2026中考数学高频考点一轮复习：锐角三角函数（含解析）

中考数学一轮复习锐角三角函数一．选择题（共10小题）1．（2025•深圳模拟）如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为36°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为100m．则这栋楼的高度为（）（参考数据：3≈1.73，tan36°≈0.73，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81A．246m B．250m C．254m D．310m2．（2025春•肥西县）在如图所示的小正方形网格中，A，B，C，D均为小正方形的顶点，线段AB和CD相交于点O，则∠AOC的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．46°3．（2025春•海淀区校级）春日暖阳，小宇去爬山，在出发点C处测得山顶部A的仰角为30度，在爬山过程中，每一段平路（CD、EF、GH）与水平线平行，每一段上坡路（DE、FG、HA）与水平线的夹角都是45度，在下山路线有一点B（B、C、D同一水平线上），斜坡AB的坡度为2：1，且AB长为9005．若小宇走平路的速度为73米/分，走上坡路的速度为402米/分，走下坡路的速度为455米/分．小宇从C处出发到达坡顶A后，欣赏风景停留了40分钟，随后一路下坡到山脚另一边的B处，在整个行程中，小宇共耗时（）（参考值2≈1.41，3≈1.73，5A．83分钟 B．84分钟 C．123分钟 D．124分钟4．（2025•广东校级三模）如图1是高铁受电弓装置，它是由两个四连杆BEDC和DFGH（这8根连杆在运动过程中长度保持不变）组成，工作原理是利用“四边形的不稳定性”，图2是受电弓抽象后得到的图形．已知E、A、B是定点，HG＝1cm，HD＝8.2cm，DC＝1.1cm，BC＝4.9cm，HG始终与AB垂直．当DB之间距离最大时，H运动至最高点时，这时测得∠HDC＝117°，∠CBP＝70°，则点G与水平直线AB的距离为（）（精确到0.1）．参考数据：sin（70°）≈0.94，cos（70°）≈0.34，sin（43°）≈0.68，cos（43°）≈0.73A．11.6 B．10.6 C．7.1 D．10.25．（2025•洛阳三模）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，摩擦力F1的方向与斜面平行，支持力F2的方向与斜面垂直．若斜面的坡角∠1＝30°，则支持力F2与重力G方向的夹角∠2的度数为（）A．150° B．130° C．120° D．100°6．（2025•扬州三模）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺，在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的O刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出cos∠AOB的值是（）A．35 B．78 C．710 7．（2025•翠屏区二模）如图，一束太阳光从天花板和落地窗交界处的点P射入，经过地板MN反射到天花板上形成光斑．中午和下午某时刻光线与地板的夹角分别为α，β．已知天花板与地面是平行的，且它们之间的距离为3m，当α＝45°，β＝30°时，光斑移动的距离AB为（）A．3m B．(63-6)m C．(33-3)m 8．（2025春•鹿城区校级）如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道CD与地面AB平行，扶梯AD的坡比为1：1，滑梯BC的坡比为1：2，若扶梯AD长为4米，则滑梯CB的长为（）米．A．42 B．210 C．45 9．（2025•漳州模拟）某小区停车场出口处安装了“两段式道闸”，如图1所示，点A是道闸转动的支点，点E是道闸两段的连接点．当车辆经过时，道闸AEF最多只能升到如图2所示位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝AE＝1.2米，（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75），则车辆限高标志牌中适合的是（）A． B． C． D．10．（2025•信都区二模）如图，已知从点A看点B，仰角为22°，嘉淇做一个数学游戏，把由仰角描述换成用方向角来描述，则点B位于点A的（）A．南偏西68°方向上 B．南偏西22°方向上 C．北偏东22°方向上 D．北偏东68°方向上二．填空题（共4小题）11．（2025•椒江区校级模拟）如图，四边形ABCD中，若∠B+∠D＝180°，BC＝CD＝3，AC＝8，AB＝x，AD＝y．则xy＝．12．（2025春•海淀区校级）在△ABC中，AB=5，tanB=12，AC=2，则13．（2025•南昌二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，过点A的直线l⊥AB，点P是直线l上一点，连接PB．若△PAB中有一个30°的内角，则点P到直线BC的距离为．14．（2025•全椒县二模）如图，在四边形ABCD中，DA⊥AB，点E在CD上，且EA＝EB，EB⊥BC．（1）若∠AEB＝2α，则∠CAB+∠ACB＝（用含α的式子表示）．（2）若DE：BC：EC＝2：3：5，则tan∠CAB的值为．三．解答题（共6小题）15．（2025•西湖区校级三模）某市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行60米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°线段AM的长为无人机距地面的垂直高度，点M、C、D在同一条直线上，其中tana=3，（1）求无人机的飞行高度AM；（结果保留根号）（2）求河流的宽度CD．（结果精确到1米，参考数据：2≈1.41，3≈16．（2025•樊城区校级模拟）桔槔（gāo）俗称“吊杆”“称杆”，如图1所示，是我国古代农用工具，桔槔始见于《墨子•备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．图2是桔槔的示意图，OM是垂直于水平地面的支撑杆，AB是杠杆，OM＝OA＝3米．当点A位于最高点时，∠BOM＝53°．求点A位于最高点时到地面的距离．（结果精确到0.1米，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）17．（2025春•溧阳市）某市高铁站将原来的检票系统换成了智能通道闸机系统，如图1所示是一个智能通道闸机，它的双翼成轴对称，当旅客通过时智能闸机时会自动识别旅客身份，识别成功后，双翼会收回到两侧闸机箱内，这时旅客即可通过．图②是双翼展开时的截面图，扇形ABC和DEF是闸机的“圆弧翼”，BC和EF均垂直于地面，双翼边缘的端点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为10cm，双翼的边缘AB＝DE＝56cm，且与闸机箱的夹角∠ABC＝∠DEF＝30°．（1）当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度为cm；（2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的4倍，120人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约9分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数．18．（2025•太康县三模）为保障小区居民安全，王老师所在的小区安装了人脸识别仪，如图，摄像头A视角的仰角、俯角均为13°（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），摄像头高度OA＝150cm．身高189cm的王老师，头部高度为24cm，当他站在点B处时，可以采取下蹲或后退两种方案进行人脸识别．若王老师采用下蹲方案，则至少需要下蹲（下蹲时身体不前倾）6.8cm才能被识别．（1）求OB的长度．（2）若王老师采用后退方案，则从B处至少后退多远，才能被仪器识别？（结果精确到0.1cm，参考数据：sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23）19．（2025•斗门区校级三模）某工厂生产某种多功能儿童车，根据需要可变形为图1的滑板车或图2的自行车，已知前后车轮半径相同，AD＝BD＝DE＝30cm，CE＝40cm，车杆AB与BC所成的∠ABC＝53°，图1中B、E、C三点共线，图2中的座板DE与地面保持平行．问变形前后两轴心BC的长度有没有发生变化？若不变，请写出BC的长度；若变化，请求出变化量？（参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，20．（2025•柯城区校级三模）学生到工厂开展实践活动，学习制作机械零件．某零件的截面如图所示，通过测量可知，AB⊥BC，BC＝5cm，CD=22cm，∠C＝45°，∠D＝153°．求该零件的截面面积．（结果精确到0.1cm2，参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，3

中考数学一轮复习锐角三角函数参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2025•深圳模拟）如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为36°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为100m．则这栋楼的高度为（）（参考数据：3≈1.73，tan36°≈0.73，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81A．246m B．250m C．254m D．310m【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】A【分析】过点A作AD⊥BC于点D，则AD＝100m，再利用锐角三角函数，分别求得BD和CD的长从而可以得到BC的长．【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，则AD＝100m，∵∠BAD＝36°，∠CAD＝60°，∴BD＝AD•tan36°≈73m，CD＝AD•tan36°＝100×3≈173（∴BC＝246m．故选：A．【点评】本题考查解直角三角形的应用一仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，准确构造直角三角形．2．（2025春•肥西县）在如图所示的小正方形网格中，A，B，C，D均为小正方形的顶点，线段AB和CD相交于点O，则∠AOC的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．46°【考点】解直角三角形的应用．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．【答案】B【分析】取格点E，连接AD，设小正方形的边长为1，由勾股定理得BD=2，AD＝22，再证明∠ADB＝90°，进而由锐角三角函数定义证明∠DAB＝∠CDE【解答】解：如图，取格点E，连接AD，设小正方形的边长为1，由勾股定理得：BD=12+12=∵∠ADE＝∠BDE＝45°，∴∠ADB＝90°，在Rt△ADB中，tan∠DAB=DB在Rt△CDE中，tan∠CDE=CE∴∠DAB＝∠CDE，∵∠AOC＝∠DAB+∠ADC，∴∠AOC＝∠CDE+∠ADC＝∠ADE＝45°，故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握勾股定理和锐角三角函数定义是解题的关键．3．（2025春•海淀区校级）春日暖阳，小宇去爬山，在出发点C处测得山顶部A的仰角为30度，在爬山过程中，每一段平路（CD、EF、GH）与水平线平行，每一段上坡路（DE、FG、HA）与水平线的夹角都是45度，在下山路线有一点B（B、C、D同一水平线上），斜坡AB的坡度为2：1，且AB长为9005．若小宇走平路的速度为73米/分，走上坡路的速度为402米/分，走下坡路的速度为455米/分．小宇从C处出发到达坡顶A后，欣赏风景停留了40分钟，随后一路下坡到山脚另一边的B处，在整个行程中，小宇共耗时（）（参考值2≈1.41，3≈1.73，5A．83分钟 B．84分钟 C．123分钟 D．124分钟【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．【答案】C【分析】易得上坡路总长为AN的长度，平路总长为CN的长度，下坡路总长为AB的长度，分别除以相应的速度，加上欣赏风景的时间，即为总耗时．【解答】解：作AM⊥BC于点M，则∠AMC＝∠AMB＝90°，∵斜坡AB的坡度为2：1，AB＝9005米，∴AM＝1800米，由题意得：∠ACB＝30°，∴CM＝18003米，∵每一段上坡路（DE、FG、HA）与水平线的夹角都是45度，∴DE+GF+AH＝AN，∠ANM＝45°，∴MN＝AM＝1800米，AN＝18002米，∴CN＝CM﹣MN＝（18003-1800∵每一段平路（CD、EF、GH）与水平线平行，∴CD+EF+GH＝CN＝（18003-1800∴小宇共耗时18003-180073+18002故选：C．【点评】本题考查解直角三角形的应用．判断出上坡路线和平路分别为哪条线段的长度是解决本题的关键．4．（2025•广东校级三模）如图1是高铁受电弓装置，它是由两个四连杆BEDC和DFGH（这8根连杆在运动过程中长度保持不变）组成，工作原理是利用“四边形的不稳定性”，图2是受电弓抽象后得到的图形．已知E、A、B是定点，HG＝1cm，HD＝8.2cm，DC＝1.1cm，BC＝4.9cm，HG始终与AB垂直．当DB之间距离最大时，H运动至最高点时，这时测得∠HDC＝117°，∠CBP＝70°，则点G与水平直线AB的距离为（）（精确到0.1）．参考数据：sin（70°）≈0.94，cos（70°）≈0.34，sin（43°）≈0.68，cos（43°）≈0.73A．11.6 B．10.6 C．7.1 D．10.2【考点】解直角三角形的应用；三角形的稳定性．【专题】解直角三角形及其应用；几何直观．【答案】B【分析】过D作直线l∥AB，DN⊥AB于N，延长HG交l于M，根据三角形三边关系可以得出当BD最大，B，C，D共线，根据三角形函数的定义求出DN的长，再根据平行线的性质求出∠DHM，再根据三角函数的定义求出HM的长，减去GH的长即为GM的长，所以点G到AB的距离就是GM+DN，由此得解．【解答】解：过D作直线l∥AB，DN⊥AB于N，延长HG交l于M，∵BD≤CD+BC，∴当BD最大时，B，C，D共线，∴BD＝BC+CD＝6（cm），∵∠DBP＝70°，∴DN＝BDsin70°≈5.64（cm），∵DM∥AB，∴∠MDB＝70°，∵∠DHC＝117°，∴∠HDM＝47°，∵GH⊥AB，∴GH⊥DM∴∠DHM＝90°﹣47°＝43°，∴HM＝DHcos43°≈5.986（cm），∴GM＝HM﹣GH≈4.986（cm），∴G到AB的距离为：GM+DN＝4.986+5.64＝10.626（cm）≈10.6（cm），故选：B．【点评】本题主要考查了解直角三角形，判断出B，C，D共线是本题解题的关键．5．（2025•洛阳三模）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，摩擦力F1的方向与斜面平行，支持力F2的方向与斜面垂直．若斜面的坡角∠1＝30°，则支持力F2与重力G方向的夹角∠2的度数为（）A．150° B．130° C．120° D．100°【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】A【分析】由已知得∠BCD＝90°，即得∠ABC＝∠1+∠BCD＝120°，再根据平行线的性质即可求解．【解答】解：重力G的方向竖直向下，摩擦力F1的方向与斜面平行，支持力F2的方向与斜面垂直．∠1＝30°，如图，∴∠BCD＝90°，∠F1OB＝∠ABC，∠F2OF1＝90°，∴∠ABC＝∠1+∠BCD＝30°+90°＝120°，∴∠F1OB＝∠ABC＝120°，∴∠2＝360°﹣120°﹣90°＝150°．故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握以上知识点是解题的关键．6．（2025•扬州三模）某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺，在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的O刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出cos∠AOB的值是（）A．35 B．78 C．710 【考点】解直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】A【分析】连接AD，根据勾股定理求出AD的长度，再证明∠AOB＝∠ADO，最后利用锐角三角函数值求出cos∠AOB的值．【解答】解：如图，连接AD．∵OD＝1，OA＝0.8，∴AD=O∵∠AOB+∠AOD＝90°，∠AOD+∠ADO＝90°，∴∠AOB＝∠ADO，∴cos∠AOB=cos∠ADO=AD故选：A．【点评】本题考查圆周角定理、直径的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考创新题目．7．（2025•翠屏区二模）如图，一束太阳光从天花板和落地窗交界处的点P射入，经过地板MN反射到天花板上形成光斑．中午和下午某时刻光线与地板的夹角分别为α，β．已知天花板与地面是平行的，且它们之间的距离为3m，当α＝45°，β＝30°时，光斑移动的距离AB为（）A．3m B．(63-6)m C．(33-3)m 【考点】解直角三角形的应用．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】B【分析】过点A作AE⊥MN，垂足为E，过点B作BF⊥MN，垂足为F，根据题意可得：CE＝DF＝3m，△ACP和△BDP都是等腰三角形，BP∥MN，从而可得∠APC＝∠PCM＝45°，∠BPD＝∠PDM＝30°，然后在Rt△PCE中，利用锐角三角函数的定义求出PE的长，从而求出AP的长，再在Rt△PDF中，利用锐角三角函数的定义求出PF的长，从而求出BP的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．【解答】解：如图：过点A作AE⊥MN，垂足为E，过点B作BF⊥MN，垂足为F，由题意得：CE＝DF＝3m，△ACP和△BDP都是等腰三角形，BP∥MN，∴∠APC＝∠PCM＝45°，∠BPD＝∠PDM＝30°，在Rt△PCE中，PE=CEtan45°=3∴AP＝2PE＝6（m），在Rt△PDF中，PF=DFtan30°=33∴BP＝2PF＝63（m），∴AB＝BP﹣AP＝（63-6）m∴光斑移动的距离AB为（63-6）m故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．8．（2025春•鹿城区校级）如图是一架儿童滑梯截面示意图，过道CD与地面AB平行，扶梯AD的坡比为1：1，滑梯BC的坡比为1：2，若扶梯AD长为4米，则滑梯CB的长为（）米．A．42 B．210 C．45 【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】B【分析】如图，根据矩形的性质得到DE＝CF，得到AE＝DE=22=22（米），求得CF＝22米，得到BF＝【解答】解：如图，∵CD∥AB，DE⊥AB，CF⊥AB，∴四边形CDEF是矩形，∴DE＝CF，∵扶梯AD的坡比为1：1，∴DEAE=∴AE＝DE=22=∴CF＝22米，∵滑梯BC的坡比为1：2，∴CFBF∴BF＝42米，∴BC=BF2答：滑梯CB的长为210米．故选：B．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答中涉及勾股定理，理解题意，掌握坡度的含义，熟练运用勾股定理是解题的关键．9．（2025•漳州模拟）某小区停车场出口处安装了“两段式道闸”，如图1所示，点A是道闸转动的支点，点E是道闸两段的连接点．当车辆经过时，道闸AEF最多只能升到如图2所示位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝AE＝1.2米，（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75），则车辆限高标志牌中适合的是（）A． B． C． D．【考点】解直角三角形的应用．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】A【分析】根据题意，结合图形，在在Rt△AEN中，利用三角函数求出EN的长，即可得到EM的长，得到结果．【解答】解：过E点作EM⊥BC于M，过A点作AN⊥EM于N点，∵∠AEF＝143°，∴∠AEN＝53°，∴∠EAN＝90°﹣∠AEN＝37°，∵在Rt△AEN中，AE＝1.2米，∴EN＝AE•sin∠EAN＝1.2×sin37°≈0.72（米），∴EM＝EN+MN＝EN+AB＝0.72+1.2＝1.92（米），∴车辆限高的高度为1.92米，故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．10．（2025•信都区二模）如图，已知从点A看点B，仰角为22°，嘉淇做一个数学游戏，把由仰角描述换成用方向角来描述，则点B位于点A的（）A．南偏西68°方向上 B．南偏西22°方向上 C．北偏东22°方向上 D．北偏东68°方向上【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；方向角．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】D【分析】过A作水平方向射线AC，垂直方向射线AD，则∠DAC＝90°，∠BAC＝22°；由此可求得∠DAB，从而可确定点B位于点A的方向．【解答】解：如图，过A作水平方向射线AC，垂直方向射线AD，由条件可知∠DAC＝90°，∠BAC＝22°；∴∠DAB＝68°，∴点B位于点A的方向为北偏东68°方向上．故选：D．【点评】本题考查了仰角与方向角，熟练掌握以上知识点是关键．二．填空题（共4小题）11．（2025•椒江区校级模拟）如图，四边形ABCD中，若∠B+∠D＝180°，BC＝CD＝3，AC＝8，AB＝x，AD＝y．则xy＝55．【考点】解直角三角形．【专题】三角形；解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】55．【分析】过点C作CE⊥AB于点E，CF⊥AD，交AD延长线于点F，证明∠B＝∠CDF＝α，解Rt△BCE得CE＝3sinα，BE＝3cosα，则AE＝x﹣3cosα，由勾股定理得AE2+CE2＝AC2，则（x﹣3cosα）2+（3sinα）2＝82，整理得x2﹣6xcosα＝55①，解Rt△CDF得CF＝3sinα，DF＝3cosα，则AF＝y+3cosα，由勾股定理得AF2+CF2＝AC2，则（y+3cosα）2+（3sinα）2＝82，整理得y2+6ycosα＝55②，由①②得x2﹣6xcosα＝y2+6ycosα，由此得x﹣y＝6cosα，则x2+y2﹣2xy＝36cos2α，再由①+②得x2+y2＝110+36cos2α，进而得110+36cos2α﹣2xy＝36cos2α，由此即可得出xy的值．【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F，如图所示：∵∠B+∠ADC＝180°，∠CDF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠CDF，设∠B＝∠CDF＝α，在Rt△BCE中，∠B＝α，BC＝3，∴sinα=CEBC，cosα∴CE＝BC•sinα＝3sinα，BE＝BC•cosα＝3cosα，∵AB＝x，∴AE＝AB﹣BE＝x﹣3cosα，在Rt△ACE中，AC＝8，由勾股定理得：AE2+CE2＝AC2，∴（x﹣3cosα）2+（3sinα）2＝82，整理得：x2﹣6xcosα+9（sin2α+cos2α）＝64，∵sin2α+cos2α＝1，∴x2﹣6xcosα＝55①，在Rt△CDF中，∠CDF＝α，CD＝3，∴sinα=CFCD，cosα∴CF＝CD•sinα＝3sinα，DF＝CD•cosα＝3cosα，∵AD＝y，∴AF＝AD+DF＝y+3cosα，在Rt△ACF中，AC＝8，由勾股定理得：AF2+CF2＝AC2，∴（y+3cosα）2+（3sinα）2＝82，整理得：y2+6ycosα+9（sin2α+cos2α）＝64，∵sin2α+cos2α＝1，∴y2+6ycosα＝55②，由①②得：x2﹣6xcosα＝y2+6ycosα，∴（x+y）（x﹣y）＝6（x+y）cosα，∵x+y≠0，∴x﹣y＝6cosα，∴（x﹣y）2＝（6cosα）2，∴x2+y2﹣2xy＝36cos2α，由①+②得：x2﹣6xcosα+y2+6ycosα＝110，∴x2+y2＝110+6（x﹣y）cosα＝110+6×6cosα×cosα，∴x2+y2＝110+36cos2α，∴110+36cos2α﹣2xy＝36cos2α，∴xy＝55．故答案为：55．【点评】此题主要考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义，勾股定理，完全平方公式的结构特征是解决问题的关键．12．（2025春•海淀区校级）在△ABC中，AB=5，tanB=12，AC=2，则BC＝【考点】解直角三角形．【专题】分类讨论；解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】3或1．【分析】依题意有以下两种情况：①当∠C为锐角时，过点A作AD⊥BC于点D，由tanB=ADBD=12得BD＝2AD，由勾股定理求出AD＝1，则BD＝2，进而由勾股定理求出CD＝1即可得出BC的长；②当∠C为钝角是，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点E，由tanB=AEBE=12得BE＝2AE，由勾股定理求出AE＝1，则【解答】解：依题意有以下两种情况：①当∠C为锐角时，过点A作AD⊥BC于点D，如图1所示：在Rt△ABD中，AB=5，tanB=∴BD＝2AD，由勾股定理得：AB=AD∴5AD=5∴AD＝1，∴BD＝2AD＝2，在Rt△ACD中，AC=2，AD＝1由勾股定理得：CD=AC∴BC＝BD+CD＝3；②当∠C为钝角时，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点E，如图2所示：在Rt△ABE中，AB=5，tanB=∴BE＝2AE，由勾股定理得：AB=AE∴5AE=5∴AE＝1，∴BE＝2AE＝2，在Rt△ACE中，AC=2，AE＝1由勾股定理得：CE=AC∴BC＝BE﹣CE＝1，综上所述：BC的长为3或1．故答案为：3或1．【点评】此题主要考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义，勾股定理及时解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．13．（2025•南昌二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，过点A的直线l⊥AB，点P是直线l上一点，连接PB．若△PAB中有一个30°的内角，则点P到直线BC的距离为0或4或8．【考点】解直角三角形的应用；点到直线的距离；含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；运算能力；推理能力．【答案】：0或4或8．【分析】分图1和图2两种情况讨论求解即可．【解答】解：（1）当∠PBA＝30°时，如图1，当点P在点P处时，过点P1作PE⊥BC于E，过点A作AD⊥PE于D，则四边形ACED是矩形，∴DE＝AC＝2，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝4，在Rt△ABP中，AP∵AD∥BC，∴∠BAD＝∠ABC＝30°，⊥AB，∴∠P1AB＝90°，∴∠P1AD＝60°，∴P1P1E＝P1D+DE＝4，当点P在点P2处时，即点P2在BC延长线上时，此时P2到BC的距离为0；（2）当∠APB＝30°时，如图2，当点P在点P3处时，则∠P3BA＝90°﹣30°＝60°，∴∠P3BC＝60°+30°＝90°，在Rt△P3BA中，P3B＝2AB＝8，当点P在点P4处时，过点P4作P4M⊥BC交BC延长线于M，∴∠BP3P4＝∠BP4P3＝30°，∴BP3＝BP4＝8，∠P3BP4＝120°，∴P4∠BM＝30°，∴P4M=12P4B＝故答案为：0或4或8．【点评】本题主要考查了解直角三角形，点到直线的距离，等腰三角形的性质与判定，解题的关键是掌握相关知识即分类讨论．14．（2025•全椒县二模）如图，在四边形ABCD中，DA⊥AB，点E在CD上，且EA＝EB，EB⊥BC．（1）若∠AEB＝2α，则∠CAB+∠ACB＝α（用含α的式子表示）．（2）若DE：BC：EC＝2：3：5，则tan∠CAB的值为314【考点】解直角三角形；相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】（1）α；（2）314【分析】（1）过点E作EF⊥AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，根据EA＝EB得∠AEF＝BEF=12∠AEB＝α，再根据∠BEF+∠EBF＝90°，∠EBF+∠GBC＝90°得∠GBC＝∠BEF＝（2）设DE＝2a，BC＝3a，EC＝5a，由勾股定理得EB＝4a，设AF＝BF＝x，根据平行线分线段成比例定理得AFFG=DEEC，则FG=5x2，进而得AG=7x2，证明△BCG和△EBF相似得CGBF=BCEB【解答】解：（1）过点E作EF⊥AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，如图所示：∵EA＝EB，∠AEB＝2α，∴∠AEF＝BEF=12∠AEB＝∵EF⊥AB，在Rt△BEF中，∠BEF+∠EBF＝90°，∴EB⊥BC，∴∠EBF+∠GBC＝90°，∴∠GBC＝∠BEF＝α，故答案为：α；（2）∵DE：BC：EC＝2：3：5，∴设DE＝2a，BC＝3a，EC＝5a，在Rt△BEC中，由勾股定理得：EB=EC2∵EA＝EB，EF⊥AB∴设AF＝BF＝x，∵DA⊥AB，EF⊥AB，CG⊥AB，∴DA∥EF∥CG，根据平行线分线段成比例定理得：AFFG∴xFG∴FG=5x∴AG＝AF+FG=x+5x∵CG⊥AB，EF⊥AB，∴∠G＝∠EFB＝90°，由（1）可知：∠GBC＝∠BEF，∴△BCG∽△EBF，∴CGBF∴CGx∴CG=3x在Rt△ACG中，tan∠CAB=CG【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义是解决问题的关键．三．解答题（共6小题）15．（2025•西湖区校级三模）某市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行60米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°线段AM的长为无人机距地面的垂直高度，点M、C、D在同一条直线上，其中tana=3，（1）求无人机的飞行高度AM；（结果保留根号）（2）求河流的宽度CD．（结果精确到1米，参考数据：2≈1.41，3≈【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；相似三角形的应用．【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；几何直观；模型思想；应用意识．【答案】（1）1803米；（2）约为496米．【分析】（1）在Rt△ACM中，由tanα＝3，MC＝603米，可求出AM即可；（2）在Rt△BND中，∠BDM＝30°，BN＝1003米，可求出DN，进而求出DM和CD即可．【解答】解：过点B作BN⊥MD，垂足为N，由题意可知，∠ACM＝α，∠BDM＝30°，AB＝MN＝60米，（1）在Rt△ACM中，tan∠ACM＝tanα＝3，MC＝603米，∴AM＝3MC＝1803=BN答：无人机的飞行高度AM为1803米；（2）在Rt△BND中，tan∠BDN=BNDN，即：tan30°解得：DN＝540，∴DM＝DN+MN＝540+60＝600（米），∴CD＝DM﹣MC＝600﹣603≈496答：河流的宽度CD约为496米．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，相似三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键．16．（2025•樊城区校级模拟）桔槔（gāo）俗称“吊杆”“称杆”，如图1所示，是我国古代农用工具，桔槔始见于《墨子•备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械．图2是桔槔的示意图，OM是垂直于水平地面的支撑杆，AB是杠杆，OM＝OA＝3米．当点A位于最高点时，∠BOM＝53°．求点A位于最高点时到地面的距离．（结果精确到0.1米，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【考点】解直角三角形的应用．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】点A位于最高点时到地面的距离为4.8米．【分析】根据题意，结合图形，在Rt△ADO中求出AD，结合已知条件中OM的长，得到结果．【解答】解：如图2，过A点作AC⊥MN于点C，过O点作OD⊥AC于D点，∵AC∥OM，∠BOM＝53°，∴∠A＝∠BOM＝53°，∵在Rt△ADO中，∠ADO＝90°，AO＝3米，∴AD＝AO•cos∠A＝3×cos53°≈1.8（米），∵四边形ODCM为矩形，∴DC＝OM＝3米，∴AC＝AD+DC＝1.8+3＝4.8（米），答：点A位于最高点时到地面的距离为4.8米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．17．（2025春•溧阳市）某市高铁站将原来的检票系统换成了智能通道闸机系统，如图1所示是一个智能通道闸机，它的双翼成轴对称，当旅客通过时智能闸机时会自动识别旅客身份，识别成功后，双翼会收回到两侧闸机箱内，这时旅客即可通过．图②是双翼展开时的截面图，扇形ABC和DEF是闸机的“圆弧翼”，BC和EF均垂直于地面，双翼边缘的端点A与点D在同一水平线上，且它们之间的距离为10cm，双翼的边缘AB＝DE＝56cm，且与闸机箱的夹角∠ABC＝∠DEF＝30°．（1）当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度为66cm；（2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的4倍，120人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约9分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数．【考点】解直角三角形的应用；二元一次方程组的应用；勾股定理的应用；轴对称的性质．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【答案】（1）66；（2）一个智能闸机平均每分钟检票通过40人．【分析】（1）根据题意，结合图形，在Rt△AMB中利用三角函数，求出AM，根据对称性，得到DN，从而得到结果；（2）根据题意，列方程，解方程得到结果．【解答】解：（1）如图，连接AD，向两侧延长分别交BC，EF于M，N点，∵在Rt△AMB中，∠AMB＝90°，∠ABM＝30°，AB＝56cm，∴AM＝AB•sin∠ABM＝56×sin30°＝28（cm），∵智能通道闸机的双翼成轴对称，∴DN＝AM＝28（cm），∵AD＝10cm，∴MN＝AM+AD+DN＝28+10+28＝66（cm），∴当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度为66cm，故答案为：66；（2）设一个人工检票口每分钟检票通过个x个人，则一个智能闸机平均每分钟检票通过4x个人，120x解得x＝10，经检验x＝10是方程的根，∴4x＝40，答：一个智能闸机平均每分钟检票通过40人．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键．18．（2025•太康县三模）为保障小区居民安全，王老师所在的小区安装了人脸识别仪，如图，摄像头A视角的仰角、俯角均为13°（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），摄像头高度OA＝150cm．身高189cm的王老师，头部高度为24cm，当他站在点B处时，可以采取下蹲或后退两种方案进行人脸识别．若王老师采用下蹲方案，则至少需要下蹲（下蹲时身体不前倾）6.8cm才能被识别．（1）求OB的长度．（2）若王老师采用后退方案，则从B处至少后退多远，才能被仪器识别？（结果精确到0.1cm，参考数据：sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；视点、视角和盲区．【专题】数形结合；解直角三角形及其应用；应用意识．【答案】（1）OB＝140cm；（2）从B处至少后退29.6cm，才能被仪器识别．【分析】（1）过点B作BD⊥AE于点D，易得四边形AOBD为矩形，求得FD的长度，进而根据13°的正切值求得AD的长即为OB的长度；（2）设王老师后退到点M处正好被仪器识别，作MF⊥AE于点F，求得GF的长度，进而据13°的正切值求得AF的长