【专项练习题】 导数与切线方程的7种重难题型解答（含答案与解析）

专项练习05导数与切线方程题型1“在”点的切线方程求曲线“在”点处的切线方程：第一步：计算切点的纵坐标；第二步：计算切线斜率；第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率；第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：.1．曲线在其与轴的交点处的切线方程为（

）A． B．C． D．2．曲线在点处的切线方程为.3．若函数的图象在处的切线过点，则（

）A． B． C． D．4．曲线在处的切线方程为．5．曲线在处的切线方程为．6．曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为.题型2“过”点的切线方程求曲线“过”点处的切线方程第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数；第三步：利用Q在曲线上和，解出及；第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：.7．过点且与曲线相切的直线方程为（

）A． B．C．或 D．或8．将函数的图象绕坐标原点顺时针旋转后第一次与轴相切，则（）A． B． C． D．9．过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为（

）A． B．C． D．10．已知函数，过点作函数的切线，则切线方程为.11．若过不在曲线上的点可作曲线斜率为e的切线，则．12．已知函数，过点作曲线的切线，则此切线的方程为．13．已知曲线，过点作切线，则的方程为．题型3公切线问题与集合元素有关问题的解题策略研究曲线的公切线，一般是分别设出两切点，写出两切线方程，然后再使用这两个方程表示同一条直线注：切点可能相同，可能不相同14．已知定义在上的函数，设两曲线与在公共点处的切线相同，则值等于（

）A． B．1 C．3 D．515．已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相同，则（

）A．－1 B．－2 C．1 D．216．（多选）已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（

）A． B．C． D．17．已知曲线与有公共切线，求实数a的取值范围是18．已知函数与函数在公共点处的切线相同，则实数m的值为.19．已知定义在上的函数，，设曲线与在公共点处的切线相同，则实数．20．已知函数.若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求的值.21．若存在实数，使得函数与的图象有相同的切线，且相同切线的斜率为2，求实数的最大值．题型4切线平行、垂直问题22．已知曲线在处的切线与直线垂直，则（

）A． B． C． D．123．已知函数图象的两条切线相互垂直，并分别交轴于，两点，则（

）.A．2 B． C．3 D．24．已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（

）A． B． C． D．125．（多选）已知函数的图象在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（

）A． B． C． D．26．已知曲线在处的切线与直线平行，则实数的值为．27．已知函数图象的两条切线相互垂直，并分别交轴于A，B两点，则.28．已知函数，.(1)求曲线在点的切线方程；(2)若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求t的值.题型5已知切线的条数求参求曲线的切线条数一般是设出切点，由已知条件整理出关于的方程，把切线条数问题转化为关于方程的实根个数问题。29．已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则的值为（

）A．或 B．或 C． D．30．若过原点与曲线相切的直线，切点均与原点不重合的有2条，则的取值范围是（

）A． B． C． D．31．若过点与曲线相切的直线只有2条，则的取值范围是（

）A． B．C． D．32．（多选）已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则的可能取值为（

）A．－5 B．－3 C．－1 D．133．（多选）过点的曲线的切线有2条，则的值可能是（

）A． B．-3 C．1 D．334．已知函数，过点且与曲线相切的直线有3条，则实数的取值范围是.35．过定点作曲线的切线，恰有2条，求实数的取值范围.题型6切线存在的范围问题36．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)是否存在，使得曲线在点和点处的切线互相垂直？并说明理由（参考数据：）37．已知函数.(1)若曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积，试判断与之间的关系；(2)若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在，求出直线的方程（若直线的方程含参数，则用表示）；若不存在，请说明理由.38．已知函数.(1)讨论函数的零点个数．(2)是否存在直线，使得该直线与曲线切于两点？若存在，求，的值；若不存在，请说明理由．39．已知，函数(1)若恒成立，求a的取值范围；(2)过原点分别作曲线和的切线和，试问：是否存在，使得切线和的斜率互为倒数?请说明理由．40．已知函数，．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在，求出所有这样的直线；若不存在，请说明理由．题型7与切线有关的最值问题41．若存在，函数与的图象在公共点处的切线相同，则b的最大值为（

）A．1 B． C． D．242．设函数，直线是曲线的切线，则的最大值是（

）A． B． C． D．43．在平面直角坐标系中，，为曲线上一动点，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．44．已知函数，若直线与的图象分别交于两点，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．145．已知直线与曲线相切，则的最大值为.46．已知点P在函数的图象上，则P点到直线的距离的最小值为.47．点P，Q分别是函数，图象上的动点，则的最小值为.48．已知函数的极值点分别为1和2．(1)求实数m，n的值；(2)记曲线在点处的切线为l，若直线l经过点，求b的最大值．参考答案题型1“在”点的切线方程求曲线“在”点处的切线方程：第一步：计算切点的纵坐标；第二步：计算切线斜率；第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率；第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：.1．曲线在其与轴的交点处的切线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】令，解得，故曲线在其与轴的交点为，函数的导数为，所以函数在处的导数即为切线斜率：，根据点斜式写切线方程为：，即，故选：A.2．曲线在点处的切线方程为.【答案】【详解】由，则，而，则，所以曲线在点处的切线方程为，即.故答案为：.3．若函数的图象在处的切线过点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，则，所以，又，所以在处的切线方程为，又切线过点，所以，解得，故选：A.4．曲线在处的切线方程为．【答案】【详解】设，则；所以，且，即直线斜率，过点，故曲线在处的切线方程为，即，故答案为：．5．曲线在处的切线方程为．【答案】【详解】由题，当时，，所以切线方程为，即．故答案为：6．曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为.【答案】【详解】对函数求导得，故所求切线斜率，切点坐标为，所以曲线在处的切线方程为，令，则，令，则，则该切线交轴于点，交轴于点，因此，曲线在处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为.故答案为：.题型2“过”点的切线方程求曲线“过”点处的切线方程第一步：设切点为；第二步：求出函数在点处的导数；第三步：利用Q在曲线上和，解出及；第四步：根据直线的点斜式方程得到切线方程：.7．过点且与曲线相切的直线方程为（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【详解】设切点为，因为，所以，所以曲线在点处的切线方程为，又该切线经过点，所以，整理得，解得或，所以切线方程为或.故选：C8．将函数的图象绕坐标原点顺时针旋转后第一次与轴相切，则（）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意可知：是过原点的切线，设切点坐标为，由，则，所以切线方程为，则，解得，则，所以.故选：C9．过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】设，由，得，曲线在点处的切线方程为，把代入切线方程，得，化简得，同理可得曲线在点处的切线方程为，都满足直线，直线的方程为.故选：A10．已知函数，过点作函数的切线，则切线方程为.【答案】【详解】设切点坐标为，则切线的斜率，故切线方程为，又因为点在切线上，所以，解得，所以切线方程为.故答案为：11．若过不在曲线上的点可作曲线斜率为e的切线，则．【答案】－2【详解】求导得，设切点为，所以，所以切线方程为，则，又，则，即，解得．故答案为：．12．已知函数，过点作曲线的切线，则此切线的方程为．【答案】或【详解】因为，当点P为切点时，则切线的斜率为，所以所求切线方程为，即；当P点不为切点时，设切点坐标为，切线的斜率为，则切线方程为，因为切线过点，且，所以，整理，得，解得或1（舍去），则，所以切点坐标为，切线的斜率为，所以切线方程为，即，所以所求切线的方程为或或．故答案为：或．13．已知曲线，过点作切线，则的方程为．【答案】【详解】因为，所以，则，显然点在上，所以过点作切线的方程为，即.故答案为：题型3公切线问题与集合元素有关问题的解题策略研究曲线的公切线，一般是分别设出两切点，写出两切线方程，然后再使用这两个方程表示同一条直线注：切点可能相同，可能不相同14．已知定义在上的函数，设两曲线与在公共点处的切线相同，则值等于（

）A． B．1 C．3 D．5【答案】D【详解】解：依题意设曲线与在公共点处的切线相同.∵，∴，∴，即∵∴，故选：D.【点睛】此题考查导数的几何意义，考查计算能力，属于基础题.15．已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相同，则（

）A．－1 B．－2 C．1 D．2【答案】B【详解】根据常用函数的导数可知：，，则两函数在点和处的切线分别为：，化简得由题意可得：，化简得.故选：B16．（多选）已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（

）A． B．C． D．【答案】AC【详解】设直线与曲线的切点坐标为，与曲线的切点坐标为，直线的方程为，，，直线的方程为，又，直线的方程为，，，直线的方程为，又，直线的方程为，直线为曲线与的公共切线，，由①得，两边取自然对数，得，，代入②，得，即，解得或，当时，，，直线的方程为；当时，，，直线的方程为，综上，直线的方程为或.故选：AC.17．已知曲线与有公共切线，求实数a的取值范围是【答案】【详解】由题意可知在上分别存在两个点，使得在处的切线与在处的切线为同一条直线，因为，由同一条切线的斜率相等可得，由同一条切线的截距相等，可得，即，将斜率相等的表达式代入可得，即方程在上有解，令，则，令，得，当时，；当时，，且当时，；当时，，所以存在极大值同时也是最大值，所以的值域为，若方程在上有解，则，又，所以.故答案为：.18．已知函数与函数在公共点处的切线相同，则实数m的值为.【答案】0【详解】设函数与的公共点为，则有，则，解得或（舍去），所以，所以，解得.故答案为：0.19．已知定义在上的函数，，设曲线与在公共点处的切线相同，则实数．【答案】5【详解】解：依题意设曲线与在公共点处的切线相同.∵，∴，∴，即，即∵，∴，故答案为：20．已知函数.若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求的值.【答案】，【详解】函数，求导得，，则，，由曲线与曲线在交点处具有公共切线，得，又，即，解得，所以，.21．若存在实数，使得函数与的图象有相同的切线，且相同切线的斜率为2，求实数的最大值．【答案】【详解】设函数的切点为，函数的切点为，分别对函数进行求导，，，由相同切线的斜率为，得，故切线方程为，，故函数的切点为，把切点代入中得：，令，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故，则，故实数的最大值为.题型4切线平行、垂直问题22．已知曲线在处的切线与直线垂直，则（

）A． B． C． D．1【答案】A【详解】因为，则，可得，即曲线在处的切线斜率，且直线的斜率，由题意得，解得.故选：A.23．已知函数图象的两条切线相互垂直，并分别交轴于，两点，则（

）.A．2 B． C．3 D．【答案】A【详解】如图，设函数在点和处的两条切线互相垂直，当时，，；当时，，.则，因为直线与互相垂直，所以，即，由图象可知，，则，，所以直线方程为，当时，，故点，同理，直线方程为，当时，，故点，所以，.故选：A.24．已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（

）A． B． C． D．1【答案】C【详解】对求导可得：.可得切线的斜率.将直线转化为斜截式，可知直线斜率.因为函数的图像在点处的切线与直线垂直，根据两直线垂直斜率之积为，可得，即.可得：，故，即实数的值为.故选：C.25．（多选）已知函数的图象在，两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【详解】因为，所以，又在两点处的切线相互平行，所以，整理得，因为，所以，C对D错；又，且，所以，A错B对.故选：BC26．已知曲线在处的切线与直线平行，则实数的值为．【答案】3【详解】，求导得，曲线在处的切线斜率，曲线在处的切线与直线即平行，．故答案为：3．27．已知函数图象的两条切线相互垂直，并分别交轴于A，B两点，则.【答案】2【详解】设函数在点和处的两条切线互相垂直，如图，可得的零点为1，故不妨设，，则，，当时，，，当时，，，则，．所以，即．因为：，即，：，即，则，，因为，且，故.故答案为：2.28．已知函数，.(1)求曲线在点的切线方程；(2)若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求t的值.【答案】(1)(2)0【分析】【详解】（1）由得，则在点处的切线斜率，故切线方程为，从而切线方程为.（2）由（1）可得曲线在点的切线方程为，由，可得曲线在处的切线斜率为，由题意可得，从而.题型5已知切线的条数求参求曲线的切线条数一般是设出切点，由已知条件整理出关于的方程，把切线条数问题转化为关于方程的实根个数问题。29．已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则的值为（

）A．或 B．或 C． D．【答案】A【详解】设切点为，由已知得，则切线斜率，所以切线方程为，因为直线过点，则，化简得，又因为切线有且仅有1条，即，解得或2，故选：A30．若过原点与曲线相切的直线，切点均与原点不重合的有2条，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，所以，设过原点的切线与曲线在处相切，所以切线的斜率，整理得，设，则，所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，且当时，当时，所以当时过原点与曲线相切的直线有2条.故选：C31．若过点与曲线相切的直线只有2条，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】设过点的直线与曲线相切于点，由，可得，所以切线的斜率，整理得，因为切线有2条，所以切点有2个，即方程有2个不等实根，则，解得或，所以的取值范围是．故选：D．32．（多选）已知过点作曲线的切线有且仅有1条，则的可能取值为（

）A．－5 B．－3 C．－1 D．1【答案】AC【详解】由已知得，则切线斜率，切线方程为，直线过点，则，化简得，切线有且仅有条，即，化简得，即，解得或.故选：AC.33．（多选）过点的曲线的切线有2条，则的值可能是（

）A． B．-3 C．1 D．3【答案】AD【详解】设切点为，由函数，可得，则切线的斜率，切线方程为，因为切线过点，所以，整理得，因为切线有2条，所以，解得或，结合选项知，选项A、D符合题意.故选：AD.34．已知函数，过点且与曲线相切的直线有3条，则实数的取值范围是.【答案】【详解】设过点与曲线相切的切点坐标为，函数，求导得，则切线方程为，于是，整理得，令，过点且与曲线相切的直线有3条，当且仅当函数有3个零点，求导得，当或时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值，函数有三个零点，当且仅当，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：35．过定点作曲线的切线，恰有2条，求实数的取值范围.【答案】【详解】由，得，切点为，则切线的斜率为，所以切线方程为，因为，所以，因为点在切线上，所以，得，令，则，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，所以在处取得极小值，当时，，当时，，由题意可得直线与函数的图象有两个交点，所以，解得，所以实数a的取值范围为，题型6切线存在的范围问题36．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)是否存在，使得曲线在点和点处的切线互相垂直？并说明理由（参考数据：）【答案】(1)(2)存在，理由见解析【分析】【详解】（1）因为的导数为，则，可得曲线在点处的切线斜率为1，所以切线的方程为.（2）设，则令，可得，当时，，当时，；可知在内单调递减，在内单调递增，且，所以时，，若切线相互垂直，则存在，且，存在满足题意，例如.37．已知函数.(1)若曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积，试判断与之间的关系；(2)若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在，求出直线的方程（若直线的方程含参数，则用表示）；若不存在，请说明理由.【答案】(1)或(2)存在，或.【分析】【详解】（1），曲线在点处的切线斜率为，曲线在点处的切线斜率为，又，曲线在点处的切线方程为，即令，得；令，得，则切线与坐标轴的交点分别为，切线与坐标轴围成的三角形的面积为；曲线在点处的切线方程为，即，令，得；令，得，则切线与坐标轴的交点分别为，切线与坐标轴围成的三角形的面积为；由题意，，所以或.（2）设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，，曲线在点处的切线为，即，曲线在点处的切线为，即，则则所以，解得或当时，直线当时，直线故存在直线与曲线和都相切，直线的方程为或.38．已知函数.(1)讨论函数的零点个数．(2)是否存在直线，使得该直线与曲线切于两点？若存在，求，的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)答案见解析(2)存在，，．【分析】【详解】（1）当时，的最小值为；当时，的最大值为．作出的大致图象，如图所示．

由，得．当或时，的零点个数为；当时，的零点个数为；当时，的零点个数为．（2）假设存在直线，使得该直线与曲线切于，两点，方法一：联立与，得，则．联立与，得，则．联立方程组，解得或，当，时，此时，，则切点，的坐标分别为，，当时，，此时，这与矛盾，不符合题意，综上，存在直线满足题意，且，．方法二：设函数，则，则曲线在处的切线方程为，即，设函数，则，则曲线在处的切线方程为，即．依题意可得，消去，得，因为，所以，，所以，，即存在直线满足题意，且，．39．已知，函数(1)若恒成立，求a的取值范围；(2)过原点分别作曲线和的切线和，试问：是否存在，使得切线和的斜率互为倒数?请说明理由．【答案】(1)；(2)存在，理由见解析.【分析】【详解】（1）的定义域是，由可得，即恒成立，令，，，当时，，在单调递增，当时，，在上单调递减，所以当，，所以.（2）存在，使得切线和的斜率互为倒数，理由如下：，，设的切线方程是，则，显然，，切点为，于是，解得，所以的斜率为e，于是的斜率为，设的切点坐标为，由，，又，所以，整理得，设，，当时，，在上递增，而，所以，当时，，在上递减，又，所以存在，使得，因此关于的方程有正数解．所以存在，使得切线和的斜率互为倒数．【点睛】方法点睛：求解切线有关的问题，关键点有两个，一个是切点，另一个是斜率.切点即是要看清题目给的已知条件所给点是在曲线上，还是在曲线外；斜率是将切点的横坐标代入导函数求得的40．已知函数，．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在，求出所有这样的直线；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在；或．【分析】【详解】（1）当时，，，曲线在点处的切线方程为：，代入整理得：.（2）设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，，曲线在点处的切线为：与曲线相切于点，则由①得：，则将、代入②得：，整理得：当时，，即当时，，，因此，即存在这样的直线，直线为或【点睛】本题考查导数的几何意义，解题的关键在于把握切点即在曲线上又在切线上且切点处的导数值为切线的斜率这三个方面列方程求解，考查运算求解能力，是中档题.题型7与切线有关的最值问题41．若存在，函数与的图象在公共点处的切线相同，则b的最大值为（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【详解】由题意有：设切点为，所以，所以，解得，，令，所以，令有，由有，有，所以在单调递增，在单调递减，所以，所以，故b的最大值为1.故选：A.42．设函数，直线是曲线的切线，则的最大值是（

）A． B． C． D．