34第5讲锐角三角函数及其实际应用

第25讲锐角三角函数及其实际应用【构建知识网络】知识点1锐角三角函数知识点2特殊角的锐角三角函数值【满分技能】

1.锐角三角函数的取值范围：0<sinA<1，0<cosA<1，tanA>0.2．锐角三角函数的增减性：sinA与tanA随∠A度数的增大而增大，cosA随∠A度数的增大而减小．知识点3解直角三角形常用关系两锐角关系∠A＋∠B＝90°三边关系a2＋b2＝c2边角关系基本类型知识点4解斜三角形1．思路方法：通过作辅助线，化“斜”为“直”．2．辅助线类型内割型外补型特点内角中有两个特殊角内角中只有一个特殊角【满分技能】辅助线解题小技巧：(1)往往设公共边AD＝x，然后用x表示出其他线段．(2)一般出现120°，135°，150°，要作这些角的邻补角．(3)一般出现75°，105°，考虑分开角，75°＝30°＋45°，105°＝45°＋60°.知识点5解直角三角形的实际应用俯角、仰角如图所示，当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角方向角如图所示，在平面上过观测点O，画一条水平线(向右为东)和一条铅垂线(向上为北)，则从点O发出的视线与铅垂线(南、北方向线)的夹角，叫做方向角坡度、坡角如图所示，通常把坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(或坡比)，用字母i表示，坡面与水平线的夹角叫坡角，用字母α表示．斜坡的坡度和坡角的正切值有如下关系：i＝tanα＝3．[2022·通辽]如图，在矩形ABCD中，E为AD上的点，AE＝AB，BE＝DE，则tan∠BDE＝______.2.[胡不归模型][2022·鄂尔多斯]如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB，PC.则PA＋2PB的最小值为_____.43.[分类讨论][2022·通辽]在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝6，若点P在直线AB上(不与点A，B重合)，且∠PCB＝30°，则AP的长为________．考点5解直角三角形的实际应用(5年6地22考)1．[2025·内蒙古]如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量，他们将无人机上升并飞行至距湖面90m的点C处，从C点测得A点的俯角为60°，测得B点的俯角为30°(A，B，C三点在同一竖直平面内)，则湖泊两端A，B的距离为______m(结果保留根号)．

2．[2024·通辽]在“综合与实践”活动课上，活动小组测量一棵杨树的高度．如图，从C点测得杨树底端B点的仰角是30°，BC长6米，在距离C点4米处的D点测得杨树顶端A点的仰角为45°，求杨树AB的高度(精确到0.1米，AB，BC，CD在同一平面内，点C，D在同一水平线上．参考数据：≈1.73)．(1)求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数；(2)求检查点B和C之间的距离(结果保留根号)．解：(1)由题意，得∠NAC＝80°，∠BAS＝25°，∴∠CAB＝180°－∠NAC－∠BAS＝75°，∵∠ABC＝45°，∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠ABC＝60°，∴行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数为60°；4．[2024·包头]如图，学校数学兴趣小组开展“实地测量教学楼AB的高度”的实践活动．教学楼周围是开阔平整的地面，可供使用的测量工具有皮尺、测角仪(皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测角仪的功能是测量角的大小)．(1)请你设计测量教学楼AB的高度的方案，方案包括画出测量平面图，把应测数据标记在所画的图形上(测出的距离用m，n等表示，测出的角用α，β等表示)，并对设计进行说明；(2)根据你测量的数据，计算教学楼AB的高度(用字母表示)．解：(1)如图1，将测角仪放在D处，用皮尺测量出D到AB的距离为m，用测角仪测出A的仰角为α，测出B的俯角为β；(3)如图，过C作CE⊥AB于E，则四边形CDBE是矩形，∠ACE＝α，∠BCE＝β，∴CE＝BD＝m，BE＝CD，在Rt△BCE中，BE＝CE·tan∠ECB＝m·tanβ，在Rt△ACE中，AE＝CE·tan∠ECA＝m·tanα，∴AB＝AE＋BE＝m(tanα＋tanβ)，答：教学楼AB的高度为m(tanα＋tanβ).2．[2025·深圳]如图为人行天桥的示意图，若高BC长为10米，斜道AC长为30米，则sinA的值为()3．[2025·广东]如图，在矩形ABCD中，E，F是BC边上的三等分点，连接DE，AF相交于点G，连接CG.若AB＝8，BC＝12，则tan∠GCF的值是()4．[2025·宁夏]老师带领数学小组仅用测角仪和皮尺测量某桥外侧拱顶离水面的高度．如图，拱顶离水面的高度为EF，点A，B是水平地面上两点，且与点E，F均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为2米，测角仪支架高度为1.5米，为达成目的，还需测量的数据是()A．CH的长，∠EDH的度数B．AB的长，∠ECH的度数C．CH的长，∠ECH，∠EDH的度数D．AB的长，∠ECH，∠EDH的度数5．[2024·达州]如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，∠ABD＝120°，其中点A，B，C都在格点上，则tan∠BCD的值为()6．[2025·绥化]如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度i＝1∶(斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比)，堤坝高BC＝15m，则迎水坡面AB的长度是

．7．[2025·苏州]如图，∠MON＝60°，以O为圆心，2为半径画弧，分别交OM，ON于A，B两点，再分别以A，B为圆心，为半径画弧，两弧在∠MON内部相交于点C，作射线OC，连接AC，BC，则tan∠BCO＝_____．(结果保留根号)8．[2025·常州]如图，在△ABC中，tanC＝，D是边BC上一点，将△ACD沿AD翻折得到△AED，使线段AE，BC相交于点F，若CF＝5，EF＝2，则AC＝_____．9．[2025·长沙]如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D.经测得景点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西45°方向上．已知AB＝800m.(1)求∠ACB的度数；(2)求景点C与景点D之间的距离．(结果保留根号)解：(1)如图，由题意可得∠CBE＝60°，∠CAF＝30°，∠BDM＝45°，BM⊥DM，BE∥AF∥DM.∴∠BCM＝∠CBE＝60°，∠ACM＝∠CAF＝30°，∴∠ACB＝∠BCM－∠ACM＝60°－30°＝30°；(2)∵∠CBE＝60°，∴∠CBM＝90°－∠CBE＝90°－60°＝30°.由(1)得∠ACB＝30°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°.又∵AB＝800m，∴AB＝AC＝800m.∴BM＝BA＋AM＝800＋400＝1200(m)，∵∠BDM＝45°，BM⊥DM，∴DM＝BM＝1200m，∴DC＝DM－CM＝(1200－400)m.∴景点C与景点D之间的距离为(1200－400)m.10．[2025·新疆]某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下：实验主题测量校徽的高度工具准备测角仪、卷尺等实验过程1.站在与教学楼底部A同一水平地面的B处，由于大树CD的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部E处(此时F，C，E三点在同一直线上)2．测量A，D两点和B，D两点间的距离3．用测角仪测得从眼睛F处看校徽顶部E处的仰角∠EFG4．向后退至点H处时，视线恰能看到校徽底部M处(此时N，C，M三点在同一直线上)，测量B，H两点间的距离5．用测角仪测得从眼睛N处看校徽底部M处的仰角∠MNG实验图示测量数据1.AD＝4m2．BD＝10m3．BH＝13.5m4．∠EFG＝43°5．∠MNG＝21.8°备注1.图上所有点均在同一平面内2．AE，CD，FB，NH均与地面垂直参考数据：sin21.8°≈0.37，cos21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40；sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93请你根据以上实验过程和测量的数据，计算校徽的高度EM的值．解：由题意，得四边形FGAB，四边形NHAG为矩形，∴FG＝AB＝AD＋BD＝10＋4＝14(m)，NG＝AH＝AD＋