F分别在边BC、CD上，AE、AF分别交BD于点G、H，BG=a,DH=b,GH=c．则下列说法中，错误的是（

）A．a2+bC．EF=bma+c+amb+c4．（2024·山东潍坊·一模）如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③∠GDE=45°；④S△BEFA．1 B．2 C．3 D．4类型二正方形半角模型1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为1，M、N是边BC、CD上的动点．若∠MAN=45°，则MN的最小值为．2．（2025·海南·中考真题）图形的平移、旋转和对称是我们从图形变换的视角研究图形的重要方法．为了深入理解旋转的本质，王老师和同学们在数学实践课上以正方形为背景进行如下探究．【知识技能】（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，连接BE、BF、EF、且∠EBF=45°．将△BCE绕点B按逆时针方向旋转90°至△BAM，则点M在DA的延长线上．①证明△BFM≌△BFE，并判断AF+EC=EF是否成立；②若DF=5，DE=12，请计算正方形ABCD的周长．【教学理解】（2）如图2，在正方形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF．连接AF、CE，M、N分别是线段AF、CE上的点，连接BM、BN、MN，且∠MBN=45°（点E、F、M、N均不与端点重合）．请猜想线段AM、MN、NC的数量关系，并说明理由．【拓展研究】（3）如图3，BD是正方形ABCD的对角线，P、Q分别为线段BD、BC上的点，且∠PQB=45°．将△BPQ绕点B按顺时针方向旋转（旋转角小于45°）至△BMN．连接ND，取线段ND的中点E，连接CE、CM，求CMCE3．（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：【问题情境】如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E在边BC上，且∠DAE=45°，BD=3，CE=4，求DE的长．解：如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACD'，连接

由旋转的特征得∠BAD=∠CAD'，∠B=∠ACD'，∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°．∵∠BAD=∠CAD∴∠CAD'+∠EAC=45°∴∠DAE=∠D在△DAE和△DAD=AD'，∠DAE=∠D∴___①___．∴DE=D又∵∠ECD∴在Rt△ECD'∵CD'=BD=3

∴DE=D'E=【问题解决】上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______．刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．【知识迁移】如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，连结AE、AF，分别与对角线BD交于M、N两点．探究BM、MN、DN的数量关系并证明．

【拓展应用】如图4，在矩形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．探究BE、EF、DF的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）．

【问题再探】如图5，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，点D、E在边AC上，且∠DBE=45°．设AD=x，CE=y，求y与x的函数关系式．

4．（2025·福建·模拟预测）我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请你补充完整．原题：如图1，点E．F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，连接思路梳理（1）∵AB=AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，即点F，根据______，易证△AEF≌______，得EF=BE+DF．类比引申（2）如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°．若∠B联想拓展（3）如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边①试猜想线段BD，②直接写出△ADE的面积．5．（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形ABCD是正方形，M，N分别在边CD，BC上，且∠MAN=45°，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．(1)【初步尝试】如图1，将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE，连接MN．用等式写出线段DM，BN，MN的数量关系_____．(2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M，N分别在正方形ABCD的边CD，BC的延长线上，∠MAN=45°，连接MN，用等式写出线段MN，DM，BN的数量关系，并说明理由；(3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B+∠D=180°，点N，M分别在边BC，CD上，∠MAN=60°，用等式写出线段BN，DM，MN的数量关系，并说明理由．6．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图1，正方形ABCD的边长为2．E、F分别为边BC、CD上的动点，△CEF的周长为4，G是CB延长线上的一点，且GB=DF．(1)求证：AG⊥AF；(2)试问∠EAF的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由；(3)如图2，若M为边BC的中点，过点A作AH⊥EF，垂足为H．求MH的最小值．题型04十字架模型使用场景：在正方形ABCD中，E，F分别是BC，DC上的点，AE与BO相交于点O，互相推导①BE=CF，②AE=BF，③AE⊥BF图示：解题策略：1）①⇒②③:由①BE=CF，结合正方形的性质，可证△ABE≌△BCF(SAS)，可得②AE=BF，导角可得③AE⊥BF.2）②→①③:由②AE=BF，结合正方形的性质，可证Rt△ABE≌Rt△BCF(HL)，可得①BE=CF，导角可得③AE⊥BF.3）③⇒①②:由③AE⊥BF导角，结合正方形的性质，可证△ABE≌△BCF（ASA），可得①BE=CF，②AE=BF.

大招结论：相等则垂直，垂直则相等.类型一两边过顶点1．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，正方形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，且BM=CN，AN与DM相交于点P．

(1)求证：△ABN≌△DAM；(2)求∠APM的大小．2．（2024·甘肃甘南·中考真题）某学校数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：(1)如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，且DE⊥CF，猜想并计算DECF(2)如图2，在矩形ABCD中，∠DBC=30°，点E是AD上的一点，连接CE,BD，且CE⊥BD，求CEBD(3)如图3，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE⋅AB=CF⋅AD．3．（2025·四川乐山·二模）在正方形ABCD中，边长为3，点M、N分别是边AB、BC上的点，且BM=CN=1，连接CM、DN．(1)如图1，DN与CM的数量关系是______，位置关系是______；(2)如图2，若点E、F分别是DN、CM的中点，求证：EF(3)延长CM至点P，连接BP，若∠BPC=θ0°<θ<90°，试求PM与θ类型二一边过顶点1．（2023·广东珠海·三模）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题．(1)【图形认知】如图①，在正方形ABCD中，AF⊥DE，AF交DE于点G，则AFDE=(2)【探究证明】如图②，在矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AD、BC于点E、F，GH分别交AB、DC于点G、H，求证：EFGH(3)【结论应用】如图③，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点B和点D重合，若AB=2，BC=3．求折痕EF的长；(4)【拓展运用】如图④，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形EFPG，若AB=2，BC=3，EF=2103，请求点P2．（2025·辽宁锦州·三模）综合与实践【了解定义】如果两条线段同时满足下面两个条件①端点都在正方形的边（所在直线）上；②垂直且相等，则称这两条线段叫做正方形的等垂线段．如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，连接CE，DF，若CE⊥DF且CE=DF，则称CE与DF为正方形ABCD的等垂线段．【基础探究】（1）如图2，正方形ABCD中，点E，F，M分别在AB，BC，AD上，连接CE，MF，若CE⊥MF于点P，请判断CE与MF是否为正方形ABCD的等垂线段，说明理由；【深入探究】（2）如图3，正方形ABCD中，点E在AB边上，点F在BC延长线上，连接DE，DF，EF交CD于点P，若∠DEF=45°，求证：DE与DF是正方形ABCD的等垂线段；【拓展应用】（3）如图4，正方形ABCD中，AB=6，F是BC中点，点E，G分别在AB，CD上，AF，EG交于点H，连接EF，FG，若AF，EG为正方形ABCD的等垂线段，∠EFG=90°，求BE的长．类型三两边均不过顶点1．（2023·宁夏吴忠·一模）知识再现如图①，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，CD，AD，BC上的点，EF⊥GH，当EF=10时，GH=；问题探究如图②，在▱ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的点，∠B+∠COE=180°，猜想DECF与AD实践应用如图③，在▱ABCD中，AD=8，AB=12，E，F分别是AB，AD上的点，DE交CF于点O，∠CDE=45°，∠B+∠COE=180°，tan∠DCF=132．（2025·山东·模拟预测）在一次数学研究性学习中，小明发现：如图1，在正方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GF⊥AE，通过证明△DAQ≌△ABE，再证四边形(1)【学以致用】：如图2，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE，折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，折痕BF与AE交于点H，点F在AD上，若DE=5，求AH的长．(2)【类比探究】：如图3，在矩形ABCD中，BCAB=34，将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点(3)【拓展应用】如图4，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点M，N分别在边AD，BC上．沿着直线MN折叠矩形ABCD，点A，B分别落在点E，F处，且点F在线段CD上（不与两端点重合），过点M作MH⊥BC于点H，连接BF交MN于点题型05风车模型1．（2024·四川眉山·中考真题）综合与实践问题提出：在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中心O处，并绕点O旋转，探究直角三角板与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况．操作发现：将直角三角板的直角顶点放在点O处，在旋转过程中：（1）若正方形边长为4，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为______；当一条直角边与正方形的一边垂直时，重叠部分的面积为______．（2）若正方形的面积为S，重叠部分的面积为S1，在旋转过程中S1与类比探究：如图1，若等腰直角三角板的直角顶点与点O重合，在旋转过程中，两条直角边分别角交正方形两边于E，F两点，小宇经过多次实验得到结论BE+DF=2拓展延伸：如图2，若正方形边长为4，将另一个直角三角板中60°角的顶点与点O重合，在旋转过程中，当三角板的直角边交AB于点M，斜边交BC于点N，且BM=BN时，请求出重叠部分的面积．（参考数据：sin15°=6−242．（2023·湖北襄阳·中考真题）【问题背景】人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形ABCD的对角线相交于点O，点P落在线段OC上，PAPC=k（

【特例证明】（1）如图1，将Rt△PEF的直角顶点P与点O重合，两直角边分别与边AB，BC相交于点M，N①填空：k=______；②求证：PM=PN．（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明△PAM≅△PBN；也可过点P分别作AB，BC的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②．）【类比探究】（2）如图2，将图1中的△PEF沿OC方向平移，判断PM与PN的数量关系（用含k的式子表示），并说明理由．【拓展运用】（3）如图3，点N在边BC上，∠BPN=45°，延长NP交边CD于点E，若EN=kPN，求k的值．3．（2023·广东深圳·一模）（1）【探究发现】如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，在正方形A'B'C'O绕点O旋转的过程中，边A'O与边BC交于点M，边（2）【类比迁移】如图2，矩形ABCD的对角线相交于点O，且AB=6，AD=12，在矩形A'B'C'O，绕点O旋转的过程中，边A'O与边BC交于点M，边C'（3）【拓展应用】如图3，四边形ABCD和四边形A'B'C'O都是平行四边形，且∠A'OC'=∠ADC，AB=3，BC=35，△BCD是直角三角形，在▱A'B'C'O绕点O旋转的过程中，边AO与边题型06对角互补模型模型1两90°的等邻边对角互补模型1.基础类型条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，CD＝CE结论：①OC平分∠AOB，②OD＋OE＝OC，③.【注意】已知角平分线、邻边相等（非对称）和对角互补中的两个，可推导出第三个.2.模型引申条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，CD＝CE.提示：借助“8字模型”可推得∠ODC=∠CEF结论：①OC平分∠AOB，②OE－OD＝OC，③.模型2.含120°、60°的等邻边对角互补模型1.基础类型条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，CD＝CE.结论：①OC平分∠AOB，②OD＋OE＝OC，③.2.模型引申条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，CD＝CE，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D，结论：①OC平分∠AOB，②OD－OE＝OC，③.1．（2025·广东深圳·三模）定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形．(1)互补四边形ABCD中，若∠B:∠C:∠D=2:3:4，求∠A的度数；(2)如图1，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，AD=CD，BC>BA．求证：四边形ABCD是互补四边形；(3)如图2，互补四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=AD=23，点E，F分别是边BC，CD的动点，且∠EAF=12(4)如图3，互补四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=BC，∠B=150°，将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形，求CD的长．2．（2025·湖南湘潭·模拟预测）阅读理解：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．证明“四点共圆”判定定理有：1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆；2、若平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆．例：如图1，若∠ADB=∠ACB，则A,B,C,D四点共圆；或若∠ADC+∠ABC=180°，则A,B,C,D四点共圆．(1)如图1，已知∠ADB=∠ACB=60°，∠BAD=65°，则∠ACD=_____；(2)如图2，若D为等腰Rt△ABC的边BC上一点，且DE⊥AD,BE⊥AB,AD=2，求AE(3)如图3，正方形ABCD的边长为4，等边△EFG内接于此正方形，且E，F，G分别在边AB，AD，BC上，若AE=3，求EF的长．3．（2025·辽宁抚顺·一模）【问题初探】数学兴趣小组在几何图形的问题的探究中发现，若四边形的一对对角互补，则另一对对角也互补，于是就把这类四边形称为“互补四边形”，且发现，互补四边形的一个外角等于它的邻补角的对角（简称为内对角）．如图1，在四边形ABCD中，若∠ABC+∠ADC=180°，则∠BAD+∠BCD=180°，且∠FAD=∠BCD．（无需证明）【问题整合】若互补四边形中的一条对角线也是角平分线，便可以利用角平分线的性质来做辅助线解决相关问题：问题1：含90°的互补四边形．如图1，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，且BD平分∠ABC．求证：AB+BC=2数学兴趣小组思路如下：过点D作DE⊥BC．垂足为E，DF⊥BA，垂足为F，由角平分线的性质和互补四边形的基本结论易证△ADF≌△CDE，进一步证得四边形BEDF为正方形，从而解决问题．请你借鉴数学兴趣小组的方法解答以下问题：问题2：含120°的互补四边形．（1）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=120°,∠ADC=60°，BD平分∠ABC，则下列结论中正确的是______（填序号）①AD=CD；②AB+BC=BD；③若BD=1，则S四边形（2）如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=60°,∠ADC=120°，BD平分∠ABC，猜想AB，问题3：含α角的互补四边形．（3）如图4，在四边形ABCD中，∠ABC=α,∠ADC=180°−α，BD平分∠ABC，且BD=1，求四边形ABCD的面积．（用含有α的三角函数表示）题型07折叠模型与特殊平行四边形有关的折叠问题与轴对称的知识联系紧密，解决这类问题有两个“秘诀”:一是折叠前后的两部分是全等的(对应边、对应角相等)；二是折叠前后的对应点所连线段被折痕垂直平分.1．（2025·西藏·中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E是BC的中点，把△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，延长EF交CD于点G，连接AG，则AG的长为（

）A．35 B．2 C．210 2．（2025·河北·中考真题）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A落在A'处，A'D交BC于点E．将△CDE沿DE折叠，点C落在△BDE内的CA．∠1=45°−α B．∠1=α C．∠2=90°−α D．∠2=2α3．（2025·山东济南·中考真题）如图，正方形纸片ABCD中，E是AD上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在CD上的点G处，点B落在点H处，折痕EF交BC于点F．若CG=4，EF=43，则AB=4．（2025·甘肃兰州·中考真题）“三等分角”是两千多年来数学史上最著名的古典四大问题之一，阿基米德等数学家通过巧妙的几何作图得到了解决“三等分角”问题的特例方法．某数学兴趣小组通过折纸与尺规作图相结合的方法探究“三等分锐角”问题的解法，解决过程如下：操作步骤与演示图形如图①，已知一个由正方形纸片的边PK与经过顶点P的直线l1构成的锐角α任意折出一条水平折痕l2，l2与纸片左边交点为Q；再折叠将PK与l2重合得到折痕l3，→折叠使点Q，P分别落在l1和l3上，得到折痕m，对应点为Q'，P'，m交→保持纸片折叠，再沿MN折叠，得到折痕l4→将纸片展开，再沿l4折叠得到经过点P的完整折痕l→将纸片折叠使边PK与l4重合，折痕为l5．则直线l4和l解决问题（1）请依据操作步骤与演示图形，通过尺规作图完成以下两个作图任务：（保留作图痕迹．不写作法）任务一：在图③中，利用已给定的点Q'作出点P任务二：在图⑥中作出折痕l5（2）若锐角α为75°，则图⑤中l2与l4相交所成的锐角是__________5．（2025·吉林·中考真题）【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为60°的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下：【探究发现】如图①，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB>AD，E为边AD的中点，点F在边DC上，且DF=DE，连接EF，将△DEF沿EF翻折得到△GEF，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形DEGF是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由．【探究证明】取图①中的边BC的中点M，点N在边AB上，且BN=BM，连接MN，将△BMN沿MN翻折得到△HMN，点B的对称点为点H．连接FH，GN，如图②．求证：四边形GFHN是平行四边形．【探究提升】在图②中，四边形GFHN能否成为轴对称图形．如果能，直接写出ADAB题型08最值模型类型一利用矩形对角线相等求最值1．（2025·四川广安·二模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=30°,BC=6,D是AB边上的动点（不与点A，B重合），过点D分别作DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为2．（2023·四川雅安·中考真题）如图，在△ABC中，∠C=90°,AC=BC=6．P为边AB上一动点，作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为．

3．（2025·陕西汉中·模拟预测）如图，在△ABC中，AB⊥BC, AC−BC=1, BC+AB=31，点F为AC上一动点，且FD⊥AB, FE⊥BC，连接DE类型二利用菱形的对称性求最值1．（2025年江苏省连云港市中考数学试题）如图，在菱形ABCD中，AC=4，BD=2，E为线段AC上的动点，四边形DAEF为平行四边形，则BE+BF的最小值为．2．（2025年黑龙江省绥化市中考数学试卷）如图，在菱形ABCD中，AB=4，对角线BD=43，点P是边CD的中点，点M是对角线BD上的一个动点，连接PM、CM．则PM+CM的最小值是3．（2025·西藏·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，连接BD，点P是BD上的一个动点，连接PA，PC，则PA+PB+PC的最小值是．类型三利用正方形的对称性求最值1．（2025·河南驻马店·模拟预测）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上，且AE=3，若P为平面内一点，且满足∠APD=90°，连接PE，则线段PE的最小值为，最大值为．2．（2025·辽宁沈阳·三模）如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，AB=4，则AP+BP+CP的最小值为．3．（2021·安徽安庆·三模）如图，O为正方形ABCD内一点，且∠OCD=∠ODC=15°，过O作OH⊥AB于H，P为线段OH上的一动点，若正方形的边长为4，则AP+12POA．3 B．23 C．23+14．（2025·四川广安·模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为12，点M在DC上，且DM=3，点N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为．5．（2025·陕西延安·二模）【问题提出】（1）如图1，BD为正方形ABCD的对角线，N为BC的中点，M为BD上任意一点，连接CM，MN，若AB=2，则【问题解决】（2）如图2，△BCG是李叔叔家的农场平面示意图，李叔叔欲对该农场进行扩建，扩建部分为▱ABCD，其中点D在GC的延长线上，E，F分别为边AD，BC的中点，在四边形AECF内养殖家禽，AC为一道栅栏，经测量，AC∥BG，BG⊥DG，CE=180米，∠AFC=120∘，P，H为两个饲料储存点，其中1．（2024·山西·中考真题）在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，EG，FH交于点O．若四边形ABCD的对角线相等，则线段EG与FH一定满足的关系为()A．互相垂直平分 B．互相平分且相等C．互相垂直且相等 D．互相垂直平分且相等2．（2024·四川凉山·中考真题）如图，四边形ABCD各边中点分别是E,F,G,H，若对角线AC=24,BD=18，则四边形EFGH的周长是．3．（2025·云南·模拟预测）如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点，如果AC⊥BD且HF=8，则EG=．4．（2025·江西·中考真题）如图，在矩形ABCD纸片中，沿着点A折叠纸片并展开，AB的对应边为AB'，折痕与边BC交于点P．当AB'与AB，AD中任意一边的夹角为15°5．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点B的坐标为1,0．点E在边CD上．将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为0,3．则点E的坐标为．6．（2025·青海西宁·中考真题）如图，点E是正方形ABCD的边BC的中点，连接DE，将△EDC沿DE所在直线折叠，点C落在点F处，连接EF并延长交AB于点G，连接DG．(1)求证：△ADG≌(2)若AB=25，求AG7．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）小明在学习了特殊平行四边形这一章后，对特殊平行四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，已知四边形ABCD，AC⊥BD，像这样两条对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．【概念理解】在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是_________．【性质探究】通过探究，小明探索并证明了“垂美四边形”的一些性质，请根据证明过程，完成填空．性质1：垂美四边形四条边之间的数量关系如图1，AC⊥BD，由勾股定理可知，Rt△ABO中，AB2=AO同理AD2=A则AB即AB性质2：垂美四边形的面积与两条对角线之间的数量关系S四边形【问题解决】（1）如图1，若AB=3，CD=2，则BC2+AD2=_________．若AC=8，（2）如图2，BD，CE是△ABC的中线，BD⊥CE，垂足为O，BC=2DE，设BC=a，用含a的代数式表示AB（3）如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和ABDE．连接CG，BE8．（2025·甘肃天水·一模）【模型建立】（1）如图1，四边形ABCD是正方形，点N，M分别在BC，CD边上，且∠MAN=45°，连接MN，将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE，用等式写出线段BN，DM，MN的数量关系，并说明理由；【模型应用】（2）如图2，四边形ABCD是正方形，点N，M分别在正方形ABCD的边BC，CD的延长线上，∠MAN=45°，连接MN，用等式写出线段BN，DM，MN的数量关系，并说明理由；【模型迁移】（3）如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B+∠D=180°，点N，M分别在边BC，CD上，∠MAN=60°，连接MN，用等式写出线段BN，DM，MN的数量关系，并说明理由．9．（2024·山东泰安·中考真题）综合与实践为了研究折