小学五年级数学因数和倍数知识清单

小学五年级数学因数和倍数知识清单

一、学习目标

通过本部分内容的系统预习与深入学习，学生应能够在具体情境中理解因数与倍数的意义，掌握其相互依存的辩证关系；能够熟练运用多种方法有序地找出一个自然数（非零）的因数与倍数，并准确描述其个数特点（有限性与无限性）；能够深刻理解并灵活运用2、3、5的倍数的核心特征，快速准确地判断一个数的相关属性；能够准确区分奇数与偶数、质数与合数的概念，理解其内涵与外延，并能对这些数进行正确的分类；能够运用本讲所学知识解决生活实际中的简单问题，如简单的分组、排列问题，初步建立数感和符号意识，发展抽象思维与推理能力，为后续深入学习公因数、公倍数、约分、通分等核心知识奠定坚实的思维与技能基础。

二、知识要点

（一）因数和倍数的概念体系

1.整除：概念建构的基石

在研究因数和倍数时，我们讨论的范围是非零自然数（正整数）。如果自然数a除以自然数b（b≠0），得到的商是整数且没有余数，我们就说“a能被b整除”，或者说“b能整除a”。例如，24÷8=3，商3是整数且没有余数，因此24能被8整除，8能整除24。整除是理解因数与倍数关系的唯一前提。【基础】

2.因数与倍数的定义与依存关系

在整除的基础上，如果a能被b整除（b≠0），那么a就是b的倍数，b就是a的因数。【非常重要】★需要特别强调的是，因数和倍数是一种相互依存的关系，它们始终是成对出现的。我们绝不能孤立地说“某个数是因数”或“某个数是倍数”，而必须完整地表达为“谁是谁的因数”或“谁是谁的倍数”。例如，基于24÷8=3，我们只能说“24是8的倍数，8是24的因数”，或者说“24是3的倍数，3是24的因数”。【高频考点】▲这种依存关系是后续所有推理的基础，也是考试中判断题的高频设错点。

3.因数与倍数的表示法与数域

在表达时，我们通常使用“×是×的因数/倍数”的句式。需要明确的是，一个数的因数具有“有限性”：一个数的最小因数是1，最大因数是它本身，因数的个数是有限的。一个数的倍数则具有“无限性”：一个数的最小倍数是它本身，没有最大的倍数，倍数的个数是无限的。在表示一个数的倍数时，我们通常列举出几个后，用“……”来表示无限延续。【重要】▲

（二）探寻一个数的因数：策略与方法

1.方法一：列除法算式，以商寻因

根据因数的定义，我们可以想这个数除以哪些整数，能够得到一个整数商且没有余数。那么，这些除数和所得的商，就是这个数的因数。例如，寻找18的所有因数：18÷1=18，得出1和18都是18的因数；18÷2=9，得出2和9都是18的因数；18÷3=6，得出3和6都是18的因数。当除到商开始重复或出现小于除数的商时，寻找过程即告结束。【基础】

2.方法二：列乘法算式，成对觅因

这是最常用、最直观且最不容易遗漏的方法。我们思考哪两个整数相乘的积等于这个数，那么这两个乘数就是这个数的一对因数。例如，寻找24的所有因数：1×24=24，2×12=24，3×8=24，4×6=24。至此，因数已经出现循环趋势，所以24的所有因数为1、2、3、4、6、8、12、24。【高频考点】▲这种方法的核心在于“成对”思考，能够确保因数被完整、有序地找到。

3.有序思考与易错警示

在找一个数的因数时，必须坚持“有序思考”的原则，通常从最小的自然数1开始，由小到大尝试。易错点在于：【易错点】★第一，遗漏1和它本身这一对最基本的因数；第二，当这个数是完全平方数时，如16=4×4，中间的因数4只应计算一次，不能重复写为两个4；第三，在列举时没有按顺序，导致遗漏。正确的书写格式如：36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36。

（三）探寻一个数的倍数：生成与表示

1.方法：乘法衍生法

找一个数的倍数，就是用它和所有的非零自然数相乘，所得的积就是它的倍数。例如，找7的倍数：7×1=7，7×2=14，7×3=21，7×4=28……因为自然数的个数是无限的，所以一个数的倍数也是无限的。【基础】

2.表示法与范围意识

在表示一个数的倍数时，必须体现出其“无限性”的特征。规范的写法是列举出最小的几个倍数，然后加上省略号。例如，7的倍数可以表示为：7、14、21、28……【重要】在解决具体问题时，如果题目限定了范围（如“50以内7的倍数”），则需要写出该范围内所有符合条件的数，此时不需用省略号。

3.倍数与积的辨析

倍数是建立在整除概念基础上的，它与乘法算式中的“积”既有联系又有区别。在“a×b=c”中，我们可以说c是a和b的倍数（a、b、c均为非零自然数），但更严谨地说，c是a的倍数，也是b的倍数。【常见题型】这一点在判断题中经常被考查，要求学生从整除关系的角度去理解倍数，而不是仅仅停留在乘法算式的表面。

（四）2、3、5的倍数特征：从感性到理性

1.2的倍数特征：偶数的诞生

个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数。这是所有2的倍数最直观的特征。【高频考点】★在此基础上，我们引入了“偶数”和“奇数”的概念。是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。0也是偶数，因为0÷2=0，商是整数且没有余数。需要注意的是，自然数根据是不是2的倍数，被分成了奇数和偶数两类。

2.5的倍数特征：个位的法则

个位上是0或5的数，都是5的倍数。【高频考点】▲这个特征与2的倍数特征一样直观，通过观察个位即可判断。

3.3的倍数特征：数位的奥秘

3的倍数特征与2、5截然不同，它不再局限于个位，而是涉及所有数位。一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。【难点】★例如，判断258是不是3的倍数：先计算各位数字之和2+5+8=15，15是3的倍数，所以258是3的倍数。反之，如果各位数字之和不是3的倍数，那么这个数本身也不是3的倍数。例如，253，各位数字之和2+5+3=10，10不是3的倍数，所以253不是3的倍数。

4.同时满足多个倍数特征的数

这是考试中的热点和综合应用点。【热点】▲一个数如果同时是2和5的倍数，那么它的个位必须是0（因为2的倍数要求个位是偶数，5的倍数要求个位是0或5，交集就是个位为0）。如果同时是2、3、5的倍数，那么它必须同时满足：个位是0，且各位数字之和是3的倍数。例如，90、120、180等。

（五）奇数与偶数：分类与运算性质

1.奇偶性的深层理解

奇数和偶数的分类是基于是否为2的倍数。偶数可以表示为2k的形式（k为整数），奇数可以表示为2k+1或2k-1的形式。【基础】这种代数表示法为后续学习用字母表示数以及探索运算规律提供了工具。

2.奇偶性的运算规律

这是解决问题，特别是填空题和选择题中的简便方法。【重要】▲基本规律如下：

奇数±奇数=偶数（如3+5=8）

偶数±偶数=偶数（如4+6=10）

奇数±偶数=奇数（如3+4=7）

奇数×奇数=奇数（如3×5=15）

偶数×偶数=偶数（如2×4=8）

奇数×偶数=偶数（如3×4=12）

掌握这些规律，可以快速对算式结果的奇偶性做出预判，而不必算出具体得数。

（六）质数与合数：数论的基石

1.概念界定与特例

质数（或称素数）是指一个数除了1和它本身，不再有别的因数，这样的数叫做质数。合数是指一个数除了1和它本身，还有别的因数，这样的数叫做合数。【非常重要】★这里有一个极其重要的特例：1。1只有一个因数，就是它本身，它既不符合质数的定义（质数有两个因数），也不符合合数的定义（合数至少有三个因数），因此，1既不是质数也不是合数。【高频考点】▲最小的质数是2，2也是唯一的偶质数。最小的合数是4。

2.质数与合数的判断方法

判断一个数是质数还是合数，关键看它因数的个数。对于一个较小的数，可以通过查乘法口诀或简单试除来判断。对于稍大的数，可以采用试除法，即用小于它本身的质数（如2、3、5、7、11……）依次去除，看能否整除。如果能被某个质数整除，它就是合数；如果试除到比它的算术平方根大的质数时仍然除不尽，它通常就是质数（在小学阶段，学生主要掌握100以内的质数）。【难点】▲

3.质因数与分解质因数

在因数和倍数的基础上，我们引入质因数的概念。如果一个质数是某个合数的因数，那么这个质数就是这个合数的质因数。把一个合数用几个质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。【拓展】分解质因数通常用短除法或树枝图法。例如，把30分解质因数：30=2×3×5。需要强调的是，分解质因数的结果中，因数必须都是质数，并且通常把质因数按从小到大的顺序书写。

（七）公因数与公倍数概念萌芽

1.公因数的初步认识

几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。例如，12的因数有1、2、3、4、6、12；18的因数有1、2、3、6、9、18。它们公有的因数是1、2、3、6，最大公因数是6。【基础】这个概念是后续学习约分的基础。

2.公倍数的初步认识

几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。例如，3的倍数有3、6、9、12、15、18……；5的倍数有5、10、15、20……它们公有的倍数有15、30……最小公倍数是15。【基础】这个概念是后续学习通分的基础。在本讲中，学生只需初步理解这两个概念的含义，为下一阶段的深入学习做好铺垫。

三、考点与考向深度剖析

（一）核心考点分布

1.概念理解题：主要考查因数与倍数的依存关系、1的特殊性、质数与合数的定义等。【高频考点】★通常以判断题的形式出现，如“因为8÷4=2，所以8是倍数，4是因数”。（错）

2.找因数和倍数题：主要考查有序思考的能力和列举法的掌握程度。【高频考点】▲题型有填空题（如“24的所有因数有（）”）、选择题（如“下面哪一组数都是12的因数？”）。

3.特征判断题：主要考查2、3、5的倍数特征的综合运用。【热点】★题型多样，如填空题（如“同时是2、3、5的倍数的最小三位数是（）”）、选择题、以及在应用题中作为条件出现。

4.奇偶性、质合性判断题：主要考查对数的两种重要分类的掌握。【重要】▲题型如“在1-10中，既是奇数又是合数的数是（）”。（答案是9）

（二）各类题型的解题策略

1.判断题的黄金法则

解题关键在于紧扣定义，不凭感觉。例如判断“所有奇数都是质数”，应立即联想到反例：9是奇数，但9是合数，所以原命题错误。再如判断“两个质数的和一定是偶数”，也需举例：2和3都是质数，它们的和5是奇数，所以原命题错误。举例法是破解判断题最有效的方法。【解题步骤】

2.填空题的规范操作

对于“求一个数的因数”的填空题，必须采用有序的“成对列举法”，从1开始，一直找到两个因数非常接近甚至相等为止。对于“求一个数在某个范围内的倍数”的填空题，则要用这个数从1倍开始乘，直到积超出所给范围为止，并将所有积按顺序写出，此时不加省略号。【解答要点】

3.选择题的排除技巧

选择题通常有四个选项。可以综合运用直接判断法和排除法。例如，问“下面各数中，既是3的倍数，又是5的倍数的是”，可以先根据5的倍数特征（个位是0或5）排除掉一些选项，再根据3的倍数特征（各位数字和是3的倍数）对剩下的进行筛选，从而得出正确答案。【常见题型】

4.应用题的建模思维

因数和倍数的应用题往往与生活情境相结合，如分东西、排队、安排周期等。解题的关键是将实际问题转化为数学的“因数”或“倍数”问题。例如，“把一些糖果平均分给小朋友，正好分完”，意味着小朋友的人数是糖果总数的因数；“两路公交车同时发车后，再次同时发车的时间”，是求两车间隔时间的最小公倍数。【考查方式】

（三）常见易错点警示

1.【易错点1】因数与倍数表述不完整：学生容易直接说“8是因数”，忘记了因数与倍数的相互依存性。改正方法：时刻提醒，描述时必须说清楚“谁是谁的因数/倍数”。★

2.【易错点2】找因数不彻底、不有序：经常遗漏1和它本身，或者在找到一半时就停止。改正方法：养成从1开始，一对一对地找，并用乘法算式记录的习惯。▲

3.【易错点3】3的倍数特征与个位混淆：学生受2、5倍数特征影响，习惯性看个位来判断3的倍数。改正方法：强化记忆，3的倍数特征看“和”，不看“个位”。★

4.【易错点4】质数与奇数、合数与偶数的概念混淆：误以为所有奇数都是质数，所有偶数都是合数。改正方法：熟记100以内的质数表（特别是2是唯一的偶质数，9、15等是奇合数），通过对比加深理解。★

5.【易错点5】分解质因数书写不规范：结果中出现1，或者因数不是质数，或者没有用乘号连接。改正方法：明确分解质因数的结果必须是质数相乘，如30=2×3×5，不能写成30=1×2×3×5或30=2×3×5×1。

四、思维拓展与跨学科视野

（一）蕴含的数学思想方法

1.分类讨论思想：本讲通过对数的不同属性的分析，将自然数划分为不同的集合：按是否是2的倍数分为奇数和偶数；按因数的个数分为质数、合数和1。这种分类思想是数学研究的基本方法，有助于学生构建系统的知识结构。【思维方法】

2.归纳推理思想：通过对大量2、3、5的倍数进行观察，从中归纳出其本质特征，这是从特殊到一般的推理过程，培养了学生的观察、比较和归纳能力。【思维方法】

3.模型思想：在解决“分糖果”、“发车时间”等问题时，引导学生建立“求因数”、“求公倍数”的数学模型，这是用数学语言描述现实世界的重要体现。【思维拓展】

（二）跨学科与实际生活的链接

1.与体育学科的关联：体育课上排队形时，总人数如果是一个合数，就可以有多种排列方式（如可以排成几行几列），这正是利用了因数的知识。【跨学科】

2.与音乐学科的关联：在音乐的节拍中，强弱规律的循环周期，与倍数有关。比如四三拍，就是以3拍为一个循环周期，这可以看作是在寻找3的倍数点。【跨学科】

3.与信息科技的关联：在编程中，判断一个数是否为另一个数的倍数（即取模运算），是计算机程序中最基础的逻辑判断之一。例如，设计一个程序找出一堆数中的所有偶数，其实就是判断它们是否是2的倍数。【跨学科】

4.与生活实践的关联：在家庭生活中，铺地砖问题就是典型的公因数问题；而超市里两种商品同时打折促销的周期，则是公倍数问题的原型。【实际应用】

五、自我评量（分层精练）

1.基础巩固：填空题

（1）根据算式45÷5=9，可以说（）是（）的倍数，（）是（）的因数。

（2）一个数的最小倍数是18，这个数是（），它的因数有（）。

（3）在1、6、13、21、30、37这些数中，奇数有（），偶数有（），质数有（），合数有（）。

（4）能同时被2、3、5整除的最小两位数是（），最大两位数是（）。

2.能力提升：判断题

（1）一个数的因数一定比它的倍数小。（）

（2）所有的偶数都是合数。（）

（3）个位上是3、6、9的数，都是3的倍数。（）

（4）a是一个自然数，它的最大因数和最小倍数相等。（）

3.思维进阶：选择题

（1）一个三位数，百位上是3，十位上是最大的一位数，个位上是最小的质数，这个数是（）。

A.392B.342C.394D.392

（2）两个不同奇数的和（）。

A.一定是奇数B.一定是偶数C.可能是奇数也可能是偶数D.无法确定

（3）如果a是合数，b是质数（a、b均不为0），那么a×b的积一定是（）。

A.质数B.合数C.偶数D.奇数