福建省南安市国光中学2026届高一数学第二学期期末学业水平测试试题含解析

福建省南安市国光中学2026届高一数学第二学期期末学业水平测试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．设，则下列不等式中正确的是()A． B．C． D．2．已知平面平面，直线，直线，则直线，的位置关系为（）A．平行或相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．平行､相交或异面3．记等差数列的前n项和为.若，则（）A．7 B．8 C．9 D．104．各项均为实数的等比数列{an}前n项之和记为,若,,则等于A．150 B．-200 C．150或-200 D．-50或4005．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：①若m∥α，m∥β，则α∥β②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③m⊂α，n⊂β，m、n是异面直线，那么n与α相交；④若α∩β=m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．其中正确的命题是（）A．①② B．②③ C．③④ D．④6．已知各项均不为零的数列，定义向量，，．下列命题中真命题是()A．若对任意的，都有成立，则数列是等差数列B．若对任意的，都有成立，则数列是等比数列C．若对任意的，都有成立，则数列是等差数列D．若对任意的，都有成立，则数列是等比数列7．定义在R上的函数fx既是偶函数又是周期函数，若fx的最小正周期是π，且当x∈0,π2A．-12 B．32 C．8．已知△ABC的项点坐标为A（1，4），B（﹣2，0），C（3，0），则角B的内角平分线所在直线方程为（）A．x﹣y+2＝0 B．xy+2＝0 C．xy+2＝0 D．x﹣2y+2＝09．设向量，满足，，则（）A．1 B．2 C．3 D．510．已知，则().A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知变量x，y线性相关，其一组数据如下表所示.若根据这组数据求得y关于x的线性回归方程为，则______.x1245y5.49.610.614.412．四名学生按任意次序站成一排，则和都在边上的概率是___________.13．已知数列的前项和为，，，则__________．14．已知圆锥的表面积等于，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为__________.15．已知算式，在方框中填入两个正整数，使它们的乘积最大，则这两个正整数之和是___.16．己知函数，，则的值为______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知向量，其中，记函数，已知的最小正周期为.(1)求；(2)当时，试求函数的值域.18．设常数，函数．（1）若为偶函数，求的值；（2）若，求方程在区间上的解．19．已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C于A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程.20．如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，分别是的中点.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.21．在中，分别是角的对边，且．（1）求的大小；（2）若，求的面积．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

取，则，，只有B符合．故选B．考点：基本不等式．2、C【解析】

根据直线与直线的位置关系，结合题意，进行选择.【详解】因为平面平面，直线，直线，所以直线没有公共点，所以两条直线平行或异面.故选：C.【点睛】本题考查直线与直线的位置关系，属基础题.3、D【解析】

由可得值，可得可得答案.【详解】解：由，可得，所以，从而，故选D.【点睛】本题主要考察等差数列的性质及等差数列前n项的和，由得出的值是解题的关键.4、A【解析】

根据等比数列的前n项和公式化简S10＝10，S30＝70，分别求得关于q的两个关系式，可求得公比q的10次方的值，再利用前n项和公式计算S40即可．【详解】因为{an}是等比数列，所以有，二式相除得，，整理得解得或（舍）所以有==所以=1．答案选A．【点睛】此题考查学生灵活运用等比数列的前n项和的公式化简求值，是一道综合题，有一定的运算技巧，需学生在练习中慢慢培养．5、D【解析】

利用平面与平面垂直和平行的判定和性质，直线与平面平行的判断，对选项逐一判断即可．【详解】①若m∥α，m∥β，则α∥β或α与β相交，错误命题；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β或α与β相交．错误的命题；③m⊂α，n⊂β，m、n是异面直线，那么n与α相交,也可能n∥α，是错误命题；④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．是正确的命题．故选D．【点睛】本题考查平面与平面的位置关系，直线与平面的位置关系，考查空间想象力，属于中档题.6、A【解析】

根据向量平行的坐标表示，得到，利用累乘法，求得，从而可作出判定，得到答案．【详解】由题意知，向量，，，当时，可得，即，所以，所以数列表示首项为，公差为的等差数列．当，可得，即，所以，所以数列既不是等差数列，也不是等比数列.故选A．【点睛】本题主要考查了向量的平行关系的坐标表示，等差数列的定义，以及“累乘法”求解通项公式的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7、B【解析】分析：要求f(5π3)，则必须用f(x)=详解：∵f(x)的最小正周期是π∴f∵f(x)是偶函数∴f-π∵当x∈[0，π2则f故选B点睛：本题是一道关于正弦函数的题目，掌握正弦函数的周期性是解题的关键，考查了函数的周期性和函数单调性的性质．8、D【解析】

由已知可得|AB|＝|BC|＝5，所以角B的内角平分线所在直线方程为AC的垂直平分线，继而可以求得结果．【详解】由已知可得|AB|＝|BC|＝5，所以角B的内角平分线所在直线方程为AC的垂直平分线，又线段AC中点坐标为（2，2），则角B的内角平分线所在直线方程为y﹣2，即x﹣2y+2＝1．故选：D．【点评】本题考查直线的位置关系，考查垂直的应用，由|AB|＝|BC|＝5转化为求直线的AC的垂直平分线是关键，属于中档题．9、A【解析】

将等式进行平方，相加即可得到结论．【详解】∵||，||，∴分别平方得2•10，2•6，两式相减得4•10﹣6＝4，即•1，故选A．【点睛】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．10、C【解析】

分子分母同时除以，利用同角三角函数的商关系化简求值即可.【详解】因为，所以，于是有，故本题选C.【点睛】本题考查了同角三角函数的商关系，考查了数学运算能力.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、4.3【解析】

由所给数据求出，根据回归直线过中心点可求解．【详解】由表格得到，，将样本中心代入线性回归方程得.故答案为：4.3【点睛】本题考查线性回归直线方程，掌握回归直线的性质是解题关键，即回归直线必过中心点．12、【解析】

写出四名学生站成一排的所有可能情况，得出和都在边上的情况即可求得概率.【详解】四名学生按任意次序站成一排，所有可能的情况为：，，，，共24种情况，其中和都在边上共有，4种情况，所以和都在边上的概率是.故答案为：【点睛】此题考查古典概型，根据古典概型求概率，关键在于准确求出基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数.13、【解析】

先利用时，求出的值，再令，由得出，两式相减可求出数列的通项公式，再将的表达式代入，可得出.【详解】当时，则有，；当时，由得出，上述两式相减得，，得且，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，，那么，因此，，故答案为.【点睛】本题考查等比数列前项和与通项之间的关系，同时也考查了等比数列求和，一般在涉及与的递推关系求通项时，常用作差法来求解，考查计算能力，属于中等题.14、【解析】

设出底面圆的半径，用半径表示出圆锥的母线，再利用表面积，解出半径。【详解】设圆锥的底面圆的半径为，母线为，则底面圆面积为，周长为，则解得故填2【点睛】本题考查根据圆锥的表面积求底面圆半径，属于基础题。15、.【解析】

设填入的数从左到右依次为，则，利用基本不等式可求得的最大值及此时的和.【详解】设在方框中填入的两个正整数从左到右依次为，则，于是，，当且仅当时取等号，此时.故答案为：15【点睛】本题考查基本不等式成立的条件，属于基础题.16、1【解析】

将代入函数计算得到答案.【详解】函数故答案为：1【点睛】本题考查了三角函数的计算，属于简单题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）1（2）【解析】

（1）先根据向量数列积得关系式，再根据二倍角公式以及配角公式化为基本三角函数形式，最后根据正弦函数周期性得；（2）先根据x取值范围得范围，再根据正弦函数性质确定值域.【详解】（1）（2）由（1）知，，，所以函数的值域.【点睛】本题考查二倍角公式、配角公式以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力.18、(1);(2)或或.【解析】

（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，（2）先求出a的值，再根据三角形函数的性质即可求出．【详解】（1）∵，∴，∵为偶函数，∴，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，或，∴，或，∵，∴或或【点睛】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．19、(1)证明见解析；(2)，或，.【解析】

（1）设，.由可得，则.又，故.因此的斜率与的斜率之积为，所以.故坐标原点在圆上.（2）由（1）可得.故圆心的坐标为，圆的半径.由于圆过点，因此，故，即，由（1）可得.所以，解得或.当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为.当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为.【名师点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证或说明中点在曲线内部.20、（1）证明见解析（2）【解析】试题分析：（1）做辅助线，先证及四边形为平行四边形平面；（2）利用勾股定理求得.试题解析：（1）证明：取中点,连接