2025年高起专山东省数学（理科）考试试题及答案

2025年高起专山东省数学（理科）考试试题及答案一、选择题（每题5分，共40分）

1.若函数f(x)=2x+3在区间（2，3）上单调递增，则a的取值范围是（）

A.a>0

B.a≥0

C.a<0

D.a≤0

答案：A

解析：函数f(x)=2x+3的导数为f'(x)=2。由于f(x)在区间（2，3）上单调递增，所以导数f'(x)>0，即2>0。故选项A正确。

2.已知函数y=f(x)在x=1处有极值，且f'(1)=0，则以下结论正确的是（）

A.f(x)在x=1处取得极大值

B.f(x)在x=1处取得极小值

C.f(x)在x=1处可能有极值，也可能没有极值

D.无法判断

答案：C

解析：由于f'(1)=0，说明x=1是f(x)的临界点。但仅凭f'(1)=0无法判断f(x)在x=1处是否有极值，还需要考虑f''(1)的符号。故选项C正确。

3.若函数g(x)=x²2x+1在区间[0,3]上的最大值和最小值分别为M和m，则M+m=（）

A.2

B.3

C.4

D.5

答案：D

解析：函数g(x)=x²2x+1可以写成g(x)=(x1)²。在区间[0,3]上，g(x)的最大值为g(3)=4，最小值为g(1)=0。所以M+m=4+0=4。故选项D正确。

4.若等差数列{an}的前n项和为Sn=n²+n，则该数列的通项公式为（）

A.an=2n+1

B.an=2n1

C.an=n+1

D.an=n1

答案：B

解析：等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)。将Sn=n²+n代入，得n/2(a1+an)=n²+n。解得an=2n1。故选项B正确。

5.若等比数列{bn}的前n项和为Tn=2^n1，则该数列的通项公式为（）

A.bn=2n1

B.bn=2n

C.bn=2n2

D.bn=2n3

答案：B

解析：等比数列的前n项和公式为Tn=b1(1q^n)/(1q)。将Tn=2^n1代入，得b1(12^n)/(12)=2^n1。解得b1=1，q=2。所以通项公式为bn=2n。故选项B正确。

6.设函数f(x)=x²+2ax+b（a≠0）的图象开口向上，且与x轴交于A、B两点，若△AOB的面积为3，其中O为坐标原点，则a的取值范围是（）

A.a>0

B.a<0

C.a≥0

D.a≤0

答案：B

解析：函数f(x)=x²+2ax+b的图象开口向上，说明a>0。由于与x轴交于A、B两点，所以判别式D=4a²4b>0。△AOB的面积为3，即S=1/2|a||b|=3。联立以上两个方程，解得a<0。故选项B正确。

7.已知函数y=f(x)在x=2处取得极大值，且f'(2)=0，f''(2)=3，则f(x)在x=2附近的单调性为（）

A.单调递增

B.单调递减

C.先增后减

D.先减后增

答案：B

解析：f'(2)=0说明x=2是f(x)的临界点，f''(2)=3说明f(x)在x=2附近是凹的。因此，f(x)在x=2附近单调递减。故选项B正确。

8.若函数g(x)=x³3x²+2x+c在x=1处有极值点，则c的取值范围为（）

A.c>0

B.c<0

C.c≥0

D.c≤0

答案：B

解析：函数g(x)的导数为g'(x)=3x²6x+2。若g(x)在x=1处有极值点，则g'(1)=0。解得c<0。故选项B正确。

二、填空题（每题5分，共40分）

9.若等差数列{an}的前n项和为Sn=2n²+n，则该数列的首项a1=_______。

答案：3

解析：等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)。将Sn=2n²+n代入，得n/2(a1+an)=2n²+n。由于a1=a1，所以a1=3。

10.若等比数列{bn}的前n项和为Tn=3^n1，则该数列的首项b1=_______。

答案：2

解析：等比数列的前n项和公式为Tn=b1(1q^n)/(1q)。将Tn=3^n1代入，得b1(13^n)/(13)=3^n1。解得b1=2。

11.已知函数f(x)=x²2x+1，求f(x)的单调递增区间是_______。

答案：(1,+∞)

解析：f(x)=(x1)²，函数在x=1处取得极小值。所以f(x)的单调递增区间为(1,+∞)。

12.若函数g(x)=x³3x²+2x+c在x=1处有极值点，则c的值为_______。

答案：0

解析：g'(x)=3x²6x+2。若g(x)在x=1处有极值点，则g'(1)=0。解得c=0。

13.已知函数y=f(x)在x=2处取得极大值，且f'(2)=0，f''(2)=3，则f(2)的值为_______。

答案：8

解析：f'(2)=0，f''(2)=3。由于f(x)在x=2处取得极大值，所以f(2)=f''(2)(22)+f'(2)2+f(2)=30+0+f(2)=f(2)。解得f(2)=8。

14.若函数y=f(x)在x=1处取得极值，且f'(1)=0，则f(x)在x=1附近的单调性为_______。

答案：先增后减

解析：f'(1)=0说明x=1是f(x)的临界点。由于f(x)在x=1处取得极值，所以f(x)在x=1附近先增后减。

三、解答题（每题20分，共40分）

15.已知等差数列{an}的前n项和为Sn=3n²+2n，求该数列的通项公式。

解：等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)。将Sn=3n²+2n代入，得n/2(a1+an)=3n²+2n。

解得a1=4，an=6n1。所以通项公式为an=6n1。

16.已知函数f(x)=x³3x²+2x+1，求f(x)的单调区间和极值。

解：f'(x)=3x²6x+2。令f'(x)=0，解得x=1或x=2/3。

当x<1/3时，f'(x)>0，f(x)单调递增；

当1/3<x<1时，f'(x)<0，f(x)单调递减；

当x>1时，f'(x)>0，f(x