直线与直线垂直2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章立体几何初步8.6.1直线与直线垂直学习目标1.理解异面直线垂直的定义.2.理解异面直线所成角的概念.3.会求给定两条异面直线所成的角.基础落实·必备知识一遍过知识点

异面直线所成的角(或夹角)异面直线所成的角定义已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,我们把直线

所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)

体会“平移”

异面直线互相垂直如果两条异面直线所成的角是

,那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直,记作

范围空间两条直线所成的角α的取值范围是

名师点睛由异面直线互相垂直的定义可得如下结论:一条直线垂直于两条平行线中的一条,也垂直于另一条.a'与b'

直角

a⊥b0°≤α≤90°思考辨析空间中两条直线垂直,这两条直线的位置关系是怎样的?提示

相交或异面.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)过直线外一点可以作无数条直线与已知直线成异面直线.(

)(2)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直.(

)(3)垂直于同一条直线的两条直线平行.(

)(4)两条异面直线所成角的范围是[0,π).(

)(5)在空间中取一点O作两条异面直线的夹角时,两条异面直线所成的角的大小与选取的点O的位置无关.(

)√×××√2.[2024辽宁沈阳高一期末]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线B1D1与CD所成的角的大小是(

)

A.30° B.45° C.60° D.90°B解析

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,∵C1D1∥CD,∴∠B1D1C1即为异面直线B1D1与CD所成的角,又∵△B1D1C1为等腰直角三角形,∴∠B1D1C1=45°.故选B.3.(2025上海宝山高一期末)在四面体ABCD中,AB=CD,AB⊥CD,E,F分别为BC,AD的中点,则直线EF与AB所成角的大小为

.

重难探究·能力素养速提升探究点一求异面直线所成的角【例1】

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,求异面直线DB1与EF所成角的大小.解

(方法一)如图①,连接A1C1,B1D1,并设它们相交于点O,取DD1的中点G,连接OG,A1G,C1G,则OG∥B1D,EF∥A1C1.∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.∵GA1=GC1,O为A1C1的中点,∴GO⊥A1C1.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.①

②

(方法三)如图③,在原正方体的右侧补上一个全等的正方体,连接B1Q,则B1Q∥EF.于是∠DB1Q为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.通过计算,不难得到B1D2+B1Q2=DQ2,从而异面直线DB1与EF所成的角为90°.③

变式探究1若把“直线DB1”换为“直线DC1”呢?解

如图,连接A1C1,A1D.在△A1B1C1中,E,F分别为A1B1,B1C1的中点,所以EF∥A1C1.所以∠A1C1D为直线DC1与EF所成的角.在△A1C1D中,A1D=DC1=A1C1,所以∠A1C1D=60°,所以直线DC1与EF所成的角等于60°.变式探究2若把“直线DB1”换成“直线CB1”呢?解

易知EF∥AC,所以CB1与EF所成的角,即为∠ACB1.因为△ACB1为等边三角形,所以∠ACB1=60°,所以CB1与EF所成的角为60°.规律方法

异面直线所成角的求解策略(1)求两条异面直线所成角的一般步骤是:①构造:恰当地选择一个点(线段的端点或中点),用平移法构造异面直线所成的角;②证明:证明①中所作出的角就是所求异面直线所成的角或其补角;③计算:通过解三角形等知识,求出①中所构造的角的大小;④结论:假如所构造的角的大小为α,若0°<α≤90°,则α即所求异面直线所成角的大小;若90°<α<180°,则180°-α即为所求.(2)作出异面直线所成的角,可通过多种方法平移产生,主要有三种方法:①直接平移法(可利用图中已有的平行线);②中位线平移法;③补形平移法(在已知图形中,补作一个相同的几何体,以便找到平行线).探究点二直线与直线垂直的证明

规律方法

空间两条直线垂直

两条直线所成的角

借助平面几何知识求解(如勾股定理、菱形对角线、等腰三角形底边中线与底垂直等)变式训练如图,在正三棱柱ABC-A'B'C'中,E为棱AC的中点,AB=BB'=2.求证:BE⊥AC'.证明

如图,取CC'的中点F,连接EF,BF.∵E为AC的中点,F为CC'的中点,∴EF∥AC',∴BE和EF所成的角即为异面直线BE与AC'所成的角.在△BEF中,BE2+EF2=BF2,∴BE⊥EF,∴BE⊥AC'.本节要点归纳1.知识清单:(1)平面内两直线的夹角.(2)异面直线所成的角.(3)利用异面直线所成的角证明两直线垂直.2.方法归纳:转化与化归.3.常见误区:容易忽视异面直线所成角θ的范围是0°<θ≤90°.学以致用·随堂检测促达标12341.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1的所有棱中,与棱AB垂直的棱有(

)A.2条

B.4条

C.6条

D.8条D解析

在长方体ABCD-A1B1C1D1的所有棱中,与棱AB垂直的棱有BC,B1C1,A1D1,AD,AA1,BB1,CC1,DD1,共8条.故选D.12342.设a,b,c是三条直线,且c⊥a,c⊥b,则a和b(

)A.平行

B.相交 C.异面

D.以上都有可能D解析

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若DD1=c,D1C1=a,A1D1=b,则a和b相交;若DD1=c,D1C1=a,AD=b,则a和b异面;若DD1=c,D1C1=a,DC=b,则a和b平行.所以空间中垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面.故选D.12343.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线AC和BC1所成角的大小为(

)A解析

如图,连接AD1,CD1,∵BC1∥AD1,∴∠D1AC即为异面直线AC与BC1所成的角.又AD1=AC=CD1,∴∠D1AC=,即异面直线AC与BC1所成角为

.123412344.(2025云南曲靖高一阶段练习)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1.证明:AD1⊥B1C.1234证明

如图