空间点、直线、平面之间的位置关系-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章立体几何初步8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系学习目标1.借助长方体和实际情境,了解空间两条直线间的位置关系.理解异面直线的含义.2.了解直线与平面、平面与平面之间的位置关系,并能判断这些位置关系.3.会用符号语言和图形语言表示直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系.基础落实·必备知识一遍过知识点1

空间中直线与直线的位置关系空间两条直线的位置关系有三种:名师点睛异面直线(1)图示图①

图②

(2)符号语言(以图①为例)a⊂α,b∩α=A,A∉a⇒a与b异面.思考辨析分别在两个平面内的直线一定是异面直线吗?提示

不一定,如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1,CC1分别在平面AA1D1D内和平面BB1C1C内,但它们不是异面直线,因为它们都在平面AA1C1C内.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)没有公共点的两条直线是异面直线.(

)(2)异面直线没有公共点.(

)(3)两条异面直线一定在两个不同的平面内.(

)(4)若a与b是异面直线且a与c也是异面直线,则b与c是异面直线.(

)×√√×2.如图,AA'是长方体ABCD-A'B'C'D'的一条棱,那么长方体中与AA'平行的棱共有

条.

3知识点2

空间中直线与平面的位置关系

位置关系公共点个数图形语言符号语言直线在平面内

直线与平面相交

直线与平面平行

有无数个公共点

a⊂α有且只有一个公共点

a∩α=A没有公共点

a∥α思考辨析直线在平面外时,直线和平面有没有公共点?提示

直线在平面外包括“直线与平面相交”和“直线与平面平行”两种情况,所以直线在平面外时,与平面的交点个数可能为0或1.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)如果直线a,b和平面α满足a∥α,b∥α,那么a∥b.(

)(2)若直线l与平面α不相交,则直线l与平面α平行.(

)(3)过平面外一点,有且只有一条直线与这个平面平行.(

)×××2.观察如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1,线段A1B所在的直线与长方体的六个面所在平面有几种位置关系?提示

三种.直线A1B在平面ABB1A1内,与平面CDD1C1平行,与其余四个面相交.知识点3

空间中平面与平面的位置关系

位置关系图形表示符号表示公共点两个平面平行

没有公共点两个平面相交

有一条公共直线,所以有无数个公共点α∥βα∩β=l思考辨析如果两个平面平行,那么分别在两个平面内的直线的位置关系是怎样的?提示

平行或异面.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若两个平面都平行于同一条直线,则这两个平面平行.(

)(2)两个平面有公共点,这两个平面一定相交.(

)×√2.正方体的六个面中互相平行的平面有(

)

A.1对

B.2对

C.3对

D.4对C解析

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面ABB1A1∥平面CDD1C1,平面ADD1A1∥平面BCC1B1,故六个面中互相平行的平面有3对.3.如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么这两个平面的位置关系是

.

平行或相交

重难探究·能力素养速提升探究点一空间中两条直线位置关系的判定【例1】

(1)(多选题)如图,ABCD-A1B1C1D1是正四棱台,则下列各组直线中属于异面直线的是(

)A.A1C和BD

B.AA1和CC1C.BD1和B1D

D.A1D1和ABAD解析因为直线A1C与平面ABCD相交于点C,直线BD在平面ABCD内,点C不在直线BD上,所以直线A1C与直线BD异面,A正确;侧棱延长交于一点,所以AA1与CC1相交,B错误;同理BB1与DD1也相交,所以B,B1,D1,D四点共面,所以BD1与B1D相交,C错误;A1D1与AB是异面直线,D正确.故选AD.(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线间的位置关系:①直线A1B与直线D1C

;

②直线A1B与直线B1C

;

③直线D1D与直线CE(E为线段C1D1的中点)

;

④直线AB与直线B1C

.

平行

异面

相交异面变式探究在本例(2)的正方体中,所有与直线AB异面的棱所在的直线为

.

CC1,B1C1,DD1,A1D1规律方法

空间中两条直线位置关系的判定方法(1)判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断.(2)判定两条直线是异面直线的方法:①定义法:由定义判断两直线不可能在同一平面内;②排除法(反证法):排除两直线共面(平行或相交);③重要结论:连接平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.如图,A∉α,B∈α,l⊂α,B∉l⇒AB与l是异面直线.探究点二直线与平面的位置关系【例2】

给出下列四个命题:①若直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α;②若直线a在平面α外,则a∥α;③若直线a∥b,直线b⊂α,则a∥α;④如果一条直线与一个平面相交,那么这条直线与平面内无数条直线相交.其中真命题的个数为(

)A.1 B.2 C.3 D.0A解析

对于①,直线l虽与平面α内无数条直线平行,但l有可能在平面α内,∴l不一定平行于α.故①错.对于②,∵直线a在平面α外包括两种情形:a∥α,a与α相交,故②错.对于③,由直线a∥b,b⊂α,只能说明a和b无公共点,但a可能在平面α内,故③错.④正确.规律方法

根据直线与平面公共点个数,直线与平面的位置关系分为三种,即直线在平面内,直线与平面相交,直线与平面平行.(1)判断直线在平面内,需找到直线上不同的两点在平面内,根据基本事实2知直线在平面内.(2)判断直线与平面相交,据定义只需判定直线与平面有且只有一个公共点.(3)判断直线与平面平行,可根据定义判断直线与平面没有公共点,也可以排除直线与平面相交及直线在平面内两种情况,从而判断直线与平面平行.变式训练1下列命题正确的是(

)A.若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥αB.若两条平行直线中的一条与一个平面平行,则另一条也与这个平面平行C.若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都平行D.若直线l与平面α平行,则平面α内有无数条直线与l平行D解析对于A,当l∩α=A时,在直线l上,除了点A之外,其余点有无数个都不在α内,故A错误;对于B,若两条平行直线中的一条与一个平面平行,另一条有可能在平面内,不与平面平行,B错误;对于C,若直线l与平面α平行,则l与平面α内的直线平行或异面,C错误;对于D,若直线l与平面α平行,则平面α内有无数条直线与l平行,D正确.故选D.探究点三平面与平面的位置关系【例3】

给出的下列四个命题中,其中正确命题的个数是(

)①若平面α内有两条直线和平面β平行,则这两个平面平行;②若平面α内有无数条直线和平面β平行,则α与β平行;③若平面α和平面β都和直线a平行,则α与β平行;④若两个不重合平面有无数个公共点,则这两个平面的位置关系是相交.A.0 B.1 C.3 D.4B解析

如图甲,平面α内有无数条直线与β平行,但α与β相交;如图乙,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABB1A1,A1B1C1D1都与CD平行,但这两个平面相交.故①②③均错.不重合的两个平面,若它们有公共点,则它们有无数个公共点,都在它们的交线上,故④正确.甲乙规律方法

平面与平面的位置关系的判断方法判断两个平面相交,只需找到两个平面的一个公共点,就可根据基本事实3知,两个不重合的平面是相交的.判断两个平面平行,可根据定义判断两个平面没有公共点,也可以排除两个平面相交,从而判断两平面平行.变式训练2下列命题中,真命题为(

)A.若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥bB.若两个平面α∥β,a⊂α,则a∥βC.若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线D.若两个平面α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相交B解析

对于A,C,若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥b或a与b是异面直线,故A错误,C错误.B正确.对于D,若两个平面α∩β=b,a⊂α,则a与β相交或平行,故D错误.故选B.本节要点归纳1.知识清单:(1)两直线的位置关系.(2)直线与平面的位置关系.(3)平面与平面的位置关系.2.方法归纳:举反例、特例.3.常见误区:异面直线的判断有误.学以致用·随堂检测促达标1234561.直线a与直线b相交,直线c与直线b相交,则直线a与直线c的位置关系是(

)A.相交

B.平行C.异面

D.以上都有可能D解析

如图所示,在长方体ABCD

-A1B1C1D1中,AB与AA1相交,A1B1与AA1相交,AB∥A1B1;又AD与AA1相交,AB与AD相交;又A1D1与AA1相交,AB与A1D1异面.故选D.1234562.若a是平面α外的一条直线,则直线a与平面α内的直线的位置关系是(

)A.平行

B.相交C.异面

D.平行、相交或异面D解析

若a∥α,则a与α内的直线平行或异面;若a与α相交,则a与α内的直线相交或异面.1234563.(2025河北承德高一阶段练习)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1的所有棱所在的直线中,与直线A1B异面的共有(

)A.4条

B.6条

C.8条

D.2条B解析

与直线A1B异面的棱所在的直线有DC,AD,DD1,CC1,C1B1,C1D1,共6条.故选B.1234564.已知α,β为不同的平面,a,b,c为不同的直线,下列说法正确的是(

)A.若a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线B.若a,b都与c相交,且a,b没有公共点,则a∥bC.若