一次函数与方程(组)、不等式课件-2025-2026学年人教版数学八年级下册

人教版八年级数学（下）第二十三章一次函数20.1勾股定理及其应用23.3一次函数与方程(组)、不等式新课导入1．已知函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与y轴交点的纵坐标为－2，且当x＝2时，y＝1，那么此函数的解析式为__________．2．一次函数y＝x－2与x轴交点的坐标是_______，一元一次方程x－2＝0的解是_______.想一想，这二者之间有什么联系？(2，0)x＝2

探究新知如图，一次函数y=2x-1的图像与x轴交点的横坐标是

0.5，当自变量x的值为0.5时，函数值是多少？由此可以得出一元一次方程2x-1=0的解吗？解：当自变量𝑥的值为0.5时，函数值是0；一元一次方程2𝑥−1=0的解是𝑥=0.5。0.5Oxy-10.5y=2x-1-0.5提出问题：(1)从形态上看，y＝2x－1和2x－1＝0有什么差别？(2)直线y＝2x－1与x轴的交点的横坐标是方程2x－1＝0的解吗？为什么？(3)一次函数和一元一次方程有什么联系？思考：如图，利用一次函数y=2x-1的图象，你能得出函数值大于0时x的取值范围吗？函数值小于0时呢？由此，你能分别得出一元一次不等式2x-1>0与2x-1<0的解集吗？0.5Oxy-10.5y=2x-1-0.5解：当图象上点的纵坐标大于0时，点在x轴上方，其横坐标大于0.5，即函数值大于0时x的取值范围是x>0.5；当图象上点的纵坐标小于0时，点在x轴下方，其横坐标小于0.5，即函数值小于0时x的取值范围是x<0.5.由此得出不等式2x-1>0的解集是x>0.5，2x-1<0的解集是x<0.5.(1)你能解思考中的两个不等式吗？提出问题：(2)画出直线y＝2x－1的图象，请在图象上找出当y大于0、小于0时，x分别在哪个范围内？(3)比较(1)和(2)的结果，你有什么发现？思考：对于二元一次方程组

，你能从函数的角度对解这个方程组进行解释吗？2x-y=l3x+5y=8解：二元一次方程组2x-y=l3x+5y=8可转化为两个一次函数y=3x-1

32121-2Oxy-1-13y=2x-1p（1,1）

这两条直线的交点坐标为（1.，1）由此得出方程组2x-y=l3x+5y=8得解是x=ly=1

(1)你能用之前学过的方法解这个方程组吗？提出问题：(2)方程组的解在图象上对应着哪个点？(3)为什么交点的坐标就是这个方程组的解？例同时释放两个探测气球，1号气球从距离地面5m高处出发，以1m/s的速度上升；2号气球从距离地面15m高处出发，以0.5m/s的速度上升，两个气球都上升了1min.（1）分别写出表示两个气球所在位置的高度y（单位：m）关于上升时间x（单位：s）的函数解析式；（2）两个气球在某时刻能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？解：（1）气球上升时间满足

0≤x≤60对于1号气球，y关于x的函数解析式为y=x+5.关于2号

气球，y关于x的函数解析式为y=0.5.x+15.（2）两个气球在某时刻位于同一高度，就是对于x的某个值（0≤x≤60），函数y=x+5和y=0.5x+15有相同的值y。由此可以列二元一次方程组y=x+5,y=0.5x+15.解这个方程组，得x=20，y=25.这就是说，当气球上升20s时，两个气球都距离地面25m.知识归纳因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax＋b＝0(a≠0)的形式一次函数与一元一次方程的关系：解一元一次方程，从函数值考虑，相当于在某个一次函数y＝ax＋b的函数值为0时，求自变量x的值；

从函数的图象考虑，相当于已知直线y＝ax＋b，求它与x轴的交点的横坐标．一次函数与一元一次不等式的关系：对于可化为ax＋b＞0或ax＋b＜0(a≠0)的一元一次不等式，在求它的解集时，从函数值考虑，相当于在某个一次函数y＝ax＋b的值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围；从函数的图象考虑，相当于已知直线y＝ax＋b，确定这条直线上的点的纵坐标大于0或小于0时横坐标的取值范围．一次函数与二元一次方程(组)的关系：(1)由于每个含有未知数x和y的二元一次方程都可以转化为y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线，这条直线上每个点的坐标(x，y)都是这个二元一次方程的解，以这个二元一次方程的解(x，y)为坐标的点都在这条直线上；(2)一般地，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，也对应两条直线，从“数”的角度看，解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少；从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条相应直线的交点坐标．例题与练习例1如图表示的是一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的图象，则关于x的方程kx＋b＝0的解是()

A如图，先观察图形，然后填空：(1)当x取什么值时，y1>0?(2)当x取什么值时，y2<0?(3)当x取什么值时，y1>0且y2>0?解：(1)当x>a时，y1>0.例2(2)当x>c时，y2>0.(3)当a<x<c时，y1>0且y2>0.例3

共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向3km－10km的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，下面图象反映了收费y(元)与骑行时间x(min)之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应y1，B品牌的收费方式对应y2，小明同学求出y1(x≥10)与x的函数解析式是y1＝0.2x＋4，请根据相关信息，解答下列问题：(1)求y2关于x的函数解析式；(2)当骑行时间为多少分钟时，两种品牌的共享电动车收费相同？解：(1)设y2关于x的函数解析式为y2＝kx(k≠0).由图像可知，当x＝10时，y2＝4，将其代入y2＝kx(k≠0)，得4＝10k.解得k＝0.4，∴y2＝0.4x.(2)由题意，得①当0≤x<10时，0.4x＝6.解得x＝15，不符合题意，舍去；②当x≥10时，0.2x＋4＝0.4x，解得x＝20.∴当骑行时间为20min时，两种品牌的共享电动车收费相同．1.画出一次函数y=-2x+8的图象，利用图象解方程-2x+8=0及不等式-2x+8>0与-2x+8<0.4242-2Oxy-1-16688y=-2x+8解：如图解方程−2x+8=0方程−2x+8=0的解，就是函数y=−2x+8的图象与

x

轴交点的横坐标。从图象上看，直线与

x

轴交于点(4,0)，所以方程的解为：x=4不等式−2x+8>0的解集，就是函数y=−2x+8的图象在x

轴上方时对应的

x

的取值范围。不等式−2x+8<0的解集，就是函数

y=−2x+8的图象在x轴下方时对应的

x

的取值范围。4242-2Oxy-1-16688y=-2x+8从图象上看，当x<4时，直线在

x

轴上方，所以不等式的解集为：x<4从图象上看，当

x>4

时，直线在

x

轴下方，所以不等式的解集为：x>42.一次函数y=2x-3与y=ax+2的图象的交点坐标为（2，1），请确定方程组的解和a的值.y=2x-3y=ax+2解：已知两函数图象交点为(2,1)，因此方程组的解为：y=2x−3y=ax+2​x=2y=1​将交点坐标(2,1)代入方程y=ax+2：2a+2=1

3.刘伟一家计划星期日租用新能源汽车自驾出游，在甲公司租车，需收取固定租金80元，在此基础上再按14元/h计费；在乙公司租车，无固定租金，按30元/h计费，当他家租车多长时间时，租用甲、乙两个公司汽车的费用相同？解：设租车时间为x小时。甲公司的费用为固定租金80元加上按每小时14元计费的费用，即（80+14x）元；乙公司的费用是按每小时30元计费，即30x元。当租用甲、乙两个公司汽车的费用相同时，可列方程：80+14x=30x移项可得：30x-14x=80即：16x=80解得x=5。4．若x＝4是方程kx＋b＝0的解，则直线y＝kx＋b的图象与x轴交点的坐标为()A．(4，0)B．(0，4)C．(0，－4)D．(－4，0)A

x+2y=－3.2x-y=－1.(3)x＜－1.解：（1）（-1,-1）（2）x=－1.y=－1.(4)x≥－1.6．某校长暑假将带领该校市级三好学生去北京旅游，甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余的学生可享受半价优惠．”乙旅行社说：“包括校长在内全部按票价的六折优惠．”若全票价为240元，两家旅行社的服务质量相同．假如校长带领x名学生去旅游，甲、乙旅行社的收费分别为y甲，y乙元．(1)写出y甲，y乙与x的函数关系式；(2)三好学生的人数在什么情况下，两家旅行社的收费一样？解：(1)由题意可知：y甲＝240＋240x×50%＝120x＋240，y乙＝240(x＋1)×60%＝144x＋144.(2)当y甲＝y乙时，120x＋240＝144x＋144，解得x＝4.∴当学生人数等于4时，两家旅行社的收费一样．课堂小结一次函数与方程、不等式解一元一次方程解一元一次不等式解二元一次方程组对应一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，即一次函数与x轴交点的横坐标.对应一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围，即在x轴上方(或下方)的图象所对应的x取值范围

.求对应两条直线交点的坐标

.随堂检测1．已知函数y＝kx＋b，当x＞5时，y＜0；当x＜5时，y＞0，则y＝kx＋b的图象必经过点(

)A．(0，5)

B．(5，0)

C．(－5，0)

D