湖南省长沙市雅礼教育集团2026届高一数学第二学期期末教学质量检测试题含解析

湖南省长沙市雅礼教育集团2026届高一数学第二学期期末教学质量检测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E是棱AB的中点，F是侧面AA1D1D内一点，若EF∥平面BB1D1D，则EF长度的范围为（）A． B． C． D．2．设向量,若,则实数的值为()A．1 B．2 C．3 D．43．设满足约束条件则的最大值为（）.A．10 B．8 C．3 D．24．函数的部分图象如图所示，函数，则下列结论正确的是（）A．B．函数与的图象均关于直线对称C．函数与的图象均关于点对称D．函数与在区间上均单调递增5．采用系统抽样方法从人中抽取人做问卷调查，为此将他们随机编号为，，，，分组后某组抽到的号码为1．抽到的人中，编号落入区间的人数为（）A．10 B． C．12 D．136．圆心为且过原点的圆的一般方程是A． B．C． D．7．已知为等差数列，，则的值为（）A．3 B．2 C． D．18．已知是非零向量，若，且，则与的夹角为（）A． B． C． D．9．已知等差数列中，，.若公差为某一自然数,则n的所有可能取值为()A．3,23,69 B．4,24,70 C．4,23,70 D．3,24,7010．某赛季中，甲､乙两名篮球队员各场比赛的得分茎叶图如图所示，若甲得分的众数为15，乙得分的中位数为13，则（）A．15 B．16 C．17 D．18二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地．”则该人第一天走的路程为__________里．12．若，则=_________________13．在中，若，则等于__________.14．已知直线与圆相交于两点，则______.15．在《九章算术·商功》中将四个面均为直角三角形的三棱锥称为鳖臑（biēnào），在如下图所示的鳖臑中，，，，则的直角顶点为______.16．若角的终边经过点，则实数的值为_______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数的最大值是1，其图像经过点（1）求的解析式；（2）已知且求的值。18．某种汽车的购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为万元，年维修费用第一年是万元，第二年是万元，第三年是万元，…，以后逐年递增万元汽车的购车费用、每年使用的保险费、养路费、汽油费、维修费用的和平均摊到每一年的费用叫做年平均费用.设这种汽车使用年的维修费用的和为，年平均费用为.(1）求出函数，的解析式；(2）这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？最小值是多少？19．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为12，过F1的直线l（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y＝kx＋b与椭圆C分别交于A，B两点，且OA⊥OB，试问点O到直线AB的距离是否为定值，证明你的结论．20．已知单调递减数列的前项和为，，且，则_____.21．已知圆：.（1）过的直线与圆：交于，两点，若，求直线的方程；（2）过的直线与圆：交于，两点，直接写出面积取值范围；（3）已知，，圆上是否存在点，使得，请说明理由.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

过作，交于点，交于，根据线面垂直关系和勾股定理可知；由平面可证得面面平行关系，利用面面平行性质可证得为中点，从而得到最小值为重合，最大值为重合，计算可得结果.【详解】过作，交于点，交于，则底面平面，平面，平面平面，又平面平面又平面平面，平面为中点为中点，则为中点即在线段上，，则线段长度的取值范围为：本题正确选项：【点睛】本题考查立体几何中线段长度取值范围的求解，关键是能够确定动点的具体位置，从而找到临界状态；本题涉及到立体几何中线面平行的性质、面面平行的判定与性质等定理的应用.2、B【解析】

首先求出的坐标，再根据平面向量共线定理解答.【详解】解：,因为,所以,解得.故选：【点睛】本题考查平面向量共线定理的应用，属于基础题.3、B【解析】

作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数即可求解.【详解】作出可行域如图：化目标函数为，联立，解得.由图象可知，当直线过点A时，直线在y轴上截距最小，有最大值.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，数形结合的思想，属于中档题.4、D【解析】

由三角函数图像可得，，再结合三角函数图像的性质逐一判断即可得解.【详解】解：由函数的部分图象可得,,即,则，又函数图像过点，则，即，又，即，即，则对于选项A，显然错误；对于选项B，函数的图像关于直线对称，即B错误；对于选项C，函数的图像关于点对称，即C错误；对于选项D，函数的增区间为，函数的增区间为，又，，即D正确，故选：D.【点睛】本题考查了利用三角函数图像求函数解析式，重点考查了三角函数图像的性质，属中档题.5、C【解析】

由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为an＝30n﹣19，由401≤30n﹣21≤755，求得正整数n的个数，即可得出结论．【详解】∵960÷32＝30，∴每组30人，∴由题意可得抽到的号码构成以30为公差的等差数列，又某组抽到的号码为1，可知第一组抽到的号码为11，∴由题意可得抽到的号码构成以11为首项、以30为公差的等差数列，∴等差数列的通项公式为an＝11+（n﹣1）30＝30n﹣19，由401≤30n﹣19≤755，n为正整数可得14≤n≤25，∴做问卷C的人数为25﹣14+1＝12，故选C．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，系统抽样的定义和方法，根据系统抽样的定义转化为等差数列是解决本题的关键，比较基础．6、D【解析】

根据题意，求出圆的半径，即可得圆的标准方程，变形可得其一般方程。【详解】根据题意，要求圆的圆心为，且过原点，且其半径，则其标准方程为，变形可得其一般方程是，故选．【点睛】本题主要考查圆的方程求法，以及标准方程化成一般方程。7、D【解析】

根据等差数列下标和性质，即可求解.【详解】因为为等差数列，故解得.故选：D.【点睛】本题考查等差数列下标和性质，属基础题.8、D【解析】

由得，这样可把且表示出来．【详解】∵，∴，，∴，∴，故选D．【点睛】本题考查向量的数量积，掌握数量积的定义是解题关键．9、B【解析】试题分析：由等差数列的通项公式得，公差，所以，可能为，的所有可能取值为选.考点：1.等差数列及其通项公式；2.数的整除性.10、A【解析】

由图可得出，然后可算出答案【详解】因为甲得分的众数为15，所以由茎叶图可知乙得分数据有7个，乙得分的中位数为13，所以所以故选：A【点睛】本题考查的是茎叶图的知识，较简单二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、192【解析】设每天走的路程里数为由题意知是公比为的等比数列∵∴∴故答案为12、【解析】分析：由二倍角公式求得，再由诱导公式得结论．详解：由已知，∴．故答案为．点睛：三角函数恒等变形中，公式很多，如诱导公式、同角关系，两角和与差的正弦（余弦、正切）公式、二倍角公式，先选用哪个公式后选用哪个公式在解题中尤其重要，但其中最重要的是“角”的变换，要分析出已知角与未知角之间的关系，通过这个关系都能选用恰当的公式．13、；【解析】

由条件利用三角形内角和公式求得，再利用正弦定理即可求解.【详解】在中，，，，即，，故答案为：【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，需熟记定理的内容，属于基础题.14、【解析】

首先求出圆的圆心坐标和半径，计算圆心到直线的距离，再计算弦长即可.【详解】圆，，圆心，半径.圆心到直线的距离..故答案为：【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系中的弦长问题，熟练掌握弦长公式为解题的关键，属于简单题.15、【解析】

根据，可得平面，进而可得，再由，证明平面，即可得出，是的直角顶点.【详解】在三棱锥中，，，且，∴平面，又平面，∴，又∵，且，∴平面，又平面，∴，∴的直角顶点为.故答案为：.【点睛】本题考查了直线与直线以及直线与平面垂直的应用问题，属于基础题.16、.【解析】

利用三角函数的定义以及诱导公式求出的值.【详解】由诱导公式得，另一方面，由三角函数的定义得，解得，故答案为.【点睛】本题考查诱导公式与三角函数的定义，解题时要充分利用诱导公式求特殊角的三角函数值，并利用三角函数的定义求参数的值，考查计算能力，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】本题（１）属于基础问题，根据题意首先可求得Ａ，再将点Ｍ代入即可求得解析式；对于（２）可先将函数f(x)的解析式化简，再带入，利用两角差的余弦公式可求解；（1）依题意知A=1，又图像经过点M∴，再由得即因此；（2），且，；18、（1），；（2）时，年平均费用最小，最小值为3万元．【解析】试题分析：根据题意可知，汽车使用年的维修费用的和为，而第一年的维修费用是万元，以后逐年递增万元，每一年的维修费用形成以为首项，为公差的等差数列，根据等差数列的前项和即可求出的解析式；将购车费、每年使用的保险费、养路费、汽油费以及维修费用之和除以即可得到年平均费用，根据基本不等式即可求出平均费用的最小值．试题解析：（1）根据题意可知，汽车使用年的维修费用的和为，而第一年的维修费用是万元，以后逐年递增万元，每一年的维修费用形成以为首项，为公差的等差数列，根据等差数列的前项和公式可得：因为购车费、每年使用的保险费、养路费、汽油费以及维修费用之和为，所以年平均费用为；（2）因为所以当且仅当即时，年平均费用最小，最小值为3万元．考点：本题考查了等差数列的前项和公式以的掌握，以及基本不等式的应用，同时考查了学生解决实际应用题的能力．19、（1）x2【解析】

(1)根据三角形周长为1，结合椭圆的定义可知，4a=8，利用e=ca=1-b2a2=12，即可求得a和b的值,求得椭圆方程；(2)分类讨论，当直线斜率斜存在时,联立y=kx+b【详解】（1）由题意知，4a=1，则a=2，由椭圆离心率e=ca=∴椭圆C的方程x2（2）由题意，当直线AB的斜率不存在，此时可设A（x3，x3），B（x3，-x3）．又A，B两点在椭圆C上，∴x0∴点O到直线AB的距离d=12当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+b．设A（x1，y1），B（x2，y2）联立方程y=kx+bx24+y23由已知△＞3，x1+x2=-8kb3+4k2，x1x由OA⊥OB，则x1x2+y1y2=3，即x1x2+（kx1+b）（kx2+b）=3，整理得：（k2+1）x1x2+kb（x1+x2）+b2=3，∴(k∴7b2=12（k2+1），满足△＞3．∴点O到直线AB的距离d=b综上可知：点O到直线AB的距离d=221【点睛】本题主要考查椭圆的定义及椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及点到直线的距离公式，属于难题.探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.20、【解析】

根据，再写出一个等式：，利用两等式判断并得到等差数列的通项，然后求值.【详解】当时，，∴．当时，，①，②①②，得，化简得，或，∵数列是递减数列，且，∴舍去．∴数列是等差数列，且，公差，故．【点睛】在数列中，其前项和为，则有：，利用此关系，可将与的递推公式转化为关于的等式，从而判断的特点.21、（1）或；（2）；（3）存在，理由见解析【解析】

求得圆的圆心和半径.（1）设出直线的方程，利用弦长、勾股定理和点到直线距离列方程，解方程求得直线的斜率，进而求得直线的方程.（2）利