重庆三十二中学2026届数学高一下期末质量检测试题含解析

重庆三十二中学2026届数学高一下期末质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．akm B．akmC．akm D．2akm2．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式是A． B． C． D．3．已知全集，集合，，则（）A． B．C． D．4．过点且与圆相切的直线方程为（）A． B．或C．或 D．或5．已知函数f：R+→R+满足：对任意三个正数x，y，z，均有f（）.设a，b，c是互不相等的三个正数，则下列结论正确的是（）A．若a，b，c是等差数列，则f（a），f（b），f（c）一定是等差数列B．若a，b，c是等差数列，则f（），f（），f（）一定是等差数列C．若a，b，c是等比数列，则f（a），f（b），f（c）一定是等比数列D．若a，b，c是等比数列，则f（），f（），f（）一定是等比数列6．设向量，，则是的A．充分不必要条件 B．充分必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件7．某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间（30，150]内，其频率分布直方图如图．则获得复赛资格的人数为（）A．640 B．520 C．280 D．2408．已知是的边上的中点，若向量，，则向量等于（）A． B． C． D．9．过正方形的顶点，作平面，若，则平面和平面所成的锐二面角的大小是A． B．C． D．10．在中，“”是“”的()A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若，则______（用表示）.12．如图所示，隔河可以看到对岸两目标，但不能到达，现在岸边取相距的两点，测得（在同一平面内），则两目标间的距离为_________.13．给出下列语句：①若为正实数，，则；②若为正实数，，则；③若，则；④当时，的最小值为，其中结论正确的是___________．14．等差数列前9项的和等于前4项的和.若，则.15．在等比数列中,若,则__________.16．公比为的无穷等比数列满足：，，则实数的取值范围为________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值.18．已知集合，或.（1）若，求；（2）若，求的取值范围.19．在中，角的对边分别为，已知（1）求；（2）若为锐角三角形，且边，求面积的取值范围.20．如图，已知四棱锥，底面为菱形，，,平面，分别是的中点．（1）证明：；（2）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值．21．如图，在三棱柱中（底面为正三角形），平面，，，，是边的中点.（1）证明：平面平面.（2）求点到平面的距离.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】

先根据题意确定的值，再由余弦定理可直接求得的值．【详解】在中知∠ACB＝120°，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝2a2－2a2×＝3a2，∴AB＝a.故选:B.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用,属于基础题．2、B【解析】

利用三角函数图像平移原则，结合诱导公式，即可求解.【详解】函数的图象向右平移个单位长度得到．故选B．【点睛】本题考查三角图像变换，诱导公式，熟记变换原则，准确计算是关键，是基础题.3、A【解析】

本题根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.【详解】，则【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.4、C【解析】

分别考虑斜率存在和不存在两种情况得到答案.【详解】如图所示：当斜率不存在时：当斜率存在时：设故答案选C【点睛】本题考查了圆的切线问题，忽略掉斜率不存在是容易发生的错误.5、B【解析】

令，，，若是等差数列，计算得，进而可得结论.【详解】由题意，，令，，，若是等差数列，则所以，即，故，，成等差数列.若是等比数列，，，与，，既不能成等差数列又不等成等比数列.故选：B.【点睛】本题考查抽象函数的解析式，等差数列的等差中项的性质，属于中档题.6、C【解析】

利用向量共线的性质求得，由充分条件与必要条件的定义可得结论.【详解】因为向量，，所以，即可以得到，不能推出，是“”的必要不充分条件，故选C.【点睛】本题主要考查向量共线的性质、充分条件与必要条件的定义，属于中档题.利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.7、B【解析】

由频率分布直方图得到初赛成绩大于90分的频率，由此能求出获得复赛资格的人数．【详解】初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间（30，150]内，由频率分布直方图得到初赛成绩大于90分的频率为：1﹣（0.0025+0.0075+0.0075）×20＝0.1．∴获得复赛资格的人数为：0.1×800＝2．故选：B．【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，考查频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，是基础题．8、C【解析】

根据向量加法的平行四边形法则，以及平行四边形的性质可得，，解出向量．【详解】根据平行四边形法则以及平行四边形的性质，有．故选．【点睛】本题考查向量加法的平行四边形法则以及平行四边形的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9、B【解析】法一：建立如图(1)所示的空间直角坐标系，不难求出平面APB与平面PCD的法向量分别为n1＝(0,1,0)，n2＝(0,1,1)，故平面ABP与平面CDP所成二面角的余弦值为＝，故所求的二面角的大小是45°.法二：将其补成正方体．如图(2)，不难发现平面ABP和平面CDP所成的二面角就是平面ABQP和平面CDPQ所成的二面角，其大小为45°.10、A【解析】

余弦函数在上单调递减【详解】因为A,B是的内角，所以,在上余弦函数单调递减,在中，“”“”【点睛】充要条件的判断，是高考常考知识点，充要条件的判断一般有三种思路：定义法、等价关系转化法、集合关系法。二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

直接利用诱导公式化简求解即可．【详解】解：，则，故答案为：．【点睛】本题考查诱导公式的应用，三角函数化简求值，考查计算能力，属于基础题．12、【解析】

在中，在中，分别由正弦定理求出，，在中，由余弦定理可得解.【详解】由图可得，在中，由正弦定理可得，在中，由正弦定理可得，在中，由余弦定理可得：.故答案为：【点睛】此题考查利用正余弦定理求解三角形，根据已知边角关系建立等式求解，此题求AB的长度可在多个三角形中计算，恰当地选择可以减少计算量.13、①③.【解析】

利用作差法可判断出①正确；通过反例可排除②；根据不等式的性质可知③正确；根据的范围可求得的范围，根据对号函数图象可知④错误.【详解】①，为正实数，，即，可知①正确；②若，，，则，可知②错误；③若，可知，则，即，可知③正确；④当时，，由对号函数图象可知：，可知④错误.本题正确结果：①③【点睛】本题考查不等式性质的应用、作差法比较大小问题、利用对号函数求解最值的问题，属于常规题型.14、10【解析】

根据等差数列的前n项和公式可得，结合等差数列的性质即可求得k的值．【详解】因为，且所以由等差数列性质可知因为所以则根据等差数列性质可知可得【点睛】本题考查了等差数列的前n项和公式，等差数列性质的应用，属于基础题．15、80【解析】

由即可求出【详解】因为是等比数列，所以，所以即故答案为：80【点睛】本题考查的是等比数列的性质，较简单16、【解析】

依据等比数列的定义以及无穷等比数列求和公式，列出方程，即可求出的表达式，再利用求值域的方法求出其范围。【详解】由题意有，即，因为，所以。【点睛】本题主要考查无穷等比数列求和公式的应用以及基本函数求值域的方法。三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）B=（Ⅱ）【解析】

(1)∵a=bcosC+csinB∴由正弦定理知sinA=sinBcosC+sinCsinB①在三角形ABC中，A=－(B+C)∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC②由①和②得sinBsinC=cosBsinC而C∈(0，)，∴sinC≠0，∴sinB=cosB又B(0，)，∴B=(2)S△ABCacsinBac，由已知及余弦定理得：4＝a2+c2﹣2accos2ac﹣2ac，整理得：ac，当且仅当a＝c时，等号成立，则△ABC面积的最大值为（2）1．18、（1）A∩B＝{x|﹣1＜x≤﹣1}（2）（1，1]．【解析】

（1）首先确定A、B，然后根据交集定义求出即可；（2）由A∪B＝R，得，得1＜a≤1．【详解】B＝{x|x≤﹣1或x＞5}，（1）若a＝1，则A＝{x|﹣1＜x＜5}，∴A∩B＝{x|﹣1＜x≤﹣1}；（2）∵A∪B＝R，∴，∴1＜a≤1，∴实数a的取值范围为（1，1]．【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了并集运算的应用，是基础题．19、(1)；(2)【解析】

(1)利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式化简即得B的值；（2）先根据已知求出，再求面积的取值范围.【详解】解：（1），即可得，∵∴∵∴∴由，可得；（2）若为锐角三角形，且，由余弦定理可得，由三角形为锐角三角形，可得且解得，可得面积【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的取值范围的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.20、(1)见解析；（2）【解析】

（1）证明，利用平面即可证得，问题得证．（2）过点作于点，过点作于点，连接.当与垂直时，与平面所成最大角，利用该最大角的正切值为即可求得，证明就是二面角的一个平面角，解即可．【详解】（1）因为底面为菱形，所以为等边三角形，又为中点所以，又所以因为平面，平面所以，又所以平面（2）过点作于点，过点作于点，连接当与垂直时，与平面所成最大角.由（1）得，此时.所以就是与平面所成的角.在中，由题意可得：,又所以.设，在中由等面积法得：解得：，所以因为平面，平面所以平面平面，又平面平面，，平面所以平面，又平面所以，又，所以平面，所以所以就是二面角的一个平面角因为为的中点，且所以，又所以在中，求得：,,由可得：,即：，解得：所以所以所以二面角的余弦值为【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明，考查了转化能力，还考查了线面角知识，考查了二面角的平面角作