初中七年级数学（人教版2024）上册“销售问题”专题复习知识清单

初中七年级数学（人教版2024）上册“销售问题”专题复习知识清单

一、核心概念与基础公式体系

【基础·必会】销售问题涉及多个经济学术语，准确理解这些概念是建立方程模型的前提。在现实生活中，商家所谓的“盈”与“亏”，其数学本质均围绕着以下几个核心量及其相互关系展开。

1、进价（成本价）：指商店购进商品时的价格，这是计算盈亏的基准，通常用字母a表示。

2、标价（原价/定价）：指商家在商品标签上标注的价格，该价格可能高于、等于或低于实际成交价，通常用字母b表示。

3、售价（成交价/卖出价）：指商品实际出售时的价格，即最终成交的金额，用字母c表示。这是连接进价、标价与利润的关键桥梁。

4、利润：指销售商品过程中赚取的纯收入，其数值可以为正（盈利）、负（亏损）或零（保本）。利润有单件利润与总利润之分。

5、利润率：指利润占进价的百分比，它反映了盈利或亏损的水平。盈利时利润率为正，亏损时利润率为负。

6、折扣（打折）：指商店按标价的某个百分率出售商品。例如，打n折，即按标价的十分之n（或n/10）出售。打八折意味着售价是标价的80%，优惠了20%；打七五折意味着售价是标价的75%。

【重要·核心公式】这些公式构成了解决所有销售问题的代数基础，必须能够熟练地进行正向运用与逆向变形。

1、利润基本公式：利润=售价—进价

2、利润率基本公式：利润率=(利润÷进价)×100%

3、售价与标价关系（折扣公式）：售价=标价×(折扣数/10)

4、售价与进价、利润率关系（拓展公式）：售价=进价×(1+利润率)（注：当亏损时，利润率视为负数，如亏损20%，则1+(-20%)=0.8）

5、总利润公式：总利润=（售价—进价）×销售量=销售总额—总成本

二、销售问题的方程模型建构

【★重点】列一元一次方程解决销售问题的核心，在于根据题意找到一个能够贯穿全局的“不变量”作为等量关系。这个等量关系通常隐藏在题目描述的商业情境中。

1、寻找等量关系的基本策略：

(1)抓关键词法：题目中出现“获利xx元”、“亏损xx元”、“利润率是xx%”等语句，可以直接转化为方程。例如：“仍可获利10%”即：售价—进价=进价×10%。

(2)总量不变法：在涉及多个阶段交易或总量销售的问题中，总利润、总成本或总销售额往往可以作为等量关系。例如：“销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标”，即：总利润=总成本×45%。

(3)不变量构造法：当题目中涉及两种不同的销售方案（如打不同的折扣，或在不同时间销售），但针对的是同一批商品时，商品的进价（成本）是不变的，或者最终获得的总利润是不变的，由此可以建立方程。

2、一般解题步骤：

(1)审：仔细阅读题目，分清题目中涉及了哪些量（进价、标价、售价、利润、利润率、折扣），哪些是已知数，哪些是未知数。

(2)设：根据题意，合理设出未知数。通常直接设所求量为x，但有时设间接未知数（如设进价为x）会使列方程更简便。

(3)列：用含有未知数的代数式表示其他相关量（如用含x的式子表示售价、利润等），然后根据核心等量关系列出方程。

(4)解：解一元一次方程，求出未知数的值。

(5)验：检验方程的解是否符合题意和实际情况（例如，进价、标价通常应为正数，折扣应在0到10之间）。

(6)答：写出完整的答案。

三、常见题型深度剖析与解题策略

【题型一】单一商品盈亏计算

【高频考点·基础】这是销售问题中最基本的题型，直接套用核心公式即可。

【特征】题目直接给出商品的进价、标价、折扣或利润率中的几个量，求另一个量。

【典例】某种商品每件的标价为330元，按标价的八折销售时，仍可获利10%，则这种商品每件的进价为多少元？

【分析】本题的等量关系隐藏在“获利10%”中。获利10%是指利润占进价的10%，即：利润=进价×10%。同时，利润也等于售价减去进价。售价可以通过标价和折扣求出。

【详解】

设这种商品每件的进价为x元。

根据题意，售价=标价×折扣=330×0.8=264元。

利润的两种表达方式：利润=264—x，且利润=10%x。

根据利润相等，列出方程：264—x=0.1x

解方程：264=1.1x⇒x=240

答：这种商品每件的进价为240元。

【★解题要点】当题目中出现利润率时，优先考虑利用“利润的双重表达式”来列方程，即：售价—进价=进价×利润率。

【题型二】两件或多件商品综合盈亏判断

【重难点·热点】此类问题不仅考查计算能力，更考查对“盈亏”本质的理解，即比较总售价与总成本的关系。

【特征】商店同时卖出两件（或多件）进价不同的商品，每件商品的盈亏百分比已知（如一件盈利a%，另一件亏损b%），问最终总体是盈利、亏损还是不盈不亏。

【典型母题】一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？

【思路导航】要判断总体盈亏，必须求出两件衣服的总成本。因为总售价已知（60×2=120元），所以关键在于求出各自的进价。根据“盈利25%”和“亏损25%”，分别求出两件衣服的进价。

【详细解析】

（1）设盈利25%的那件衣服进价为x元。盈利25%意味着利润为0.25x元。

根据“进价+利润=售价”，得：x+0.25x=60

合并同类项：1.25x=60

系数化1：x=48

（2）设亏损25%的那件衣服进价为y元。亏损25%意味着利润为-0.25y元（即亏损了0.25y元）。

根据“进价+利润=售价”，得：y+(-0.25y)=60

合并同类项：0.75y=60

系数化1：y=80

（3）总成本=x+y=48+80=128元。

总售价=60+60=120元。

因为总售价（120元）<总成本（128元），所以总体亏损，亏损了8元。

【变式与拓展】若将题目中的“均以60元卖出”改为“均以a元卖出”，其中一件盈利m%，另一件亏损m%，请问结论如何？

【探究结论】通过计算可知，无论a为何值，只要两件商品的进价不同，且盈利与亏损的百分比的绝对值相等，最终结果总是亏损的。亏损的金额与具体数值有关，但结论具有一般性。此类问题常出现在选择题中，作为快速判断的考点。

【易错警示】很多学生会误以为“一个盈利25%，一个亏损25%，正好抵消”，从而错误选择“不盈不亏”。这是混淆了“进价”与“售价”的基准不同所致。利润率是相对于各自进价的，而两个进价并不相等，因此盈亏金额并不相等。

【题型三】不同销售方案的比较与决策

【能力提升】此类问题将数学知识应用于商业决策，通常涉及方案选择、最优化问题。

【特征】题目给出两种或多种销售方案（如不同的打折方式、不同的进货渠道、不同的销售策略），要求通过计算比较哪种方案获利更多，或恰好达到某个目标。

【典例】某商场因换季准备处理一批服装，若每套服装按标价的六折出售，则每套将亏110元；而按标价的八折出售，每套将赚70元。求每套服装的标价和进价各是多少元？

【分析】本题中，标价和进价均未知，但它们是联系两种销售方案的桥梁。无论打六折还是八折，商品的进价是不变的。可以设标价为x元，然后用含x的式子分别表示两种方案下的售价，再根据“进价不变”这一等量关系列方程。

【解法一】（设标价）

设每套服装的标价为x元。

打六折时，售价为0.6x元，此时亏110元，即进价=售价+亏损额=0.6x+110。

打八折时，售价为0.8x元，此时赚70元，即进价=售价—盈利额=0.8x—70。

因为进价不变，所以有：0.6x+110=0.8x—70

解方程：110+70=0.8x—0.6x⇒180=0.2x⇒x=900

进价=0.6×900+110=540+110=650元。

答：每套服装的标价为900元，进价为650元。

【解法二】（设进价）

设每套服装的进价为y元。

打六折时，售价=0.6×标价，亏损110元，则标价=(y—110)/0.6？这里需要注意，亏损110元，说明售价=y—110。而售价=0.6×标价，所以0.6×标价=y—110。于是标价=(y—110)/0.6。

打八折时，售价=0.8×标价，盈利70元，则售价=y+70。所以0.8×标价=y+70，于是标价=(y+70)/0.8。

根据标价相等，得：(y—110)/0.6=(y+70)/0.8。

解这个比例方程（交叉相乘）：0.8(y—110)=0.6(y+70)⇒0.8y—88=0.6y+42⇒0.2y=130⇒y=650。进而标价=(650+70)/0.8=720/0.8=900元。

两种方法均可，可根据自己对方程的熟悉程度选择。

【题型四】分段优惠与最优购买策略

【难点·综合应用】此类问题模拟现实生活中的复杂促销活动，如“满减”、“返券”、“超过部分打折”等，对学生分析问题和分类讨论的能力要求较高。

【特征】题目中的优惠规则不是单一的折扣，而是分层次的。例如，购物不超过xx元无优惠；超过xx元，不足xx元优惠xx%；超过xx元，其中xx元按xx折，超过部分按xx折。解答此类问题，首先要根据购物金额判断其所处的优惠区间。

【典例】某百货商场促销活动：购物不超过200元不给优惠；超过200元而不足500元优惠10%；超过500元，其中500元按9折优惠，超过部分按8折优惠。某人两次购物分别用了134元和466元，问：（1）此人两次购物其物品如果不打折，值多少钱？（2）在此次活动中，他节省了多少钱？（3）若此人将两次购物的钱合起来购买相同的商品，是更节省还是亏损？请说明理由。

【分层解析】

（1）第一问：需要反向推导打折前的原价。

第一次付款134元：因为200×90%=180>134，所以134元本身小于200元的门槛，说明第一次购物并未享受优惠，其原价就是134元。

第二次付款466元：首先判断区间。500×90%=450元。因为466>450，所以第二次购物享受的是超过500元的优惠档次（即满500元后，500元打9折，超出部分打8折）。设第二次购物的原价为x元（x>500）。根据优惠规则，付款金额为：500×0.9+(x—500)×0.8=466。

解此方程：450+0.8x—400=466⇒0.8x+50=466⇒0.8x=416⇒x=520元。

所以，两次购物原价分别为134元和520元，共计654元。

（2）第二问：节省的钱=原价总和—实际付款总和=654—(134+466)=654—600=54元。

（3）第三问：需要计算合起来一次性购买需要付多少钱，再与分两次购买的花费（600元）进行比较。

合起来的总原价为654元，超过500元，适用第三档优惠。

一次性付款金额=500×0.9+(654—500)×0.8=450+154×0.8=450+123.2=573.2元。

比较：分两次购买共付600元，一次性购买只需付573.2元。

因为573.2<600，所以合起来购买更节省，比分开买节省了600—573.2=26.8元。

【解题策略】遇到分段优惠问题，第一步务必先“对号入座”，根据已知付款金额或原价，确定其属于哪一档优惠区间。当已知付款反推原价时，往往需要先验证该付款金额是否超过上一档的最高优惠价。

【题型五】利润分配与总量目标问题

【中频考点】这类问题通常涉及一定数量的商品，前期按正常价销售，后期打折处理，最终总利润或总利润率是已知的。

【特征】题目中出现“购进500件，前400件按原价销售，剩下的降价销售，最终盈利达到45%”等条件。此时需要将总利润分解为两部分：正常销售利润+降价销售利润。

【典例】某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件。商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售。请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？

【分析】本题的等量关系是“总利润=总成本×45%”。总成本=80×500。总利润由两部分构成：前400件的利润和剩余100件的利润。剩余100件的售价是在原售价120元的基础上降价x元，即售价为(120—x)元。

【详解】设每件衬衫降价x元。

根据题意，总成本为：80×500=40000元。

预期总利润为：40000×45%=18000元。

前400件的利润：400×(120—80)=400×40=16000元。

后100件的利润：100×[(120—x)—80]=100×(40—x)元。

列方程：16000+100(40—x)=18000

去括号：16000+4000—100x=18000

合并：20000—100x=18000

移项：100x=20000—18000⇒100x=2000⇒x=20

答：每件衬衫降价20元。

四、高频考点与易错点警示

1、【★★★极易错】利润率对应的基准是“进价”，不是“售价”。很多同学在列方程时，容易错误地将利润率乘以售价，导致全题皆错。例如，“按标价打八折后仍可获利10%”，列式应为：0.8×标价—进价=10%×进价，而非0.8×标价—进价=10%×0.8×标价。

2、【高频设元技巧】当题目中“求什么”和“设什么”导致列方程困难时，要学会“设间接未知数”。例如，在题型三中，设标价为x往往比设进价为x计算更简便。

3、【盈亏含义混淆】亏损x%意味着利润为—x%×进价，此时售价=进价×(1—x%)。学生常犯的错误是将亏损时的售价误写为进价×(1+x%)。

4、【打折计算的准确性】“打a折”就是乘以a/10。如打8折是乘以0.8；打7.5折是乘以0.75；打8.8折是乘以0.88。切勿将“打8折”理解为乘以0.08。

5、【分类讨论意识缺失】在遇到“满减”、“优惠券”、“分段优惠”等问题时，如果不进行区间判断，直接套用一个公式，必然导致错误