2026中考数学高频考点一轮复习：相交线与平行线（含解析）

中考数学一轮复习相交线与平行线一．选择题（共10小题）1．（2025春•青秀区）如图a是长方形纸带，∠DEF＝24°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（）A．97° B．105° C．108° D．111°2．（2025春•宜兴市）如图，AB∥CD，点E在AB的上方，G，F分别为AB，CD上的点，∠AGE，∠EFC的角平分线交于点H，∠EFD的角平分线与HG的延长线交于点M．下列结论：①HF⊥MF；②∠EFC＝∠E+∠AGE；③∠E＝2∠H；④若∠BGE﹣∠EFD＝∠M，则∠H＝30°．其中，所有正确结论的序号是（）A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④3．（2025春•南沙区）如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠KHD＝86°，点E和点F分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MN∥PK，则∠EFC的度数为（）A．34°或94° B．43°或133° C．34°或113° D．43°或94°4．（2025•介休市一模）图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中AB、CD都与地面平行，∠BCD＝68°，∠BAC＝52°，已知AM与CB平行，则∠MAC的度数为（）A．52° B．60° C．68° D．112°5．（2025•南平模拟）如图，直线AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，点G在∠EFD内，若∠AEF＝50°，∠EFG＝30°，则∠GFD的大小为（）A．15° B．20° C．25° D．30°6．（2025•衢州四模）如图，AB∥CD，∠DEF＝110°，则∠A的度数是（）A．70° B．80° C．110° D．150°7．（2025春•郑州）数学老师在黑板上画出如图所示的图形，要求同学们添加一个条件使得AC∥DM，同学们给出的下列条件中，能得到这个结论的是（）A．∠A＝∠3 B．∠A+∠C＝180° C．∠1＝∠2 D．∠1＝∠C8．（2025春•洛阳）如图，已知直线AB⊥CD，垂足为O，EF是过点O的直线，∠1＝50°，则∠2的度数是（）A．50° B．40° C．60° D．不能确定9．（2025•莲湖区一模）如图，AD∥BC，BH平分∠ABC，交AD于点H．若∠BAD＝112°，则∠AHB的度数为（）A．34° B．56° C．22° D．36°10．（2025春•渝北区）如图，AB，CD相交于点O，OE为∠DOB的平分线，FO⊥DO，GO⊥EO，O为垂足，∠AOC＝38°，则∠FOG的度数是（）A．160° B．161° C．162° D．151°二．填空题（共5小题）11．（2025春•房山区）将一副三角板按如图所示（共顶点A）叠放在一起，已知∠EAD＝∠ACB＝90°，∠AED＝60°，∠ABC＝45°．若固定三角板ABC，改变三角板ADE的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝°时，DE∥AB．12．（2025春•辽中区）如图，直线AB∥CD，∠ABC与∠DCB的角平分线交于点E，BE的延长线交CD于点F，过点F作FG⊥BF，交BC延长线于点G．点M在线段BC上，点N在线段FG上，且EM平分∠BEN，连接EG，若∠NEG＝∠NGE，∠MEG的度数为．13．（2025春•黄梅县）如图，两条平行直线EF，GH之间有一点M，点A在直线EF上，连接AM，∠FAM的平分线AB交GH于点B，连接MB，过点M作MN⊥GH交GH于点N，作MI⊥AM交GH于点I，MO平分∠IMN交GH于点O，∠ABM=43∠（1）若∠EAM＝42°，则∠FAB＝；（2）在（1）的条件下，在线段AB上有一个动点Q，当MQ最短时，∠BMQ＝．14．（2025春•天山区）如图，直线AB与CD相交于点O，EO⊥CD，OF平分∠AOD，且∠BOE＝55°，则∠COF＝°．15．（2025春•松江区）如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，∠ACD＝80°，那么∠D的度数是．三．解答题（共5小题）16．（2025春•裕华区）已知∠AOB＝90°，直线CD与OA交于点C，与OB交于点D，点C，D均不与点O重合，CE平分∠DCO，DE平分∠CDO．（1）如图1，∠CED的度数为；（2）如图2，延长CE与BO交于点F，过E作射线EG与CD交于点G，且满足∠CFO﹣∠GED＝45°．求证：GE∥DO．17．（2025春•黄梅县）已知，AB∥DE，点C在AB上方，连接BC、CD．（1）如图1，若∠ABC＝140°，∠EDC＝110°，求∠BCD的度数；（2）如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F，若∠F＝α，求∠ABC的度数（用含α的式子表示）；（3）如图3，在（2）的条件下，∠CFD的平分线FG交CD于点G，连接GB并延长至点H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值．18．（2025春•花都区）如图，射线AB平行射线CD，点E、F分别在射线AB、射线CD上，点P是射线CA上的一个动点，点G是射线CD上的一个动点，且∠C＝∠AEF．（1）求证：AC∥EF．（2）如图1，当点P在点A处，点G在点F左侧，若PG平分∠CAE，∠C＝60°，∠GEF＝10°，求∠AGE的度数．（3）如图2，当点P在点A上方，点G沿射线CD从左向右运动时（点G不与点F重合），求∠CPG、∠PGE、∠GEF之间的关系．19．（2025春•扬州）完成下面的推理说明：已知：如图，BE∥CF，BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD．求证：AB∥CD．证明：∵BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD（已知），∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠BCD（∵BE∥CF（已知），∴∠1＝∠2（）．∴12∠ABC=1∴∠ABC＝∠BCD（）．∴AB∥CD（）．20．（2025春•扬州）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系．（1）如图（1），AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接ME、NE，得到∠MEN，试探究∠MEN与∠AME，∠CNE之间的数量关系，并说明理由．【实际运用】（2）消防云梯的示意图如图（2）所示，其由救援台AB、延展臂BC（B在C的左侧）、伸展主臂CD、支撑臂EF构成，在作业过程中，救援台AB、车身GH及地面MN三者始终保持水平平行．为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图（3）．使得延展臂BC与支撑臂EF所在直线互相垂直，且∠EFH＝75°，这时展角∠ABC＝．【深入探索】（3）今年元宵节小美江边观赏灯光秀时，发现两岸灯光在有规律的旋转．如图（4），射线ME从MA开始，绕M点以10°每秒的速度逆时针旋转，同时射线NF从ND开始，绕N点以25°每秒的速度逆时针旋转，直线ME与直线MF交于P，若直线ME与直线NF相交所夹的锐角为45°，请求出运动时间t秒（0≤t≤10）的值．

中考数学一轮复习相交线与平行线参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2025春•青秀区）如图a是长方形纸带，∠DEF＝24°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（）A．97° B．105° C．108° D．111°【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】C【分析】根据长方形纸条的特征对边平行，利用平行线的性质和翻折不变性求出∠2＝∠EFG，继而求出∠GFC的度数，再减掉∠GFE即可得∠CFE的度数．【解答】解：如图：延长AE到H，由于纸条是长方形，∴EH∥GF，∴∠1＝∠EFG，由题意可得：∠1＝∠2，∴∠2＝∠EFG，又∵∠DEF＝24°，∴∠2＝∠EFG＝24°，∠FGD＝∠2+∠EFG＝24°+24°＝48°．∵∠GFC＝180°﹣48°＝132°，∴∠CFE＝∠GFC﹣∠GFE＝132°﹣24°＝108°．故选：C．【点评】本题主要考查了翻折变换，掌握长方形纸条的性质和翻折不变性成为解题的关键．2．（2025春•宜兴市）如图，AB∥CD，点E在AB的上方，G，F分别为AB，CD上的点，∠AGE，∠EFC的角平分线交于点H，∠EFD的角平分线与HG的延长线交于点M．下列结论：①HF⊥MF；②∠EFC＝∠E+∠AGE；③∠E＝2∠H；④若∠BGE﹣∠EFD＝∠M，则∠H＝30°．其中，所有正确结论的序号是（）A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④【考点】平行线的性质；垂线．【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识．【答案】D【分析】①根据角平分线定义设∠EGH＝∠AGH＝α，∠EFH＝∠CFH＝β，∠EFM＝∠DFM＝θ，则∠AGE＝2α，∠EFC＝2β，∠EFD＝2θ，∠HFM＝β+θ，根据∠EFC+∠EFD＝180°得β+θ＝90°，则∠HFM＝90°，据此可对结论①进行判断；②过点E作EK∥AB，则EK∥AB∥CD，进而得∠KEF＝180°﹣2β，∠KEG＝180°﹣2α，则∠FEG＝∠KEG﹣∠KEF＝2β﹣2α，继而得∠FEG+∠AGE＝2β，再根据∠EFC＝2β可对结论②进行判断；③过点H作HT∥AB，则HT∥AB∥CD，进而得∠THG＝∠AGH＝α，∠THF＝∠CFH＝β，则∠GHF＝β﹣α，由②可知∠FEG＝2β﹣2α，据此可对结论③进行判断；④过点M作MN∥AB，则AB∥MN∥CD，进而得∠HMN＝∠AGH＝α，∠FMN＝∠DFM＝θ，则∠HMF＝∠HMN+∠FMN＝α+θ，再根据∠BGE＝180°﹣2α，∠EFD＝2θ，∠BGE﹣∠EFD＝∠M得α+θ＝60°，则∠HMF＝60°，根据①可知∠HFM＝90°，则∠H＝30°，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案．【解答】解：①∵GH平分∠AGE，FH平分∠EFC，FM平分∠EFD，设∠EGH＝∠AGH＝α，∠EFH＝∠CFH＝β，∠EFM＝∠DFM＝θ，则∠AGE＝2α，∠EFC＝2β，∠EFD＝2θ，∠HFM＝∠EFH+∠EFM＝β+θ，∵点F在直线CD上，∴∠EFC+∠EFD＝180°，∴2β+2θ＝180°，∴β+θ＝90°，∴∠HFM＝β+θ＝90°，即HF⊥MF，故结论①正确，符合题意；②过点E作EK∥AB，如图1所示：∵AB∥CD，∴EK∥AB∥CD，∴∠KEF＝180°﹣∠EFC＝180°﹣2β，∠KEG＝180°﹣∠AGE＝180°﹣2α，∴∠FEG＝∠KEG﹣∠KEF＝180°﹣2α﹣（180°﹣2β）＝2β﹣2α，∴∠FEG+∠AGE＝2β﹣2α+2α＝2β，又∵∠EFC＝2β，∴∠EFC＝∠FEG+∠AGE，∴结论②正确，符合题意；③过点H作HT∥AB，如图2所示：∵AB∥CD，∴HT∥AB∥CD，∴∠THG＝∠AGH＝α，∠THF＝∠CFH＝β，∴∠GHF＝∠THF﹣∠THG＝β﹣α，由②可知：∠FEG＝2β﹣2α，∴∠FEG＝2∠GHF，故结论③正确，符合题意；④过点M作MN∥AB，如图3所示：∵AB∥CD，∴AB∥MN∥CD，∴∠HMN＝∠AGH＝α，∠FMN＝∠DFM＝θ，∴∠HMF＝∠HMN+∠FMN＝α+θ，∵∠BGE＝180°﹣∠AGE＝180°﹣2α，∠EFD＝2θ，又∵∠BGE﹣∠EFD＝∠M，∴180°﹣2α﹣2θ＝α+θ，∴α+θ＝60°，∴∠HMF＝α+θ＝60°，由①可知：∠HFM＝90°，∴∠H＝180°﹣（∠HFM+∠HMF）＝180°﹣（90°+60°）＝30°，故结论④不正确，不符合题意．综上所述：正确的结论是①②③④．故选：D．【点评】此题主要考查了平行线的性质，垂线的定义，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质，垂线的定义，角平分线的定义是解决问题的关键．3．（2025春•南沙区）如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠KHD＝86°，点E和点F分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MN∥PK，则∠EFC的度数为（）A．34°或94° B．43°或133° C．34°或113° D．43°或94°【考点】平行线的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】线段、角、相交线与平行线；展开与折叠；运算能力；推理能力．【答案】D【分析】当PK在AD上方时，延长MN、KH，二线交于点Q，根据长方形的性质，折叠的性质，平行线的判定和性质，解答即可；当PK在AD下方时，延长MN、HK，二线交于点T，根据长方形的性质，折叠的性质，平行线的判定和性质，解答即可．【解答】解：当PK在AD上方时，延长MN，KH，二线交于点Q，∵长方形纸片ABCD，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD∥BC，∴∠EFC＝∠AEF，根据折叠的性质，得∠A＝∠FMN＝∠B＝∠ENM＝∠P＝∠C＝∠D＝∠K＝90°，∠AEF＝∠NEF，∴∠EFC＝∠AEF＝∠NEF，∵MN∥PK，∴∠Q+∠K＝180°，∴∠Q＝90°，∴∠Q+∠ENQ＝180°，∴EN∥QK，∴∠NEH＝∠QHD，∵∠KHD＝86°，∴∠QHD＝94°，∴∠NEH＝94°，∴∠EFC=∠AEF=∠NEF=180°-∠NEH当PK在AD下方时，延长MN，HK，二线交于点T，∵长方形纸片ABCD，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD∥BC，∴∠EFC＝∠AEF，根据折叠的性质，得∠A＝∠FMN＝∠B＝∠ENM＝∠P＝∠C＝∠D＝∠HKP＝90°，∠AEF＝∠NEF，∴∠EFC＝∠AEF＝∠NEF，∵MN∥PK，∴∠T＝∠TKP＝90°，∴∠T+∠ENT＝180°，∴EN∥TK，∴∠NEH＝∠KHD，∵∠KHD＝86°，∴∠NEH＝86°，∴∠EFC=∠AEF=∠NEF=180°-∠NEH故选：D．【点评】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．4．（2025•介休市一模）图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中AB、CD都与地面平行，∠BCD＝68°，∠BAC＝52°，已知AM与CB平行，则∠MAC的度数为（）A．52° B．60° C．68° D．112°【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】B【分析】由平行线的性质可得∠ABC＝∠BCD＝68°，再由三角形的内角和可求得∠ACB＝60°，再次利用平行线的性质即可求∠MAC的度数．【解答】解：∵AB，CD都与地面平行，∠BCD＝68°，∴∠ABC＝∠BCD＝68°，∵∠BAC＝52°，∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝60°，∵AM与CB平行，∴∠BAC＝∠ACB＝60°．故选：B．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．5．（2025•南平模拟）如图，直线AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，点G在∠EFD内，若∠AEF＝50°，∠EFG＝30°，则∠GFD的大小为（）A．15° B．20° C．25° D．30°【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】B【分析】根据“两直线平行，内错角相等”得∠EFD＝∠AEF＝50°，再根据∠GFD＝∠EFD﹣∠EFG求解即可．【解答】解：∵AB∥CD，∠AEF＝50°，∴∠EFD＝∠AEF＝50°（两直线平行，内错角相等），∵∠EFG＝30°，∴∠GFD＝∠EFD﹣∠EFG＝50°﹣30°＝20°，综上所述，只有选项B正确，符合题意．故选：B．【点评】本题主要考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握．6．（2025•衢州四模）如图，AB∥CD，∠DEF＝110°，则∠A的度数是（）A．70° B．80° C．110° D．150°【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】C【分析】由AB∥CD，∠DEF＝110°，根据两直线平行，同位角相等，即可求得答案，【解答】解：由条件可知∠A＝∠DEF＝110°，故选：C．【点评】此题考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．7．（2025春•郑州）数学老师在黑板上画出如图所示的图形，要求同学们添加一个条件使得AC∥DM，同学们给出的下列条件中，能得到这个结论的是（）A．∠A＝∠3 B．∠A+∠C＝180° C．∠1＝∠2 D．∠1＝∠C【考点】平行线的判定．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】D【分析】根据平行线的判定定理逐项判断即可．【解答】解：根据平行线的判定定理逐项分析判断如下：A、添加∠A＝∠3，则AM∥BF，无法确定AC∥DM，故此选项不符合题意；B、添加∠A+∠C＝180°，则AM∥CD，无法确定AC∥DM，故此选项不符合题意；C、添加∠1＝∠2，则BF∥CE，无法确定AC∥DM，故此选项不符合题意；D、添加∠1＝∠C，则AC∥DM，故此选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．8．（2025春•洛阳）如图，已知直线AB⊥CD，垂足为O，EF是过点O的直线，∠1＝50°，则∠2的度数是（）A．50° B．40° C．60° D．不能确定【考点】垂线．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】B【分析】根据题意得到∠AOC＝90°，由此得到∠AOF＝40°，根据对顶角相等即可求解．【解答】解：由条件可得∠AOC＝90°，即∠AOF+∠1＝90°，∴∠AOF＝90°﹣∠1＝40°，∴∠2＝40°，故选：B．【点评】本题考查了垂直的定义，对顶角相等，理解图示，掌握几何中角度的计算是关键．9．（2025•莲湖区一模）如图，AD∥BC，BH平分∠ABC，交AD于点H．若∠BAD＝112°，则∠AHB的度数为（）A．34° B．56° C．22° D．36°【考点】平行线的性质；角平分线的定义．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】A【分析】利用平行线的性质和角平分线的概念得到∠ABH，即可得到∠AHB的值．【解答】解：∵AD∥BC，∠BAD＝112°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣112°＝68°，∠AHB＝∠CBH，∵BH平分∠ABC，∴∠ABH＝∠CBH=12∠ABC=12∴∠AHB＝∠CBH＝34°，故选：A．【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练利用平行线的性质是解题的关键．10．（2025春•渝北区）如图，AB，CD相交于点O，OE为∠DOB的平分线，FO⊥DO，GO⊥EO，O为垂足，∠AOC＝38°，则∠FOG的度数是（）A．160° B．161° C．162° D．151°【考点】垂线；角平分线的定义；余角和补角．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】B【分析】根据垂直定义可得：∠EOG＝∠DOF＝90°，再根据对顶角相等可得：∠AOC＝∠BOD＝38°，然后利用角平分线的定义可得：∠DOE＝19°，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：∵FO⊥DO，GO⊥EO，∴∠EOG＝∠DOF＝90°，∵∠AOC＝38°，∴∠AOC＝∠BOD＝38°，∵OE为∠DOB的平分线，∴∠DOE=12∠BOD＝∴∠FOG＝∠EOD+∠DOF﹣∠DOE＝90°+90°﹣19°＝161°，故选：B．【点评】本题考查了垂线，对顶角、邻补角、根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．二．填空题（共5小题）11．（2025春•房山区）将一副三角板按如图所示（共顶点A）叠放在一起，已知∠EAD＝∠ACB＝90°，∠AED＝60°，∠ABC＝45°．若固定三角板ABC，改变三角板ADE的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝30或150°时，DE∥AB．【考点】平行线的判定．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】30或150．【分析】当DE在AB的左下方时，∠BAD＝∠ADE＝30°时，DE∥AB；当DE在AB的右上方时，当∠BAD+∠D＝180°时，DE∥AB，求出∠BAD＝150°，即可得到答案．【解答】解：如图，当DE在AB的左下方时，∠BAD＝∠ADE＝30°时，DE∥AB；如图，当DE在AB的右上方时，当∠BAD+∠D＝180°时，DE∥AB，∵∠D＝30°，∴∠BAD＝150°，∴当∠BAD＝30°或150°时，DE∥AB．故答案为：30或150．【点评】本题考查平行线的判定，关键是要分两种情况讨论．12．（2025春•辽中区）如图，直线AB∥CD，∠ABC与∠DCB的角平分线交于点E，BE的延长线交CD于点F，过点F作FG⊥BF，交BC延长线于点G．点M在线段BC上，点N在线段FG上，且EM平分∠BEN，连接EG，若∠NEG＝∠NGE，∠MEG的度数为45°．【考点】平行线的性质；角平分线的定义；垂线．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】45°．【分析】设∠MEC＝α，用含α的代数式表示出∠CEG＝∠NEG＝45°﹣α，再由平行线得出∠CEG＝∠NGE，进而即可得证．【解答】解：∠MEG＝45°，理由如下：如图，设∠MEC＝α，∵EM平分∠BEN，∠BEC＝90°，∴∠BEM＝∠MEN＝90°﹣α，∴∠CEN＝∠MEN﹣∠MEC＝90°﹣2α，∵CEFG，∴∠CEG＝∠NGE，∵∠NEG＝∠NGE，∴∠CEG=∠NEG=1∴∠MEG＝∠MEC+∠CEG＝α+45°﹣α＝45°．故答案为：45°．【点评】本题主要考查了平行线的性质的应用，角平分线的性质的应用，垂直的定义等知识点，三角形外角性质，合理作出辅助线是解决此题的关键13．（2025春•黄梅县）如图，两条平行直线EF，GH之间有一点M，点A在直线EF上，连接AM，∠FAM的平分线AB交GH于点B，连接MB，过点M作MN⊥GH交GH于点N，作MI⊥AM交GH于点I，MO平分∠IMN交GH于点O，∠ABM=43∠（1）若∠EAM＝42°，则∠FAB＝69°；（2）在（1）的条件下，在线段AB上有一个动点Q，当MQ最短时，∠BMQ＝62°．【考点】平行线的性质；垂线；垂线段最短．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．【答案】（1）69°；（2）62°．【分析】（1）根据平角定义求得∠FAM＝138°，再根据角平分线的定义求解即可；（2）延长NM交AE于P，根据平行线的性质求得∠MPA＝90°，利用三角形内角和定理求得∠PMA＝48°，从而求得∠NMI＝42°，根据角平分线的定义得∠OMN=12∠NMI=21°，由∠ABM=43∠OMN求得∠ABM=43∠OMN=28°，当MQ最短时，则【解答】解：（1）∵∠EAM＝42°，∴∠FAM＝180°﹣∠EAM＝180°﹣42°＝138°，∵AB是∠FAM的平分线，∴∠FAB=1故答案为：69°；（2）如图，延长NM交AE于P，∵MN⊥GH，∴∠MNB＝90°，∵EF∥GH，∴∠MPA+∠MNB＝180°，∴∠MPA＝90°，∠EAM＝42°，∠PMA＝48°，∵MI⊥AM，∴∠AMI＝90°，∴∠NMI＝180°﹣∠PMA﹣∠AMI＝180°﹣48°﹣90°＝42°，∵MO平分∠IMN，∴∠OMN=12∠NMI=21°∴∠ABM=4当MQ最短时，则MQ⊥AB，∴∠MQB＝90°，∴∠BMQ＝180°﹣∠MQB﹣∠ABM＝180°﹣90°﹣28°＝62°，故答案为：62°．【点评】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，与角平分线有关的角的运算，垂线段最短，垂直的定义等知识，熟练掌握平行线的性质，角平分的定义，三角形内角和定理是解题的关键．14．（2025春•天山区）如图，直线AB与CD相交于点O，EO⊥CD，OF平分∠AOD，且∠BOE＝55°，则∠COF＝107.5°．【考点】垂线；角平分线的定义；对顶角、邻补角．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】107.5．【分析】根据垂直和角平分线的定义，对顶角相等得到∠AOC＝∠BOD＝35°，∠AOF＝72.5°，由∠COF＝∠AOC+∠AOF即可求解．【解答】解：∵OE⊥CD，∴∠DOE＝90°＝∠BOD+∠BOE，∵∠BOE＝55°，∴∠BOD＝∠DOE﹣∠BOE＝35°，∴∠AOC＝∠BOD＝35°，∠AOD＝180°﹣∠BOD＝145°，∵OF平分∠AOD，∴∠AOF=1∴∠COF＝∠AOC+∠AOF＝107.5°，故答案为：107.5．【点评】本题考查了垂直的定义，角平分的定义，角度和差的计算，理解图示，掌握角度的和差计算是关键．15．（2025春•松江区）如图，AB∥CD，AD平分∠BAC，∠ACD＝80°，那么∠D的度数是50°．【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力．【答案】50°．【分析】根据角平分线的定义可得∠BAD＝∠CAD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAD＝∠D，从而得到∠CAD＝∠D，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵AB∥CD，∴∠BAD＝∠D，∴∠CAD＝∠D，∵∠ACD+∠D+∠CAD＝180°，∠ACD＝80°，∴80°+∠D+∠D＝180°，解得∠D＝50°．故答案为：50°．【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．三．解答题（共5小题）16．（2025春•裕华区）已知∠AOB＝90°，直线CD与OA交于点C，与OB交于点D，点C，D均不与点O重合，CE平分∠DCO，DE平分∠CDO．（1）如图1，∠CED的度数为135°；（2）如图2，延长CE与BO交于点F，过E作射线EG与CD交于点G，且满足∠CFO﹣∠GED＝45°．求证：GE∥DO．【考点】平行线的判定；角平分线的定义．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】（1）135°；（2）见详解．【分析】（1）根据已知得∠DCO+∠CDO＝90°，∠DCE=12（2）根据角平分线定义得∠DCE=12∠DCO．∠EDF=1【解答】（1）解：∵∠AOB＝90°，CE平分∠DCO，DE平分∠CDO，∴∠DCO+∠CDO＝90°，∠DCE=12∠DCO∴∠DCE+∠CDE=1∴∠CED＝180°﹣∠CDE﹣∠DCE＝135°；故答案为：135°；（2）证明：∵CE平分∠DCO，DE平分∠CDO，∴∠DCE=12∠DCO∵∠DCO+∠CDO＝90°，∴∠DCE+∠EDF＝45°，∵∠CFO＝∠DCF+∠CDO＝∠DCF+2∠EDF＝∠EDF+45°，∴∠EDF＝∠CFO﹣45°．∵∠CFO﹣∠GED＝45°，∴∠GED＝∠CFO﹣45°，∴∠EDF＝∠GED，∴GE∥DO．【点评】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，内错角相等两直线平行，弄清各角之间的数量关系是解题的关键．17．（2025春•黄梅县）已知，AB∥DE，点C在AB上方，连接BC、CD．（1）如图1，若∠ABC＝140°，∠EDC＝110°，求∠BCD的度数；（2）如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F，若∠F＝α，求∠ABC的度数（用含α的式子表示）；（3）如图3，在（2）的条件下，∠CFD的平分线FG交CD于点G，连接GB并延长至点H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值．【考点】平行线的性质；列代数式；角平分线的定义；垂线．【专题】整式；线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．【答案】（1）30°；（2）90°+α；（3）∠BGD﹣∠CGF＝45°．【分析】（1）过点C作CM∥AB，可得∠BCM＝∠ABC＝140°，再由平行线的性质得∠DCM＝∠EDC＝110°，由∠BCD＝∠BCM﹣∠DCM可求得；（2）过点C作CN∥AB，可证得CN∥EF，由∠F＝∠FCN，结合垂线，从而可求得∠ABC﹣∠F＝90°；（3）延长HG交EF于点Q，过点G作GP∥EF，不难证得∠FGQ＝∠ABH﹣∠EFG，再由角平分线的定义得∠ABH=12∠ABC，∠EFG=12【解答】解：（1）过点C作CM∥AB，如图1，∴∠BCM＝∠ABC＝140°，∵AB∥DE，∴CM∥DE，∴∠DCM＝∠EDC＝110°，∵∠BCM＝∠BCD+∠DCM，∴∠BCD＝∠BCM﹣∠DCM＝140°﹣110°＝30°；（2）∠ABC﹣α＝90°，理由：过点C作CN∥AB，如图，∴∠ABC＝∠BCN，∵AB∥DE，∴CN∥EF，∴∠F＝∠FCN，∵∠BCN＝∠BCF+∠FCN，∴∠ABC＝∠BCF+∠F，∵CF⊥BC，∴∠BCF＝90°，∴∠ABC＝90°+α；（3）延长HG交EF于点Q，过点G作GP∥EF，如图3，∴∠BGD＝∠CGQ，∵AB∥DE，∴∠ABH＝∠EQG，∵GP∥EF，∴∠EQG＝∠PGQ，∠EFG＝∠PGF，∴∠PGQ＝∠ABH，∴∠BGD﹣∠CGF＝∠CGQ﹣∠CGF＝∠FGQ．∵∠FGQ＝∠PGQ﹣∠PGF，∴∠FGQ＝∠ABH﹣∠EFG，BH平分∠ABC，FG平分∠CFD，∴∠ABH＝∠ABC，∠EFG=12∠CFD由（2）可得：∠ABC﹣∠CFD＝90°，∴∠FGQ=12×90°=45°，即∠BGD﹣∠CGF【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，垂线，解答的关键是结合图形，分析清楚角与角之间的关系．18．（2025春•花都区）如图，射线AB平行射线CD，点E、F分别在射线AB、射线CD上，点P是射线CA上的一个动点，点G是射线CD上的一个动点，且∠C＝∠AEF．（1）求证：AC∥EF．（2）如图1，当点P在点A处，点G在点F左侧，若PG平分∠CAE，∠C＝60°，∠GEF＝10°，求∠AGE的度数．（3）如图2，当点P在点A上方，点G沿射线CD从左向右运动时（点G不与点F重合），求∠CPG、∠PGE、∠GEF之间的关系．【考点】平行线的判定与性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．【答案】（1）见解答；（2）70°；（3）∠PGE＝∠CPG+∠GEF或∠PGE＝∠CPG﹣∠GEF或∠PGE＝∠GEF﹣∠CPG．【分析】（1）利用AB∥CD得角的关系，结合∠C＝∠AEF，通过同旁内角互补（方法一）或内错角相等（方法二），判定AC∥EF．（2）先由AB∥CD和∠C度数求∠CAE，再依据角平分线得∠GAE，结合∠AEF与∠GEF求∠AEG，最后用三角形内角和算∠AGE；或作GQ∥AC，利用平行线传递性及角的传递，结合角平分线求出∠AGE．（3）作GQ∥AC，根据AC∥EF得GQ∥EF，利用平行线性质得到角的等量关系，再分点G在F左侧、右侧（PG与EF有交点、无交点）三种情况，推导∠CPG、∠PGE、∠GEF的关系．【解答】解：（1）方法一：∵AB∥CD，∴∠C+∠CAE＝180°，∵∠C＝∠AEF，∴∠CAE+∠AEF＝180°，∴AC∥EF；方法二：∵AB∥CD，∴∠C＝∠MAE，∵∠C＝∠AEF，∴∠MAE＝∠AEF，∴AC∥EF；（2）方法一：∵AB∥CD，∠C＝60°，∴∠CAE＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°，∵PG平分∠CAE，∴∠CAG=∠GAE=1∵∠AEF＝∠C＝60°，∴∠AEG＝∠AEF﹣∠GEF＝60°﹣10°＝50°，∴在△AGE中，∠AGE＝180°﹣∠GAE﹣∠AEG＝180°﹣60°﹣50°＝70°；方法二：过点G作GQ∥AC，∵AC∥EF，∴GQ∥EF，∴∠CAG＝∠AGQ，∠QGE＝∠GEF＝10°，∵AB∥CD，∠C＝60°，∴∠CAE＝180°﹣∠C＝180°﹣60°＝120°，∵PG平分∠CAE，∴∠CAG=1∴∠AGE＝∠AGQ+∠QGE＝∠CAG+∠GEF＝60°+10°＝70°；（3）过点G作GQ∥AC，∵AC∥EF，∴GQ∥EF，∴∠CPG＝∠PGQ，∠QGE＝∠GEF，当点G在点F左侧时，∠PGE＝∠PGQ+∠QGE＝∠CPG+∠GEF；当点G在点F右侧，且PG与EF有交点时，∠PGE＝∠PGQ﹣∠EGQ＝∠CPG﹣∠GEF；当点G在点F右侧，且PG与EF无交点时，∠PGE＝∠EGQ﹣∠PGQ＝∠GEF﹣∠CPG；综上：∠PGE＝∠CPG+∠GEF或∠PGE＝∠CPG﹣∠GEF或∠PGE＝∠GEF﹣∠CPG．【点评】本题考查了平行线的性质与判定，解题的关键是利用平行线的性质及判定，结合角平分线等知识进行角的推导与关系探究．19．（2025春•扬州）完成下面的推理说明：已知：如图，BE∥CF，BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD．求证：AB∥CD．证明：∵BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD（已知），∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠BCD（∵BE∥CF（已知），∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）．∴12∠ABC=1∴∠ABC＝∠BCD（等式的性质）．∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．【考点】平行线的判定与性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】①角平分线的定义②两直线平行，内错角相等．③等式的性质④内错角相等，两直线平行．【分析】根据平行线的性质可得∠1＝∠2，根据角平分线的定义可得∠ABC＝∠BCD，再根据平行线的判定即可得出AB∥CD．【解答】证明：∵BE、CF分别平分∠ABC和∠BCD（已知），∴∠1=12∠ABC，∠2=1∵BE∥CF（已知），∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）．∴12∠ABC=1∴∠ABC＝∠