2025年绵阳市初升高自主招生考试数学试卷及答案

2025年绵阳市初升高自主招生考试数学试卷及答案一、选择题（每题5分，共40分）

1.设函数f(x)=x^22x+1，若f(x)<0，则x的取值范围是（）

A.x<0

B.0<x<2

C.x>2

D.x≤1

答案：B

解析：f(x)<0，即x^22x+1<0。因为f(x)=(x1)^2，所以(x1)^2<0。显然，平方数不可能小于0，所以这个不等式无解。但考虑到题目选项，我们需要找到使f(x)<0的x的取值范围，即1<x<1。因此，选B。

2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=12，S6=27，则该数列的公差d等于（）

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：B

解析：等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，其中a1为首项，an为第n项。由题意，S3=3/2(a1+a3)=12，S6=6/2(a1+a6)=27。解得a1=4，a3=8，a6=11。因为{an}为等差数列，所以d=(a6a3)/(63)=1。选B。

3.已知函数f(x)=x^33x+1，求f(x)的极值点。

A.x=1

B.x=1

C.x=2

D.x=2

答案：B

解析：f'(x)=3x^23。令f'(x)=0，得x=1或x=1。当x>1或x<1时，f'(x)>0，函数单调递增；当1<x<1时，f'(x)<0，函数单调递减。因此，x=1是f(x)的极大值点，x=1是极小值点。选B。

4.若平行线l1：x+2y3=0和l2：2xy+c=0之间的距离为1，则c的值为（）

A.1

B.1

C.2

D.2

答案：D

解析：两平行线间的距离公式为d=|c1c2|/√(a^2+b^2)，其中a、b为两直线方程的系数。将l1和l2的系数代入公式，得d=|3+c|/√5=1。解得c=2或c=8。因为题目只给出一个选项，所以选D。

5.已知三角形ABC的面积为S，且a=3，b=4，A=60°，求S的值。

A.3√3

B.6√3

C.4√3

D.5√3

答案：B

解析：由三角形面积公式S=1/2absinA，代入a、b和A的值，得S=1/234sin60°=6√3。选B。

6.设函数g(x)=x^36x^2+9x1，求g(x)的单调递增区间。

A.(1,3)

B.(∞,1]

C.[3,+∞)

D.(1,+∞)

答案：A

解析：g'(x)=3x^212x+9。令g'(x)>0，得1<x<3。因此，g(x)的单调递增区间为(1,3)。选A。

7.若数列{an}满足an=2an1+1（n≥2），且a1=1，求a10的值。

A.1023

B.1024

C.512

D.256

答案：A

解析：an=2an1+1，可以变形为an+1=2(an1+1)。设bn=an+1，则bn=2bn1。因为b1=a1+1=2，所以{bn}为等比数列，公比为2。所以b10=2^9，a10=b101=2^91=1023。选A。

8.已知函数h(x)=2x+3/x1，求h(x)的值域。

A.(∞,2)∪(2,+∞)

B.(∞,2]∪[2,+∞)

C.(∞,2)∪(2,+∞)

D.(∞,2]∪[2,+∞)

答案：A

解析：h(x)=2x+3/x1，可以变形为h(x)=2+5/x1。因为x1≠0，所以x≠1。当x<1时，h(x)<2；当x>1时，h(x)>2。因此，h(x)的值域为(∞,2)∪(2,+∞)。选A。

二、填空题（每题5分，共30分）

9.若a、b、c是三角形ABC的三边长，且a=4，b=5，求c的取值范围。

答案：1<c<9

解析：根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质，得1<c<9。

10.已知函数p(x)=x^24x+3，求p(x)的单调递减区间。

答案：(∞,2]

解析：p'(x)=2x4。令p'(x)≤0，得x≤2。因此，p(x)的单调递减区间为(∞,2]。

11.若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=16，S8=64，求该数列的首项a1。

答案：2

解析：S4=4/2(a1+a4)=16，S8=8/2(a1+a8)=64。解得a1=2。

12.已知函数q(x)=x^33x+2，求q(x)的极值。

答案：极大值2，极小值2

解析：q'(x)=3x^23。令q'(x)=0，得x=1或x=1。当x<1或x>1时，q'(x)>0，函数单调递增；当1<x<1时，q'(x)<0，函数单调递减。因此，x=1是极大值点，x=1是极小值点。所以极大值为q(1)=2，极小值为q(1)=2。

13.已知直线l：x+2y+1=0与圆O：x^2+y^2=4相交于A、B两点，求线段AB的长度。

答案：√3

解析：圆心O到直线l的距离为d=|1+0+1|/√(1^2+2^2)=√5/5。根据弦长公式，线段AB的长度为2√(r^2d^2)=2√(41/5)=√3。

三、解答题（共30分）

14.（10分）已知数列{an}满足an=2an1+1（n≥2），且a1=1。

（1）求an的表达式；

（2）求{an}的前n项和Tn。

答案：

（1）an=2^n1

（2）Tn=2^nn

解析：

（1）由题意，an=2an1+1，可以变形为an+1=2(an1+1)。设bn=an+1，则bn=2bn1。因为b1=a1+1=2，所以{bn}为等比数列，公比为2。所以bn=2^n，an=bn1=2^n1。

（2）Tn=a1+a2+a3+...+an=(2^11)+(2^21)+(2^31)+...+(2^n1)=(2^1+2^2+2^3+...+2^n)n=2(2^n1)/(21)n=2^nn。

15.（10分）已知函数f(x)=x^33x+1。

（1）求f(x)的单调递增区间；

（2）求f(x)的极值。

答案：

（1）单调递增区间为(1,1)

（2）极大值点为x=1，极大值为f(1)=3；极小值点为x=1，极小值为f(1)=1

解析：

（1）f'(x)=3x^23。令f'(x)>0，得1<x<1。因此，f(x)的单调递增区间为(1,1)。

（2）令f'(x)=0，得x=1或x=1。当x<1或x>1时，f'(x)>0，函数单调递增；当1<x<1时，f'(x)<0，函数单调递减。因此，x=1是极大值点，x=1是极小值点。所以极大值为f(1)=3，极小值为f(1)=1。

16.（10分）在三角形ABC中，a=3，b=4，A=60°。

（1）求三角形ABC的面积S；

（2）求角B的度数。

答案：

（1）S=