2026中考数学高频考点一轮复习：分式方程（含解析）

中考数学一轮复习分式方程一．选择题（共10小题）1．（2025春•包河区）若关于x的方程axx-2=3+ax-2-A．3个 B．4个 C．5个 D．6个2．（2025春•钱塘区）某工程队铺设一段长为600米的管道，实际施工时每天铺设管道的长度______．设原计划每天铺设管道x米，可得方程600x=600A．比原计划增加了50%，结果提前4天完成任务 B．比原计划增加了50%，结果推迟4天完成任务 C．比原计划减少了50%，结果提前4天完成任务 D．比原计划减少了50%，结果推迟4天完成任务3．（2025春•柯桥区）作业本中有这样一道题，阅读材料，并完成下列问题：不难求得方程x+1x=3+13的解是x1＝3，x2=13；x+1x=4+14的解是x1＝4，x2=14；x+1x=5+15的解是x1＝A．x1＝m，x2=1m-1 B．x1＝C．x1＝m﹣1，x2=1m-14．（2024秋•乳山市）关于x的方程2x-1x-3-1=mA．0 B．5 C．3 D．3或55．（2025春•丽水期中）某学校改造过程中整修门口3000m的道路，但是在实际施工时，…，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路xm，可得方程3000x-10A．每天比原计划多修10m，结果延期15天完成 B．每天比原计划多修10m，结果提前15天完成 C．每天比原计划少修10m，结果延期15天完成 D．每天比原计划少修10m，结果提前15天完成6．（2025•湖北模拟）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为现代文是：把一份文件慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（）A．900x=900x+3×2C．900x+1×2=900x+37．（2025•龙江县三模）已知关于x的分式方程1-mx-1-2=2A．m≤5且m≠﹣3 B．m≥5且m≠﹣3 C．m≤5且m≠3 D．m≥5且m≠38．（2025春•萍乡）若关于x的分式方程a-1x-1=2的解是负数，则A．a＞﹣1 B．a＞﹣1且a≠1 C．a＜﹣1 D．a≤﹣19．（2025•虞城县二模）为方便游客观光游览，不少景区预增购一批“游览观光车”．某企业抓住机遇投资15万元购买并投放一批A型“游览观光车”，因需求量增加，计划继续投放B型观光车，B型观光车的投放数量与A型观光车的投放数量相同，投资总费用减少10%，其中B型观光车的单价比A型观光车的单价少30元，则A型观光车的单价是多少元？设A型观光车的单价为x元，根据题意列方程正确的是（）A．150000x=150000(1-10%)x-30 C．150000x=150000(1-10%)x+3010．（2025•东明县一模）DeepSeek公司研发的两个AI模型R1和R2共同处理一批数据．已知R2单独处理数据的时间比R1少2小时．若两模型合作处理，仅需1.2小时即可完成．设R1单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（）A．1x+1x-2=1.2C．1x+1x-2=11.2 D．x二．填空题（共5小题）11．（2025春•建邺区期中）若关于x的方程3x+a2x-1=2的解是正数，则a的取值范围是12．（2025春•两江新区）若关于x的不等式组5x-2＞3(x-4)x2+a≤5a-16-1有且仅有四个整数解，且关于y的分式方程ay+313．（2025•任城区四模）若关于x的分式方程x-mx-1-3x=1无解，则m的值为14．（2025春•萍乡）某市为治理污水，需要铺设一段全长600m的污水排放管道，铺设120m后，为加快施工进度，后来每天比原计划多铺设20m，结果共用8天完成这一任务，则原计划每天铺设管道的长度为．15．（2025•海淀区模拟）方程52x-3-1x=0的解为三．解答题（共5小题）16．（2025•越秀区三模）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，相关的玩偶也跟着热销，小郑准备在网上开设一家玩偶专卖店，已知用600元购买A款哪吒玩偶的个数与用900元购买B款哪吒玩偶个数相等，且B款哪吒玩偶单价比A款哪吒玩偶单价多3元．（1）A，B款哪吒玩偶每个各多少元？（2）试营业时计划购买A，B款哪吒玩偶共200个，其中A款哪吒玩偶的数量不超过B款哪吒玩偶数量的13，求购买A17．（2025春•沙坪坝区）列方程解下列问题：卤鹅是重庆荣昌非遗美食，深受游客喜爱．五一节前夕，甲、乙两个卤鹅生产商计划卤制卤鹅供应市场．甲、乙两个生产商同一天开始卤制卤鹅．甲生产商计划卤制180只卤鹅，乙生产商计划卤制160只卤鹅．乙生产商平均每天卤制的卤鹅数量是甲生产商的43倍，结果乙生产商刚好比甲生产商提前2（1）求甲、乙两个生产商计划各用多少天完成卤制？（2）卤鹅的成本为60元/只，目前可以以99元/只的价格出售．为保证五一期间能顺利供应市场，甲生产商卤制完成后，决定将卤鹅储藏起来择机出售．如果储藏起来，平均每天会有2只卤鹅因变质坏掉，且每天需支付各种费用324元，但同时每天每只卤鹅的价格将上涨3元，若甲生产商想通过出售这批卤鹅获得7020元的利润，需将该批卤鹅储藏多少天后一次性售出？18．（2025春•郑州）“阅读陪伴成长，书香润泽人生”，某校为提高学生的阅读兴趣和满足学生的读书需求，现决定到书店购买A、B两类图书供学生阅读．已知A类图书单价比本B类图书单价少5元，用150元购买A类书与用180元购买B类书的数量相同．（1）求A，B两类图书的单价分别是多少元？（2）学校准备购买A、B两类图书共100本，由于购买数量较多，书店给出了优惠方案：A类图书不少于30本时按8折优惠，B类图书不少于20本时按6折优惠，若该校要求A类图书不少于B类图书的1.5倍，且每类图书都必须购买，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．19．（2025春•东阳市）定义：形如x+abx=a+b(ab≠0)，两个解分别为x1＝a，x2＝b的方程称为“十字分式方程”．如x+2x=3，其中a＝（1）试判断x+6（2）若十字分式方程x-1x=3的解为x1＝a，x2①a2+3b；②ba20．（2025春•沭阳县）当前，随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段．2023年，我国已成为全球最大的新能源汽车市场，“购买新能源汽车到底划不划算？”是消费者关心的话题之一．下面是车身价相同的燃油车与新能源汽车的部分相关信息对比：燃油车纯电新能源车油箱容积：48升电池容量：90千瓦时油价：8元/升电价：0.6元/千瓦时（1）设两款车的续航里程均为a千米，请用含a的代数式表示燃油车每千米行驶费用和纯电新能源车的每千米行驶费用．（2）若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多0.55元．①请分别求出这两款车的每千米行驶费用；②若燃油车和纯电新能源车每年的其它费用分别为4800元和8100元．问：每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）

中考数学一轮复习分式方程参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2025春•包河区）若关于x的方程axx-2=3+ax-2-A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【考点】分式方程的解；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】A【分析】先求出x=3+aa-1=1+4a-1，由于解为整数，则a﹣1＝1，﹣1，2，﹣2，4，﹣4，则a＝2，0，3，﹣1，5，﹣3，根据不等式组无解得a≤6，最后得出非负整数a为2【解答】解：去分母得：ax＝3+a+x，x=3+a由于解为整数，则a﹣1＝1，﹣1，2，﹣2，4，﹣4，则a＝2，0，3，﹣1，5，﹣3，由于2x-3＞则a≤6，由于x≠2，即a≠5，则a＝2，0，3，﹣1，﹣3，∴非负整数a为2，0，3，故选：A．【点评】本题考查解分式方程，解不等式组，正确记进行计算是解题关键．2．（2025春•钱塘区）某工程队铺设一段长为600米的管道，实际施工时每天铺设管道的长度______．设原计划每天铺设管道x米，可得方程600x=600A．比原计划增加了50%，结果提前4天完成任务 B．比原计划增加了50%，结果推迟4天完成任务 C．比原计划减少了50%，结果提前4天完成任务 D．比原计划减少了50%，结果推迟4天完成任务【考点】由实际问题抽象出分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】A【分析】设原计划每天铺设管道x米，则1.5x表示实际每天铺设管道比原计划增加了50%，4就代表现在比原计划少的时间．【解答】解：设实际每天铺设管道x米，根据方程600x=可知题中用“______”表示的缺失条件为比原计划增加了50%，结果提前4天完成任务．故选：A．【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，要注意方程所表示的意思，结合题目给出的条件得出正确的判断．3．（2025春•柯桥区）作业本中有这样一道题，阅读材料，并完成下列问题：不难求得方程x+1x=3+13的解是x1＝3，x2=13；x+1x=4+14的解是x1＝4，x2=14；x+1x=5+15的解是x1＝A．x1＝m，x2=1m-1 B．x1＝C．x1＝m﹣1，x2=1m-1【考点】解分式方程；分式方程的解．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】B【分析】对所求的方程进行变形，变为前面已经猜想证明的方程的形式，从而可以解答本题．【解答】解：∵x2∴x(x-1)+1∴x+1x-1=∴x﹣1+1x-1=m﹣∴x﹣1＝m﹣1或x﹣1=1∴x1＝m，x2=m故选：B．【点评】本题考查分式方程的解，解题的关键是明确题意，利用猜想证明的方法解答本题．4．（2024秋•乳山市）关于x的方程2x-1x-3-1=mA．0 B．5 C．3 D．3或5【考点】分式方程的增根．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】B【分析】解分式方程得出x＝m﹣2，再根据分式方程有增根得出x＝m﹣2＝3，求解即可．【解答】解：2x-1x-3去分母得：2x﹣1﹣（x﹣3）＝m，解得：x＝m﹣2，∵关于x的方程2x-1x-3∴x﹣3＝0，∴x＝m﹣2＝3，∴m＝5，故选：B．【点评】本题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，熟练掌握以上知识点是关键．5．（2025春•丽水期中）某学校改造过程中整修门口3000m的道路，但是在实际施工时，…，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路xm，可得方程3000x-10A．每天比原计划多修10m，结果延期15天完成 B．每天比原计划多修10m，结果提前15天完成 C．每天比原计划少修10m，结果延期15天完成 D．每天比原计划少修10m，结果提前15天完成【考点】分式方程的应用．【专题】分式方程及应用；运算能力；应用意识．【答案】B【分析】由x代表的含义找出（x﹣10）代表的含义，再分析所列方程选用的等量关系，即可找出结论．【解答】解：设实际每天整修道路xm，则（x﹣10）m表示原计划每天修的道路长度，由题意可知，3000x-10表示原计划施工所需时间，3000∴原方程所选用的等量关系为实际施工比原计划提前15天完成．故选：B．【点评】本题考查了分式方程的应用，根据所列分式方程，找出选用的等量关系是解题的关键．6．（2025•湖北模拟）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为现代文是：把一份文件慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（）A．900x=900x+3×2C．900x+1×2=900x+3【考点】由实际问题抽象出分式方程；数学常识．【专题】分式方程及应用；应用意识．【答案】B【分析】设规定时间为x天，分别表示出慢马和快马所需的时间，进而根据题意列出方程，即可求解．【解答】解：设规定时间为x天，则所需的时间为（x﹣3）天，可列方程为：900x+1故选：B．【点评】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找到等量关系．7．（2025•龙江县三模）已知关于x的分式方程1-mx-1-2=2A．m≤5且m≠﹣3 B．m≥5且m≠﹣3 C．m≤5且m≠3 D．m≥5且m≠3【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．【专题】计算题；分式方程及应用；运算能力．【答案】C【分析】首先对原分式方程变形，其次解出分式方程的解，再根据分式方程解是非负数，最简公分母不为0，列不等式，求出公共的解集即可．【解答】解：原分式方程可化为：1-mx-1-2去分母，得1﹣m﹣2（x﹣1）＝﹣2，解得x=5-m∵分式方程解是非负数，∴5-m2≥0，且5-m∴m的取值范围是：m≤5且m≠3，故选：C．【点评】本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，掌握用含m的式子表示方程的解，根据方程的解为非负数，x﹣1≠0，列不等式组是解题关键．8．（2025春•萍乡）若关于x的分式方程a-1x-1=2的解是负数，则A．a＞﹣1 B．a＞﹣1且a≠1 C．a＜﹣1 D．a≤﹣1【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】C【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是负数”建立不等式求a的取值范围即可．【解答】解：去分母得：2x﹣2＝a﹣1，解得：x=a+1∵方程的解是负数，a+12＜0解得：a＜﹣1，故选：C．【点评】本题考查分式方程的解．熟练掌握该知识点是关键．9．（2025•虞城县二模）为方便游客观光游览，不少景区预增购一批“游览观光车”．某企业抓住机遇投资15万元购买并投放一批A型“游览观光车”，因需求量增加，计划继续投放B型观光车，B型观光车的投放数量与A型观光车的投放数量相同，投资总费用减少10%，其中B型观光车的单价比A型观光车的单价少30元，则A型观光车的单价是多少元？设A型观光车的单价为x元，根据题意列方程正确的是（）A．150000xB．150000xC．150000xD．150000【考点】由实际问题抽象出分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】A【分析】设A型单车每辆车的价格为x元，则B型单车每辆车的价格为（x﹣30）元，再根据B型单车的投放数量与A型单车的投放数量相同，投资总费用减少10%列出方程即可．【解答】解：设A型单车每辆车的价格为x元，则设B型单车每辆车的价格为（x﹣30）元，由题意得，150000x故选：A．【点评】本题主要考查了从实际问题中抽象出分式方程，理解题意是关键．10．（2025•东明县一模）DeepSeek公司研发的两个AI模型R1和R2共同处理一批数据．已知R2单独处理数据的时间比R1少2小时．若两模型合作处理，仅需1.2小时即可完成．设R1单独处理需要x小时，则下列方程正确的是（）A．1x+1x-2=1.2C．1x+1x-2=11.2 D．x【考点】由实际问题抽象出分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】C【分析】设R1单独处理需要x小时，则R2单独处理数据的时间（x﹣2）小时，根据两队合作1.2小时完成，可得出方程．【解答】解：依题意得1x故选：C．【点评】该题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是列出等量关系．二．填空题（共5小题）11．（2025春•建邺区期中）若关于x的方程3x+a2x-1=2的解是正数，则a的取值范围是a＞【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】a＞【分析】根据解分式方程的步骤进行解答即可．【解答】解：在方程两边乘以（2x﹣1）得：3x+a＝2（2x﹣1），∴x＝a+2，∵方程的解是正数．∴a+2＞解得：a＞﹣2且a≠﹣3，∴a的取值范围是a＞故答案为：a＞【点评】本题考查分式方程的解，解题的关键是先确定方程的解，再建立关于a的不等式是求解即可．12．（2025春•两江新区）若关于x的不等式组5x-2＞3(x-4)x2+a≤5a-16-1有且仅有四个整数解，且关于y的分式方程ay+3【考点】分式方程的解；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】﹣4．【分析】先根据不等式组的整数解的个数求出a的范围，再根据分式方程的解为整数求出a的另一个范围，结合两个范围求解．【解答】解：5x-2＞由①得：x＞﹣5，由②得：x≤-a+7∴不等式组的解集为：-5＜∵不等式组有且仅有四个整数解，∴-1≤-a+7解得：﹣7＜a≤﹣4，ay+3y-1（ay+3）+2＝﹣3（y﹣1），ay+3+2＝﹣3y+3，（a+3）y＝﹣2，∴y=-2∵y≠1，∴-2a+3≠1，解得：a∴﹣7＜a≤﹣4，且a≠﹣5，∴﹣4＜a+3≤﹣1，且a+3≠﹣2，∵y为整数，且a也为整数，∴a+3＝﹣1，∴a＝﹣4．【点评】本题考查了一元一次不等式组、分式方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．13．（2025•任城区四模）若关于x的分式方程x-mx-1-3x=1无解，则m的值为﹣2【考点】分式方程的解．【专题】计算题；分式方程及应用．【答案】见试题解答内容【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．【解答】解：去分母得：x2﹣mx﹣3x+3＝x2﹣x，解得：（2+m）x＝3，由分式方程无解，得到2+m＝0，即m＝﹣2或x=32+m=1，即m综上，m的值为﹣2或1．故答案为：﹣2或1【点评】此题考查了分式方程的解，注意分母不为0这个条件．14．（2025春•萍乡）某市为治理污水，需要铺设一段全长600m的污水排放管道，铺设120m后，为加快施工进度，后来每天比原计划多铺设20m，结果共用8天完成这一任务，则原计划每天铺设管道的长度为60m．【考点】分式方程的应用．【专题】分式方程及应用；运算能力；推理能力．【答案】60m．【分析】设原计划每天铺设管道的长度为xm，由时间关系列出分式方程，解方程即可．【解答】解：设原计划每天铺设管道的长度为xm，由题意得：120x+解得：x＝60或x＝﹣5（舍去），经检验，x＝60是所列方程的解，即原计划每天铺设管道的长度为60m，故答案为：60m．【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．15．（2025•海淀区模拟）方程52x-3-1x=0的解为x【考点】解分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】x＝﹣1．【分析】先两边同时乘以x（2x﹣3）化为整式方程，然后解整式方程求出x值，再检验解答即可．【解答】解：原方程去分母得：5x﹣（2x﹣3）＝0，解得x＝﹣1，经检验x＝﹣1是原方程的解，故答案为：x＝﹣1．【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握该知识点是关键．三．解答题（共5小题）16．（2025•越秀区三模）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，相关的玩偶也跟着热销，小郑准备在网上开设一家玩偶专卖店，已知用600元购买A款哪吒玩偶的个数与用900元购买B款哪吒玩偶个数相等，且B款哪吒玩偶单价比A款哪吒玩偶单价多3元．（1）A，B款哪吒玩偶每个各多少元？（2）试营业时计划购买A，B款哪吒玩偶共200个，其中A款哪吒玩偶的数量不超过B款哪吒玩偶数量的13，求购买A【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．【答案】（1）A、B款哪吒玩偶每个各6元和9元；（2）购买A款哪吒玩偶50个时，购买这批哪吒玩偶总费用最低，最低费用是1650元．【分析】（1）设A款哪吒玩偶每个x元，则B款哪吒玩偶每个（x+3）元．根据用600元购买A款哪吒玩偶的个数与用900元购买B款哪吒玩偶个数相等为等量关系列出分式方程的解即可得出答案．（2）设购买A款哪吒玩偶a个，则购买B款哪吒玩偶（200﹣a）个，根据其中A款哪吒玩偶的数量不超过B款哪吒玩偶数量的13列出不等式求出a的取值范围，再列出w关于a【解答】解：（1）设A款哪吒玩偶每个x元，则B款哪吒玩偶每个（x+3）元．根据题意，得600x解得x＝6．经检验，x＝6是原分式方程的解，∴6+3＝9（元），∴A、B款哪吒玩偶每个各6元和9元；（2）设购买A款哪吒玩偶a个，则购买B款哪吒玩偶（200﹣a）个，依题意得：a≤1解得a≤50，∴1≤a≤50，且a为正整数．根据题意，购买这批哪吒玩偶总费用w＝6a+9（200﹣a）＝﹣3a+1800，∵﹣3＜0，∴w随a的增大而减小，∵1≤a≤50，且a为正整数，∴当a＝50时，w取最小值，此时w＝﹣3×50+1800＝1650，即购买A款哪吒玩偶50个时，购买这批哪吒玩偶总费用最低，最低费用是1650元．【点评】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的一用以及一次函数的实际应用．17．（2025春•沙坪坝区）列方程解下列问题：卤鹅是重庆荣昌非遗美食，深受游客喜爱．五一节前夕，甲、乙两个卤鹅生产商计划卤制卤鹅供应市场．甲、乙两个生产商同一天开始卤制卤鹅．甲生产商计划卤制180只卤鹅，乙生产商计划卤制160只卤鹅．乙生产商平均每天卤制的卤鹅数量是甲生产商的43倍，结果乙生产商刚好比甲生产商提前2（1）求甲、乙两个生产商计划各用多少天完成卤制？（2）卤鹅的成本为60元/只，目前可以以99元/只的价格出售．为保证五一期间能顺利供应市场，甲生产商卤制完成后，决定将卤鹅储藏起来择机出售．如果储藏起来，平均每天会有2只卤鹅因变质坏掉，且每天需支付各种费用324元，但同时每天每只卤鹅的价格将上涨3元，若甲生产商想通过出售这批卤鹅获得7020元的利润，需将该批卤鹅储藏多少天后一次性售出？【考点】分式方程的应用；一元二次方程的应用．【专题】分式方程及应用；一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．【答案】（1）甲生产商计划用6天完成卤制，乙生产商计划用4天完成卤制；（2）需将该批卤鹅储藏3天后一次性售出．【分析】（1）设甲生产商计划用x天完成卤制，则乙生产商计划用（x﹣2）天完成卤制，根据甲生产商计划卤制180只卤鹅，乙生产商计划卤制160只卤鹅．乙生产商平均每天卤制的卤鹅数量是甲生产商的43（2）设需将该批卤鹅储藏m天后一次性售出，则售价为（99+3m）元，剩余（180﹣2m）只卤鹅，根据甲生产商想通过出售这批卤鹅获得7020元的利润，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．【解答】解：（1）设甲生产商计划用x天完成卤制，则乙生产商计划用（x﹣2）天完成卤制，由题意得：160x-2解得：x＝6，经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意，∴x﹣2＝4，答：甲生产商计划用6天完成卤制，乙生产商计划用4天完成卤制；（2）设需将该批卤鹅储藏m天后一次性售出，则售价为（99+3m）元，剩余（180﹣2m）只卤鹅，由题意得：（99+3m）（180﹣2m）﹣60×180﹣324m＝7020，整理得：m2﹣3m＝0，解得：m1＝3，m2＝0（不符合题意，舍去），答：需将该批卤鹅储藏3天后一次性售出．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．18．（2025春•郑州）“阅读陪伴成长，书香润泽人生”，某校为提高学生的阅读兴趣和满足学生的读书需求，现决定到书店购买A、B两类图书供学生阅读．已知A类图书单价比本B类图书单价少5元，用150元购买A类书与用180元购买B类书的数量相同．（1）求A，B两类图书的单价分别是多少元？（2）学校准备购买A、B两类图书共100本，由于购买数量较多，书店给出了优惠方案：A类图书不少于30本时按8折优惠，B类图书不少于20本时按6折优惠，若该校要求A类图书不少于B类图书的1.5倍，且每类图书都必须购买，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的应用．【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用意识．【答案】（1）A类图书的单价为25元，B类图书的单价为30元；（2）购买A类图书60本，B类图书40本时最省钱，理由见解析．【分析】（1）设A类图书的单价为a元，则B类图书的单价为（a+5）元，根据用150元购买A类书与用180元购买B类书的数量相同，列出分式方程，解方程即可；（2）设购买A类图书x本，则购买B类图书（120﹣x）本，根据A类图书不少于30本时按8折优惠，B类图书不少于20本时按6折优惠，若该校要求A类图书不少于B类图书的1.5倍，列出一元一次不等式组，解得60≤x≤80，再设购买总费用为w，根据题意列出w关于x的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题．【解答】解：（1）设A类图书的单价为a元，则B类图书的单价为（a+5）元，根据题意得：150a解得：a＝25，经检验，a＝25是所列分式方程的解，∴a+5＝30，答：A类图书的单价为25元，B类图书的单价为30元；（2）购买A类图书60本，B类图书40本时最省钱，理由如下：设购买A类图书x本，则购买B类图书（120﹣x）本，由题意得：x≥30100-x≥20解得：60≤x≤80，设购买总费用为w，由题意得：w＝25×0.8x+30×0.6（100﹣x）＝2x+1800，∵2＞0，∴w随x的增大而增大，∴当x＝60时，w有最小值，此时，100﹣x＝40，答：购买A类图书60本，B类图书40本时最省钱．【点评】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式组和一次函数关系式．19．（2025春•东阳市）定义：形如x+abx=a+b(ab≠0)，两个解分别为x1＝a，x2＝b的方程称为“十字分式方程”．如x+2x=3，其中a＝（1）试判断x+6（2）若十字分式方程x-1x=3的解为x1＝a，x2①a2+3b；②ba【考点】解分式方程；分式方程的定义；分式方程的解．【专题】计算题；分式；分式方程及应用；运算能力．【答案】（1）是，解答详见解析；（2）①10；②﹣11．【分析】（1）先判断方程是不是十字分式方程，再求解分式方程；（2）先根据十字分式方程的特点，得两根的关系，整体代入计算得结论．【解答】解：（1）解分式方程x+6x1＝﹣2，x2＝﹣3．∵﹣2﹣3＝﹣5，（﹣2）（﹣3）＝6，∴方程x+6x+6去分母