重难点06 最值模型之将军饮马、垂线段最短问题（6种题型）（复习讲义）（解析版）-【数学】2026年中考一轮复习讲练测

1/10重难点06最值模型之将军饮马、垂线段最短问题目录01TOC\o"1-1"\h\z\u深挖重难·固根基 202分层锤炼·验成效 52固·重难考点拓·创新能力题型01将军饮马求和模型（几何）1．（2025·广东广州·中考真题）如图，⊙O的直径AB=4，C为AB中点，点D在弧BC上，BD=13BC，点P是AB上的一个动点，则A．2+7 B．2+23 C．3+7【答案】B【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等边三角形的判定与性质，轴对称性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先作点C关于AB的对称点C'，连接CC',OD,C'D,C'P，交AB于点P'，因为⊙O的直径AB=4，C为AB中点，得CC'【详解】解：作点C关于AB的对称点C'，连接CC',OD,C'D,∴CP=∵⊙O的直径AB=4，C为AB中点，∴点O在C'C上，OC=OD=1∴CC∵BD=∴∠COD=1−∵CO=OD，则△COD是等边三角形，∴CD=OC=2，∵CC∴∠CD∴DC则△PCD周长=CD+PD+CP=2+PD+C∴△PCD周长的最小值是2+23故选：B．2．（2025·四川南充·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于点A，OD交⊙O于点C，AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为弧BC的中点，P为线段AB上一动点，若CD=4，则PE+PF的最小值是（

）A．4 B．27 C．6 D．【答案】C【分析】如图，延长DO交⊙O于点M，连接PM，PF，OF，PE，由垂径定理得AC=CF=BF，进而得∠AOC=∠COF=∠BOF=60°，∠BOM=∠AOC=60°=∠BOF，点F关于AB的对称点为点M，根据两点之间线段最短得当E，P，M三点共线时，【详解】解：如图，延长DO交⊙O于点M，连接PM，PF，OF，PE∵AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为弧BC的中点，∴AC∴∠AOC=∠COF=∠BOF，∵∠AOC+∠COF+∠BOF=180°，∴∠AOC=∠COF=∠BOF=60°，∴∠BOM=∠AOC=60°=∠BOF，∴点F关于AB的对称点为点M，∴PM=PF，∴PE+PF=PE+PM≥EM,当E，P，M三点共线时，PE+PF最小，最小值为EM的长，∵∠AOC=60°，AD⊥AB，∴∠D=30°，∴OD=2OA，∵CD=4，∴OD=OC+4=2OA=2OC，即OC=4，∴OC=OA=OB=OM=OF=4，∵AF⊥OC，∠AOC=60°，∴∠OAE=30°，∴OE=1∴PE+PF的最小值EM=OE+OM=2+4=6．故选：C．【点睛】本题主要考查了弧、圆心角的关系，垂径定理，直角三角形的性质，两点之间线段最短，熟练掌握弧、圆心角的关系，垂径定理是解题的关键．3．（2025·西藏·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，连接BD，点P是BD上的一个动点，连接PA，PC，则PA+PB+PC的最小值是．【答案】4【分析】本题考查了旋转-最短路线问题，三角形全等的判定，菱形的性质以及等边三角形的性质．通过将AP绕点A顺时针方向旋转60°的点P'，此时证明△DAP'和△CAP全等后找到对应的线段，PA+PB+PC的最小值即为点B，P'，P，【详解】如图，将线段AP绕点A顺时针方向旋转60°，得到线段AP'，连接AC，DP由题意知，在菱形ABCD中，∠ABC=∠ADC=60°，AB=BC=CD=AD，∴△ABC和△ACD为等边三角形，∵∠DAP∴∠DAP在△DAP'和DA=AC∠DA∴△DAP∴PA+PB+PC=P'D+PP'+BP≥BD，即点B，P'此时最小值BD的长度为43故答案为：434．（2025·四川内江·中考真题）如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，AB=22，点D、E、F分别是边BC、AB、AC上的动点，则△DEF周长的最小值是【答案】2【分析】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，垂线段最短，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键，作点D关于AB,AC的对称点N,M，连接AM,AN,EN,FN,MN,AD，得出△AMN是等腰直角三角形，当AD⊥BC时，AD取得最小值，即△DEF周长最小，进而求得AD，即可求解．【详解】解：如图，作点D关于AB,AC的对称点N,M，连接AM,AN,EN,FN,MN,AD，∴△DEF周长为DE+EF+FD=NE+EF+FM≥MN，当N,E,F,M四点共线时取得最小值，∵N,M是D关于AB,AC的对称点，∴∠1=∠2,∠3=∠4，AN=AD=AM又∵∠2+∠3=45°∴∠NAM=∠1+∠2+∠3+∠4=90°∴△AMN是等腰直角三角形，∴MN=∴当AD⊥BC时，AD取得最小值，即△DEF周长最小又∵∠B=60°，AB=22∴A∴△DEF周长最小为2故答案为：235．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AC=4，BD=2，E为线段AC上的动点，四边形DAEF为平行四边形，则BE+BF的最小值为．【答案】13【分析】利用四边形DAEF为平行四边形，得出EF=AD，EF=AD，由E为线段AC上的动点，可知E、F运动方向和距离相等，利用相对运动，可以看作EF是定线段，菱形ABCD在AC方向上水平运动，过点B作AC的平行线MN，过点E作关于线段MN的对称点E'，由对称性得BE=BE'，则BE+BF=BE'+BF≤E'F，当且仅当E'、B、F依次共线时，BE'+BF取得最小值E'F，此时，设AC与BD交于点O，EE'交MN于点H【详解】解：∵四边形DAEF为平行四边形，∴EF=AD，DF=AE，∵E为线段AC上的动点，∴可以看作EF是定线段，菱形ABCD在AC方向上水平运动，则如图，过点B作AC的平行线MN，过点E作关于线段MN的对称点E'由对称性得BE=BE∴BE+BF=BE'+BF≤E'F，当且仅当E'、B此时如图，设AC与BD交于点O，EE'交MN于点H，延长E'E交∵菱形ABCD中，AC=4，BD=2，∴AO=12AC=2，BO=DO=由题可得AC∥MN，∴由对称性可得EH⊥HB，∴AC⊥GH，∴∠OEH=∠EOB=∠EHB=90°，∴四边形EOBH是矩形，∴E'∵四边形DAEF为平行四边形，∴DF=AE，DF∥AC，∴GD⊥DO，∴∠GDO=∠DOE=∠GEO=90°，∴四边形DOEG是矩形，∴GD=EO，GE=DO=1，∴GF=GD+DF=EO+AE=AO=2，GE∴E'即BE+BF的最小值为13，故答案为：13．【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，两点之间线段最短，根据题意结合相对运动得出运动轨迹，再利用将军饮马解决问题是解题的关键．6．（2025·山东滨州·中考真题）如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C均在格点上．（1）只用无刻度的直尺在AC上找一点D，使得BD最短（保留作图痕迹）．（2）在（1）的基础上，在BC边上找一点M，使得MA+MD最小，最小值为．【答案】见解析82【分析】本题考查了勾股定理与网格，矩形的性质，等腰三角形的性质，轴对称求最短距离等，掌握相关知识点是解题关键．（1）由勾股定理可得AB=CB=5，根据矩形的对角线互相平分找出AC的中点D，再根据等腰三角形三线合一的性质，得到BD⊥AC，由垂线段最短可知此时BD最短；（2）作点A关于BC的对称点A'，连接A'D，由轴对称的性质可得当A'、M、D三点共线时，【详解】解：（1）如图，点D即为所求作，故答案为：（2）如图，作点A关于BC的对称点A'，连接A由轴对称的性质可知，MA=MA∴MA+MD=MA∴当A'、M、D三点共线时，MA+MD最小，最小值为A过点D作DE⊥BC，由方格和D为AC的中点知，EM=EC=12，∴A故答案为：822题型02将军饮马求和模型（函数）7．（2025·河南濮阳·一模）如图，两座城市A和B在平面直角坐标系中的坐标为A3,6、B1,2，铁路所在的直线为y=x，计划在铁路上修建一个站点P，使站点P到两城市的距离和最小，则站点P的坐标为【答案】9【分析】本题考查了轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，求两直线的交点坐标，两点之间，线段最短等．熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．先确定点B关于直线y=x对称的点B'的坐标，连接AB'与直线y=x的交点即为点P【详解】解：作点B关于直线y=x对称的点B'，连接A∵点B与点B'关于直线y=x∴BP=B故BP+AP=B当点A、B'、P三点共线时，BP+AP的值最小，最小值为线段A即点P是AB'与直线∵点x0,y0关于直线∴点B1,2关于直线y=x对称的点B'的坐标为2,1设直线AB'的解析式为将A3,6，B'2,1代入解析式，得解得：k=5b=−9∴直线AB'的解析式为∵点P是直线y=5x−9与直线y=x的交点，故联立方程组y=5x−9y=x解得：x=9即点P的坐标为94故答案为：948．（2025·四川凉山·中考真题）如图，一次函数y1=ax+b的图象与反比例函数y2=k(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)利用图像，直接写出不等式ax+b>k(3)在x轴上找一点C，使△ABC的周长最小，并求出最小值．【答案】(1)y2=(2)2<x<6(3)当点C的坐标为5,0时，△ABC的周长有最小值，最小值为4【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，两点距离计算公式等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键．（1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式中求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；（2）只需要根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案；（3）作点B关于x轴的对称点D，连接BC，AC，DC，AD，则D2,−3，由轴对称的性质可得DC=BC；由两点距离计算公式可得AB=25，则可推出△ABC的周长=AC+BC+25，根据AC+DC≥AD，可推出当A、C、D三点共线时，AC+DC有最小值，即此时△ABC的周长有最小值，最小值为AD+25，利用两点距离计算公式可得AD=42，则△ABC的周长的最小值为42+2【详解】（1）解：∵反比例函数y2=k∴1=k解得k=6，∴反比例函数的解析式为y2在y2=6xx>0∴B2,3∵一次函数y1=ax+b的图象与反比例函数y2=k∴6a+b=12a+b=3解得a=−1∴一次函数解析式为y1（2）解：由函数图象可知，当一次函数y1=−12x+4∴不等式ax+b>kx的解集为（3）解；如图所示，作点B关于x轴的对称点D，连接BC，AC，由轴对称的性质可得DC=BC；∵A6,1，B∴AB=2−6∴△ABC的周长=AB+AC+BC=AC+BC+25∴当AC+BC有最小值时，△ABC的周长有最小值，∵AC+BC=AC+DC，∴当AC+DC有最小值时，△ABC的周长有最小值，∵AC+DC≥AD，∴当A、C、D三点共线时，AC+DC有最小值，即此时△ABC的周长有最小值，最小值为AD+25∵A6,1，D∴AD=2−6∴△ABC的周长的最小值为42设直线AD解析式为y=k1x+∴k=1b=−5∴直线AD解析式为y=x−5，在y=x−5中，当y=x−5=0时，x=5，∴C5,0综上所述，当点C的坐标为5,0时，△ABC的周长有最小值，最小值为429．（2025·四川德阳·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴交于点A−1,0，(1)求抛物线的函数解析式；(2)如图2，连接BC，过点C作CD⊥BC与抛物线相交于另一点D．①求点D的坐标；②如图3，点E，F为线段BC上两个动点（点E在点F的右侧），且EF=2，连接OF，DE．求OF+DE【答案】(1)y=−(2)①D1,4【分析】（1）利用两点式求解抛物线解析式；（2）①延长DC与x轴相交于点G，证明△COG是等腰直角三角形，从而得到G点坐标，求出直线CG的解析式，联立抛物线解析式求解即可；②过点O作OH∥EF，且OH=EF=2，连接HE，DH，设DH交x轴为点G，然后证明四边形OFEH是平行四边形，根据DE+EH≥DH，得出DE+EH=DH时，DE+EH最小，进一步求出DH【详解】（1）解：∵A−1,0,B3,0在二次函数y=−∴y=−x+1∴y=−x（2）解：①把x=0代入y=−x得y=3，∴C如图，延长DC与x轴相交于点G．∵B3,0，∴OB=OC=3．∵∠COB=90°，∴∠CBO=45°．∵∠DCB=90°=∠BCG，∴∠CGB=90°−∠CBO=90°−45°=45°．∴∠GCO=180°−∠COG−∠CGB=180°−90°−45°=45°，∴OG=OC=3，∴G−3,0设直线CG的解析式为：y=kx+mk≠0，把C得3=m0=−3k+m解得k=1∴直线CG的解析式为：y=x+3，∵点D是直线CG与二次函数的交点，∴联立解析式y=x+3y=−解得x=0y=3或x=1∴D1,4②如图，过点O作OH∥EF，且OH=EF=2，连接HE，DH，设DH交x轴为点G∵OH∥EF，且OH=EF，∴四边形OFEH是平行四边形，∴OF=EH．∵∠CBO=45°，∴∠BOH=45°．∴△OGH为等腰直角三角形，∴OG=GH，∵OH=EF=2，O∴OG=GH=1，∴H1,−1∵DE+EH≥DH，∴当DE+EH=DH时，DE+EH最小．∵D1,4∴DH=5．此时D、E、H三点共线且DH⊥x轴，∴点F的坐标为0,3与点C重合，满足EF在线段BC上．∴DE+OF的最小值为5．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，二次函数与一次函数交点问题，二次函数与特殊四边形问题，两点之间线段最短，勾股定理，解题的关键是添加适当的辅助线，通过数形结合的思想求解；题型03将军饮马求差模型10．（2022·四川乐山·二模）如图，直线y=kx+b与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y=4xx>0相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC=2(1)求直线的解析式；(2)若点M1,m为双曲线上的一点，点Q为y轴上的一动点，当QP−QM的值达到最大值时，求点Q【答案】(1)y=(2)Q【分析】本题考查了求一次函数的解析式、正切、反比例函数等知识，熟练掌握待定系数法和正切的定义是解题关键．（1）先求出点P的坐标，再根据正切的定义可得AC的长，从而可得点A的坐标，然后利用待定系数法求解即可得；（2）先求出点M的坐标为M1,4，再判断出当点P,Q,M共线时，QP−QM的值达到最大，然后利用待定系数法求出直线PM的解析式，求出直线PM与y【详解】（1）解：∵点P位于第一象限，PC⊥x轴于点C，且PC=2，∴点P的纵坐标为2，把y=2代入y=4x得：∴P2,2，OC=2∵在Rt△ACP中，tan∴AC=4，∴OA=AC−OC=2，∴A−2,0将点A−2,0，P2,2代入y=kx+b得：−2k+b=02k+b=2则直线的解析式为y=1（2）解：由题意，画出图形如下，连接PM，将点M1,m代入y=4x∴M1,4由三角形的三边关系可知，QP−QM≤PM，当且仅当点P,Q,M即当点P,Q,M共线时，QP−QM的值达到最大，设直线PM的解析式为y=k将点M1,4，P2,2代入得：k0则直线PM的解析式为y=−2x+6，当x=0时，y=6，所以当QP−QM的值达到最大值时，点Q的坐标为0,6．11．（2025·浙江·中考真题）在菱形ABCD中，AB=5，(1)如图1，求sin∠BAC(2)如图2，E是AD延长线上的一点，连接BE，作△FBE与△ABE关于直线BE对称，EF交射线AC于点P，连接BP．①当EF⊥AC时，求AE的长．②求PA−PB的最小值．【答案】(1)3(2)①11；②3【分析】（1）先根据菱形的性质可得AC⊥BC,OA=12AC=4（2）①连接BD，设AC,BD交于点O，同理求出OB=3，则BD=6；证明EF∥BD，得到∠DBE=∠FEB，由轴对称的性质可得∠AEB=∠FEB，则∠DEB=∠DBE，据此可得DE=DB=6，即可得到AE=AD+DE=11；②由勾股定理得PB=OB2+OP2=OP2+9，根据PA=OA+OP=4+OP，可求出PA−PB=4−9OP+OP2+9，根据9OP+OP2+9>0，可推出当OP有最小值时，OP+OP2+9有最小值，即此时9OP+OP2+9有最大值，即当OP有最小值时，【详解】（1）解：如图1，设AC,BD交于点O，∵在菱形ABCD中，AB=5，∴AC⊥BC,OA=1∴OB=A∴sin∠BAC=（2）解：①如图所示，连接BD，设AC,BD交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=12AC=4，BD=2OB∴OB=A∴BD=6；∵EF⊥AC，AC⊥BD，∴EF∥BD，∴∠DBE=∠FEB，由轴对称的性质可得∠AEB=∠FEB，∴∠DEB=∠DBE，∴DE=DB=6，∴AE=AD+DE=11；②在Rt△BOP中，由勾股定理得PB=∵PA=OA+OP=4+OP，∴PA−PB=4+OP−O=4+=4+=4−9∵9OP+∴要使PA−PB的值最小，则9OP+∴OP+O又∵OP2+9∴OP+OP2∴当OP有最小值时，OP+OP2∴当OP有最小值时，PA−PB有最小值；如图所示，过点B作BH⊥AD于H，BT⊥FE于T，∵S菱形∴BH=1∴由轴对称的性质可得BT=BH=24在Rt△POB中，由勾股定理得OP=∴当PB有最小值时，OP有最小值，由垂线段最短可知BP≥BT=24∴当点P与点T重合时，BP有最小值，最小值为245∴OP∴PA−PB最小值【点睛】本题主要考查了菱形的性质，求角的正弦值，勾股定理，轴对称图形的性质，等角对等边等等，解（2）的关键在于把求出PA−PB的最小值转换成求出OP的最小值，进而转换成求出PB的最小值．12．（2025·内蒙古赤峰·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=−x2+bx+c经过点2,3，与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，对称轴直线l(1)求该抛物线的函数解析式及顶点坐标．(2)设点C关于直线l的对称点为点D，P是直线l上的一个动点，是否存在点P，使PA−PD有最大值？若存在，求出PA−PD的最大值；若不存在，请说明理由．(3)M为抛物线上一点，连接MC，过点M作MN⊥CM交直线l于点N，若tan∠MCN=23【答案】(1)y=−x2(2)存在，最大值10(3)M的坐标为3,0或12,154或【分析】（1）先根据抛物线y=−x2+bx+c的对称轴为直线x=1，求出b，再根据抛物线经过点2,3，求出c，然后代回b（2）先求出A，B，C的坐标，再利用轴对称的性质说明P'C=P'D，PC=PD，然后分“点P'不与点P重合”、“点P'与点P（3）先求出点K的纵坐标，再设Mm,−m2+2m+3，可得出点T的横坐标为m，然后证明△MNT∽△CMK，列出比例式结合三角函数求出NTKM=23，从而可得【详解】（1）解：∵抛物线y=−x2+bx+c∴−b∴b=2，∴y=−x又∵此抛物线经过点2,3，∴3=−4+2×2+c，∴c=3，∴该抛物线的函数解析式为y=−x由于y=−x∴顶点坐标是1,4．（2）在直线l上存在一点P，使PA−PD有最大值．如图1，连接AC并延长，交直线l于点P，在直线l上任取一点P'，连接C对于y=−x令y=−x2+2x+3=0，得x=−1或x=3，∴A令x=0，得y=3，∴C0,3∵点C关于直线l的对称点为点D，∴P'C=当点P'不与点P重合时，P当点P'与点P重合时，PA−PD=PA−PC=AC，此时PA−PD的值最大，即为AC∵A−1,0，C∴AC=1∴PA−PD的最大值为10．（3）如图2，过点M作KT∥y轴，过点C作CK⊥KT于点K，过点N作NT⊥KT于点T，则点K的纵坐标为3．设Mm,−m2+2m+3，则点∵MN⊥CM，∴∠NMT=90又∠T=∠K=90∴△MNT∽△CMK，∴NT∵tan∴MN∴NT∵点N在直线l（即直线x=1）上，∴点N的横坐标为1，∴m−13−−∴m−1m2解得m=3或m=12或m=−1或∴点M的坐标为3,0或12,154或【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质等知识点，解答本题的关键是掌握上述知识点，并能熟练运用求解．13．（2025·重庆·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y(1)求AB的长；(2)点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PM∥BC交x轴于点M，点N为直线BC上一动点，过点N作NQ∥x轴交PM于点Q，连接PC，PB，PN，QA．当(3)如图2，将原抛物线沿射线BC方向平移，使平移后的新抛物线y'过点C，点D为新抛物线y'的对称轴与x轴的交点，点F为新抛物线y'对称轴上一动点，连接FC，FO．若FO平分∠CFD，请直接写出所有符合条件的点F【答案】(1)4(2)34(3)F−2,3−5【分析】（1）令−x2+2x+3=0，解得点A和点B（2）过点P作PK∥y轴交BC于点K，则S△PCB=12PK·xB−xc=32PK，可知当PK取得最大值时，△PCB的面积取得最大值，利用待定系数法求得直线BC的解析式为y=−x+3，设点Pt,−t2+2t+3，则点Kt,−t+3，那么，PK=−t2+3t，可知点P32,154时，△PCB的面积取得最大值，根据题意求得直线PM的解析式为y=−x+214，则有点M214,0，进一步将点P向右平移（3）根据题意得，原抛物线沿x轴负半轴平移3个单位，沿y轴正半轴平移3个单位，则y=−x2−4x+3，根据角平分的性质和平行线的性质得FC=CO，过点C作CH⊥DF于点H，设点F−2,m，则【详解】（1）解：令−x2+2x+3=0∴点A−1,0则AB=4；（2）解：过点P作PK∥y轴交BC于点K，如图，则S△PCB即当PK取得最大值时，△PCB的面积取得最大值，∵y=−x∴C0,3设直线BC的解析式为y=kx+bk≠0则3=b0=3k+b，解得k=−1那么，直线BC的解析式为y=−x+3，设点Pt,−t2PK=−t则点P32,154∵PM∥∴设直线PM的解析式为y=−x+b∵直线PM过点P3∴−32+则直线PM的解析式为y=−x+21∴点M21∴BM=9将点P向右平移94个单位得到P∵NQ∥∴PP∴四边形PP则PN=P作点A关于直线PM的对称点A'，连接AA'交PM于点O，交y则AQ=A∵OB=OC=3，∴∠OBC=45°；∵PM∥BC，AA∴AA∴∠BAG=∠AGO=45°，∵OA=1，∴OG=1，则点G0,1，点A设直线AA'的解析式为0=−k2+则直线AA'的解析式为y=−x+214y=x+1则点O17那么，点A'连接P'A'交PM则AQ−PN=当Q点与Q'点重合时，AQ−PN取得最大值，且最大值为线段A∵A'∴AQ−PN的最大值342（3）解：根据题意得，原抛物线沿x轴负半轴平移3个单位，沿y轴正半轴平移3个单位，则y=−x+3∴点F的横坐标为−2，∵FO平分∠CFD，∴∠DFO=∠CFO，∵FD∥y轴，∴∠DFO=∠FOC，∴∠FOC=∠CFO，∴FC=CO=3，过点C作CH⊥DF于点H，如图，设点F−2,m，则CH=OD=2,FH=FD−DH=FD−CO=在Rt△FHC中，F则32=m−3那么，F−2,3−5或【点睛】本题主要考查二次函数和特殊四边形的综合，涉及二次函数的性质、二次函数与坐标轴的交点、一次函数的性质、平移的性质、平行四边形的判定和性质、三角形三边关系、勾股定理、角平分的性质、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和平移的性质，本题难度较大．14．（2024·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3a≠0与x轴交于A−1,0，B3,0两点，与(1)求抛物线的解析式；(2)如图（甲），设点C关于直线l的对称点为点D，在直线l上是否存在一点P，使PA−PD有最大值？若存在，求出PA−PD的最大值；若不存在，请说明理由；(3)如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接MC，过点M作MN⊥CM交直线l于点N．若tan∠MCN=23【答案】(1)y=−(2)PA−PD存在最大值；最大值为10(3)点M的坐标为−1,0或12,154【分析】（1）把A−1,0，B3,0代入抛物线求出a、（2）先求出点C的坐标为0,3，连接PC、PD、PA，根据轴对称的性质得出PC=PD，PA−PC=PA−PD，得出当PA−PC最大时，PA−PD最大，根据当点A、C、P三点在同一直线上时，PA−PC最大，即当点P在点P'时，PA−PD（3）过点M作ED∥y轴，过点C作CD⊥DE于点D，过点N作NE⊥DE于点E，设点M的坐标为：m,−m2+2m+3，得出DM=−m2+2m+3−3=−m2+2m，NE=m−1，证明△CDM∽△MEN【详解】（1）解：把A−1,0，B3,0代入a−b+3=09a+3b+3=0解得：a=−1b=2∴抛物线的解析式为：y=−x（2）解：PA−PD存在最大值；把x=0代入y=−x2+2x+3∴点C的坐标为0,3，∵y=−x∴抛物线的对称轴为直线x=1，连接PC、PD、PA，如图所示：∵点C关于直线l的对称点为点D，点P在直线l上，∴PC=PD，∴PA−PC=PA−PD，∴当PA−PC最大时，PA−PD最大，∴当点A、C、P三点在同一直线上时，PA−PC最大，即当点P在点P'时，PA−PD∴PA−PD最大值为：AC=1（3）解：过点M作ED∥y轴，过点C作CD⊥DE于点D，过点N作NE⊥DE于点∵CM⊥MN，∴∠CMN=90°，∴tan∠MCN=设点M的坐标为：m,−m∴DM=−m2∵∠CMN=∠NEM=∠CDM=90°，∴∠DCM+∠CMD=∠CMD+∠NME=90°，∴∠DCM=∠NME，∴△CDM∽△MEN，∴NEDM∴m−1−∴2−当m≤0时，−m2+2m≤02m解得：m1=−1，此时点M坐标为：−1,0；当0<m≤1时，−m2+2m>0−2m解得：m1=3此时点M坐标为：12当1<m≤2时，−m2+2m≥0−2m解得：m1=3此时点M坐标为：32当m>2时，−m2+2m<02m解得：m1=3，此时点M坐标为：3,0；综上分析可知：点M坐标为：−1,0或12,154或【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，轴对称的性质，两点间距离公式，解直角三角形的相关计算，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论．题型04垂线段最短模型15．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AB=4，AD=DC=2，E是线段AD的中点，F是线段AB上的一个动点．现将△AEF沿EF所在直线翻折得到△A'EF（如图的所有点在同一平面内），连接A'B，AA．2−2 B．3−2 C．10−【答案】B【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，根据题意得到点A'在以点E过点C作CG⊥AB于点G，可得四边形ADCG是矩形，从而得到CG=AD=2，AG=CD=2，再利用勾股定理求出BC的长，从而得到当点A'到BC的距离最小时，△A'BC面积最小，过点A'作A'H⊥BC交BC的延长线于点H，即当A'H最小时，△A'BC面积最小，然后结合可得点A'在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动，当点E，A'，H三点共线时，A'H最小，此时【详解】解：如图，过点C作CG⊥AB于点G，∵AB∥DC，AD⊥DC，AD=DC=2，∴∠ADC=∠DAG=∠AGC=90°，∴四边形ADCG是矩形，∴CG=AD=2，AG=CD=2，∵AB=4,∴BG=AB−AG=4−2=2，∴BC=C∴当点A'到BC的距离最小时，△过点A'作A'H⊥BC交BC的延长线于点H，即当A∵E是线段AD的中点，AD=2，∴DE=AE=1由折叠的性质得：A'∴点A'在以点E∴当点E，A'，H三点共线时，A'H延长AD，BC交于点M，过点D作DN⊥CM于点N，则DN∥∴△MND∽△MHE，∵CG=BG=2，∠BGC=90°，∴∠ABC=∠BCG=45°，∵AB∥∴∠DCM=∠ABC=45°，∵∠CDM=180°−∠ADC=180°−90°=90°，∴△CDM是等腰直角三角形，∴DM=CD=2，DN=MN=NC=1∴CM=DM2∴DN=1∵△MND∽△MHE，∴DMEM=DN∴EH=3∴A∴S△即△A'BC故选：B．16．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=4，对角线BD=43，点P是边CD的中点，点M是对角线BD上的一个动点，连接PM、CM．则PM+CM的最小值是【答案】2【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定，连接AC，根据两点之间线段最短可知PM+CM的最小值为CP'，再结合菱形的性质得AD=AB=CD=4，AC⊥BD,DO=12BD=23，AO=1【详解】解：如图，连接AC，作点P关于直线BD的对称点P'，则PM=P'M，点P∴PM+CM=P根据两点之间线段最短，可知PM+CM的最小值为CP∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=CD=4，根据勾股定理，得AO=A∴AC=AD=CD=4．∵点P'是AD∴CP'⊥AD在Rt△ACP'所以PM+CM的最小值为23故答案为：2317．（2025·山东·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8．点P为边AC上异于A的一点，以PA，PB为邻边作▱PAQB，则线段PQ的最小值是【答案】24【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、垂线段最短等知识点，掌握平行四边形对角线相互平分是解题的关键．由勾股定理可得AC=10，设AB与PQ交于点O，过O作OP1⊥AC于点P1，由四边形作PAQB是平行四边形得OA=OB=12AB=3、OP=OQ=12PQ，根据垂线段最短可得当OP【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8∴AC=A如图，设AB与PQ交于点O，过O作OP1⊥AC∴∠AP∵四边形PAQB是平行四边形，∴OA=OB=12∴当线段PQ长最小，则线段OP的长最小，由垂线段最短可得：OP1⊥AC时，即P与P∵sin∠BAP=∴OP13∴线段PQ长最小为2OP故答案为：24518．（2025·山东东营·中考真题）如图，在△ABC中，AB=6，∠BAC=30∘，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是【答案】3【分析】本题考查了角平分线的性质，含30°角的直角三角形，垂线段最短，解题的关键是正确作出辅助线．作BH⊥AC于点H，根据垂线段最短可知，BM+MN的最小值是线段BH的长度，根据解含30°角的直角三角形即可．【详解】解：如图，作BH⊥AC于点H，∵AD平分∠BAC，作点N关于AD的对称点K，∴BM+MN=BM+MK≥BH，∵AB=6，∠BAC=30∴BH=1∴BM+MN≥3，∴BM+MN的最小值是3，故答案为：3．19．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图1，在矩形ABCD中，AB=3，BC=33，点M是边BC上一个动点，点N在射线CD上，∠MAN=60∘．线段AM的垂直平分线分别交直线AB、AM、AN、CD于点E、F(1)直接写出∠ACB=___________°，EHAM(2)当BM=1时，求EF+GH的值；(3)如图2，连接MG并延长交直线CD于点P．①求证：MG=PG；②如图3，过点P作直线EH的垂线，分别交直线EH、AN于点T、Q，连接DQ，求线段DQ的最小值．【答案】(1)30°，3(2)30(3)①见解析

②3【分析】（1）过点E作EK⊥CD于点K，即可得到四边形EBCK是矩形，然后证明△ABM∽△EKH，即可求出EHAM的值，然后根据正切的定义求出∠ACB（2）根据勾股定理求出AM长，利用（1）的结论求出EH长，然后证明△AGM是等边三角形，根据正弦的定义求出GF长解答即可；（3）①根据（2）的证明得到EF+GH=FG，过点M作ML∥AB交EH于点L，则有△AEF≌△MLF，得到EF=FL，即可得到LG=GH，然后根据平行线分线段成比例得到结论即可；②连接CG，CQ，根据直角三角形斜边上的中线性质和平行线分线段成比例得到AG=GM=CG=GQ，进而判断∠ACQ=90°，即可得到点Q在与线段CD夹角为30°的射线上，然后根据垂线段最短解答即可．【详解】（1）解：过点E作EK⊥CD于点K，∵ABCD是矩形，∴∠B=∠BCD=∠EKC=∠EKH=90°，∴四边形EBCK是矩形，∴EK=BC=33

，∠AEF=90°又∵AM⊥EH，∴∠EAM+∠AEH=∠HEK+∠AEH=90°，∴∠EAM=∠HEK，∴△ABM∽△EKH，∴EHAM∵tan∠ACB∴∠ACB=30°，故答案为：30°，3；（2）解：∵AB=3，BM=1，∴AM=AB2根据（1）中结论可得EH=3又∵EH垂直平分AM，∴AG=GM，又∵∠MAN=60°，∴△AGM是等边三角形，∴AG=AM=10∴GF=AG⋅sin∴EF+GH=EH−FG=30（3）①证明：根据（1）中结论可得EH=3又∵EH垂直平分AM，∴AG=GM，又∵∠MAN=60°，∴△AGM是等边三角形，∴AG=AM，∴GF=AG⋅sin∴EF+GH=EG−FG=3过点M作ML∥AB交EH于点L，则∠EAF=∠LMF，∠AEF=∠MLF，又∵EH垂直平分AM，∴AF=FM，∴△AEF≌△MLF，∴EF=FL，∴LG=GH，又∵AB∥CD，AB∥ML，∴ML∥CD，∴MGPG=FG②连接CG，CQ，∵∠BCD=90°，MG=PG，∴CG=MG=PG，又∵EH垂直平分AM，EH⊥PQ，∴GA=GM，AM∥PQ，∴AGGQ∴AG=GM=CG=GQ，∴∠GAC=∠GCA，∠GCQ=∠GQC，∴∠ACQ=90°，又∵∠ACB=30°，∴∠ACD=60°，∴∠DCQ=30°，即点Q在与线段CD夹角为30°的射线上，∴过点D作DQ1⊥CQ当点Q在Q1时，DQ这时DQ=1【点睛】本题考查矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理和等边三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．20．（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，OA=2，OB=6，D是直线BC上方抛物线上一动点，作DF⊥AB交BC于点E，垂足为点F(1)求抛物线的表达式；(2)设点D的横坐标为t，①用含有t的代数式表示线段DE的长度；②是否存在点D，使△CDE是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连接OE，将线段OE绕点O按顺时针方向旋转90°得到线段OG，连接AG，请直接写出线段AG长度的最小值．【答案】(1)y=−(2)①DE=−14t2+3(3)2【分析】（1）运用待定系数法即可求解；（2）①求出直线BC：y=−12x+3，则Dt,−14t（3）在y轴负半轴取点N0,−6，连接NG并延长交x轴于点M，连接AN，证明△BOE≌△NOGSAS，则∠CBO=∠MNO，确定点G在线段MN上运动（不包括端点），故当AG⊥MN时，AG最小，可证明△COB≌△MONASA，求得MN=OM【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，OA=2∴A−2,0∴4a−2b+3=0解得：a=−1∴抛物线表达式为y=−1（2）解：①对于抛物线表达式y=−1当x=0,y=3，∴C0,3设直线BC表达式为：y=kx+b，则6k+b=0b=3解得：k=−1∴直线BC：y=−1∵DE⊥AB，∴Dt,−14∴DE=−1∴DE=−1②存在，CD=t2当DE=CE时，−1解得：t=6−25或t=0∴−1∴D6−2当CD=DE时，t整理得：t2解得：t=1或t=0（舍），∴−1∴D1,当CD=CE时，t整理得：t2解得：t=2或t=6（舍）或t=0（舍），∴−1∴D2,4综上：△CDE是等腰三角形时，D2,4或D1,15（3）解：在y轴负半轴取点N0,−6，连接NG并延长交x轴于点M，连接AN由旋转得：OE=OG,∠EOG=90°，∵B6,0∴OB=ON，∵∠BON=90°，∴∠1=∠2=90°−∠MOG，∴△BOE≌△NOGSAS∴∠CBO=∠MNO，∴点G在线段MN上运动（不包括端点），∴当AG⊥MN时，AG最小，∵∠CBO=∠MNO，OB=ON，∠COB=∠MON，∴△COB≌△MONASA∴OM=OC=3，∴MN=O∴当AG⊥MN时，S∴12∴AG=25∴线段AG长度的最小值25【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及得到系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的存在性问题，两点间距离公式，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识点，难度较大，综合性强．题型05马道驿站模型（造桥选址问题）21．（21-22八年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知P(4,3)，B(−2,0)，点Q从点P出发，先沿直线移动到y轴上的点M处，再沿垂直于y轴的方向向左移动1个单位至点N处，最后沿直线移动到点B处停止．当点Q移动的路径最短时（即三条线段PM、MN、NB长度之和最小），点M的坐标是（）A．0,12 B．0,35 C．【答案】B【分析】将BN沿NM方向平移MN长的距离得到AM，连接AB，可得四边形ABNM是平行四边形，根据当A，M，P在同一直线上时，AM+PM有最小值，最小值等于线段AP的长，即BN+PM的最小值等于AP长，可得PM、MN、NB长度之和最小，再根据待定系数法求得AP的解析式，即可得到点M的坐标．【详解】解：如图，将BN沿NM方向平移MN长的距离得到AM，连接AB，则BN=AM，∴四边形ABNM是平行四边形，∴MN=AB=1，∴当A，M，P在同一直线上时，AM+PM有最小值，最小值等于线段AP的长，即BN+PM的最小值等于AP长，此时PM、MN、NB长度之和最小，∵P(4,3)，B(−2,0)，AB=1，∴A(−1,0)，设AP的解析式为y=kx+b，则0=−k+b3=4k+b解得k=3∴y=3令x=0，则y=35，即故选：B．【点睛】本题主要考查了最短路线问题以及待定系数法的运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理．22．已知，如图，线段CD长为8，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，AC=4，BD=3，EF为线段CD上两动点，F在E右侧且EF=1，则由A到B的路径：AE+EF+FB的最小值为．【答案】72+1【分析】过点A作AA'∥CD且AA'=EF=1，作A'关于CD的对称点A1，连接A'A1交CD于点O，连接A1B交CD于点F，过点A作AE∥A'F交CD于E，证明△ACE≌△A'OF，再根据全等三角形的性质，得出AE=A'F，再根据轴对称的性质，得出【详解】解：过点A作AA'∥CD且AA'=EF=1，作A'关于CD的对称点A1，连接A'A1交CD于点O，连接A1∵AE∥∴∠AEC=∠A∵AC=A'O∴△ACE≌△A∴AE=A∵A'关于CD的对称点A∴A'∴AE=A∴AE+FB=A∴AE+FB的最小值为A1B的长，此时，过点A1作A1H⊥BD交BD∴A1∵AC=A∴BH=AC+BD=7，∴A1∴AE+EF+FB的最小值为72故答案为：7【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、两点之间线段最短、勾股定理，解本题的关键在正确作出辅助线．23．（2020九年级·全国·专题练习）如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=4，BC=12，∠ABC=60°，点E、F是AD边上的动点，且EF=2，则四边形BEFC周长的最小值为．

【答案】14+2【分析】根据题意，将点B沿BC向右平移2个单位长度得到点B'，作点B'关于AD的对称点B″，连接CB″，交AD于点F，在AD上截取EF=2，连接BE，B'F，此时四边形BEFC的周长为B″C+EF+BC【详解】如下图，将点B沿BC向右平移2个单位长度得到点B'，作点B'关于AD的对称点B″，连接CB″，交AD于点F，在AD上截取EF=2∴BE=B'F此时四边形BEFC的周长为BE+EF+FC+BC=B当点C、F、B″三点共线时，四边形BEFC∵AB=4，BB'=2∴B'B∴AB∴B∵BC=12，∴B∴B∴B四边形BEFC周长的最小值为14+237故答案为：14+237

【点睛】本题主要考查了四边形周长的最小值问题，涉及到含30°的直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握相关轴对称作图方法以及线段长的求解方法是解决本题的关键．24．（2025·四川雅安·一模）如图：菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°，点E，点F是对角线AC上的两动点，EF=2，连接BF，DE，则BF+DE的最小值为【答案】2【分析】连接BD交AC于点O，作DM∥AC，使得DM=EF=2，连接BM交AC于点F，可得四边形DEFM是平行四边形，因此DE=FM，根据两点之间线段最短可知，此时DE+BF=FM+FB=BM最短，再结合已知可得△ABD是等边三角形，进而得BD=AB=4，在Rt△BDM中，根据勾股定理即可求出BM【详解】解：连接BD交AC于点O，作DM∥AC，使得DM=EF=2，连接BM交AC于点F，∵DM=EF，DM∥EF∴四边形DEFM是平行四边形，∴DE=FM，∴DE+BF=FM+FB=BM，根据两点之间线段最短可知，此时BF+DE最短，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=4，∵DM∥EF，∴∠COD=∠MDO=90°，在Rt△BDM中，BM=∴BF+DE的最小值为25故答案为：25【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，两点之间线段最短，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．25．（2023·陕西咸阳·一模）【问题提出】（1）如图1，点A、B在直线l的同侧，点A到直线l的距离AC=2，点B到直线l的距离BD=4，A、B两点的水平距离CD=8，点P是直线l上的一个动点，则AP+BP的最小值是________；【问题探究】（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动，若EF=1，求GE+CF的最小值；【问题解决】（3）如图3，某公园有一块形状为四边形ABCD的空地，管理人员规划修两条小路AC和BD（小路的宽度忽略不计，两条小路交于点P），并在AD和BC上分别选取点M、N，沿PM、PN和MN修建地下水管，为了节约成本，要使得线段PM、PN与MN之和最小．已测出∠ACB=45°，∠ADB=60°，∠CPD=75°，PD=40m，PC=502m

【答案】（1）10；（2）32；（3）能实现，最小值为20【分析】（1）作点A关于直线l的对称点A'，连接BA'交直线l于P，则AP+BP的值最小，且AP+BP的最小值=A'（2）如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，连接EH，G'E，G'H，则G'E=GE（3）作点P关于AD、BC的对称点E、F，连接PE，PF分别交AD、BC于点O、H，则PE⊥AD，PF⊥BC，连接EF，与AD、BC的交点即为点M、N的位置，连接PM，PN，此时PM=EM，PN=FN，EF的长就是PM+PN+MN的最小值，过点E作EG⊥PF交FP的延长线于点G，根据勾股定理即可得到结论．【详解】.解：（1）如图，作点A关于直线l的对称点A'，连接BA'交直线l于P，则AP+BP的值最小，且AP+BP的最小值=A'B，过A'作A

∴BE=2+4=6，∴A即AP+BP的最小值是10；（2）如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1连接EH，G'E，G'

∵CH=EF=1，CH∥EF，∴四边形EFCH是平行四边形，∴EH=CF，∴GE+CF=G∵AB=4，BC=AD=2，G为AD的中点，∴DG'=AD+A由勾股定理得G'∴GE+CF≥32，即GE+CF的最小值为：3（3）管理人员的想法能实现，作点P关于AD、BC的对称点E、F，连接PE，PF分别交AD、BC于点O、H，AP⊥AD，PF⊥BC，连接EF，与AD、BC的交点即为点M、N的位置，连接PM，PN，此时PM=EM，PN=FN，EF的长就是PM+PN+MN的最小值，过点E作EG⊥PF交FP的延长线于点G，

∵∠ACB=45°，∠ADB=60°，PE⊥AD，PF⊥BC，∴∠CPH=45°，∠DPO=30°，∵PC=502m，∴PH=PC⋅sin∠BCP=50m∴OP=P∴PE=2OP=403m，∵∠CPH=45°，∠CPD=75°，∠DPO=30°，∴∠EPG=180°−∠CPH−∠CPD−∠DPO=30°，∵EG⊥PG，∴GE=1∴PG=P∴GF=PG+PF=160m在Rt△GEF中，EF=∴PM+PN+MN的最小值为2067【点睛】本题是四边形的综合题，考查了轴对称-最短路线问题及矩形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．26．（2025·湖南娄底·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4a≠0经过点−1,6，与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点(A在B的左侧)，连接AC，(1)求抛物线的表达式；(2)点G是x轴上方抛物线上的一点，x轴上是否存在一点H，使得以A，C，G，H为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．(3)点P是射线CA上方抛物线上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，交AC于点D．点M是线段DE上一动点，MN⊥y轴，垂足为N，点F为线段BC的中点，连接AM，NF,当线段PD长度取得最大值时，求AM+MN+NF【答案】(1)抛物线表达式为y=−(2)存在，H的坐标为−7,0或5−412,0或(3)AM+MN+NF的最小值为41【分析】（1）由解析式知OC=4，由tan∠CBA=4，即COBO=4，知BO=1，即B1,0，再把B1,0，−1,6代入y=a（2）先求出A−4,0，设Gm，−m2−3m+4，Hn,0，当以A，C，G，H为顶点的四边形是平行四边形时，分以下三类讨论：①当AC、GH为对角线时，②当AH、GC为对角线时，（3）由待定系数法可知直线AC的表达式为y=x+4，设Gt,−t2−3t+4，Dt,t+4，则PD=−t2−4t=−(t+2)2+4，即PD最大值为4时，t=−2，此时EO=MN=2,再求出F12,2,构造平行四边形MNFH，则由平行四边形性质可得H−32,2，则【详解】（1）解：由抛物线y=ax2+bx+4∵tan∠CBA=4，即∴BO=1，即B1,0把B1,0，−1,6代入y=a得a+b+4=0a−b+4=6，解得a=−1∴抛物线表达式为y=−x（2）解：存在，理由如下：令−x2−3x+4=0∵B1,0∴∴xA=−4设Gm,−m2−3m+4，Hn,0则当以A，C，G，H为顶点的四边形是平行四边形时，分以下三类讨论：①当AC、GH为对角线时，由平行四边形对角线性质可得m+n=−4−m2−3m+4=4，解得：∴H−1,0②当AH、GC为对角线时，同理可得n−4=m−m2−3m+8=0，解得：∴H5−412③当AG、CH为对角线时，同理可得m−4=n−m2−3m+4=4，解得：∴H−7,0综上，H的坐标为−7,0或5−412,0或5+（3）解：由待定系数法可知直线AC的表达式为y=x+4，设Pt,−t2−3t+4，∴PD最大值为4时，t=−2，此时EO=MN=2，∵点F为线段BC的中点，∴F1构造平行四边形MNFH，则由平行四边形性质可得H−∴AM+NF=AM+MH≥AH，当且仅当A、M、H共线时取等号．故AH=522+2∴AM+MN+NF的最小值为412【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式、解直角三角形、平行四边形的存在性问题、二次函数与线段最值、线段和最小值问题等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键．题型06鹊桥相会模型27．（23-24八年级下·陕西西安·期中）（1）如图1，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为−1,0,3,0，现同时将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A,B的对应点C,D，连接AC，BD,CD，直接写出点C的坐标______，D的坐标______及四边形（2）如图2，A，B两单位分别位于一条封闭街道的两旁（直线l1,l2是街道两边沿），现准备修建一座过街人行天桥．天桥应建在何处才能使由A经过天桥走到【答案】（1）0，【分析】本题考查坐标与图形性质；点的平移和三角形的面积,解答的关键得到四边形ACDB是平行四边形，（1）根据点的平移规律即可得点C，D的坐标；由S四边形ABDC=AB⋅CO（2）沿竖直方向向下平移点A，使得平移的距离等于桥长，再根据两点之间线段最短，确定桥的位置即可；【详解】解：（1）依题意，得C0∴S四边形（2）如图，将点A沿竖直向下的方向平移，平移距离等于桥长，到达点A1，连接A1B，与街道l2交于点P，过28．（2020·湖北武汉·模拟预测）【问题探究】如图1，a//b，直线MN⊥a，垂足为M，交b于点N，点A到直线a的距离为2，点B到b的距离为1，MN=1，AB=5，则AM+BN的最小值是；（提示：将线段BN沿【关联运用】如图3，在等腰Rt△ABC和等腰Rt△DEF中，∠ACB=∠DFE=90°，EF在直线AB上，BC=2DF=4，连接CE、CF，则CE+CF的最小值是．

【答案】32【分析】[问题探究]过点A作AH⊥b于H，过点B作BK⊥b于K，作BJ⊥AH交AH的延长线于J，连接MK、AB和AK，根据两点之间线段最短可得AM+BN=AM＋MK≥AK（当且仅当A、M、K共线时，取等号），然后利用勾股定理求出AK即可；[关联运用]过点F作直线l∥BA，交CA的延长线于点N，取AC的中点G，作C关于直线l的对称点M，连接MF、GF、MN，根据对称性和平行四边形的判定及性质推出CF=MF，GF=CE，根据两点之间线段最短可得CE+CF=GF＋MF≥MG（当且仅当G、F、M共线时，取等号），然后利用勾股定理求出MG即可．【详解】解：[问题探究]过点A作AH⊥b于H，过点B作BK⊥b于K，作BJ⊥AH交AH的延长线于J，连接MK、AB和AK

由图易知，四边形HJBK为矩形，MN=BK=1，MN∥BK，AH=2＋1=3，AJ=2＋1＋1=4∴四边形MNBK为平行四边形，HK=BJ∴BN=MK∴AM+BN=AM＋MK≥AK（当且仅当A、M、K共线时，取等号）在Rt△ABJ中，BJ=A∴HK=3∴AK=A∴AM+BN≥3即AM+BN的最小值是32故答案为：32[关联运用]过点F作直线l∥BA，交CA的延长线于点N，取AC的中点G，作C关于直线l的对称点M，连接MF、GF、MN

由对称性可得CF=MF，CN=MN，∠CNF=∠MNF∵在等腰Rt△ABC和等腰Rt△DEF中，BC=2DF=4∴∠FED=∠BAC=45°，EF=DF=2，AC=BC=4∴EF∥AC，CG=AG=12∴四边形CEFG为平行四边形∴GF=CE∴CE+CF=GF＋MF≥MG（当且仅当G、F、M共线时，取等号）∵直线l∥BA∴四边形EFNA为平行四边形，∠CNF=∠BAC=45°∴AN=EF=2，∠CNF=∠MNF=45°∴GN=AG＋AN=4，MN=CN=AC＋AN=6，∠MNC=∠CNF＋∠MNF=90°根据勾股定理可得MG=G∴CE+CF≥2即CE+CF的最小值为213故答案为：213【点睛】此题考查的是两点之间线段最短的应用、勾股定理、平行四边形的判定及性质、矩形的判定及性质和轴对称的性质，掌握两点之间线段最短、勾股定理、平行四边形的判定及性质、矩形的判定及性质和轴对称的性质是解决此题的关键．29．（2025·安徽·中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AB=4，BC=3，AD=1，点E为边AB上的动点．将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接FB，FC，EC，则下列结论错误的是（

）A．EC−ED的最大值是25 B．FB的最小值是C．EC+ED的最小值是42 D．FC的最大值是【答案】A【分析】本题主要围绕四边形中的动点问题展开，解题思路是先通过旋转的性质得到相关线段和角的关系，再利用勾股定理建立线段之间的联系，最后根据点与点之间的位置关系以及几何性质来分别判断各个结论的正确性．【详解】解：∵将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，∴DE=DF，∠EDF=90°．又∵∠A=∠ABC=90°，AB=4，BC=3，AD=1，过点D作DG⊥BC于点G，在DG上取一点H，使得DH=AD=1,延长FH交AB于点I，则四边形ABGD是矩形，∴∠GDA=∠ADE+∠EDG=90°=∠EDG+∠HDF．∴∠ADE=∠HDF，∴△DHF≌△DAE（SAS），∴∠DHF=∠DAE=90°,∴FH⊥DG，即点F在FH上运动，∴四边形DAIH和四边形BGHI是矩形，∴HI=AD=BG=1，AI=DH=1，BI=4−1=3，∵∠A=∠ABC=90°，AB=4，BC=3，AD=1，∴DE=12∴EC−ED=3∴BE最大时，EC−ED最大，当点E与点A重合时，F与H重合时，BF最小,此时EC=42+32=5，ED=1,EC−ED=5−1=4≠25作点D关于AB的对称点M，连接MC,则ED=EM，AD=AM=1，∠BAM=∠BAD=90°,过M作MN⊥CB于点N，此时EC+ED≥CM,当C、E、M三点共线时，EC+ED最小，∵MN⊥CB,∠ABN=180°−90°=90°,∴四边形AMNB是矩形，∴BN=AM=1，CN=3+1=4，AB=MN=4,∴EC+ED的最小值=AC=42+42当E与A重合时，CF=GH当E与B重合时，过C作CQ⊥FH，则四边形CQIB是矩形，如下图，∴CQ=IB=4−1=3，QI=BC=3，∵△DHF≌△DAE，∴FH=AE=4，∴QF=FH+HI−QI=4+1−3=2,∴FC=C综上，FC最大值为13．故D项正确，不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定及性质，勾股定理以及几何最值问题，熟练掌握旋转的性质和勾股定理，并能根据几何图形的特点准确分析线段之间的关系是解题的关键．30．（2025·新疆·中考真题）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=4，AD=aBN，点M是AB的中点，点D和点N分别是线段AC和BC上的动点．(1)当点D和点N分别是AC和BC的中点时，求a的值；(2)当a=2时，以点C，D，N为顶点的三角形与△BMN相似，求BN(3)当a=2时，求MN+ND【答案】(1)a=(2)BN=3−(3)10【分析】（1）勾股定理求出AB,AC的长，中点求出AD的长，BN的长，根据AD=aBN，求出a的值即可；（2）设BN=x，得到AD=2x，CN=BC−BN=4−x，进而得到CD=AC−AD=22−2（3）作DE∥BC，AE⊥DE于点E，连接BE，易得△AED为等腰直角三角形，得到AD=2DE=2AE，∠DAE=45°，进而得到四边形EDNB为平行四边形，得到BE=DN，将AB绕点B旋转90度得到BF，连接NF,MF，证明△AEB≌△BNF，得到BE=DF，进而得到DF=DN，得到【详解】（1）解：∵等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠A=90°，BC=4，AB∴AB=AC=2∵点D和点N分别是AC和BC的中点，∴AD=12AC=∵AD=aBN，∴a=AD（2）∵a=2，AD=aBN∴AD=2设BN=x，则：AD=2x，∵等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=4，∴AB=AC=22∴CD=AC−AD=22∵M是AB的中点，∴AM=BM=2∴∠B=∠C=45°，当点C，D，N为顶点的三角形与△BMN相似时，分两种情况：①当△CDN∽△BMN时，则：CDBM∴22此方程无解，不符合题意；②当△CND∽△BMN时，则：CNBM∴4−x2解得：x=3+5（不符合题意，舍去）或x=3−∴BN=3−5综上：BN=3−5（3）∵a=2，AD=aBN∴AD=2作DE∥BC,AE⊥DE于点E，连接BE，则：∠ADE=∠C=45°，∴△AED为等腰直角三角形，∴AD=2DE=2∴AE=DE=BN，∠BAE=45°，又DE∥BN，∴四边形EDNB为平行四边形，∴BE=DN，将AB绕点B旋转90度得到BF，连接NF，MF，则：BF=AB=22∵∠ABC=45°，∴∠NBF=45°=∠BAE，又∵AB=BF，AE=BN，∴△AEB≌△BNF，∴BE=NF，∴DN=NF，∴MN+ND=MN+NF≥MF，∴当点N在线段MF上时，MN+ND的值最小为MF的长，在Rt△MBF中，BM=∴MF=B∴MN+ND的最小值为10．【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，求线段和的最小值，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造特殊图形，是解题的关键．31．（2025·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4a≠0交x轴于A、B4,0两点，与y轴交于点C(1)求抛物线的解析式；(2)P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PM∥x轴交直线BC于点M，过点P作PN⊥BC于点N，H为直线BC上的一动点．当14PM+2(3)将该抛物线沿CA方向平移5个单位长度得到得新抛物线y'，Q为新抛物线y'上的一个动点．当∠QAC=∠BCA时，请求出所有符合条件点【答案】(1)y=−(2)2(3)Q11+【分析】（1）首先求出C0,4，然后结合tan∠CAO=2求出（2）首先求出直线BC表达式为y=−x+4，设M12m2−m,−12m2+m+4，表示出PM，由△PMN是等腰直角三角形表示出PN=22PM，然后代入14PM+22PN利用二次函数的性质求出当x=2时，取得最大值32，得到此时P2,4，M0,4（3）首先求出sin∠CAO=255，cos∠CAO=55，然后得出平移方式，进而得到平移后的表达式，然后根据题意分两种情况讨论：当点Q在y【详解】（1）∵抛物线y=a∴当x=0时，y=4∴C0,4，即∵tan∴OA=2∴A∴将A−2,0，B4,0代入4a−2b+4=0解得a=−∴y=−1（2）∵P是直线BC上方抛物线上的一动点，∴设P∵B4,0，∴可得直线BC表达式为y=−x+4∵过点P作PM∥x轴交直线BC于点M，∴设M∴PM=m−∵OC=OB=4∴△OBC是等腰直角三角形∴∠OBC=∠OCB=45°∵PM∥x∴∠OCN=∠OBC=45°∵PN⊥BC∴△PMN是等腰直角三角形∴PN=∴1=∵−∴当x=2时，取得最大值3∴此时P2,4，∴此时点M和点C重合，如图所示，延长PN交y轴于点D，连接AH，PH，DH，AD∴△PCD，△CDN是等腰直角三角形，∴CD=CP=2∴点D和点P关于直线BC对称∴D0,2，即∴DH=PH∴AH−PH∴当点A，D，H三点共线时，AH−PH取得最大值，即AD的长度∴AD=∴AH−PH的最大值为22（3）∵tan∠CAO=2∴sin∠CAO=2∵将该抛物线沿CA方向平移5个单位长度得到得新抛物线y∴平移方式为向左平移5×cos∠CAO=1∵y=−∴平移后的新抛物线y'表达式为y∵∠QAC=∠BCA∴当点Q在y轴右边时，如图所示，延长AQ交直线BC于点D，交y'于点Q∴DAC=∠DCA∴AD=CD，即A设D∵A−2,0，∴AD2∴2解得t=5∴D∵A∴可得直线AD表达式为y=−∴联立得，y=−解得x=1±∴Q1当点Q在y轴左边时，如图所示，过点A作AQ3∥BC交y∴∠BCA=∠CA∴设直线AQ3将A−2,0代入得，∴n=−2∴直线AQ3∴联立得，y=−x−2解得x=1−10或x=1+∴Q综上所述，点Q的坐标为Q11+274【点睛】此题考查了一次函数，二次函数和几何综合，待定系数法求二次函数解析式，线段最值问题，解直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．32．（2024·山东济南·模拟预测）数形结合思想可以借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观来阐明数之间某种关系．

(1)2002年世界数学家大会（ICM2002）在北京召开，这届大会会标（如图1）的中央图案是经过艺术处理的“弦图”（如图2），它由4个全等的直角三角形拼成，请观察“弦图”直接写出a、b、c满足的等量关系为______．(2)某数学兴趣小组，采用数形结合思想解决了如下问题：已知线段AB=8，点C在线段AB上，AC=x,BC=y，求x2他们解决问题的思路是：如图3，在线段AB的同侧构造了两个Rt△ACD和Rt△BCE，∠CAD=∠CBE=90°，令AD=2,BE=4，利用勾股定理，得出CD=x(3)如图4，在△ABC中，∠CAB=30°，点D、E分别为AB、BC上的动点，且BD=CE,AC=23,BC=2，求【答案】(1)a2(2)x2+4+(3)AE+CD的最小值为27【分析】（1）根据正方形面积公式求出面积即可；（2）延长DA到点D'，使AD'=AD，连接D'E交AB于点C'，作D'F⊥EB（3）过点C作CF∥AB，并截取CF=CB，连接EF，过点A作AG⊥CF，交FC的延长线于点G，得∠DBC=∠ECF，从而证明△BCD≌△CFESAS，当A、E、F本题主要考查勾股定理的应用，矩形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练应用数形结合思想是解题的关键．【详解】（1）由图2得，正方形的面积为c2或4×∴a2故答案为：a2（2）延长DA到点D'，使AD'=AD，连接D'E交AB于点C'

∵AD=AD'，∴CD=CD∴CD+CE=CD'+CE≥∵∠D∴四边形AD∴BF=AD'=AD=2∴EF=BE+BF=4+2=6，∴D'∴CD+CE最小值为10，即x2+4+（3）过点C作CF∥AB，并截取CF=CB，连接EF，过点A作AG⊥CF，交FC的延长线于点

∵CF∥∴∠DBC=∠ECF，又∵BD=CE，BC=CF，∴△BCD≌△CFESAS∴CD=EF，∴AE+CD=AE+EF≥AF（当A、E、F三点共线时，取“=”号）∵CF∥∴∠ACG=∠CAB=30°，∴AG=12AC=∴GF=GC+CF=GC+BC=3+2=5，∴AF=A∴AE+CD的最小值为2733．（2024·陕西榆林·二模）【问题提出】（1）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=8，BC=15，点E为AD的中点，点F为BC上一点，连接EF，EF∥【问题探究】（2）如图2，菱形ABCD的边长为8，且∠ABC=60°，E是CD的中点，F为对角线AC上一动点，连接DF、EF，求△DEF周长的最小值；【问题解决】（3）某校为了开展劳动教育，开辟出一块四边形空地，其平面示意图如图3中四边形ABCD所示，经测量，BC=24米，CD=16米，∠BCD=90°，并沿着对角线BD修建一条隔墙（厚度不计）将该空地分成△ABD和△BCD两个区域，其中△ABD区域为幼苗培育区，△BCD区域为作物观察区，BD的中点P处有一扇门，现计划在BC上取点E、F（点E在点F左侧），并沿EF修建一面结果记录墙（厚度不计），根据规划要求，EF=5米，且PE与DF的长度之和最小，请问PE+DF的值是否存在最小值？若存在，求出PE+DF的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）11；（2）47+4；（3）PE+DF的值存在最小值，最小值为【分析】（1）根据中点的定义求出DE=12AD=4，再证明四边形CDEF（2）先求出CE=DE=12CD=4，则当DF+EF最小时，△DEF的周长最小．连接BF、BE，BE交AC于点F'，证明△ABF≌△ADF(SAS)，则BF=DF，即可得到DF+EF=BF+EF，则当B、F、E三点共线，即点F在点F'的位置时，BF+EF取得最小值，最小值为BE的长．过点E作EH⊥BC交BC（3）过点P作PH⊥CD于点H，得到CH=DH=12CD=8米．在PH上取点N，使得PN=EF=5米，连接NF．得到四边形PEFN为平行四边形，进一步得到PE+DF=NF+DF．作点N关于BC的对称点N'，连接N'F，DN'，DN'交BC于点F'，连接N'N交BC于点G，则BC垂直平