【人教A版2019选择性必修第二册】高二数学同步教学课件5.3.2函数的极值与最大（小）值（第3课时）

第五章

一元函数的导数及应用人教A版2019选择性必修第二册·高二5.3导数在研究函数中的应用

5.3.2函数的极值与最大（小）值（第3课时）

章节导读导数概念及其意义导数的运算导数在研究函数中的应用平均变化率瞬时速度导数的几何意义平均速度曲线的割线斜率、切线斜率基本初等函数的导数公式导数的四则运算法则简单复合函数的导数函数的单调性函数的极值与最大（小）值学

习

目

标123能利用导数求某些函数的在给定闭区间上函数的最大值、最小值体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系能利用导数解决生活中简单的实际问题，培养学生数学建模的核心素养.新知导入

我们在本章《导数在研究函数中的应用》中，利用导数研究了函数的一些性质，结合以往通过代数运算所研究的函数性质，你觉得哪些函数问题可以利用导数进行研究?函数最大(小)值函数极值函数单调性函数零点函数图象实际应用函数问题下面我们通过实例说明如何利用导数解决与函数相关的问题.典例分析例7解：(1)函数的定义域为x∈Rf'(x)=(x+1)'ex+(x+1)(ex)'

=ex+(x+1)ex=(x+2)ex当x变化时，f'(x)、f(x)的变化情况如表所示:x(－∞,－2)－2(－2,+∞)f'(x)0f(x)–+单调递减单调递增典例分析例7解：

根据以上信息，我们画出的大致图象如图所示:xyO1-1-2•••典例分析例7解：xyO1-1-2•••

方法归纳（1）求出函数f(x)的定义域；（2）求导数f'(x)及函数f'(x)的零点；（3）用零点将f(x)定义域为若干个区间，列表给出f'(x)在各个区间上的正负，并得出f

(x)单调性与极值；（4）确定f(x)图象经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；（5）画出f(x)的大致图象.

由例7可见，函数f(x)的图象直观地反映了函数f(x)的性质.通常可以按如下步骤画出函数f(x)的大致图象:新知探究下面我们通过实例介绍导数在解决实际问题中的应用．问题

饮料瓶大小对饮料公司利润的影响(1)你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？你想从数学上知道它的道理吗？(2)是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？典例分析例8

某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8πr2分，其r(单位：cm)中是瓶子的半径，已知每出售1mL的饮料制造商可获得0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径是6cm.(1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?(2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小?解：

(1)半径为6cm时，利润最大(2)半径2cm时，利润最小，这时f(2)<0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润时负值.典例分析例8

某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8πr2分，其r(单位：cm)中是瓶子的半径，已知每出售1mL的饮料制造商可获得0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径是6cm.(1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?(2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小?反思1

换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数f(r)的图象上观察，你有什么发现？

从图象上容易看出,当r=3时，f(3)=0,即瓶子的半径是3cm时,饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等;当r>3时,利润才为正值．新知探究

反思3

通过此问题的解决,请回答开始时的问题．通过此问题的解决,本例一开始时的问题可以解释为:(1)市场上等量的小包装的物品，由于其成本比大包装的高，要想保持一定的利润，就需要提高其销售价格，所以比较起来等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些.(2)由例题的结论可知，饮料瓶越大饮料公司的利润越大.课后练习课本练习课本P97证明：xyO1π课后练习课本练习课本P97解：2.如图，用铁丝围成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为am2.为使所用材料最省，圆的直径应为多少?.导数在平面几何中的应用题型一题型探究

导数在平面几何中的应用题型一题型探究

+0-极大值↘

导数在平面几何中的应用题型一题型探究解题感悟平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值.导数在立体几何中的应用题型二题型探究

导数在立体几何中的应用题型二题型探究

题型二题型探究解题感悟立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际相关的问题，解决立体几何中的最值问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式.导数在立体几何中的应用题型三题型探究

导数在实际问题中的应用

题型三题型探究导数在实际问题中的应用

题型三题型探究导数在实际问题中的应用

题型三题型探究导数在实际问题中的应用(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大？并求出利润的最大值.

题型三题型探究导数在实际问题中的应用解题感悟利用导数解决实际问题时的注意事项（1）认真读题审题，将已知数量联系起来，建立相应的目标函数，明确定义域.（2）利用导数研究函数的单调性、确定极值和最值，从而得到实际问题的解.（3）利用导数研究利润最大或成本最小问题时，若目标函数有唯一的极值，则该极值就是相应问题的最值.课堂达标

C

课堂达标

D

课堂达标

A

课堂达标

课堂小结用导数解决优化问题的基本思路：优化问题→用函数表示的数学问题